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投影理论基础

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第2章正投影的基本理论知识点1.投影法的基本知识2.点的投

第2章正投影的基本理论知识点1.投影法的基本知识2.点的投

2．点在两投影面体系中的投影 (1) 投影 如图2-7所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面 和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正 面投影；由点A 向水平面作垂线， 得垂足a ，则a 称为空间点A的水平投影。 画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的 交线a′ax 和 aax 。
（a）正投影法 图2-2 平行投影法
（b）斜投影法
1.正投影法的投影特点 (1)真实性。当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）， 这种投影特性称为真实性。如图2–3（a）所示。 (2)积聚性。当物体上的平面（或直线）与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一 条线（或一个点），这种投影特性称为积聚性。如图2–3（b）所示。 (3)类似性。当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影的面积变小（或长度变 短），但投影的形状仍与原来形状类似，这种投影特性称为类似性。如图2–3（c）所示。
（a）
（b） 图2–4 物体的单面正投影
（c）
图2–5 三面正投影 多面正投影具有良好的度量性，只要物体上的平面或直线ห้องสมุดไป่ตู้某一投影面平行，就 能反映其实形或实长，故在工程中被广泛应用，是绘制工程图样的理论基础。
2.2点的投影 点是组成形体最基本的几何元素。要想正确地画出物体的视图，首先应该掌握点的投影规 律。 2.2.1点在两投影面体系中的投影 1.两投影面体系的建立 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图2-6所示，其中一个为水平投 影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影 面的交线称为投影轴，以OX表示。 水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分 角、 第三分角、 第四分角。 图 2-6 两 投 影 面 体 系 的 建 立

[机械制图基础] 2.1投影理论基础

[机械制图基础] 2.1投影理论基础
二 、中心投影法
中心投影法指投射线汇交于投射中心的投影方法。
投影面
投射 中心
空间 物体
■ 采用中心投影原理画出的图称透视投影图 ； ■ 投射中心、物体、投影面三者间的距离对投影大小有影响，度量性较差； ■ 其投影不反映物体真实大小和形状，机械图样不采用。
第一节 投影理论基础
三. 平行投影法
平行投影法指投射线互相平行的投影 方法。 平行投影又分为两种 1. 斜投影法 投射线与投影面倾斜
内
容
四、工程常用投影图
五、正投影法
第一节 投影理论基础
一、投影法
投射线通过物体向投影面投射， 并在该面上得到图形的方法称 为投影法。
■ 投影方向和投影面确定后，点在 该面的投影是唯一的。
■ 已知点的一个投影不能确定空间 点的位置。
空间物体 投影法 投影
投影法
中心投影法 平行投影法
第一节 投影理论基础
例如斜二测图 2. 正投影法 投射线与投影面垂直
例如正等轴侧图，正投影图等
正投影
当尽量将物体放置在投影面的特殊位置（平行或垂直） 时，斜投影较正投影更具有立体感，但其度量性较正投 影差。由于正投影法所得到的正投影能准确反映物体的 形状和大小，度量性好，作图简便，因此机械图样多采 用正投影法绘制的。
投影方向
第一节 投影理论基础
五、正投影法
正投影法的投影特性
2. 类似性 当直线、平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，平面的投影为平面 图形的类似形。
第一节 投影理论基础
五、正投影法
正投影法的投影特性
3. 积聚性 若直线、平面、柱面垂直于投影面，则其投影分别积聚于点、 直线、曲线。
第一节 投影理论基础

第3章 投影基础

第3章 投影基础

例2 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的 投影。 Z a 12 a
b X 10 b 6 a
b
O
YW
YH
§3.2.2
一、直线
b′
直线的投影
Z
b″
a′
X
a″
YW
b
a
YH
图2-18 直线的投影
二、直线的投影
1.三种位置直线 平行于某一个投影面而对另外两个 投影面平行线：
k1 k′ d1
l2
d′
X O X
d′
O
d
d k l2 l1
k
c
图2-26 求直线上点的投影
c
例2 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C 的投影。 b c a X b
O
c
a
[例3] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影，问 M点是否在直线上？
Z
解：分析：AB为侧 平线，M在直线上 ，必在直线AB的同 面投影上，并满足 定比规律。 作图： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影
1.平面内取点
Z
b′ e′ a′ c′
X
b″
a″
e″
c″
YW
a c e b
YH
图2-39 平面内取点
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
平面上取点
b
e
d
B E D C
c
a c
a
d
A
e b
2.平面内取线
Z
a′ c′ m′ 1′ b′ c n 2 a 1 b
YH
a″ n′ 2′
a′
(a′)b′

