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第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
一、 微波网络各种参量矩阵定义图 1所示为二端口微波网络，1端口电压为U 1，电流为I 1；二端口电压为U 2，电流为I 2。
图 1 二端口微波网络1.1 Z 矩阵阻抗矩阵如下：11111222211222U Z I Z I U Z I Z I =+⎧⎨=+⎩ (1.1-1) 111121221222U Z Z I U Z Z I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]U Z I = (1.1-2) 其中，211101I U Z I ==，111202I U Z I ==，222101I U Z I ==，122202I UZ I == (1.1-3)➢ 对于互易网络：1221Z Z = (1.1-4) ➢ 对于对称网络：1122Z Z = (1.1-5) ➢ 对于无耗网络：ij ij Z jX = （i,j=1, 2） (1.1-6)1.2 Y 矩阵导纳矩阵如下：11111222211222I Y U Y U I Y U Y U =+⎧⎨=+⎩ (1.2-1)111121221222I Y Y U I Y Y U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]I Y U = (1.2-2) 其中，211101U I Y U ==，111202U I Y U ==，222101U I Y U ==，122202U IY U == (1.2-3)➢ 对于互易网络：1221Y Y = (1.2-4)➢ 对于对称网络：1122Y Y = (1.2-5) ➢ 对于无耗网络：ij ij Y jB = （i, j=1,2） (1.2-6)1.3 A 矩阵端口2的电流取向外，应为-I 2。
图 2 二端口微波网络（A 矩阵）转移矩阵如下：11121221212222U A U A I I A U A I =-⎧⎨=-⎩ (1.3-1) []11112221212222U A A U U A I A A I I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1.3-2) 其中，21110I U A U ==，21120U U A I ==-，11210U IA U ==，21220U IA I ==- (1.3-3)1122122111221221➢ 对于对称网络：1122A A = (1.3-8) ➢ 对于无耗网络：A 11，A 22为实数；A 12，A 21为虚数 (1.3-9)二、 微波网络各种参量矩阵转换2.1 Z 矩阵<=>Y 矩阵以归一化矩阵为例，根据归一化阻抗矩阵和归一化导纳矩阵，有1111122221122211111222211222u z i z i u z i z i i y u y u i y u y u =+⎧⎨=+⎩=+⎧⎨=+⎩ (2.1-1)则122112011221221,u i z y z z z z z u z====- (2.1-2)1112120u i y u z===-(2.1-3) 2221210u i y u z===-(2.1-4)至此，[][]111122212212221111y y z z y z y y z z z --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(2.1-6)同理，有[][]111122212212221111z z y y z y z z y y y --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(2.1-7) 即[][]1z y =，与归一化导纳矩阵中结论一致。
1.什么是矩阵图20世纪末，有一部非常有名的科幻电影《The Matrix》。
《The Matrix》三部曲展现的是，人们所生活的世界是由一个巨大的计算机智能“矩阵”控制的虚拟世界，一切看似“真实”的信息由其创造并传播，人类为了Freedom与“矩阵”Fight。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。
当前非常热门的计算机领域，如机器学习、人工智能、神经网络都是基于矩阵形成的算法。
可以预见的是，通过计算机技术的应用，以质量知识库等为基础，质量管理也将向智能化进化。
矩阵在组织管理中有很多应用，比如风险评估矩阵、概率影响矩阵、道斯矩阵(SWOT分析)、职责分配矩阵RAM(RACI)、散点图矩阵、相关性矩阵、优先级矩阵、波士顿矩阵等，使用这些矩阵可以更有效和高效进行战略决策、质量管理、项目管理和持续改进等，矩阵图则是质量管理人员常用的QC新七种工具之一。
矩阵图，是从需要分析的事项中找出成对的因素组，分别排成行和列，找出行与列交叉点的关系或相关性的大小，从而探讨问题点的一种方法。
矩阵图可以展现2组或2组以上成对因素间的关系，同时能获得更多的相关性信息，其特点如下：(1)分析成对的影响因素，方便做多元性评估；(2)成对因素之间的相关性清晰明了，便于确定重点；(3)可根据多元性评估，将潜伏的各项因素找出来；(4)在系统图、关联图、亲和图等手法已分析至极限时，可以结合使用矩阵图。
例如时间管理四象限法，实际上就可以看作是按照“紧急”和“重要”2组成对因素（时间组：紧急/不紧急是一组，重要程度组：重要/不重要为另一组）组成的矩阵图，只不过是更加清晰地放在二维坐标轴的四个象限里而已。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素。
离散数学关系矩阵的行和列
离散数学中，关系矩阵是一种用于描述集合之间关系的数学工具。
在关系矩阵中，行和列分别代表着集合中的元素，而矩阵中的元素则表示这些元素之间的关系。
首先，让我们来看看关系矩阵的行。
在关系矩阵中，每一行对应着集合中的一个元素。
如果我们有一个关系矩阵R，它有n行，那么这个矩阵描述了一个从集合A到集合B的关系，其中A和B分别对应矩阵R的行和列。
矩阵中的每一行代表着集合A中的一个元素与集合B中的所有元素之间的关系。
接下来，让我们来看看关系矩阵的列。
在关系矩阵中，每一列对应着集合中的另一个元素。
如果我们有一个关系矩阵R，它有m 列，那么这个矩阵描述了一个从集合B到集合A的关系。
矩阵中的每一列代表着集合B中的一个元素与集合A中的所有元素之间的关系。
总的来说，关系矩阵的行和列分别代表着集合中的元素，而矩阵中的元素则描述了这些元素之间的关系。
通过研究关系矩阵的行
和列，我们可以更好地理解集合之间的关系，这对于离散数学中的许多问题都是非常重要的。
相关性矩阵图绘制方法大汇总！！在一些学术论文中，经常会看到用「相关性矩阵(correlation matrix)」去表示数据集中每队数据变量间的关系，可以实现对数据集大致情况的一个快速预览，常常用于探索性分析。
本期推文，小编就汇总一下相关性矩阵的R和Python的绘制方法。
R绘制相关性矩阵在R中有很多可视化包可以绘制相关性矩阵图，如R-ggcorrplot、R-ggstatsplot和R-corrplot。
