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第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
一、 微波网络各种参量矩阵定义图 1所示为二端口微波网络，1端口电压为U 1，电流为I 1；二端口电压为U 2，电流为I 2。
图 1 二端口微波网络1.1 Z 矩阵阻抗矩阵如下：11111222211222U Z I Z I U Z I Z I =+⎧⎨=+⎩ (1.1-1) 111121221222U Z Z I U Z Z I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]U Z I = (1.1-2) 其中，211101I U Z I ==，111202I U Z I ==，222101I U Z I ==，122202I UZ I == (1.1-3)➢ 对于互易网络：1221Z Z = (1.1-4) ➢ 对于对称网络：1122Z Z = (1.1-5) ➢ 对于无耗网络：ij ij Z jX = （i,j=1, 2） (1.1-6)1.2 Y 矩阵导纳矩阵如下：11111222211222I Y U Y U I Y U Y U =+⎧⎨=+⎩ (1.2-1)111121221222I Y Y U I Y Y U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]I Y U = (1.2-2) 其中，211101U I Y U ==，111202U I Y U ==，222101U I Y U ==，122202U IY U == (1.2-3)➢ 对于互易网络：1221Y Y = (1.2-4)➢ 对于对称网络：1122Y Y = (1.2-5) ➢ 对于无耗网络：ij ij Y jB = （i, j=1,2） (1.2-6)1.3 A 矩阵端口2的电流取向外，应为-I 2。
图 2 二端口微波网络（A 矩阵）转移矩阵如下：11121221212222U A U A I I A U A I =-⎧⎨=-⎩ (1.3-1) []11112221212222U A A U U A I A A I I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1.3-2) 其中，21110I U A U ==，21120U U A I ==-，11210U IA U ==，21220U IA I ==- (1.3-3)1122122111221221➢ 对于对称网络：1122A A = (1.3-8) ➢ 对于无耗网络：A 11，A 22为实数；A 12，A 21为虚数 (1.3-9)二、 微波网络各种参量矩阵转换2.1 Z 矩阵<=>Y 矩阵以归一化矩阵为例，根据归一化阻抗矩阵和归一化导纳矩阵，有1111122221122211111222211222u z i z i u z i z i i y u y u i y u y u =+⎧⎨=+⎩=+⎧⎨=+⎩ (2.1-1)则122112011221221,u i z y z z z z z u z====- (2.1-2)1112120u i y u z===-(2.1-3) 2221210u i y u z===-(2.1-4)至此，[][]111122212212221111y y z z y z y y z z z --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(2.1-6)同理，有[][]111122212212221111z z y y z y z z y y y --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(2.1-7) 即[][]1z y =，与归一化导纳矩阵中结论一致。
1.什么是矩阵图20世纪末，有一部非常有名的科幻电影《The Matrix》。
《The Matrix》三部曲展现的是，人们所生活的世界是由一个巨大的计算机智能“矩阵”控制的虚拟世界，一切看似“真实”的信息由其创造并传播，人类为了Freedom与“矩阵”Fight。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。
当前非常热门的计算机领域，如机器学习、人工智能、神经网络都是基于矩阵形成的算法。
可以预见的是，通过计算机技术的应用，以质量知识库等为基础，质量管理也将向智能化进化。
矩阵在组织管理中有很多应用，比如风险评估矩阵、概率影响矩阵、道斯矩阵(SWOT分析)、职责分配矩阵RAM(RACI)、散点图矩阵、相关性矩阵、优先级矩阵、波士顿矩阵等，使用这些矩阵可以更有效和高效进行战略决策、质量管理、项目管理和持续改进等，矩阵图则是质量管理人员常用的QC新七种工具之一。
矩阵图，是从需要分析的事项中找出成对的因素组，分别排成行和列，找出行与列交叉点的关系或相关性的大小，从而探讨问题点的一种方法。
矩阵图可以展现2组或2组以上成对因素间的关系，同时能获得更多的相关性信息，其特点如下：(1)分析成对的影响因素，方便做多元性评估；(2)成对因素之间的相关性清晰明了，便于确定重点；(3)可根据多元性评估，将潜伏的各项因素找出来；(4)在系统图、关联图、亲和图等手法已分析至极限时，可以结合使用矩阵图。
例如时间管理四象限法，实际上就可以看作是按照“紧急”和“重要”2组成对因素（时间组：紧急/不紧急是一组，重要程度组：重要/不重要为另一组）组成的矩阵图，只不过是更加清晰地放在二维坐标轴的四个象限里而已。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素。
离散数学关系矩阵的行和列
离散数学中，关系矩阵是一种用于描述集合之间关系的数学工具。