投影理论的基础知识(4点的投影)

投影理论的基础知识(4点的投影)
保距性质
投影保持点到直线的距离不变。即对于任意点A和直线L，点A 到直线L的距离等于点A在直线L上的投影点到直线L的距离。
投影的分类
正交投影
正交投影是将一个向量或更高维度的几何对象正交地映射到另一个向量或低维 度空间的线性变换。正交投影保持了原始向量的长度和方向不变。
非正交投影
非正交投影是一种将一个向量或更高维度的几何对象映射到另一个向量或低维 度空间的线性变换，但不保持原始向量的长度和方向不变。在实际应用中，非 正交投影的应用更为广泛。
02 投影的几何意义
投影的几何解释
投影是光源照射物体 时，在某个平面上留 下的影子。
投影可分为中心投影 和平行投影。
投影线与投影面之间 的夹角称为投影角。
投影的几何应用
01
在建筑设计、工程制图等领域， 投影理论被广泛应用于绘制三维 物体的二维图形表示。
02
通过投影，可以将三维空间中的 物体转换为二维平面上的图形， 便于分析和表达。
投影理论的基础知识
目录
• 投影的定义与性质 • 投影的几何意义 • 投影变换 • 投影的应用
01 投影的定义与性质
投影的基本定义
投影的基本定义
投影是将一个向量或更高维度的几何对象映射到另一个向量或低维度空间的线性变换。在数学和物理中，投影被广泛 应用于解决各种问题。
投影的数学表示
在数学中，投影通常用矩阵或线性变换来表示。给定一个向量空间和目标子空间，投影矩阵将原始向量映射到目标子 空间。
三视图
三视图是正投影的一种应用，通过从三个不同的角度观察物体，将物体
的主视图、俯视图和左视图分别绘制在三个不同的平面上，从而完整地
描述物体的结构和形状。
投影在计算机图形学中的应用

机械工程图学-投影理论的基础知识(平面的投影)

机械工程图学-投影理论的基础知识(平面的投影)

Wang chenggang
2-4/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
Wang chenggang
2-5/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
2-19/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
垂直于水平面的平面称为铅垂面。
Y
a’ b’ a” b”
d’
c’ d” c”
X
O
YW
a(d) c(b)
YH
Wang chenggang
a’
b’
d’
c’
A
D
a(d)
a”
B d” b”
C
c”
b(c)
铅垂面
2-20/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于H 面的称为水平面，其投影特性为： ①水平投影反映平面的实形。 ②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
水平面的投影特性
Wang chenggang
2-26/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于V面的称为正平面，其投影特性为： ①正面投影反映平面的实形。 ②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
Wang chenggang
2-24/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
（2）投影面平行面
平行于一个 投影面的平面。
必然同时垂 直于另外两个投 影面！
图2-26 投影面平行面的立体图

机械工程图学-投影理论的基础知识(2)

