人教版九年级数学圆和正多边形专题

24.3 正多边形和圆第1课时一、教学目标【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系.【情感态度与价值观】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、边心距，边长之间的关系.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2,3：观察上边的美丽图案，思考下面的问题：（1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.（板书课题）（二）探索新知探究一正多边形的对称性教师问：什么叫做正多边形？（出示课件5）学生答：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.教师问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？学生答：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；教师强调：正多边形：①各边相等；②各角相等，两个条件，缺一不可.教师问:正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？（出示课件6,7）学生动手操作，交流，感受正多边形的对称性.教师归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.探究二正多边形的有关概念教师问:以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？（出示课件8，9）师生结合图形共同探究：EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB,OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD,OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.出示课件10：教师问：所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？学生答：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.教师问：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?学生答：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆.教师问：所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？学生答：多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆.教师出示概念：（出示课件11）1.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.2.外接圆的半径叫做正多边形的半径.3.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.4.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360.n练一练：（出示课件12）完成下面的表格：学生计算交流并填表.探究三 正多边形的有关计算出示课件13：如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF ：①它的中心角等于 度； ②OC BC(填＞、＜或＝）； ③△OBC 是 三角形；④圆内接正六边形的面积是△OBC 面积的 倍. ⑤圆内接正n 边形面积公式:_______________________. 学生计算交流后，教师抽学生口答.①60；②=；③等边；④6；⑤1=2S ⨯⨯正多边形周长边心距出示课件14:例 有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m 2).教师分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.师生共同解答:（出示课件15）解：过点O 作OM ⊥BC 于M.在Rt △OMB 中,OB ＝4,MB ＝4222BC ==，利用勾股定理,可得边心距r ==亭子地基的面积：2112441.6(m ).22S l r =⋅=⨯⨯≈ 巩固练习：（出示课件16）如图所示，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ADE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．36°D ．30° 学生独立思考后自主解答：C.教师归纳：圆内接正多边形的辅助线（出示课件17）1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形. 巩固练习：（出示课件18）已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？学生独立思考后解答，一生板演.解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长为x. ∴ 另一边长为8-x.则该直角三角形面积：S=（8-x ）x ÷2,即214.2s x x =-+ 当x=2b a -=4,另一边为4时，S 有最大值244ac b a -＝8.∴当两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为8. （三）课堂练习（出示课件19-24）1.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度.2.填表：3.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是_____.4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为_____度.（不取近似值）5.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．7.如图，正六边形ABCDEF的边长为点P为六边形内任一点．则点P 到各边距离之和是多少？8.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.参考答案：1.360°解析：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.2.3.34.412875.6.解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2. 则圆的直径AC=2， ∴⊙O 的半径=.∴⊙O 的面积为22.ππ=7.解：过P 作AB 的垂线，分别交AB 、DE 于H 、K ，连接BD ，作CG ⊥BD 于G.22∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴AB ∥DE ，AF ∥CD ，BC ∥EF ，∴P 到AF 与CD 的距离之和，及P 到EF 、BC 的距离之和均为HK 的长. ∵BC=CD ，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD ∥HK ，且BD=HK.∴CG=12BC=.∵CG ⊥BD ，∴BD=2BG=2×=2×3=6.∴点P 到各边距离之和=3BD=3×6=18． 8.解：⑴①120°；②90°；③72°；⑵360MON n ︒∠=.（四）课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？（五）课前预习22BG BC-预习下节课（24.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.。

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