在关系矩阵中，行和列分别代表着集合中的元素，而矩阵中的元素则表示这些元素之间的关系。
首先，让我们来看看关系矩阵的行。
在关系矩阵中，每一行对应着集合中的一个元素。
如果我们有一个关系矩阵R，它有n行，那么这个矩阵描述了一个从集合A到集合B的关系，其中A和B分别对应矩阵R的行和列。
矩阵中的每一行代表着集合A中的一个元素与集合B中的所有元素之间的关系。
接下来，让我们来看看关系矩阵的列。
在关系矩阵中，每一列对应着集合中的另一个元素。
如果我们有一个关系矩阵R，它有m 列，那么这个矩阵描述了一个从集合B到集合A的关系。
矩阵中的每一列代表着集合B中的一个元素与集合A中的所有元素之间的关系。
总的来说，关系矩阵的行和列分别代表着集合中的元素，而矩阵中的元素则描述了这些元素之间的关系。
通过研究关系矩阵的行
和列，我们可以更好地理解集合之间的关系，这对于离散数学中的许多问题都是非常重要的。
相关性矩阵图绘制方法大汇总！！在一些学术论文中，经常会看到用「相关性矩阵(correlation matrix)」去表示数据集中每队数据变量间的关系，可以实现对数据集大致情况的一个快速预览，常常用于探索性分析。
本期推文，小编就汇总一下相关性矩阵的R和Python的绘制方法。
R绘制相关性矩阵在R中有很多可视化包可以绘制相关性矩阵图，如R-ggcorrplot、R-ggstatsplot和R-corrplot。
接下来，小编就一一为大家介绍：R-ggcorrplotR-ggcorrplot包作为ggplot2的拓展包，我们首先进行介绍，具体内容如下：1.官网R-ggcorrplot包的官网如下：https:///ggcorrplot/1.样例介绍 R-ggcorrplot包主要提供ggcorrplot()和cor_pmat()两个绘图函数，具体例子如下(这里都做了主题等细节设置)：「样例一」：默认情况library(tidyverse)library(ggtext)library(hrbrthemes)library(wesanderson)library(LaCroixColoR)library(ggsci)library(ggcorrplot)data(mtcars)corr <- round(cor(mtcars), 1)p.mat <- cor_pmat(mtcars)colors = c('#B2182B', 'white', '#4D4D4D')plot01 <- ggcorrplot(corr,colors = colors,ggtheme=hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condensed'))plot01_cus <- plot01 +labs(x='',y='',title = 'Example of <spanstyle='color:#D20F26'>ggcorrplot charts makes</span>', subtitle = 'processed charts with <spanstyle='color:#1A73E8'>ggcorrplot()</span>',caption = 'Visualization by <spanstyle='color:#0057FF'>DataCharm</span>') +theme(plot.title = element_markdown(hjust = 0.5,vjust = .5,color = 'black',size = 25, margin = margin(t = 1, b = 12)),plot.subtitle = element_markdown(hjust = 0,vjust = .5,size= 20),plot.caption = element_markdown(face = 'bold',size = 15))Example01 of ggcorrplot「样例二」：圆形下半面plot02 <- ggcorrplot(corr,colors = colors,method = 'circle',outline.color = 'black',lab = TRUE,type = 'lower',lab_size = 4,ggtheme=hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condensed'))plot02_cus <- plot02 +labs(x='',y='',title = 'Example of <spanstyle='color:#D20F26'>ggcorrplot charts makes</span>', subtitle = 'processed charts with <spanstyle='color:#1A73E8'>ggcorrplot()</span>',caption = 'Visualization by <spanstyle='color:#0057FF'>DataCharm</span>') +#hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condens ed') +theme(plot.title = element_markdown(hjust = 0.5,vjust = .5,color = 'black',size = 25, margin = margin(t = 1, b = 12)),plot.subtitle = element_markdown(hjust = 0,vjust = .5,size= 20),plot.caption = element_markdown(face = 'bold',size = 15))Example02 of ggcorrplot「样例三」：上半面plot03 <- ggcorrplot(cor(mtcars),colors = colors,outline.color = 'black',lab = TRUE,type = 'upper',p.mat = p.mat,digits = 2,ggtheme=hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condensed'))plot03_cus <- plot03 +labs(x='',y='',title = 'Example of <spanstyle='color:#D20F26'>ggcorrplot charts makes</span>', subtitle = 'processed charts with <spanstyle='color:#1A73E8'>ggcorrplot()</span>',caption = 'Visualization by <spanstyle='color:#0057FF'>DataCharm</span>') +#hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condens ed') +theme(plot.title = element_markdown(hjust = 0.5,vjust = .5,color = 'black',size = 25, margin = margin(t = 1, b = 12)),plot.subtitle = element_markdown(hjust = 0,vjust = .5,size= 20),plot.caption = element_markdown(face = 'bold',size = 15))Example03 of ggcorrplot好了，以上就是ggcorrplot包绘制的基本情况(基本上重要的参数设置都介绍完了)。
Matlab例题汇总：【例2-4】两个矩阵分别为[1 2 3;4 5 6;7 8 9]和[1 1 1;2 2 2;3 3 3]，求两者相加的和。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[1 1 1;2 2 2;3 3 3];c=a+b【例2-5】两个矩阵分别为[1 2 3;4 5 6;7 8 9]和[1 1 1]，阶数不同，求两者相减的差。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[1 1 1];c=a-b【例2-6】两个矩阵相乘，矩阵a为，矩阵b为，分别计算c=a*b和d=b*a。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[1 2 3];c=a*b% 将第三句c=a*b改成d=b*a，再运行一次% 【例2-7】两个数组相乘，数组a为，数组b为，求两数组的乘法。
% 在命令窗口输入两数组，计算c=a.*b：a=[1 2 3];b=[4 5 6];c=a.*b% 【例2-8】两个矩阵相除，矩阵a和b均为3×3阶矩阵。
a=rand(3)b=rand(3)c=a/bd=b\a% 【例2-9】数组a为，数组b为，求两数组的除法。
a=[1 2 3];b=[4 5 6];c=a.\bc=b./a% 【例2-10】矩阵a为[1 2;3 4]，求它的1.5次幂。
a=[1 2;3 4];c=a^1.5% 【例2-11】数组a为[1 2 3]，数组b为[4 5 6]，求数组的幂c=a.^b。
a=[1 2 3];b=[4 5 6];c=a.^b% 【例2-12】数组a为[1 2 3]，求数组的幂c=a.^2。
a=[1 2 3];c=a.^2% 【例2-13】数组a为[1 2 3]，求数组的幂运算c=2.^a。
a=[1 2 3];c=2.^a% 【例2-14】矩阵a为[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，计算a的转置。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];c=a'% 【例2-15】矩阵a为[1+2i 3+4i]，计算a的转置。
第9章 矩阵一、填空题⒈ 两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .⒉ 设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X .⒊ 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 .4．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131A ，则A I 2-= . 5．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆.6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a = ，b = 时，A 是对称矩阵.7．当λ= 时，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λ42045114321的秩最小.二、单项选择题⒈设B A ,为两个n 阶矩阵，则有（ ）成立.A . 22))((B A B A B A -=-+ B . TT T A B AB =)( C . T T T A B B A -=-)( D . )(2B A A BA A +=- ⒉ 下列说法正确的是（ ）.A . 0矩阵一定是方阵B . 可转置的矩阵一定是方阵C . 数量矩阵一定是方阵D . 若A 与A T可进行乘法运算，则A 一定是方阵 ⒊ 设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.A . IB + B . 