机械工程图学-投影理论的基础知识(2)
1
轴测投影面
轴测投影面
（a） 正轴测图
轴测图的形成
Wang chenggang
（b） 斜轴测图
2-2/132
2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.1 轴测图的基本概念
用正投影法得到的轴测投影图称为正轴测投影图，简称正轴测 图，能表示物体三个方向的形状，接近于人的视觉习惯，立体感较强。
用斜投影法得到的轴测投影图，称为斜轴测投影图，简称斜轴测 图，也能表示物体三个方向的形状，立体感也较强。
2.4 轴测图及其他投影图简介
2.4 轴测图及其他投影图简介
在工程中主要应用的是多面正投影图，但在某些工程 领域有时也用到单面投影图。单面投影图（简称单面投影） 是将物体投射到单一的投影面上所得到的图形。利用中心 投影法或平行投影法都能得到单面投影图。
按照投射线的类型（平行或汇交），投影面与投射线 的相对位置（垂直或倾斜）及物体的主要轮廓与投影面的 相对关系（平行、垂直或倾斜），国家标准《技术制图 投影法》（GB/T 14692-2008）定义了透视投影、标高投 影、轴测投影三种单面投影图及镜像投影图。
（a）画轴测轴OX、OY ，作菱形EFGH。
（b）作菱形两钝角的顶点E、G与其两对边中点的连线ED、EC和 GA、GB（亦为菱形各边的中垂线），交于1、2两点。
（c）分别以G 、E、1、2为圆心，画圆弧，即完成作图。
（ a）
G
G
DCD源自CHOFH
O 1
2
H F
XA
BY
E
XA
E
B
Y
（ b）
（ c）
平行于水平面的圆的正等轴测图
2-10/132
2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.2 正等轴测图的画法

投影的基本知识

投影的基本知识在绪论中我们已经讲了，工程图样是根据投影理论绘制出来的。

那么，什么是投影呢？物体在灯光或日光的照射下产生影子，这是生活中常见的现象，请大家看图。

一、投影的概念如图a，三角板在灯光的照射下在桌面上产生影子，可以看出，影子与物体本身的形状有一定的几何关系，人们将这种自然现象加以科学的抽象得出投影法。

如图b,将光源抽象为一点S，称为投影中心，投影中心与物体上各点（A、B、C）的投影连线（SAa、SBb、SCc）称为投影线，接受投影的面,称为投影面。

过物体上各点（A、B、C）的投影线与投影面的交点称为这些点的投影。

投影分为中心投影和平行投影两大类。

对于这个图，所有投射线都交于投影中心点S，这样的投影称为中心投影。

当把投影中心移到无穷远处时，所有的投影线都互相平行，请大家看图，这样的投影称为平行投影。

根据投影线与投影面是否垂直，平行投影又分为斜投影和正投影两种。

当投影线倾斜与投影面时，称斜投影；投影线垂直与投影面时，称正投影。

工程图样一般都是采用正投影法绘制的，正投影法是本课程的研究重点。

今后若不特殊说明，都是指正投影。

请大家看图：这是空间点A，与投影面H，要作出空间点A在H面上的正投影，就要过空间点A作H面的垂线，垂线与H面的交点就是空间点A在H面上的投影。

要作直线在H面上的投影，只要分别作出直线两端点在H面上的投影，连线即可。

同理可作出平面图形的投影。

二、正投影的基本性质1．真实性当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一矩形，因此，直线的投影反映直线的实长。

当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。

由此我们可得出：平行与投影面的直线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。

2．积聚性当直线垂直于投影面时，过直线上所有点的投影线都与直线本身重合，因此与投影面只有一个交点，即直线的投影积聚成一点。

第章投影理论基础


Z
ab
ab
z a
b
A
a
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
Y b
YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
四川农业大学农机系
工程制图（侧机械垂方向线）— 垂直于侧面投影面的直第线2章 投影基础
Z
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
X
O
a
a
bY
b YH
投影特性： 1、ab 积聚 成一点
两个投影面都倾斜。 投影面垂直线 垂直于某一投影面，对另外
两个投影面都平行。
四川农业大学农机系
工程制图（直机线械方的向）投影（续）
第2章 投影基础
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
Y
X
O
b
b A
a
a
Y
a
Y
空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某 一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。
四川农业大学农机系
b
c a
X
c a
O
b
四川农业大学农机系
工程例制6图（已机知械点方向C在）线段AB上，求点C的正面投影。 第2章 投影基础
V
b
b
c
B
c
X
a
C
A
O
X
a
b
a
c
c

