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第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
1.什么是矩阵图20世纪末，有一部非常有名的科幻电影《The Matrix》。
《The Matrix》三部曲展现的是，人们所生活的世界是由一个巨大的计算机智能“矩阵”控制的虚拟世界，一切看似“真实”的信息由其创造并传播，人类为了Freedom与“矩阵”Fight。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。
当前非常热门的计算机领域，如机器学习、人工智能、神经网络都是基于矩阵形成的算法。
可以预见的是，通过计算机技术的应用，以质量知识库等为基础，质量管理也将向智能化进化。
矩阵在组织管理中有很多应用，比如风险评估矩阵、概率影响矩阵、道斯矩阵(SWOT分析)、职责分配矩阵RAM(RACI)、散点图矩阵、相关性矩阵、优先级矩阵、波士顿矩阵等，使用这些矩阵可以更有效和高效进行战略决策、质量管理、项目管理和持续改进等，矩阵图则是质量管理人员常用的QC新七种工具之一。
矩阵图，是从需要分析的事项中找出成对的因素组，分别排成行和列，找出行与列交叉点的关系或相关性的大小，从而探讨问题点的一种方法。
矩阵图可以展现2组或2组以上成对因素间的关系，同时能获得更多的相关性信息，其特点如下：(1)分析成对的影响因素，方便做多元性评估；(2)成对因素之间的相关性清晰明了，便于确定重点；(3)可根据多元性评估，将潜伏的各项因素找出来；(4)在系统图、关联图、亲和图等手法已分析至极限时，可以结合使用矩阵图。
例如时间管理四象限法，实际上就可以看作是按照“紧急”和“重要”2组成对因素（时间组：紧急/不紧急是一组，重要程度组：重要/不重要为另一组）组成的矩阵图，只不过是更加清晰地放在二维坐标轴的四个象限里而已。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素。
矩阵数据分析法矩阵数据分析法(Matrix Data Analysis Chart )，它是新的质量管理七种工具之一矩阵图上各元素间的关系如果能用数据定量化表示，就能更准确地整理和分析结果。
这种可以用数据表示的矩阵图法，叫做矩阵数据分析法。
在QC新七种工具中，数据矩阵分析法是唯一种利用数据分析问题的方法，但其结果仍要以图形表示。
数据矩阵分析法的主要方法为主成分分析法 (Principal component analysis )，利用此法可从原始数据获得许多有益的情报。
主成分分析法是一种将多个变量化为少数综合变量的一种多元统计方法。
矩阵数据分析法，与矩阵图法类似。
它区别于矩阵图法的是：不是在矩阵图上填符号，而是填数据，形成一个分析数据的矩阵。
它是一种定量分析问题的方法。
目前，在日本尚广泛应用，只是作为一种储备工具”提岀来的。
应用这种方法，往往需求借助电子计算机来求解。
［编辑］矩阵数据分析法的原理在矩阵图的基础上，把各个因素分别放在行和列，然后在行和列的交叉点中用数量来描述这些因素之间的对比，再进行数量计算，定量分析，确定哪些因素相对比较重要的。
［编辑］矩阵数据分析法的应用时机当我们进行顾客调查、产品设计或者其他各种方案选择，做决策的时候，往往需要确定对几种因素加以考虑，然后，针对这些因素要权衡其重要性加以排队，得岀加权系数。
譬如，我们在做产品设计之前，向顾客调查对产品的要求。
利用这个方法就能确定哪些因素是临界质量特性。
［编辑］和其他工具结合使用1.可以利用亲和图(affinity diagram )把这些要求归纳成几个主要的方面。
然后，利用这里介绍进行成对对比，再汇总统计，定量给每个方面进行重要性排队。
2.过程决策图执行时确定哪个决策合适时可以采用3.质量功能展开。
两者有差别的。
本办法是各个因素之间的相互对比，确定重要程度；而质量功能展开可以利用这个方法的结果。
用来确定具体产品或者某个特性的重要程度。
第二章 矩阵应用例子矩阵的概念是从大量各种各样的实际问题中抽象出来的，是最基本的数学概念之一.矩阵概念贯穿线性代数的各方面，许多问题的数量关系都可以通过矩阵来描述，因而矩阵是科学研究的一个非常重要的工具.它在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用. 本章主要列举了矩阵在经济、统计、信息技术等方面的应用.例1 生产成本某工厂生产三种产品. 它的成本分为三类. 每一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量. 同时给出每季度生产每种产品数量的估计. 这些估计在表2-1和表2-2中给出. 该公司希望在股东会议上用一个表格展示出每一季度三类成本中的每一类成本的数量：原料费、工资和管理费.