1+BC . BD . ()I AB --1⒋ 设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）A .kA -1B . 11kA n - C . --kA 1D . 11k A -5．设A 是4阶方阵，若秩3)(=A ，则（ ）.A . A 可逆B . A 的阶梯阵有一个0行C . A 有一个0行D . A 至少有一个0行6. 设B A ,为同阶方阵，则下列说法正确的是（ ）.A .若0=AB ，则必有0=A 或0=B B .若0≠AB ，则必有0≠A ,0≠BC .若秩0)(≠A ,秩0)(≠B ，则秩0)(≠ABD . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B 三、解答题⒈ 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I T)2(-.⒉ 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=653312B ，求解矩阵方程TB AX =. ⒊ 若A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1253140132，求A . ⒋ 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=12412116030242201211A 的秩 ⒌ 已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B .6. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，AA I T=，证明A 是对称矩阵.答案及解答：一、填空题⒈ A 与B 是同阶矩阵 ⒉ A B I 1)(-- ⒊ m t n s ==, ⒋ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11655. 3≠6. 0, 37. 0 二、单项选择题⒈ B ⒉ C ⒊ A ⒋ D 5. B 6. B 三、解答题⒈ 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=142120311T A ，T2A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1421203111000100012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311所以， B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1103051 ⒉ 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=120001010830210411100010001012411210)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001， 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-211231241121A所以 TB A X 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=21123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-635132=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2132716956 3．因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-110021010210330041100010001231041352)(1I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110311430210300801⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→131320101313110043138001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→131********3201043138001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=311312121831A ⒋ 因为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=12412116030242201211A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→10030140300000001211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000040001403001211 所以，秩3)(=A .5. 证 因为)2(41)(41222I B B I B A ++=+=，且A A =2，即)(21)2(412I B I B B +=++， 得I B =2，所以B 是可逆矩阵，且B B =-1.6. 证 因为AI A ==T T IA AAA ==TA 所以A 是对称矩阵.论碎石垫层在振冲碎石桩复合地基中的必要性The discussion about the necessity of broken stone cushion for the composite ground with vibro replacement stone column蓝冰(广东有色地质勘查局932队韶关 512026)文摘本文通过对复合地基受力性状的分析，结合实际施工经验和处理检测结果，全面论述了碎石垫层在复合地基中的必要性。