正投影法的基本概念与基本理论


请你带着一个重要的问题来学习本章
投射中心 (即光源)
物体
投影面
一、中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大
小也改变
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
二、平行投影法
且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行
1. 斜角投影 法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行
2.直角（正）投影法
即:正投影法
正投影法广泛应用是由于：
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
正投影法的投影特性:
C
A
cB
a b
E C
A
F
B
a
c
e（f）
b
实形性
积聚性
C A
B
b ac
类似形
1.直线、平面平行于投影面，投影反映实长或实形， 称为实形性。
2.直线、平面垂直于投影面，投影成为一点或一直线， 称为积聚性。
①画各图的基准线
③②按按V尺型寸槽画的原尺形寸体画的“轮V”廓型线槽的投 影 ④检查，擦去多余的线 ⑤按图线的规格加深和加粗
例题2
在投影图中标注立体模型图中指定的平面和直线的投影，并回答相应问题
1.直线AB在H面的投影反映了正投影法的
积投聚影性特性；
2.直线AB在V、W面的投影反映了正投影法的 实形性投影特性；
左左
下右右
后后
前前 下
X 不下下按规长定位置配置的投O影下要下标W注宽
按规定长位置配置O投O 影不标注
后
宽
左后后
右
YW YYWW

《机械制图》教案——第二章-1 正投影理论基础

第二章正投影理论基础教学目的要求：1平行投影的性质.2正投影图的概念.本节教学目标：了解投影法的基本概念，正确理解正投影法的投影特性，能绘制简单体的三视图。

重点：投影法的基本概念，理解投影特征。

平行投影的性质.难点：绘制简单体三视图。

引入：空间想象能力的培养是学好本篇内容的关键所在，同学们在学习本篇内容的时候一定要多思多想，探讨三视图的形成原理，总结出三视图绘图的基本方法，一定要不断培养自己的空间想象能力，将空间分析贯穿于本篇的学习之中，贯穿于整个机械制图课程的学习之中。

学时：0.5§1投影法1.1中心投影法一、投影法的基本概念投影：光线通过物体产生影子的现象。

（举例）投影法：就是一组射线通过物体蛇向指定平面上而得到图形的方法。

三要素：投影中心、投影线、投影面。

二、投影法的种类和特征1.中心投影法：投射线汇交于一点的投影方法。

（P30图2-2）特点：投影比实物大，立体感强。

（教师板书）适用：外观图、美术图、照相等。

2.平行投影法：投射线相互平行的投影方法。

（P30图2-3、2-4）（1）斜投影法：在平行投影法中，投射线与投影面倾斜时的投影。

（2）正投影法：在平行投影法中，投射线与投影面垂直时的投影。

3.平行投影的基本特征同素性、从属性不变、等比性、平行性、类似性、实形性、集聚性。

特点：①当空间直线或平面平行于投影面时，投影面上得到的右影反映直线的实长或平面的实形，具有真实性。

②当空间直线或平面垂直于投影面时，在投影面上得到的投影是：直线积聚为一点，平面积聚为一直线，即具有积聚性。

③作图方便、度量性好。

适用：广泛应用于机械制图中。

三、三视图的形成及投影规律1.三投影面的形成建立三面投影体系：为了表达物体的总体形状，通常采用互相垂直的三个投影面，建立一个三投影面体系；正投影面，用 V 表示；水平投影面，用 H表示；侧投影面，用 W表示。