表2-1 生产单位产品的成本（美元）成 本 产 品A B C 原料费 工资管理费和其他0.10 0.30 0.10 0.30 0.40 0.200.15 0.25 0.15表2-2 每季度产量产 品 季 度夏季 秋季 冬季 春季 A B C4 000 2 0005 8004 500 2 600 6 2004 500 2 400 6 0004 000 2 200 6 000解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.0.100.300.150.300.400.250.100.200.15M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及400045004500400020002600240022005800620060006000P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦如果我们构造乘积MP ，则MP 的第一列表示夏季的成本.原料费： (0.10)(4000)(0.30)(2000)(0.15)(5800)1870++= 工资： (0.30)(4000)(0.40)(2000)(0.25)(5800)3450++= 管理费和其他：(0.10)(4000)(0.20)(2000)(0.15)(5800)1670++=MP 的第二列表示秋季的成本.原料费： (0.10)(4500)(0.30)(2600)(0.15)(6200)2160++=工资： (0.30)(4500)(0.40)(2600)(0.25)(6200)3940++=管理费和其他：(0.10)(4500)(0.20)(2600)(0.15)(6200)1900++=MP 的第三列和第四列表示冬季和春季的成本.187021602070196034503940381035801670190018301740MP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦MP 第一行的元素表示四个季度中每一季度原料的总成本. 第二和第三行的元素分别表示四个季度中每一季度工资和管理的成本. 每一类成本的年度总成本可由矩阵的每一行元素相加得到. 每一列元素相加，即可得到每一季度的总成本. 表2-3汇总了总成本.表2-3季 度夏季 秋季 冬季 春季 全年 原料费工资管理费和其他 总计1 870 3 450 1 670 6 9902 1603 940 1 900 8 0002 0703 810 1 830 7 7101 960 3 580 1 740 7 2808 060 14 780 7 140 29 980例2 生态学：海龟的种群统计学管理和保护很多野生物种依赖于我们模型化动态种群的能力. 一个经典的模型化方法是将物种的生命周期划分为几个阶段. 该模型假设每一阶段种群的大小仅依赖于雌性的数量，并且每一个雌性个体从一年到下一年存活的概率仅依赖于它在生命周期中的阶段，而并不依赖于个体的实际年龄. 例如，我们考虑一个4个阶段的模型来分析海龟的动态种群. 在每一个阶段，我们估计出1年中存活的概率，并用每年期望的产卵量近似给出繁殖能力的估计. 这些结果在表2-4中给出. 在每一阶段名称后的圆括号中给出该阶段近似的年龄.表2-4 海龟种群统计学的4个阶段阶段编号描述（年龄以年为单位） 年存活率 年产卵量 12 3 4卵、孵化期（<1）幼年和未成年期（1~21） 初始繁殖期（22） 成熟繁殖期（23~54）0.67 0.74 0.81 0.810 0 127 79若i d 表示第i 个阶段持续的时间，i s 为该阶段每年的存活率，那么在第i 阶段中，下一年仍然存活的比例将为111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（1） 而下一年转移到第1i +个阶段时，可以存活的比例应为(1)1i id i i i d i s s q s -=- （2） 若令i e 表示阶段(2,3,4)i i =1年中平均的产卵量，并构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3） 则L 可以用于预测以后每阶段海龟的数量. 形如（3）的矩阵称为莱斯列（Leslie ）矩阵，相应的种群模型通常称为莱斯利种群模型. 利用表1给出的数字，模型的莱斯利矩阵为0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦假设初始时种群在各个阶段的数量分别为200 000，300 000，500和1 500. 若将这个初始种群数量表示为向量0x ，1年后各个阶段的种群数量可如下计算：1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x （上述结果已经四舍五入到最近的整数了.）为求得2年后种群数量向量，再次乘以矩阵L .2210L L ==x x x一般地，k 年后种群数量可通过计算向量0k k L =x x 求得. 为观察长时间的趋势，我们计算102550,,x x x . 结果归纳在表2-5中. 这个模型预测，繁殖期的海龟数量将在50年后减少80%.