第二章 矩阵应用例子矩阵的概念是从大量各种各样的实际问题中抽象出来的，是最基本的数学概念之一.矩阵概念贯穿线性代数的各方面，许多问题的数量关系都可以通过矩阵来描述，因而矩阵是科学研究的一个非常重要的工具.它在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用. 本章主要列举了矩阵在经济、统计、信息技术等方面的应用.例1 生产成本某工厂生产三种产品. 它的成本分为三类. 每一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量. 同时给出每季度生产每种产品数量的估计. 这些估计在表2-1和表2-2中给出. 该公司希望在股东会议上用一个表格展示出每一季度三类成本中的每一类成本的数量：原料费、工资和管理费.表2-1 生产单位产品的成本（美元）成 本 产 品A B C 原料费 工资管理费和其他0.10 0.30 0.10 0.30 0.40 0.200.15 0.25 0.15表2-2 每季度产量产 品 季 度夏季 秋季 冬季 春季 A B C4 000 2 0005 8004 500 2 600 6 2004 500 2 400 6 0004 000 2 200 6 000解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.0.100.300.150.300.400.250.100.200.15M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及400045004500400020002600240022005800620060006000P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦如果我们构造乘积MP ，则MP 的第一列表示夏季的成本.原料费： (0.10)(4000)(0.30)(2000)(0.15)(5800)1870++= 工资： (0.30)(4000)(0.40)(2000)(0.25)(5800)3450++= 管理费和其他：(0.10)(4000)(0.20)(2000)(0.15)(5800)1670++=MP 的第二列表示秋季的成本.原料费： (0.10)(4500)(0.30)(2600)(0.15)(6200)2160++=工资： (0.30)(4500)(0.40)(2600)(0.25)(6200)3940++=管理费和其他：(0.10)(4500)(0.20)(2600)(0.15)(6200)1900++=MP 的第三列和第四列表示冬季和春季的成本.187021602070196034503940381035801670190018301740MP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦MP 第一行的元素表示四个季度中每一季度原料的总成本. 第二和第三行的元素分别表示四个季度中每一季度工资和管理的成本. 每一类成本的年度总成本可由矩阵的每一行元素相加得到. 每一列元素相加，即可得到每一季度的总成本. 表2-3汇总了总成本.表2-3季 度夏季 秋季 冬季 春季 全年 原料费工资管理费和其他 总计1 870 3 450 1 670 6 9902 1603 940 1 900 8 0002 0703 810 1 830 7 7101 960 3 580 1 740 7 2808 060 14 780 7 140 29 980例2 生态学：海龟的种群统计学管理和保护很多野生物种依赖于我们模型化动态种群的能力. 一个经典的模型化方法是将物种的生命周期划分为几个阶段. 该模型假设每一阶段种群的大小仅依赖于雌性的数量，并且每一个雌性个体从一年到下一年存活的概率仅依赖于它在生命周期中的阶段，而并不依赖于个体的实际年龄. 例如，我们考虑一个4个阶段的模型来分析海龟的动态种群. 在每一个阶段，我们估计出1年中存活的概率，并用每年期望的产卵量近似给出繁殖能力的估计. 这些结果在表2-4中给出. 在每一阶段名称后的圆括号中给出该阶段近似的年龄.表2-4 海龟种群统计学的4个阶段阶段编号描述（年龄以年为单位） 年存活率 年产卵量 12 3 4卵、孵化期（<1）幼年和未成年期（1~21） 初始繁殖期（22） 成熟繁殖期（23~54）0.67 0.74 0.81 0.810 0 127 79若i d 表示第i 个阶段持续的时间，i s 为该阶段每年的存活率，那么在第i 阶段中，下一年仍然存活的比例将为111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（1） 而下一年转移到第1i +个阶段时，可以存活的比例应为(1)1i id i i i d i s s q s -=- （2） 若令i e 表示阶段(2,3,4)i i =1年中平均的产卵量，并构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3） 则L 可以用于预测以后每阶段海龟的数量. 形如（3）的矩阵称为莱斯列（Leslie ）矩阵，相应的种群模型通常称为莱斯利种群模型. 利用表1给出的数字，模型的莱斯利矩阵为0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦假设初始时种群在各个阶段的数量分别为200 000，300 000，500和1 500. 若将这个初始种群数量表示为向量0x ，1年后各个阶段的种群数量可如下计算：1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x （上述结果已经四舍五入到最近的整数了.）