接下来，小编就一一为大家介绍：R-ggcorrplotR-ggcorrplot包作为ggplot2的拓展包，我们首先进行介绍，具体内容如下：1.官网R-ggcorrplot包的官网如下：https:///ggcorrplot/1.样例介绍 R-ggcorrplot包主要提供ggcorrplot()和cor_pmat()两个绘图函数，具体例子如下(这里都做了主题等细节设置)：「样例一」：默认情况library(tidyverse)library(ggtext)library(hrbrthemes)library(wesanderson)library(LaCroixColoR)library(ggsci)library(ggcorrplot)data(mtcars)corr <- round(cor(mtcars), 1)p.mat <- cor_pmat(mtcars)colors = c('#B2182B', 'white', '#4D4D4D')plot01 <- ggcorrplot(corr,colors = colors,ggtheme=hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condensed'))plot01_cus <- plot01 +labs(x='',y='',title = 'Example of <spanstyle='color:#D20F26'>ggcorrplot charts makes</span>', subtitle = 'processed charts with <spanstyle='color:#1A73E8'>ggcorrplot()</span>',caption = 'Visualization by <spanstyle='color:#0057FF'>DataCharm</span>') +theme(plot.title = element_markdown(hjust = 0.5,vjust = .5,color = 'black',size = 25, margin = margin(t = 1, b = 12)),plot.subtitle = element_markdown(hjust = 0,vjust = .5,size= 20),plot.caption = element_markdown(face = 'bold',size = 15))Example01 of ggcorrplot「样例二」：圆形下半面plot02 <- ggcorrplot(corr,colors = colors,method = 'circle',outline.color = 'black',lab = TRUE,type = 'lower',lab_size = 4,ggtheme=hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condensed'))plot02_cus <- plot02 +labs(x='',y='',title = 'Example of <spanstyle='color:#D20F26'>ggcorrplot charts makes</span>', subtitle = 'processed charts with <spanstyle='color:#1A73E8'>ggcorrplot()</span>',caption = 'Visualization by <spanstyle='color:#0057FF'>DataCharm</span>') +#hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condens ed') +theme(plot.title = element_markdown(hjust = 0.5,vjust = .5,color = 'black',size = 25, margin = margin(t = 1, b = 12)),plot.subtitle = element_markdown(hjust = 0,vjust = .5,size= 20),plot.caption = element_markdown(face = 'bold',size = 15))Example02 of ggcorrplot「样例三」：上半面plot03 <- ggcorrplot(cor(mtcars),colors = colors,outline.color = 'black',lab = TRUE,type = 'upper',p.mat = p.mat,digits = 2,ggtheme=hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condensed'))plot03_cus <- plot03 +labs(x='',y='',title = 'Example of <spanstyle='color:#D20F26'>ggcorrplot charts makes</span>', subtitle = 'processed charts with <spanstyle='color:#1A73E8'>ggcorrplot()</span>',caption = 'Visualization by <spanstyle='color:#0057FF'>DataCharm</span>') +#hrbrthemes::theme_ipsum(base_family = 'Roboto Condens ed') +theme(plot.title = element_markdown(hjust = 0.5,vjust = .5,color = 'black',size = 25, margin = margin(t = 1, b = 12)),plot.subtitle = element_markdown(hjust = 0,vjust = .5,size= 20),plot.caption = element_markdown(face = 'bold',size = 15))Example03 of ggcorrplot好了，以上就是ggcorrplot包绘制的基本情况(基本上重要的参数设置都介绍完了)。
Matlab例题汇总：【例2-4】两个矩阵分别为[1 2 3;4 5 6;7 8 9]和[1 1 1;2 2 2;3 3 3]，求两者相加的和。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[1 1 1;2 2 2;3 3 3];c=a+b【例2-5】两个矩阵分别为[1 2 3;4 5 6;7 8 9]和[1 1 1]，阶数不同，求两者相减的差。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[1 1 1];c=a-b【例2-6】两个矩阵相乘，矩阵a为，矩阵b为，分别计算c=a*b和d=b*a。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[1 2 3];c=a*b% 将第三句c=a*b改成d=b*a，再运行一次% 【例2-7】两个数组相乘，数组a为，数组b为，求两数组的乘法。
% 在命令窗口输入两数组，计算c=a.*b：a=[1 2 3];b=[4 5 6];c=a.*b% 【例2-8】两个矩阵相除，矩阵a和b均为3×3阶矩阵。
a=rand(3)b=rand(3)c=a/bd=b\a% 【例2-9】数组a为，数组b为，求两数组的除法。
a=[1 2 3];b=[4 5 6];c=a.\bc=b./a% 【例2-10】矩阵a为[1 2;3 4]，求它的1.5次幂。
a=[1 2;3 4];c=a^1.5% 【例2-11】数组a为[1 2 3]，数组b为[4 5 6]，求数组的幂c=a.^b。
a=[1 2 3];b=[4 5 6];c=a.^b% 【例2-12】数组a为[1 2 3]，求数组的幂c=a.^2。
a=[1 2 3];c=a.^2% 【例2-13】数组a为[1 2 3]，求数组的幂运算c=2.^a。
a=[1 2 3];c=2.^a% 【例2-14】矩阵a为[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，计算a的转置。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];c=a'% 【例2-15】矩阵a为[1+2i 3+4i]，计算a的转置。