表2-5 海龟种群预测阶段编号初始种群数量10年 25年 50年 1 2 3 4200 000 300 000500 1 500114 264 329 212214 1 06174 039 213 669139 68735 966 103 79568 334例3 密码问题在密码学中，称原来的消息为明文，经过伪装了的明文则成了密文，由明文变成密文的过程称为加密. 由密文变成明文的过程称为译密. 明文和密文之间的转换是通过密码实现的.在英文中，有一种对消息进行保密的措施，就是把消息中的英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数. 如~A Z 的26个英文字母与1~26的数字一一 对应.例如，发送“SEND MONEY ”这九个字母就可用[19，5，14，4，13，15，14，5，25]这九个数来表示. 显然5代表E ，13代表M ，…这种方法很容易被破译. 在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，往往可以大体估计出它所代表的字母. 例如，出现频率特别高的数字很可能对应出现频率特别高的字母.我们可以用矩阵乘法对这个消息进一步加密. 假如A 是一个对应行列式等于1±的整数矩阵，则1A -的元素也必定是整数. 可以用这样一个矩阵对消息进行变换，而经过这样变换的消息是较难破译的. 为了说明问题，设100315,201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A则11001315.201-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A把编了码的消息组成一个矩阵194145135,141525⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B乘积10019414194143155135132100172.2011415252473⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB所以，发出去的消息为[19，132，24-，4，100，7，14，172，3-]. 这与原来的那组数字不大相同，例如，原来两个相同的数字5和14在变换后成为不同的数字，所以就难于按照其出现的频率来破译了. 而接收方只要将这个消息乘以1-A ，就可以恢复原来的消息.100194141941413151321001725135.2012473141525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 要发送的信息可以按照两个或三个一组排序，如果是两个字母为一组，那么选二阶可逆矩阵，如果是三个字母为一组，则选三阶可逆矩阵. 在字母分组的过程中，如果最后一组字母缺码，则要用Z 或YZ 顶位.。
质量⼯具之矩阵解析法1. 什么是矩阵解析法前⾯我们有⼀篇⽂章专门写矩阵图的⽂章，对矩阵解析法（Matrix Data Analysis Chart）也进⾏了简单介绍。
矩阵图上各元素间的关系，如果能⽤数据定量化表⽰，就能更准确地整理和分析结果。
这种可以⽤数据表⽰的矩阵图法，叫做矩阵数据解析法或矩阵数据分析法，简称矩阵解析法。
矩阵解析法⽤于确定各对策措施的优先顺序时，也叫优先顺序矩阵法（Prioritization Matrices）。
矩阵解析法是从矩阵图法演化⽽来，它区别于矩阵图法的是：不是在矩阵图上填符号，⽽是填数据，形成⼀个分析数据的矩阵，从⽽量化各要素间的相关性，进⼀步了解问题与⼿段或⽅法与对策间的相互关系。
矩阵解析法是⼀种定量及半定量的分析问题的⽅法，是⼀种多变量的统计⽅法，计算较复杂，⼀般⽤计算机进⾏计算。
常见的统计分析软件及电⼦办公软件中的表格软件都可以⽀持矩阵数据分析法的数据分析计算。
在QC新七种⼯具中，矩阵解析法是唯⼀⼀种利⽤数据分析问题的⽅法，其结果仍要以图形表⽰，适⽤于复杂多变且需要解析的案例，是⼀种在质量管理专业领域中较复杂的⽅法。
可以预见，随着计算机技术的进步，在质量管理软件中将会获得越来越⼴泛的应⽤。
2. 矩阵解析法的原理要想阐述清楚矩阵解析法的原理，⾸先要详细说⼀下”主成分分析法“。
矩阵解析法的主要⽅法为主成分分析法（Principal component analysis，PCA），⼜称主分量分析法或主成分回归分析法，是⼀种统计⽅法，其通过正交变换将⼀组可能存在相关性的变量转换为⼀组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。
2.1什么是主成分分析法主成分分析⾸先是由K.⽪尔森（Karl Pearson）对⾮随机变量引⼊的，后来H.霍特林将此⽅法推⼴到随机向量的情形，信息的⼤⼩通常⽤离差平⽅和或⽅差来衡量。
在实证问题研究过程中，为了全⾯、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
