重庆市梁平区2021届高三上学期第一次调研考试数学试题

重庆市高2025届高三第一次质量检测数学试题（答案在最后）2024.9一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.不等式()()2110x x +-≥的解集为（）A.1{|2x x ≤-或1}x ≥ B.1{|2x x ≤-或1}x >C.1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集.【详解】()()2110x x +-≥的解为12x ≤-或1x ≥，故解集为：1{|2x x ≤-或1}x ≥，故选：A.2.集合{}1,1A a =+，{}0,,5B a a =-+，若A B A ⋂=，则a 为（）A.1B.1-C.4- D.1-或4-【答案】B 【解析】【分析】根据A B A = 可得A B ⊆，故求a 的值.【详解】因为A B A = ，故A B ⊆，故10a +=或1a a +=-，若1a =-，此时{}{}0,1,0,1,4A B ==，满足A B ⊆，若1a a +=-即12a =-，此时1191,,0,,222A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，不满足A B ⊆，故选：B.3.命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为（）A.(),0,e 20xx ax ∃∈-∞-≥ B.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥C.()0,,e 20x x ax ∃∈+∞-> D.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-<【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥.故选：B4.随机变量()2,4N ξ ，13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()()D D ξη=B.()()E E ξη=C.()122P ξ≤=D.()112P η==【答案】C 【解析】【分析】根据二项分布和正态分布的期望和方差公式可判断AB 的正误，根据正态分布的对称性可判断C 的正误，根据二项分布的概率的公式可判断D 的正误.【详解】对于AB ，()()132,322E E ξη==⨯=，故()()E E ξη≠，()()1134,3224D D ξη==⨯⨯=，故()()D D ξη≠，故AB 错误；对于C ，根据正态分布的对称性可得()122P ξ≤=，故C 正确；对于D ，()131131C 248P η==⨯⨯=，故D 错误；故选：C.5.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.01；而把365(11%)-看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的约（）（参考数据：lg0.990.004,lg1.010.004,lg832 2.92≈-≈≈）A.99倍B.101倍C.292倍D.832倍【答案】D 【解析】【分析】直接计算36536521.010.99lg 2.9≈，根据所给数值求解.【详解】()365365365365l 91.01 1.010.99 1.010.90.99g lg lg 365lg lg =-=-().101365lg lg 29929=-≈，故936536252.108321.010.99=≈.故选：D6.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.48B.12C.18D.36【答案】D 【解析】【分析】对6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有()4133236⨯⨯+⨯=种.故选：D7.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（）A.()0,e 1- B.1e 1e ,56--⎛⎫⎪⎝⎭C.e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D.1e 1e ,46--⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意，推得函数()f x 图象关于直线1x =对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.【详解】由1+=1−可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且o2+p =o −p ，因()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，故有(2)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.又当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，故可作出函数()f x 的图象如图.由关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，可理解为()y f x =与(1)y m x =+恰有5个交点.而这些直线恒过定点(1,0)P -,考虑直线与()f x 相交的两个临界位置(3,1e),(5,1e)A B --,由图知，需使PA PB k m k <<，即1e 1e46m --<<.故选：D .【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.8.已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a -+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（）A.e ,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.1,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C.e ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解.【详解】()()()22222e e 21e -+-+-+''=+-++=-+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =-++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =，则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==-a x x x x ，而2e 0xax-+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =，于是()f x 的最大值()22222e -+==x ax m f x x ，最小值()21111e -+==x ax n f x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e--+++-++++===-a x x ax axx x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a-∈-+∞，2141e ,e -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭a ，则2141e,212e -⎛⎤∈-∞- ⎥⎝-⎦a ，所以mn 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.9.若2024220240122024(23)x a a x a x a x -=++++ ，则下列选项正确的有（）A.202402a =B.01220241a a a a +++= C.2024202432024122320241222222a a a a ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭D.1232023202423202320246072a a a a a +++++= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值判断AC ，去绝对值后，赋值判断B ，两边求导后，再赋值，判断D.【详解】A.令0x =，得202402a =，故A 正确；B.01220240122024......a a a a a a a a ++++=-+-+，令令展开式中的1x =-，得20240122024 (5)a a a a -+-+=，故B 错误；C.