专题12 正多边形和圆（综合题）知识互联网易错点拨知识点01：正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．细节剖析:判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点02：正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.细节剖析:要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点03：正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆细节剖析:（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点04：正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O 的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….细节剖析:画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.易错题专训一．选择题1．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG 为（）A．3B．C．D．3【易错思路引导】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．【规范解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．2．（2022•游仙区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110°B．120°C．118°D．122°【易错思路引导】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【考察注意点】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．3．（2022•太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个【易错思路引导】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【规范解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故选：D．【考察注意点】本题主要考查圆的基本性质，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．4．（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm【易错思路引导】根据正方形性质得到△AOD为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到AC的长度，根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度．【规范解答】解：如图所示，∵AC＝BD＝22.25mm，∴AO＝OD＝＝mm．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD为等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形和圆的关系，得到△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2022•固安县模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积（阴影部分面积）之比是（）A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1【易错思路引导】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．【规范解答】解：正六边形的面积＝6××（2a）2＝6a2，阴影部分的面积＝a•2a＝2a2，∴空白部分与阴影部分面积之比是＝6a2：2a2＝3：1，故选：A．【考察注意点】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题6．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝18 ．【易错思路引导】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．【规范解答】解：连接CE，正n边形的中心角的度数为：，则∠ECF＝×，∠AEC＝，∵∠EGF＝30°，∴∠ECF+∠AEC＝30°，∴×+＝30°，解得：n＝18，故答案为：18．【考察注意点】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．7．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为54 厘米．【易错思路引导】根据对称性和周长公式进行解答即可．【规范解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【考察注意点】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．8．（2022•陈仓区二模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A 落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为54°．【易错思路引导】根据正五边形的性质可求出角A的度数，再根据等腰三角形以及三角形的内角和可求出∠ABE，再根据正方形的性质求出∠ABG即可．【规范解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．【考察注意点】本题考查正五边形，正方形以及等腰三角形，掌握正五边形、正方形、等腰三角形的性质是正确计算的前提．9．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为1，则阴影部分的面积等于．【易错思路引导】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．【规范解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．∵如图是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．10．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 2 ．【易错思路引导】根据正六边形的性质可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，从而利用等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCA＝30°，进而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查了等腰三角形的判定，正多边形和圆，多边形的内角与外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．11．（2022•河北二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为20 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是27 ．【易错思路引导】根据拼图，由“外围”的边长进行计算即可．【规范解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正多边形为正十二边形，如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，故答案为：20，27．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，理解“外围”的意义是正确解答的前提，得出外围正多边形的边数是解决问题的关键．12．（2021秋•西湖区校级月考）如图，⊙O的内接正六边形，点M，N分别为AF，BC边的中点，直线MN与⊙O交于点PQ，若AB＝1，则PQ＝．【易错思路引导】如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．利用勾股定理求出PK，再利用垂径定理，可得结论．【规范解答】解：如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，CF∥AB，CF经过圆心O，∵CN＝BN，AM＝MF，∴MN∥AB∥CF，∴OK＝JK，∵OA＝OB＝AB＝1，∴OJ＝，∴OK＝，∵AB∥PQ，OJ⊥AB，∴OK⊥PQ，∴PK＝QK＝＝＝，∴PQ＝2PK＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，垂径定理，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF ＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长．【易错思路引导】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．【规范解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，∴四边形ABPN是平行四边形，∴PN＝AB＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等边三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴DH＝，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．14．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．【易错思路引导】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．【规范解答】解：连接CE，作EF⊥PF．∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，∴△APD∽△CPE，∴＝，∵P为边CD的中点∴PD＝PC＝，PA＝＝，＝，∴PE＝，∵FE∥AD∴△APD∽△EPF，∴＝，∴＝，∴PF＝，∴EF＝＝1，∴DE＝＝＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．三．解答题15．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．【易错思路引导】（1））根据正五边形的性质可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB ＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，则CD＝AO；（2）根据圆周角定理求出∠BDE、∠E的度数，进而证明DF∥AE；证明AF∥DE，AE＝DE，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵五边形是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，∴∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，∴AB＝AO，∴CD＝AO；（2）四边形AODE是菱形；理由如下：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠BDE＝＝72°，∠E＝×360°＝108°，∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE；同理可证：AO∥DE，而AE＝DE，∴四边形AODE是菱形．【考察注意点】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证．16．（2021•云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【易错思路引导】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【规范解答】解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【考察注意点】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．17．（2019秋•长乐区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E 点，连接BE，求∠ABE的度数．【易错思路引导】求出圆内接正方形的中心角度数∠AOD，再根据垂径定理求出∠AOE，由圆周角定理得出答案．【规范解答】解：如图，连接OA、OD，∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴∠AOD＝＝90°，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠AOE＝∠AOD＝×90°＝45°，∴∠ABE＝∠AOE＝×45°＝22.5°．【考察注意点】本题考查正多边形和圆，圆周角定理以及垂径定理，求出圆内接正方形的中心角度数是解决问题的关键．18．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．求正方形ABCD的边长和边心距．【易错思路引导】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可．【规范解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．19．（2022•包河区校级二模）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）求证：DH＝CE．【易错思路引导】（1）证明CF∥BE，BF∥EC可得结论；（2）证明△DCH≌△CBE（ASA），可得结论．【规范解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DF，∴∠DCE＝∠CEB，∵∠F＝∠BEC，∴∠F＝∠DCE，∴BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形；（2）∵BF∥EC，∴∠CBF＝∠BCE，∵∠CDH＝∠CBG，∴∠CDH＝∠BCE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCH＝∠CBE＝90°，在△DCH和△CBE中，，∴△DCH≌△CBE（ASA），∴DH＝CE．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．【易错思路引导】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．【规范解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）连接OD，如图，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．【考察注意点】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答。

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。

2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。

专题24.3正多边形和圆（测试）一、单选题1．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】003603012÷=．故这个正多边形的边数为12．故选：B ．2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（ ）A ．相等B ．互余C ．互补D ．互余或互补【答案】A【解析】设正多边形是正n 边形，则它的一边所对的中心角是360n ︒，正多边形的外角和是360°，则每个外角也是360n ︒，所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等，故选A ．3．在半径为R 的圆上依次截取等于R 的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D【解析】解：由题意这个正n 边形的中心角=60°，∴n=36060︒︒=6∴这个多边形是正六边形，故选：D ．4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（）A ．1BCD ．2【答案】C【解析】如图，作BG AC ⊥，依题可得：ABC ∆是边长为2的等边三角形，在Rt BGA ∆中，∵2AB =，1AG =，∴BG =故答案为：C.5 ）A ．πB ．3πC ．4πD ．12π【答案】C【解析】解：如图，六边形ABCDEF 为正六边形，作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，∴OA 为正六边形ABCDEF 的外接圆的半径，OH 为正六边形ABCDEF 的边心距，∴在Rt AOH 中，∠AOH=1806︒=30°，∴cos ∠AOH=OH OA == ∴OA=2， ∴它的外接圆的面积=2πOA （）=4π． 故选：C ．6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB 的比是( )A．2B C D【答案】A【解析】过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，设AF＝EF＝GH＝DH＝k，∴AE＝DG k，∴EG＝2AE＝k，∴AB＝AD＝+2k，=∴正八边形边长与AB2故选A．7．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A ．27﹣B ．54﹣C ．D ．54【答案】B 【解析】解：设EF 交AH 于M 、交HD 于N ，连接OF 、OE 、MN ，如图所示：根据题意得：△EFO 是等边三角形，△HMN 是等腰直角三角形，∴EF ＝OF ＝6，∴△EFO 的高为：OF•sin60°＝MN ＝2（6﹣12﹣ ∴FM ＝12（6﹣12+3， ∴阴影部分的面积＝4S △AFM ＝4×12（3）×54﹣ 故选：B ．8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（ ）米A ．12x xB ．4 C．D ．4π【答案】A【解析】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4（米），设正方形边长是x 米，则x 2+x 2=42，解得：，所以正方形桌布的边长是米．故选：A ．9．