子空间：直和与空间分解
1子空间
子空间U：线性空间V的子集且本身也是线性空间（关于V的加法和数乘）。
任何非零线性空间都至少有两个子空间，即零子空间{0}与它自身，称为平凡自空间。其余的子空间称为真子空间。
判别准则：一个非空子集是子空间当且仅当它关于加法和数乘封闭。
子空间性质：
•传递性；
•任意多个子空间的交集仍是子空间；
•但子空间的并集并不是自空间，代替的概念是：子空间的和（包含U和W的最小的子空间，记为U+W）。
设V是线性空间，S⊂V，称V的包含S的最小子空间为由S生成（或张成）的子空间，记为spanS，S称为spanS的生成元素。
2维数定理
设V是线性空间，U与W是V的两个子空间，则
dim(U+W)=(dimU+dimW)−dim(U
W).
3直和
直和U
W：当U
W=0时，U+W是直和，记为U
W。
1
3.1直和的判定
设U 与W 是线性空间V 的两个子空间，则下列命题等价：
•U +W 是直和；
•对任意α∈U +W ，分解式α=u +w ，其中u ∈U,w ∈W 是唯一的；•零向量的分解式唯一，即若0=u +w,u ∈U,w ∈W ，则u =w =0；•dim (U +W )=dimU +dimW 。
3.2补子空间
U 的补子空间：V 是线性空间，U 是V 的一个子空间，存在另一个子空间W ，使得V =U W 。W 称为U 的补子空间。补子空间不唯一。
4矩阵的四个子空间
对于m ×n 阶矩阵A :
•A 的零空间N (A )；
•A 的列空间R (A )；
•A 的行空间R (A T )；
•A 的左零空间N (A T )。
dimN (A )+dimR (A T )=n ;dimN (A T )+dimR (A )=m.
2