令展开式中的12x =，得2024320241202320241...22222a a a aa ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以2024202432024122320241...222222a a a a⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭，故C 正确；D.展开式的两边求导，得()20232202220231232023202432024232320232024x a a x a x a x a x -⨯-=++++，令1x =，得1232023202423...202320246072a a a a a +++++=，故D 正确.故选：ACD10.下列选项正确的有（）A.当()02x ∈，时，函数222y x x -=+的最小值为1B.()1x ∈-∞，，函数31y x x =+-的最大值为-C.函数2y =的最小值为2D.当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为32+【答案】AD 【解析】【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A ，根据基本不等式判断BC ，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D.【详解】A.()222211y x x x =-+=-+，()02x ∈，，当1x =时，函数去掉最小值1，故A 正确；B.33111111y x x x x =+=-++≤-=---，当311x x -=-，1x <，得1x =31y x x =+-的最大值为1-，故B 错误；C .22y ==2t =≥，则1y t t =+在区间[)2,+∞单调递增，当2t =时，1y t t =+取得最小值52，所以函数2y =的最小值为52，故C 错误；D.若2a b ab +=，则112a b+=，则()11131231322222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2b aa b=时，即12a +=，24b =时，等号成立，所以2+a b 的最小值为32+，故D 正确.故选：AD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，且满足()()60f x f x +-=，2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31f '=-，()()231g x f x =--，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x '的周期为4B.函数()g x '的图象关于点()1,1-对称C.()y f x x =-的图象关于直线=2对称D.数列(){}g n '的前2024项之和为4048-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件可得()()60f x f x ''--=、()()42f x f x ''+-=，故可求函数′的周期为4，故可判断A 的正误，利用反证法可判断B 的正误，根据()()42f x f x ''+-=可得()()424f x f x x --=-，故可判断C 的正误，计算出()()()()12348g g g g ''''+++=-后可判断D 的正误.【详解】因为()()60f x f x +-=，所以()()60f x f x ''--=，而2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()42f x f x ''+-=，故()()462f x f x ''-+-=即()()22f x f x '+'+=，故()()242f x f x ''+++=，故()()4f x f x +'='，故函数′的周期为4，故A 正确；又()()23g x f x ''=--，而()()122g f =-''，而()()222f f ''+=即()21f '=，故()12g '=-，若()g x '关于()1,1-对称，则()11g '=-，矛盾，故B 错误.因为()()42f x f x ''+-=，故()()42f x f x x c --=+，故()()224f f c ''-=+即4c =-，故()()4(4)f x x f x x -=---故()y f x x =-的图象关于直线=2对称，故C 正确.因为′的周期为4，故()g x '的周期也是4，而()()22f x f x '+'+=，故()()022f f ''+=，故()()()()1322204g g f f '''-'+=-=-，因为()31f '=-，故()()0232g f ''=-=，故()42g '=，又()()132f f ''+=，故()13f '=，故()()2216g f ''=-=-，故()()()()12348g g g g ''''+++=-，故数列(){}g n '的前2024项和为()2024840484⨯-=-，故D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：根据抽象函数的单调性我们可得到该函数的周期性及导函数的周期性、对称性等，性质讨论的方法是变换的思想.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____【答案】13【解析】【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可.【详解】2πππ1sin sin παsin 3333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：13.13.若221919C C mm -=，则33345C C C m +++ 的值为______【答案】69【解析】【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m ，再计算组合数即可.【详解】因为221919C C mm -=，所以22m m =-或2219m m +-=，解得2m =或7m =,因为33345C C C m +++ ，所以3m ≥,可得7m =,所以3333333454567C C C =C C C C 410203569m ++++++=+++= .故答案为：69.14.函数2e 12()e 21x x xh x -=++，不等式()22(2)2h ax h ax -+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是_____【答案】[]2,0-【解析】【分析】由解析式得出()()2h x h x +-=，令()()1f x h x =-，得()f x 为奇函数，再利用导数得出()f x 的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可．【详解】因为2e 122()e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以22222()()e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-==++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，可得()f x 为奇函数，又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫''=+-=+-=+ ⎪+⎝⎭+++，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222xx ≤=++，当且仅当122xx =，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-，故答案为：[]2,0-．【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出()()2h x h x +-=，构造()()1f x h x =-是解题关键．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知函数()eln f x x x=+（1）求=op 在()()1,1f 处的切线方程；（2）求=在1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【答案】（1）()1e 2e 1y x =-+-（2）2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再求函数的最小值.