为求得2年后种群数量向量，再次乘以矩阵L .2210L L ==x x x一般地，k 年后种群数量可通过计算向量0k k L =x x 求得. 为观察长时间的趋势，我们计算102550,,x x x . 结果归纳在表2-5中. 这个模型预测，繁殖期的海龟数量将在50年后减少80%.表2-5 海龟种群预测阶段编号初始种群数量10年 25年 50年 1 2 3 4200 000 300 000500 1 500114 264 329 212214 1 06174 039 213 669139 68735 966 103 79568 334例3 密码问题在密码学中，称原来的消息为明文，经过伪装了的明文则成了密文，由明文变成密文的过程称为加密. 由密文变成明文的过程称为译密. 明文和密文之间的转换是通过密码实现的.在英文中，有一种对消息进行保密的措施，就是把消息中的英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数. 如~A Z 的26个英文字母与1~26的数字一一 对应.例如，发送“SEND MONEY ”这九个字母就可用[19，5，14，4，13，15，14，5，25]这九个数来表示. 显然5代表E ，13代表M ，…这种方法很容易被破译. 在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，往往可以大体估计出它所代表的字母. 例如，出现频率特别高的数字很可能对应出现频率特别高的字母.我们可以用矩阵乘法对这个消息进一步加密. 假如A 是一个对应行列式等于1±的整数矩阵，则1A -的元素也必定是整数. 可以用这样一个矩阵对消息进行变换，而经过这样变换的消息是较难破译的. 为了说明问题，设100315,201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A则11001315.201-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A把编了码的消息组成一个矩阵194145135,141525⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B乘积10019414194143155135132100172.2011415252473⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB所以，发出去的消息为[19，132，24-，4，100，7，14，172，3-]. 这与原来的那组数字不大相同，例如，原来两个相同的数字5和14在变换后成为不同的数字，所以就难于按照其出现的频率来破译了. 而接收方只要将这个消息乘以1-A ，就可以恢复原来的消息.100194141941413151321001725135.2012473141525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 要发送的信息可以按照两个或三个一组排序，如果是两个字母为一组，那么选二阶可逆矩阵，如果是三个字母为一组，则选三阶可逆矩阵. 在字母分组的过程中，如果最后一组字母缺码，则要用Z 或YZ 顶位.。
表格二级分类汇总全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：表格是一种常见的信息展示形式，通过将数据按照不同的分类进行汇总展示，可以使人们更清晰地了解数据之间的关系和趋势。
表格的使用范围非常广泛，无论是在商务领域、科研领域还是日常生活中，我们都可以看到各种各样的表格。
在分类汇总中，二级分类汇总是一种常见的方式，它将数据按照两个不同的分类维度进行汇总，更加全面地展示数据的特征。
二级分类汇总的优势在于可以深入挖掘数据之间的关系和规律，帮助人们更好地理解数据所表达的含义。
在商业领域中，二级分类汇总可以帮助企业更好地了解市场需求和竞争情况，为企业决策提供有力的支持。
在科研领域中，二级分类汇总可以帮助研究人员更好地分析实验数据和趋势，促进科研成果的产出。
在日常生活中，二级分类汇总可以帮助个人更好地了解自己的消费习惯和生活方式，为个人规划和管理提供依据。
为了更好地帮助读者理解二级分类汇总的特点和应用，下面将介绍一些常见的二级分类汇总表格及其应用场景。
1.交叉表交叉表是一种常见的二级分类汇总表格，它将数据按照行、列两个维度进行汇总展示。
在商务领域中，交叉表常用于展示销售数据或市场份额数据，帮助企业了解不同产品在不同市场中的销售情况。
在科研领域中，交叉表常用于展示实验数据或调查数据，帮助研究人员发现不同变量之间的关系。
2.树状表树状表是一种将数据按照树状结构进行分类汇总的表格形式。
在树状表中，数据以树的枝干和叶子的形式展示，帮助人们更清晰地了解数据之间的层次关系。
在商务领域中，树状表常用于展示组织结构或产品分类，帮助企业管理者了解企业内部组织的架构和产品线的层次关系。
在科研领域中，树状表常用于展示不同学科或实验条件的分类，帮助研究人员更好地组织实验数据和结果。
3.矩阵表在制作二级分类汇总表格时，需要注意以下几点：1.确定分类维度：在制作二级分类汇总表格之前，首先需要确定要依据哪两个不同的分类维度来进行汇总。
分类维度的选择应该具有一定的业务意义或科研价值，能够帮助人们更好地理解数据之间的关系和规律。
矩阵等价和向量组等价的区别与联系摘要：探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别与联系，并给出等价矩阵的行向量组（或列向量组）等价的充要条件。
关键词：矩阵等价、向量组等价、初等行变换中图法分类号：O 151. 24一、引言矩阵和向量组是线性代数这门课程中两个基本的概念，两者之间有着紧密的联系：一方面，一个矩阵对应着唯一一组列（行）向量组；另一方面，列（行）向量组以给定的顺序排列得到唯一的矩阵。
此外，两个向量组的等价的问题可以将其转化成两个矩阵等价的问题来判定。