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形(5)正n 边形的中心角360n a n ︒=，且与每一个外角相等 其中真命题有( )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个 【答案】A【解析】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；(2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；(3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；(4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；(5)正n 边形的中心角360n a n︒=，且与每一个外角相等． 故正确的是(1)(5)．共有2个．故选：A ．10．一个圆的内接正三角形的边长为( )AB ．4C ．D ．【答案】D【解析】根据题意画图如下：过点O 作OD ⊥BC 于D ，连接OB ，∴BD=CD=12， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=12OB ， ∴OB 2-(12OB)2=BD 2， 解得：OB=2，即圆的半径为2，∴该圆的内接正方形的对角线长为4，设正方形的边长为x ，∴x 2+x 2=42，解得x=∴该圆的内接正方形的边长为故选D.11．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是()A．30°B．60°C．55°D．75°【答案】B【解析】连接OB，OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOD＝＝120°，∴∠BPD＝∠BOD＝60°，故选：B．12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )A．B．3 C．D．【答案】B【解析】解：由题意n=6时，π≈ =3，故选：B ．13．如图，用四根长为5cm 的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动a cm ，同时添加另外四根长为5cm 的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则a 的值为（ ）A ．4cmB ．5cmC ． D【答案】D【解析】如图，由题意可知：△ABC 是等腰直角三角形，AB=5，AC=BC=a ．则有：a 2+a 2=52，∴a=2或-2（舍弃）故选：D ．14．如图，将边长为5的正六边形ABCDEF 沿直线MN 折叠，则图中阴影部分周长为（）A ．20B ．24C ．30D ．35【答案】C【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF 的周长=5×6=30，故选：C ．15．如图，已知O 的周长等于6cm ，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是（ ）A ．4B ．4C ．2D ．【答案】C【解析】过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，设⊙O 的半径为r ，∵⊙O 的周长等于6πcm ，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O 的半径为3cm ，即OA=3cm ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=3cm ，∵OH ⊥AB ，∴AH=12AB ，∴AB=OA=3cm ，∴AH=32cm ，=2cm ，∴S 正六边形ABCDEF =6S △OAB =6×12×3×2=2（cm2）．故选C.16．⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【解析】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60°，÷︒=360606n的值为6，故选：C二、填空题17．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________．【答案】60°【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，即正多边形为六边形，∴这个正多边形的中心角的度数==60°．故答案为60°18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____．【答案】60°【解析】解：如图，过A作l∥l1，则∠4＝∠2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝120°，即∠4+∠3＝120°，∴∠2+∠3＝120°，即∠3＝120°﹣∠2，∵l1∥l2，∴l∥l2，∴∠1+∠3＝180°，∴∠1+120°﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60°．19．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____．【答案】75°【解析】解：设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知，37105 12A A A=⊙O的周长，∴∠A3OA10＝536012︒⨯＝150°，∴∠A3A7A10＝75°，故答案为：75°．20．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A ．2B ．﹣2.2C ．2.3D ．﹣2.3【答案】A【解析】如图，∵正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1∴第一次旋转后点M 1 纵坐标坐标为12 ，第二次、第三次旋转后点M 2（M 3，四次旋转后点M 4的纵坐标为﹣12﹣2，第五次旋转后点M 5的纵坐标为 12+2，第六次旋转后的点M 6的纵坐标为2． 故选：A ．三、解答题21．如图，已知O ．（1）用尺规作正六边形，使得O 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】解：（1）如图所示：,（2）如图所示：22．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．【答案】【解析】延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E.∵正六边形的边长为1，∴正六边形的半径是1，则CE＝4，则△BCE 的边EC ，△ACE 边EC ，则S △ABC ＝S △AEC －S △BEC ＝12×4×)＝23．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是怎样的？（不要求回答）温馨提示，如图1，是一个边长为a 的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相等；②正六边形的六个内角相等，都是120°；③正六边形的内角和为720°；④正六边形的外角和为360°．等．解答问题：（1）观察图2，请你在下面的横线上，再写出边长为a 的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于5条）： ．（2）尺规作图：在图2中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）；（3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值．【答案】(1)见解析；（2）作图见解析；（3）． 【解析】（1）①正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正六边形的面积为： a 2，周长为6a ；③正六边形有一个内切圆、外接圆，它们是同心圆；④圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧长度相等；⑤圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧的弧度相等；⑥圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的长度相等；⑦圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的弧度相等；⑧圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的圆心角（中心角）相等，都是60°；⑨圆内接正六边形的边长等于圆的半径；⑩圆内接正六边形的边心距为： a 等．（2）如图2所示：（3）如图2，连结EO，在Rt△ONE中，∵OE=DE=a，∠EON=DOE=30°，∴OE=a，∴边长为a正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值为：．24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE=CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB=CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1=∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠P AC，∴△BEC≌△APC，∴P A＝BE＝PB＋P C．