【小问1详解】()eln f x x x=+，()1e f ∴=，且()21ef x x x'=-，()11e f '∴=-，切线方程为：()()e 1e 1y x -=--，即()1e 2e 1y x =-+-；【小问2详解】()221e e x f x x x x-'=-=，当1,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0f x '<，()y f x =在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当()e,3x ∈，()0f x '>，()y f x =在()e,3上单调递增，()f x \在区间1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为()2f =e .16.我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p 和43p -，其中304p <≤，三组是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p 取何值时，第三组进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）49（2）分布列见解析，43【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可求当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.（2）根据二项分布可求X 的分布列和数学期望.【小问1详解】由题知：第三组通过初赛和复赛的概率2204424()3339p p p p p p ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，又因为3044013p p ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤-≤⎪⎩，所以1334p ≤≤所以，当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.【小问2详解】由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为224339⨯=.因为进入决赛的队伍数43,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()03341250C (19729P X ==⨯-=；()123443001001C (199729243P X ==⨯⨯-==；()22344240802C ()199729243P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭；()3334643C (9729P X ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为:X123P1257291002438024364729()1251008064401237292432437293E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时，求平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面法向量即可求得结果.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE .【小问2详解】PA ⊥ 平面ABCD ，A ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，A ，A ，AP 所在直线分别为x ，y ，z建立空间直角坐标系,如下图所示：则0,0,0，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，()()()2,0,0,1,1,1,2,2,0AB BE BD ==-=-，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =，则1111200n AB x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，解得10x =，令11y =，得11z =-，故平面ABE 的一个法向量为 =0,1,−1，设平面DBE 的法向量为()222,,m x y z =，则222222200m BD x y m BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ,解得20z =，令21x =，得21y =，故平面DBE 的一个法向量为()1,1,0m =，设平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角为θ，则1cos 2m nm nθ⋅=== ，所以平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小为π3.18.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23,22⎫-⎪⎝⎭且()0b c c =>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，1112AF BF ⋅= ，求1ABF 的面积.【答案】（1）2212x y +=（2）3.【解析】【分析】（1）代入点23,22⎛- ⎝⎭坐标并于b c =联立计算可得222,1a b ==，求出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出2m =±，再由弦长公式计算可得结果.【小问1详解】将,22⎛- ⎝⎭代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=，又因为b c =，所以222a b =，代入上式可得222,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；【小问2详解】由(1)可得()()12121,0,1,0,2F F F F -=，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，如下图所示：联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++，则()()1111221,,1,AF x y BF x y =---=---，所以()()1111221212121,1,1AF BF x y x y x x x x y y ⋅=------=++++()()()2221212122222221211142222m m m m y y my my y y m m m m =+++++++=----++++227122m m -==+，解得24m =，即2m =±，所以121221,36y y y y +=±=-，则1ABF 的面积()212121212110423S F F y y y y y y =-=+-=.19.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在=0处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x+++=+++ ，且满足：()()00f R =，()()00f R '='，()()()()()()0000m n m n f R f R ++'='''= .已知()()ln 1f x x =+在=0处的[]1,1阶帕德近似()1a bx R x cx+=+注：()()'''[]f x f x ='，()()'''[]f x f x ''='，()()()4'[]f x f x '''=，()()()()54'[]f x f x =，…（1）求a ，b ，c 的值；（2）比较()11x c f x ⎛⎫+⎪⎝⎭与的大小，并说明理由；（3）求不等式1211(1)e (1)x x x x++<<+的解集，其中e 2.71828=【答案】（1）102a b a c ===，，；（2）()11x c f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，理由见解析；（3）()0,∞+.【解析】【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可；（2）先化简换元令11t x+=，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明；（3）结合（2）结论应用单调性解不等式【小问1详解】因为()()()ln 11a bxf x x R x cx+=+=+，，()()()()()''''2232111(1)(1)(1)b ac c b ac f x R x f x R x x cx x cx ---==='-++'=++，，，()()00f R =，则()()000a f R '=='，，则1b ac =-，则1b =，()()()''''100122f R b ac c c =-=--=，，，所以1012a b c ===，，.