三个投影面的交线 OX 、OY 、OZ称为投影轴（简称 X 、Y、Z轴）。

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3.两直线交叉
交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律，也不满足相交两直线 的规律。 [例2-6] 判断两直线AB和CD的相对位置。 [例2-7] 判断两直线ⅠⅡ和ⅢⅣ的相对位置。 4.两直线垂直 直角投影定理： 若两直线垂直且其一直线平行于某投影面，则它
们在该投影面上的投影仍然垂直。（证明略）
O
图2-27 平行两直线
Ⅰ Ⅲ
Ⅱ
O
图2-38
两平面平行
O
图2-39
两平面相交
O
图2-40
两平面垂直
§2-3 回转立体的构形及投影表示
一、概述 二 、圆柱的构形命令及投影 三、圆锥的构形命令及投影 四、圆球的构形命令及投影
一、概述
（一）回转体（面）的形成 （二）有关术语 （三）回转体的构形方法（转AutoCAD） （四）回转面的构形方法（转AutoCAD)
（五）表面上定点
1.纬圆法 2.素线法
（二）圆锥的形成
Ⅰ Ⅱ
图2-44
圆锥的投影
已知圆锥表面上点M及N的 正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
m
(n ) (n )
m
n m
图2-45
在圆锥表面上定点
四、圆球的构形命令及投影
（一）圆球的形成 （二）圆球的构形命令（转AutoCAD） （三）投影分析 三投影均为圆，且直径等于球的直径。
O
图2-37
直线与平面垂直
(五）两平面的相对位置
两平面间的基本位置关系有平行及相交，而垂直则是相交关系 的特殊情况。 1.两平面平行
两平面平行的几何条件为：一平面上的相交两直线分别平行于 另一平面上的相交两直线。如果两平行平面垂直于某一投影面，则 它们在该投影面上的积聚投影也平行。
2.两平面相交 核心问题为求交线。 3.两平面垂直 两平面垂直的几何条件为：一平面过另一平面的垂线。如果两 平面垂直且同时垂直于某投影面，那么，它们在该投影面上的积聚 投影也垂直。
图2-7
积聚性
图2-8 保真性
图2-9 类似性
二、投影与制图
(一)概述 1. 物体的单面视图
2. 物体的三视图
（1）建立三面投影体系 （2）形成物体的三视图
（3）展开投影体系
（4）三视图的规范形式 (二)三视图的投影特点
[例2-1] 物体三视图的画法
投 影 方 向
结论:利用单面视图无法确定物体的空间形状
３.作锥顶的各投影。
４.添加各棱线的投影。
（a） 投影特点 图2-23 棱柱的投影图
（b） 绘图过程
（a） 投影特点 图2-24 棱锥的投影图
（b） 绘图过程
四、平面立体的投影分析
无论在空间还是在投影图中，立体与其表面的几何要素的关系都是非常 密切的，尤其对平面立体更是如此。探讨几何要素的投影是为了更好地解决 立体的投影问题。以下将讨论几何要素间的相对投影特性。
2.直线与平面相交 核心问题为求交点。 3.直线与平面垂直 直线垂直于平面的几何条件为：直线同时垂直于平面内相交两 直线。如果直线与投影面的垂直面垂直，那么，在相应的投影面上， 两者的投影也垂直；而在其它投影面上，该直线的投影应平行于相 关的投影轴。
O
图2-35
直线与平面平行
O
图2-36
直线与平面相交
图2-11(e) 三视图的投影规律
图2-12
物体三视图的画法
三、点的投影
(一)点的三面投影的形成 (二）点的投影分析 (三）由点的二投影求第三投影 . [例2-2]“二求三”的方法 (四）空间点的重建方法
(五）相对坐标
. 相对坐标的定义 . [例2-3]利用相对坐标作图
(六）无轴投影
. 无轴投影的定义 . 无轴投影作图
① 侧 平 面
具有保真性
② 具有积聚性， 且 ⊥OX ③ 具有积聚性， 且 ⊥OX
§2-2 平面立体的构形及投影表示
一、AutoCAD2000的空间设计环境 (转AutoCAD)
二 、平面立体的构形
三、平面立体的投影
(转AutoCAD)
四、平面立体的投影分析
三、平面立体的投影
平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为 主要特征，对于可见的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图 中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
一般位置平面
平面 投影面的垂直面 投影面的平行面 特殊位置直线
正垂面
投影面的垂直面 铅垂面 侧垂面 投影面的平行面
正平面
水平面 侧垂面