（2）过点B作BE⊥PB交P A于E．∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；PE=又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴PA AE PE PC=+=．=+；（3）答：PA PC证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴PQ==+=∴PA PQ AQ25．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．【答案】90°72°【解析】(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝.26．如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草.(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明.(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长.(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法.(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？【答案】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC；（2）60；（3）如图（4）见解析；（4）可推广到正n边形.【解析】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，连OD，OE，OF.方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC.（2）OD//AC，OE//AB，OF//BC，如图（3）,作OM⊥BC于M，连OB，∵ΔABC是等边Δ，∴BM=BC=30，且∠OBM=30°，∴OM=10，∵OE//AB，∴∠OEM=60°，OE==20，又OE=OF=OD，∴OE+OF+OD=3OE=60，答：略.（3）如图（4）,方法1：在BC，CA，AB上分别截取BE=CF=AD，连结OD，OE，OF，方法2：在AB上任取一点D，连OD，逆时针旋转OD120°两次，得E，F.（4）设M1为A1A2上任一点，在各边上分别取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连OM1……OM5即可，∴可推广到正n边形.。

1．正多边形及有关概念只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的圆．一个正多边形的外接圆的叫作这个正多边形的中心，外接圆的叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的. 2．正多边形的有关计算一般地，正n边形的一个内角的度数为，中心角的度数等于；正多边形的中心角与外角的大小.易错点：易把正多边形的内切圆的半径(即边心距)当作正多边形的半径．K知识参考答案：1．相等外接圆心半径圆心角边心距2．(2)180nn-⨯360n相等K—重点正多边形及有关概念K—难点正多边形的相关计算K—易错混淆正多边形和圆的有关概念圆内接正多边形的判断证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法：（1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可.（2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等.技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．【解析】连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，====，∴AE AF BE BC FC∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCF为正五边形．正多边形的有关计算正多边形的相关计算技巧：（1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的3倍，正方形的边长等于它的半径的2倍.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是___________ .【答案】3：2．对正多边形的概念、性质理解模糊判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.（1）各边相等的多边形是正多边形；（）（2）圆内接菱形是正方形；（）（3）各个角相等的圆内接多边形是正多边形；（）（4）正多边形都是中心对称图形.（）【易错提示】易因不理解正多边形的概念、性质而出错.（1)菱形的各边相等，但它不一定是正方形；（2）圆内接菱形的四个顶点将圆周4等分，所以它是正方形；（3）圆内接矩形的各角都相等，但它不一定是正方形；（4）当正多边形的边数为奇数时，该正多边形不是中心对称图形.【正解】（1)×（2）√(3）×(4）×混淆正多边形和圆的有关概念致错求边长为a的正方形的半径.【易错提示】正多边形有外接圆和内切圆，这两个圆是同心圆.正多边形的半径是指它的外接圆的半径，不要误认为正多边形的半径是它的内切圆半径【正解】作正方形ABCD的外接圆O，连接OA,OB.在△AOB中，AB=a,∠AOB=3604=90°，OA=OB.由勾股定理，得OA2+OB2=a2，∴22OA a，即边长为a的正方形的半径为22a.1．正八边形的中心角是A．45°B．135°C．360°D．1080°2．下列属于正n边形的特征的有①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引(n－2)条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．A．2个B．3个C．4个D．5个3．正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为A．24 B．54C．93D．5434．边长为的正六边形的边心距等于A．B．C．D．5．一个正n边形的面积是240 cm2，周长是60 cm，则边心距是______ .6．下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________．7．如图，要拧开一个边长为a=6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48，试求正六边形的周长．9．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．10．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于A．120°B．6°C．114°D．114°或6°11．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是A．△ACE是等边三角形B．△ACE既是轴对称图形也是中心对称图形C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDCD．图中一共能画出3条对称轴12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为A．30°B．45°C．50°D．60°13．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．3∶2∶1 D．1∶2∶314．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正六边形的面积为________．15．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那么图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．16．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．17．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．18．如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．求证：四边形CDEM是菱形；19．如图，正△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为R，试分别计算△ABC的边长、边心距及面积．20．（浙江省湖州市2018）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连接OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是A．r B．（1+）rC．（1+）r D．r21．