第9章 矩阵一、填空题⒈ 两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .⒉ 设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X .⒊ 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 .4．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131A ，则A I 2-= . 5．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆.6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a = ，b = 时，A 是对称矩阵.7．当λ= 时，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λ42045114321的秩最小.二、单项选择题⒈设B A ,为两个n 阶矩阵，则有（ ）成立.A . 22))((B A B A B A -=-+ B . TT T A B AB =)( C . T T T A B B A -=-)( D . )(2B A A BA A +=- ⒉ 下列说法正确的是（ ）.A . 0矩阵一定是方阵B . 可转置的矩阵一定是方阵C . 数量矩阵一定是方阵D . 若A 与A T可进行乘法运算，则A 一定是方阵 ⒊ 设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.A . IB + B . 1+BC . BD . ()I AB --1⒋ 设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）A .kA -1B . 11kA n - C . --kA 1D . 11k A -5．设A 是4阶方阵，若秩3)(=A ，则（ ）.A . A 可逆B . A 的阶梯阵有一个0行C . A 有一个0行D . A 至少有一个0行6. 设B A ,为同阶方阵，则下列说法正确的是（ ）.A .若0=AB ，则必有0=A 或0=B B .若0≠AB ，则必有0≠A ,0≠BC .若秩0)(≠A ,秩0)(≠B ，则秩0)(≠ABD . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B 三、解答题⒈ 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I T)2(-.⒉ 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=653312B ，求解矩阵方程TB AX =. ⒊ 若A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1253140132，求A . ⒋ 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=12412116030242201211A 的秩 ⒌ 已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B .6. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，AA I T=，证明A 是对称矩阵.答案及解答：一、填空题⒈ A 与B 是同阶矩阵 ⒉ A B I 1)(-- ⒊ m t n s ==, ⒋ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11655. 3≠6. 0, 37. 0 二、单项选择题⒈ B ⒉ C ⒊ A ⒋ D 5. B 6. B 三、解答题⒈ 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=142120311T A ，T2A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1421203111000100012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311所以， B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1103051 ⒉ 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=120001010830210411100010001012411210)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001， 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-211231241121A所以 TB A X 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=21123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-635132=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2132716956 3．因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-110021010210330041100010001231041352)(1I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110311430210300801⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→131320101313110043138001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→131********3201043138001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=311312121831A ⒋ 因为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=12412116030242201211A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→10030140300000001211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000040001403001211 所以，秩3)(=A .5. 证 因为)2(41)(41222I B B I B A ++=+=，且A A =2，即)(21)2(412I B I B B +=++， 得I B =2，所以B 是可逆矩阵，且B B =-1.6. 证 因为AI A ==T T IA AAA ==TA 所以A 是对称矩阵.论碎石垫层在振冲碎石桩复合地基中的必要性The discussion about the necessity of broken stone cushion for the composite ground with vibro replacement stone column蓝冰(广东有色地质勘查局932队韶关 512026)文摘本文通过对复合地基受力性状的分析，结合实际施工经验和处理检测结果，全面论述了碎石垫层在复合地基中的必要性。