O
O
O
O
O
图2-21 平面的投影表示
O
S
图2-22 一般位置平面的投影
表2-3 名称
投影面垂直面的投影特性
实
例
投
影
图
特
性
正 垂
① 具有积聚性， 且为一斜线。 ② 及 为缩小
Z V a′ y X ax H az x O ay a′ a″W X az O ax a
Z a″ YW
A z a
ay W ay YH
H
Y
(a)
图2-13 点的三面投影的形成
(b)
(二) 点的投影分析
1. 点的投影与坐标的关系 设空间点A的坐标为（x,y,z), 则有： a a′ a″ (x,y) (x,z) (y,z)
(二)投影法的分类
1. 中心投影法 2. 平行投影法
（1）斜投影法
（2）正投影法
S
投影线 空间点
投影中心
B
A
投影面
b
投影
a
图2-2 投影法的概念
S
A
D B C
d
a
b
c
图2-3
中心投影法
A
D
B
a d
C
A
D
B
d
C
b
c
a
b
c
斜投影法 图2-4 平行投影法
正投影法
Ⅱ Ⅰ
图2-5
从属性
图2-6 平行性
（a） 图2-25 直线上点的投影
（b）
结论：
点K不属于AB直线
图2-26
判断点是否属于直线
(二）两直线的相对位置
两直线的基本位置关系有平行、相交、交叉（异面），而垂直则是内含于基 本关系中的一种特殊情况。 1.两直线平行 平行两直线的同面投影均相互平行。 2.两直线相交 相交两直线的同面投影均相交，且其投影的交点必满足点的投影规 律。
(一)棱柱的投影 棱柱具有这样的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复 合矩形。 绘图步骤： １.画投影图的对称线和中心线（如果有的话）。 ２.画底面的各投影。 ３.添加棱线的各投影。 ( 二)棱锥的投影 棱锥具有这样的投影特点：一个投影为复合多边形，而其余两投影则为三角形或 复合三角形。 绘图步骤： １.画投影图的对称线及中心线。 ２.画锥底的各投影。
（一）圆柱的形成
Ⅱ
Ⅰ
图2-42
圆柱的投影
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。
图2-43 在圆柱表面上定点
三、圆锥的构形命令及投影
（一）圆锥的形成 （二）圆锥的构形命令（转AutoCAD） （三）投影分析 一个投影为圆，其余二投影均为等腰三角形。
（四）投影绘制
一般应先画出相关的对称轴线及圆的中心线，然后绘制圆 投影，最后再绘制其它投影。
线示出）实质上并未起作用，若将其删除，即成无轴投影：
图2-18
无轴投影
试求出A、B、C各点的第三投影。
图2-19 无轴投影作图
四、直线的投影
（一）直线投影的确定 一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而 只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其 同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影。 （二）直线的分类及其投影特性 一般位置直线 直线 投影面的平行线 投影面的垂直线 正平线 投影面的平行线 水平线 侧平线 投影面的垂直线 正垂线 铅垂线 侧垂线 特殊位置直线
图2-10 物体的单面视图
V W
H
V面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:侧立投影面
图2-11(a)
建立三面投影体系
V
W
H
图2-11(b)
形成物体的三视图
V
W
注:投影面无限大,
H
应删除其边线
图2-11(c)
展开投影体系
图2-11(d)
物体的三视图
左 上
右 高
后
前 上 下
下 长
宽
后
宽 前 左 右
2. 点的投影规律 a′a″ ⊥ a a′ ⊥ OZ OX
aax ＝
aza″
(三) 由点的二投影求第三投影
1. 点的三投影之间的坐标关系
a′(x,z)
a″(y,z)
a(x,y)
2. “二求三”方法
(1) 坐标法 (2) 45°辅助线法
O
O
(a) 坐标法
图2-14 “二求三”的方法
(b) 45°辅助线法
O
图2-33
平面上的直线和点
已知直线MN属于平 面ABC，求MN的正面 投影m′n′；判断点 K是否属于平面ABC。
O
K ∈ AB
图2-34
平面上的点、线的作图及判断
(四）直线与平面的相对位置
直线与平面间的基本位置关系有平行和相交，而垂直又是相交 的特殊情况。 1.直线与平面平行
直线平行于平面的几何条件为：直线平行于平面内一直线。如 果直线与投影面的垂直面平行，那么，在相应的投影面上，两者的 投影也平行。