【小问2详解】()111ln 12x c f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令11t x+=，则()()()()11ln 0,11,21t x c f t t x t ∞+⎛⎫+=∈⋃+⎪-⎝⎭，，令()()()()21ln 0,11,1t h t t t t ∞-=-∈⋃++，，ℎ'(p =1−4(r1)2=(K1)2or1)2>0，所以()h t 在()0,1单调递增，在()1,∞+单调递增，()()()0,1,10t h t h ∈<=，即()21ln 1t t t -<+，所以r12(K1)ln >1，∈(1,+∞),ℎ(p >ℎ(1)=0,ln >2(K1)r1，所以r12(K1)ln >1，综上，()11x c f x ⎛⎫+>⎪⎝⎭.【小问3详解】若要使12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则110x+>，即1x <-或>0，当121e 1xx +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，即ln 1+r 12>1,ln 1+>1，由（2）知上式成立，所以()(),10,x ∞∞∈--⋃+，当11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，当>0时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于11ln 111x x⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭，成立;当1x <-时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于ln 1>1+1−1，不成立，所以解集为()0,∞+.。

2021届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟考试数学（理）试题一、选择题1．复数满足，则复数在复平面上对应的点与点间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：的对应点坐标为，由两点间距离公式得，故选B【考点】复数的基本运算.2．已知集合为实数集，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由，得，即，又，故选D.【考点】集合的基本运算.3．将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的最小正周期为，故选B.【考点】三角函数的图象与性质.4．已知双曲线的离心率为，且点到其渐近线的距离为，则的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：渐近线的方程为，即，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，实轴长，故选D.【考点】双曲线的方程与性质.5．设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由指数函数性质知，由对数函数的性质得，，可化为；可化为，，故选A.【考点】指数函数与对数函数的性质.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：执行程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环，退出循环，输出，故选B.【考点】程序框图及循环结构.【点睛】本题主要考查程序框图及循环结构，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．若随机变量，则有如下结论（），一班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分，方差为，理论上说在分到分之间的人数约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，这名同学的数学成绩服从正态分布，分到分之间的人数为（人），故选C.【考点】正态分布的应用.8．定义在上的奇函数关于点对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：关于对称，，令，则①又是奇函数，相加，令，②由①②得，故选D.【考点】函数的解析式及函数的奇偶性.9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：个不同的球装入个不同的盒子共有（种）方法，至少一个盒子为空的方法共有，四个球分为两组有两种方法，若两组每组有两个球，不同分组的方法有种，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，若一组为，一组为个球，不同的分组方法有种，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，综合两种情况，恰有两个盒子不放球的不同方法是种，所以恰有两个盒子为空的的概率为，故选A.【考点】排列组合及古典概型概率公式.10．的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B.【考点】二项式定理的应用.11．过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，若直线到圆相切，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，可得，化为，同理方程为，设，则有，说明都在在直线上，即方程，又与圆相切，，可化为点轨迹方程为，故选A.【考点】利用导数求切线方程、直线与抛物线的位置关系及轨迹方程的求法.【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程、直线与抛物线的位置关系及轨迹方程的求法，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示，在同一坐标系内画出的图象，由图象可知，在上，恒成立，即，当且仅当或时等号成立，，设，则等价于，即，，再设，原不等式可化为，即，而，，故选A.【考点】函数的图象与性质、三角函数的性质及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质、三角函数的性质及不等式恒成立问题.，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围的.二、填空题13．中，为边的中点，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，又因为为的中点，所以，故答案为.【考点】向量的几何运算.14．已知实数满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】画出约束条件表示的可行域，如图，就是可行域内的点与点连线的斜率，由得直线交点为，当在点时，有大值，的最大值为，故答案为.15．（原创）中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：由，得，，，故答案为.【考点】余弦定理、诱导公式及二倍角的正切公式.【方法点睛】本题主要考查余弦定理、诱导公式及二倍角的正切公式，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．【答案】【解析】试题分析：，，，…可归纳：当为奇数时，；当为偶数时，，故答案为.【考点】归纳推理、数列的递推公式及新定义问题.三、解答题17．已知的展开式中各项的二项式系数和为，第二项的系数为.（1）求，（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用二项式系数的定义可得根据二项式定理可得第二项为，从而可得系数为；（2）由（1）可知知根据错位相减法可得结果.试题解析：(1)；（2）由（1）知所以①，②②-①可得，可得.【考点】二项式定理的应用、等比数列求和公式的应用及错位相减法求和.【方法点睛】本题主要考查二项式定理的应用、等比数列求和公式的应用及错位相减法求和.，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18．（原创）在中，角所对的边分别为，且.（1）证明：成等比数列；（2）若的外接圆半径为，且，求的周长.