正由于矩阵和向量组之间特殊的关系，使得许多同学混淆了矩阵等价和向量组等价这两个不同的概念。
为了使学生们更好地分辨矩阵等价和向量组等价，我们深入探讨等价向量组和等价矩阵的区别与联系，并给出两个矩阵在等价时其行向量组（或列向量组）等价的充要条件。
二、已知结论为了更好地探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别和联系，下面给出一些已知的结论。
首先给出矩阵的初等变化的定义。
矩阵的初等变换分为三类：交换矩阵两行（或列）；矩阵某一行（或列）的所有元素同乘以非零数；矩阵某一行（或列）的所有元素乘以数后加到另一行（或列）的对应元素上。
这三类初等变换都是可逆变换。
1、矩阵等价定义1：若矩阵可由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与矩阵等价，记为。
由等价矩阵的定义可知：等价矩阵必须为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数对应相等。
定义2：在矩阵中任意取其行列，则位于这些行和列交叉的个元素，按照其在的位置顺序排列得到的阶行列式，成为矩阵的阶子式。
定义3：矩阵最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记作。
下面给出等价矩阵的相关结论。
定理4：矩阵等价于矩阵的充要条件为。
由初等变换和初等矩阵之间的关系以及初等矩阵和可逆矩阵之间的关系可得两个等价矩阵之间的等式。
定理5：矩阵等价于矩阵等且仅当存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。
此时，可逆方阵、的选择不是唯一的。
2、向量组等价定义6：设有两个维向量组若存在矩阵，使得成立，则称向量组可以由向量组线性表示。
某公司员工职业发展矩阵附图汇总某公司员工职业发展矩阵序在现代职业发展中，员工的职业规划和发展是非常重要的。
为了更好地了解员工的职业发展情况，我们可以使用职业发展矩阵来进行梳理和汇总。
职业发展矩阵是一种简单而有效的图表工具，可以帮助员工和管理层更好地了解员工的职业发展阶段以及未来的职业发展方向。
本文将介绍某公司员工职业发展矩阵，并附上相应的图表。
一、什么是职业发展矩阵职业发展矩阵是一种用于呈现员工职业发展情况的图表，它横轴表示职业层级，纵轴表示职业发展阶段，通过填充不同颜色来表示员工所在的职业发展阶段。
职业发展矩阵可以帮助员工和管理层更好地了解员工的发展情况，有助于制定相应的职业培训计划和激励政策。
二、某公司员工职业发展矩阵下面是某公司员工职业发展矩阵，表格中的数字表示员工所在的职业层级。
图表中使用不同的颜色来表示员工所处的不同职业发展阶段，颜色越深表示职业发展越高。
职业发展矩阵图表通过查看以上职业发展矩阵图表，我们可以得出以下结论：1. 初级阶段：初级阶段是员工职业发展的起点，主要是员工根据公司要求完成基本的工作任务。
在这个阶段，员工通常由高级员工进行指导和培训。
初级阶段的员工通常需要熟悉公司的业务流程和工作规范，并逐步掌握相关的工作技能。
2. 中级阶段：中级阶段是职业发展的过渡阶段，员工在这个阶段已经基本掌握了相关的工作技能，并能够独立完成工作任务。
中级阶段的员工通常具备一定的专业知识和经验，能够在工作中发现问题并提出解决方案。
在这个阶段，员工可以选择进一步提升自己的职业技能或者转向其他领域发展。
3. 高级阶段：高级阶段是员工职业发展的最高阶段，员工在这个阶段已经具备丰富的工作经验和专业知识，并能够带领团队完成复杂的工作任务。
高级阶段的员工通常具备较强的分析和解决问题的能力，并能够根据公司的战略目标制定相应的工作计划和推动工作的执行。
4. 领导阶段：领导阶段是员工职业发展的巅峰阶段，员工在这个阶段已经成为公司的核心管理人员，能够制定公司的发展策略和管理团队的工作。
Excel高级技巧使用数组公式进行矩阵运算和复杂数据分析数据提取和汇总计算Excel高级技巧：使用数组公式进行矩阵运算和复杂数据分析数据提取和汇总计算Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于数据处理、分析和计算等领域。
除了基本的表格处理功能外，Excel还提供了一系列高级技巧，如使用数组公式进行矩阵运算和复杂数据分析数据提取和汇总计算。
本文将介绍这些高级技巧的使用方法和应用场景。
一、使用数组公式进行矩阵运算数组公式是一种特殊的公式，可以在单个公式中处理多个数值，实现矩阵运算。
在Excel中，数组公式通常使用Ctrl+Shift+Enter组合键来输入。
例如，我们需要计算两个矩阵的乘积。
假设矩阵A位于A1:C3区域，矩阵B位于E1:G3区域，我们可以使用数组公式实现如下：{=MMULT(A1:C3,E1:G3)}其中，MMULT函数用于计算矩阵的乘积。
记得使用Ctrl+Shift+Enter组合键输入公式后，公式周围会出现花括号。
除了矩阵乘积，数组公式还可以用于解决其他复杂的数学问题，如线性回归、求解方程组等。
通过灵活运用数组公式，可以大大提升数据处理和分析的效率。
二、数据提取和汇总计算在实际工作中，我们常常需要从大量数据中提取特定条件的数据，并进行汇总计算。
Excel提供了多种高级技巧，可以帮助我们快速实现这一目标。
1. 数据筛选和排序Excel的数据筛选功能可以根据指定的条件，筛选出符合条件的数据。
通过点击“数据”选项卡中的“筛选”按钮，选择“自动筛选”或“高级筛选”选项，可以根据条件对数据进行筛选。
此外，Excel还提供了数据排序功能，可以根据指定的字段对数据进行升序或降序排序。
2. 数据透视表数据透视表是一种强大的数据分析工具，可以对大量数据进行分组、汇总和分析。
通过点击“数据”选项卡中的“数据透视表”按钮，选择需要分析的数据范围和需要汇总的字段，在数据透视表区域拖动字段，即可生成透视表。