【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得再根据两角和正弦公式、三角形内角和定理及诱导公式可得，从而，进而得结论；（2）由可求得角的值，结合外接圆半径为，利用正弦定理可得，在利用余弦定理可得的值，从而可得结果.试题解析：（1）证明，则，所以，所以成等比数列；（2），，所以的周长为.【考点】正弦定理、余弦定理及等比数列的定义.19．为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.节排器等级及利润如表格表示，其中，（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；②从长期来看，哪种型号的节排器平均利润较大？【答案】（1）；（2）①分布列见解析；期望为；②投资乙型号节排器的平均利润率较大. 【解析】试题分析：（1）根据排列组合知识及古典概型概率公可得结果；（2）①由频率分布直方图中可知乙型号节排器中的二级品的概率为，再根据独立重复试验次发生次的概率公式可得分布列，从而可求得其期望，②比较甲乙两种不同型号的节排器利润的平均值（期望值），即可得结论.试题解析：（1）；（2）（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为，且，所以,,所以的分布列为所以数学期望（或）.②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大.【考点】古典概型概率公式及离散型随机变量的分布列与期望.20．已知椭圆的左右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被和圆截得的弦长分别为和.（1）求和的方程；（2）直线过且与不相交，直线过且与平行，若交于,交交于，且在轴上方，求四边形的面积的取值范围.【答案】（1）和的方程分别为；（2）．【解析】试题分析：（1）根据已知，由椭圆的通径、勾股定理求得的圆的弦长列出关于的方程组，可解的的值，从而可得结果；（2）设，由，得根据韦达定理，结合椭圆的几何性质将面积表示为关于的函数，根据单调性求函数值域即可.试题解析：（1）由得，所以和的方程分别为.（2）由题意，的斜率不为，设，由，得，得，由，得，，与间的距离为，由椭圆的对称性，为平行四边形，,设，.【考点】椭圆、圆及抛物线的标准方程及椭圆与直线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查椭圆、圆及抛物线的标准方程、椭圆与直线的位置关系及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调性法求四边形范围的.21．设函数.（1）若函数的图象与直线相切，求的值；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求出，设切点为，则有，结合导数的知识可求得的值；（2）构造函数，所以，根据单调性可得，从而可证时，及，进而可得结论.试题解析：（1），设切点为，则切线为，即，又切线为，所以，消，得，设，易得为减函数，且，所以（2）令，所以，当时，，函数在为单调递增；当时，，函数在为单调递减；所以，当时，即时，，即，故时，在上单调递增，所以时，，即，所以，①因为，所以，所以，即，②①+②得：，故当时，.【考点】导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及证明不等式. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线为参数，与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线与圆的极坐标方程；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由直线的参数方程可得直角坐标方程，进而得极坐标方程，将圆的标准方程化为普通方程，利用即可得极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义.试题解析：（1）直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为；（2），代入，得，显然，所以的最大值为.【考点】参数方程化为普通方程及直角坐标方程化为极坐标方程.23．选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求的最小值；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用绝对值基本不等式得结果；（2）有解等价于有解，只需求出时的最小值与的最大值即可.试题解析：（1）当时，，当且仅当时，取等号.（2）时，，因为时的最小值为，的最大值为，所以，又因为，所以.【考点】基本不等式求最值及绝对值不等式的解法.。

1． 已知集合{1 2 3 4 5}A 2024年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

，，，，，2{|211120}B x x x ，则A BA ．{1 2}，B ．{2 3}，C ．{3 4}，D ．{4 5}，2． 已知复数i z a b ，若i z z ，则 A ．0a bB ．0a bC ．0abD ．1ab3． 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 a b ，可以分别大致反映这组数据的 A ．平均数，中位数 B ．平均数，众数C ．中位数，平均数D ．中位数，众数4． 若24cos sin(2)2 ，则tan 2A ．2B ．12C ．1D ．25． 在经济学中，常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic 模型：0.970.1270.970.127e ()1exxP x ，其中x 是客户年收入（单位：万元），()P x 是按时还款概率的预测值．如果某人年 收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3 ）A ．0.35B ．0.46C ．0.57D ．0.686． 已知()ln(1)ln()f x x a bx 是奇函数，则()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为A ．2y xB ．y xC ．0yD ．2y x7． 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD （如图），1BC ，将其沿BD 折起，使得面ABD 面BCD ，若三棱锥A BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．2B ．73C ．83D ．38． 已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y ，(1)4f 且当0x 时，()2f x ，若存在[1 2]x ，，使得2(4)(2)1f ax x f x ，则a 的取值范围是BCDA6045A ．1(0 ]2，B ．15[ ]28，C ．52[ ]83，D ．12[ ]23，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合，，则集合（）A．B． C． D．2．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 54．已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B. C. D.6．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为( ）A．B．C．D．8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和选做题两部A B C D P ME O 1O 2分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9．若,则的值是 .10. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .11.若把英语单词“error ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 12.若等比数列的各项均为正数，且，则 .13.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O 2的半径为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值． 17．（本小题满分13分）为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”． (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．18. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ)若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列中，，前项和．(Ⅰ)设数列满足，求与之间的递推关系式；(Ⅱ)求数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．(Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数（为常数，）（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求正实数的取值范围.xx~xx学年广州六中高三理数第一次测验卷答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A C C B D二、填空题：（一）必做题（9～13题）9．10．11．19 12. 12 13.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．15．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题满分12分）解：17．（本小题满分13分）解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75. ------------2分(2)这是一个古典概型，设至少有2人是“好视力”记为事件A，---------3分则事件A包含的基本事件个数为：----------5分总的基本事件个数为：-----------6分--------------------7分（3）X的可能取值为0,1,2,3. -------------------8分由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，)．P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝××()2＝，P(X＝2)＝×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，------------------12分X 0 1 2 3P故X的数学期望E(X)＝3×＝.------------------13分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，--------1分因，则---------2分由平面侧面，且平面侧面，---------3分得，又平面，所以. -------- 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以. ------ 5分又，从而侧面，又侧面，故. -------6分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则 ------7分在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，∴ --------8分过点A作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角 --------9分且直角中：，又，∴，-------11分且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为 ----13分解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，----------------8分设平面的一个法向量，由，得：令，得，则 ------9分设直线与所成的角为，则得，解得，即 -------10分又设平面的一个法向量为，同理可得，-----11分设锐二面角的大小为，则，且，得∴锐二面角的大小为. ------------13分19.解： （1） ∵ ∴ ∴ ----------4分整理得， 等式两边同时除以得 ， ----7分 即 -------8分 6．由（1）知即 所以112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 111111113112232n n n n n n =-+-+-++-+-----得 ---------14分20. 解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分 ．，由，得． …3分设点的坐标为，由，有，代入，得． …………………………5分 （2）(法一)设直线的方程为，、， 则，． ………………………………6分 由，得， 同理得．…………………………8分②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． …………………………………10分由，得，．……………………11分则．…………………………13分因此，的值是定值，且定值为．…………………………………14分21.解：axaaxaxaxaxaxf+--=-++=1)22(22212121)('2…………1分（Ⅰ）由已知，得且，………2分----3分（Ⅱ）当时，02)1)(2(22212222≤+-=--=--aaaaaaaa………4分当时，又………5分29468 731C 猜up39376 99D0 駐+34380 864C 虌38036 9494 钔30446 76EE 目&H22493 57DD 埝21516 540C 同32316 7E3C 縼31870 7C7E 籾2。

2021年高三第一次调研考试（数学文）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=（）A．［0,2］ B．［1,2］ C．［0,4］ D．［1,4］2．化简（）A．1+2i B． 1–2i C．2+i D．2–i3．如果点P位于第三象限，那么角所在的象限是：（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．原命题：“设、、，若则”的逆命题、否命题、逆否命题真命题共有：（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．已知平面向量，且∥，则实数的值等于：（）A．或B．C．或D．Array 6．等差数列中，，那么的值是：（）A．12 B．24 C ．16 D．7．如图，该程序运行后输出的结果为 ( )A．1 B．10 C ．19 D．288．如果椭圆上一点P到它的右焦点是3，那么点P到左焦点的距离为：（）A.5B.1C.15D.89．某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为：（）A．40：41 B．41：40 C．2 D．110．设奇函数f (x)在[—1，1]上是增函数，且f (—1)= 一1x∈[一1．1]都成立，则当a∈[1，1]时，t的取值范围是A．一2≤t≤2 B．≤t≤C．t≤一2或t = 0或t≥2 D．t≤或t=0或t≥二、填空题：(每小题5分，共20分)11、过曲线上一点的切线方程是____________________12、规定记号“”表示一种运算，即，若，则的值为；13、设，，是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若，，则；②若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线； ③若和相交，和相交，则和也相交； ④若和共面，和共面，则和也共面． 其中真命题的个数是________个 14、下列两道题任选一道题做：（1）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙O 上一点，弧，交于点，且， 则_________（2）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、， 是原点，则四边形的面积的最大值是_________三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差，前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）求证：16．（本小题满分12分）将、两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？17、（本小题满分14分）已知，， （1）若，求的解集； （2）求的周期及增区间．18．（本小题满分14分）如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点， （1）求证：面； （2）求证：面；（3）求面与面所成二面角的大小．19．（本小题满分14分）若函数，当时，函数有极值， （1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．20．（本小题满分14分）如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于A BC DA 1B 1C 1D 1FM原点的对称点．(1)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明 (2)设直线AB 的方程是x —2y+12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．惠州市xx 届高三第一次调研考试 数学试题参考答案（文科卷）一、 选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共20分）11、 12、113、0 14、（1）2 （2）三、解答题（共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15、解：（1）等差数列中，公差………………………………………………………4分 （2） ………………………………………………………6分 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=++++∴114313212112321n n b b b b n题号12345 6 7 8 9 10 答案 A B B C CBDADC⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413131212112n n …………………8分……………………………10分． ………………………………………………………12分16、解：（1）共有种结果； ………………………………………………………4分（2）共有12种结果； ………………………………………………………8分 （3）． ………………………………………………………12分17、解：（1）， ．………………………………………………………2分………………………………………………………4分 ………………………………………………………6分 或 或所求解集为 ………………………………………8分 （2）…………………………………………………………………10分 的增区间为………………………………………………………12分原函数增区间为 ………………………………………14分18、（1）证明：连结、交于点，再连结………………………………………………1分 且， 又， 且四边形是平行四边形，…………… 3分 又面面 ……………………………… 4分（2）证明：底面是菱形， ………… 5分 又面，面，面 ………………………………………………6分 又面 ………………………………………………8分（3）延长、交于点 ………………………………………………9分是的中点且是菱形A B CDA 1B 1C 1D 1FMOE又 ……………………………………………………10分 由三垂线定理可知为所求角 …………………………………………………………12分 在菱形中，…………………………………………………………14分19、解： …………………………………………………………2分（1）由题意： ……………………………………………………4分解得 …………………………………………………………6分所求解析式为（2）由（1）可得：令，得或……………………………………………8分 当变化时，、的变化情况如下表： —单调递增↗单调递减↘单调递增↗因此，当时，有极大值…………………9分当时，有极小值…………………10分函数的图象大致如图：……13分 y=k由图可知：………………………14分20、解(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为, 代入抛物线方程得： …………… ① …………………2分设A 、B 两点的坐标分别是（x 1,y 1）、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两根． 所以由点P （0，m ）分有向线段所成的比为， 得， 即…………………4分又点Q 是点P 关于原点的以称点， 故点Q 的坐标是（0，--m ）,从而),(),(2211m y x m y x QB QA +-+=-λλ=])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅= = = =0，所以…………………………………………………………………………7分(Ⅱ) 由得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（--4，4）． 由得，所以抛物线在点A 处切线的斜率为．……………………………………………9分 设圆C 的方程是，则 ……………………………………………………11分 解之得 .2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a ………………………………………13分 所以圆C 的方程是．………………………………………………14分 ~ ZFH~24487 5FA7 徧oH27974 6D46 浆22701 58AD 墭33694839E 莞21277 531D 匝40476 9E1C 鸜。

重庆市2021届高三上学期第一次预测性考试数学试题一、单选题。

本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1.设集合{}42≤=x x M ，集合{}2x 1≤≤=x N ，则N C M =（ ） A.{}12-＜x x ≤B.{}01-2-，，xC.{}-2x ≤xD.{}20＜＜x x2.若复数Z 满足2i )-1(=i Z ，则下列说法正确的是（ ） A.Z 的虚部为iB.Z 为实数C.2=ZD.i Z Z 2=+3.2020年4月20日重庆市高三年级迎来了开学工作，某校当天安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为n ，则满足不等式2)1(2-≤m m C n 的最小正整数m 的值为（ ） A.36B.42C.48D.544.《九章算术（卷第五）•商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”．译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈=10尺．） A.45000立方尺 B.52000立方尺 C.63000立方尺D.72000立方尺5.派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则)/(B A P （ ）A.92 B.31 C.94 D.95 6.某村准备将一块边长为2 km 的正三角形空地（记为△ABC ）规划为公园，并用一条垂直于BC 边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主．如图，x BC ∥轴，小路记为直线)20(＜＜m m x =，小路右侧为健身休闲区，其面积记为)(m f ，则函数)(m f S =的图像大致为（ ）A B C.D.7.已知BC 是圆4:22=+y x O 的直径，H 为直线4=+y x 上任意点．则HC ·HB 的最小值为（ ） A.4-22B.22C.4D.88.若函数0,)2()(2＞a x e a aex f x x--+=，若)(x f 有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A.()10，B.(]10，C.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e，1D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e，1二、多选题。

2021年高三上学期第一次质量检测数学理试题含解析【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、不等式、向量、三视图、导数的综合应用、圆锥曲线、数列、参数方程极坐标、几何证明、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件的关系等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1．已知集合，，则集合（）A．B． C． D．【知识点】集合的表示及集合的交集A1【答案解析】D解析：因为，所以{0,2}则选D.【思路点拨】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【知识点】复数的代数运算、复数的概念L4【答案解析】A解析：因为，所以的共轭复数是，则选A.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，掌握复数的代数运算法则是解题的关键.【题文】3. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 5【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】B解析：不等式组表示的平面区域为如图ABCD对应的区域，显然当动直线经过区域内的点A时目标函数的值最小，而A点坐标为(1,1)，则目标函数的最小值为1+2=3，所以选B.【思路点拨】正确的确定不等式组表示的平面区域是解题的关键.【题文】4．已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件、对数函数与指数函数的性质A2 B6 B7【答案解析】A解析：因为由得a＞b＞0，所以成立，若，因为a,b不一定为正数，所以不能推出，则选A.【思路点拨】判断充分条件与必要条件时，可先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B. C. D.【知识点】三视图G2【答案解析】C解析：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为，所以选C.【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键.【题文】6．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】C解析：因为直线与两坐标轴的交点分别为，所以c=2，b=1，a= ,则离心率为，所以选C.【思路点拨】因为椭圆的焦点与顶点都在坐标轴上，所以求出直线与坐标轴的交点，即可解答.【题文】7.已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为( ）A．B．C．D．【知识点】向量的数量积F3【答案解析】B 解析：因为向量与的夹角为120°,且,所以,则()()()()94310AP AC AB AB AC AC AB λλλ⋅-=+⋅-=---=,解得，所以选B.【思路点拨】掌握向量的数量积计算公式及向量的数量积的运算法则是本题解题的关键.【题文】8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】导数的综合应用B12【答案解析】D 解析：求导函数可得f′（x ）=3x 2-12x+9=3（x-1）（x-3），∴当1＜x ＜3时，f （x ）＜0；当x ＜1，或x ＞3时，f （x ）＞0，所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3），所以f （x ）极大值=f （1）=1-6+9﹣abc=4﹣abc ，f （x ）极小值=f （3）=27﹣54+27－abc=﹣abc ，要使f （x ）=0有三个解a 、b 、c ，那么结合函数f （x ）草图可知：a ＜1＜b ＜3＜c 及函数有个零点x=b 在1～3之间，所以f （1）=4-abc ＞0，且f （3）=-abc ＜0，所以0＜abc ＜4，∵f （0）=-abc ，∴f （0）=f （3），∴f （0）＜0，∴f （0）f （1）＜0，f （1）f （3）＜0，∵f （a ）=f （b ）=（c ）=0，∴x 3-6x 2+9x-abc=（x-a ）（x-b ）（x-c ）=x 3-（a+b+c ）x 2+（ab+ac+bc ）x-abc ，∴a+b+c=6①，ab+ac+bc=9②，把②代入①2得：a 2+b 2+c 2=18；故正确的为：①②③④，所以选D.【思路点拨】本题可根据已知条件，利用导数及函数的图像确定函数的极值点及a 、b 、c 的大小关系.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

2021年高三上学期第一次调研考试数学试题普通班一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上．1、函数的定义域为 ▲ .2． 幂函数的图象经过点，则满足＝27的x 的值是 ▲ ．3．若，则或的否命题是4．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） ▲ f（a ＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）5、函数的单调递减区间是 ▲ 。

6、在用二分法．．．求方程的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ .7、已知函数)2009(.4)20091(,2log log )(32f f b a x f x x 则若=+-=的值为 ▲ 8、已知是偶函数，当时，，当时，记的最大值为，最小值为，则 ▲ 。

9.已知是以2为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，方程有4个零点，则取值范围是___ ▲ ____10、定义：区间的长度为.已知函数定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为 ▲ .11、 已知命题与命题都是真命题,则实数的取值范围是 ▲ .12、若是R 上的减函数，且设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ▲13、 设函数给出下列4个命题：① 当时，只有一个实数根； ② 当时，是偶函数；③ 函数的图像关于点对称；④ 当时，方程有两个实数根。

上述命题中，所有正确命题的个数．．是 ▲ ． 14、如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x=t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是▲．(填序号)．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．15、（本小题满分14分）已知集合，集合，若,求实数的取值范围。

2021年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接写在横线上）1.设全集S ＝{}{})(,1,0,1,2,1,0,1,2T S C T s ⋂-=--则集合＝ ▲ ．2.已知命题{}{}2:;0:2<=∈<-=∈x x B a q x x x A a p 命题，那么p 是q 的 ▲条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 3. 在等比数列中，如果是一元二次方程的两个根，那么 的值为 ▲ ．4．函数的增区间是 ▲ ．5.已知数列{a n }成等差数列，S n 表示它的前n 项和，且a 1＋a 3＋a 5＝6，S 4＝12.则数列{a n }的通项公式a n ＝ ▲ ．6．在△ABC 中，A =,b =1,其面积为，则外接圆的半径为 ▲ ．7．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为 ▲ ．8. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a＝0有两个相等的根，则实数a ＝ ▲ ．9．设＝，＝(0，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤≤1，0≤≤1，则z ＝y －x 的最小值是 ▲ ．10．设周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足＞－2，＝，则m 的取值范围是 ▲ ．11．设表示等比数列（）的前项和，已知，则 ▲ .12．已知{a n }是首项a 1＝－52，公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋a n a n. 则当取得最大值是，n= ▲ ．13．若不等式a ＋≥在x ∈(，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝，AC ＝2)沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝，则在其相邻两个零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，分别是角A 、B 、C 的对边，，且． （1）求角A 的大小；（2）求的值域．16.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且q ∧p 为真，求实数x 的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．17．已知函数f(x)=x|x 2-3|，x ∈［0，m ］其中m ∈R ，且m>0.（1）若m<1，求证：函数f(x)是增函数。