（2018内蒙古呼和浩特市）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为____________．22．（2018贵州省贵阳市）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是____________度．23．（2018河北省）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而90=452是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是_____；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．24．（2018湖南省株洲市）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.25．（2018陕西省）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为________.26．（2018四川省宜宾市）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）27．（2017四川凉山州卷）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=______．得到△ODE，因为∠DOE=360°×16=60°，又因为OD=OE，所以∠ODE=∠OED=（180°-60°）÷2=60°，则三角形ODE为正三角形，∴OD=OE=DE=6，∴S△ODE=93．正六边形的面积为6×93=543．故选D．4．【答案】A在△OAM中，由勾股定理得：OM==a．故选：A．5．【答案】8 cm【解析】一个正n边形的面积是240 cm2，周长是60 cm，∴设边心距是h cm，则12×60×h=240，解得：h=8（cm），即边心距为8 cm.故答案为：8 cm.6．【答案】②【解析】①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成n个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为120°，但不是正六边形；⑤错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．故答案为：②.7．【解析】设正六边形的中心是O，其一边是AB，8．【解析】如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝R，AH＝＝而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6××R×R＝48，解得R＝8，即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.9．【解析】（1）连接OB，OC，10．【答案】D【解析】如图，连接OA，OB，OC，∵AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=，∠AOB==72°，∵OA=OC=OB，∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，若AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAC-∠OAB=6°，当AB、AC在OA两侧时，则∠BAC=∠OAC+∠OAB=54°+60°=114°．∴∠BAC=6°或114°．故选D.11．【答案】B12．【答案】B【解析】∵正六边形ADHGFE 的内角为120°， 正方形ABCD 的内角为90°， ∴∠BAE =360°-90°-120°=150°， ∵AB =AE ， ∴∠BEA =12×（180°-150°）=15°， ∵∠DAE =120°，AD =AE ， ∴∠AED =1801202︒-︒=30°，∴∠BED =15°+30°=45°．故选B ． 13．【答案】B【解析】设圆的半径为R ， 如图(一)，连接OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ， 则∠OBC =30°,2213,22OD R BD OB OD R ==-=∴, 故BC =2BD =3R ； 如图(二)，14．【答案】332【解析】连接AO ，BO ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ， ∵∠C =30°， ∴∠AOB =60°， ∵AO =BO ，∴△AOB 是等边三角形， ∴AO =BO =AB =1， ∴22113,222BE OB EO OB BE ===-=， 12AOB S EO AB ∴=⨯⨯=△34， ∴⊙O 的内接正六边形的面积为：6×34=332．故答案为33 2.15．【答案】r3r60°【解析】∵∠C=60°，OB=OC，∴∠OBC=∠COB=60°，AB∥CD,∠BOC=∠OBA=60°,易得，AOB△,△ODA是等边三角形,所以AB=r,△ODA的周长是3r.16．【解析】（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．17．【解析】（1）∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，BG＝CH，∴△ABG≌△BCH；（2）由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．18．【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠D=108°，∠DCA=72°，∴∠D+∠DCA=180°，19．【解析】∵AD ⊥BC,BD =CD =12BC,∠OBD =12∠ABC =12×60°=30°， 即边心距OD =12OB =12R ， 由勾股定理得：BD =22OB OD =32R ， ∴三角形边长为BC =2BD =3R,AD =AO +OD =R +12R =32R ， 则△ABC 的面积=12BC ×AD =12×3R ×32R =334R ².20．【答案】D【解析】如图连接CD ，AC ，DG ，AG ．∵AD 是⊙O 直径， ∴∠ACD =90°，在Rt △ACD 中，AD =2r ，∠DAC =30°， ∴AC =r ，∵DG =AG =CA ，OD =OA ， ∴OG ⊥AD ， ∴∠GOA =90°，∴OG=r，故选：D．21．【答案】过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF=∠EGF=30°，∴OH=R，∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，故答案为：：1．22．【答案】7223．【答案】14 21【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；设∠BPC=2x，∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，以∠APB为内角的正多边形的边数为：，∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，当x越小时，周长越大，∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，故答案为：14，21．24．【答案】48°25．【答案】72°【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案为：72°．26．【答案】【解析】依照题意画出图象，如图所示．27．【答案】72°．【解析】连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，在△OBP和△OCQ中，∵OB=OC，∠OBP=∠OCQ，BP=CQ，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=72°．故答案为：72°．。

专题18 正多边形与圆【重点突破】知识点一正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）【考查题型】考查题型一求正多边形的中心角典例1．（2019·南京市期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）A．45°B．60°C．72°D．90°【答案】B【提示】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．【详解】解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．故选B．【名师点拨】本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．变式1-1．（2020·淮安市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O半径为2，则六边形的边心距OM 的长为（）A．2 B．3C．4 D3【答案】D【提示】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出3=OM OB即可求解．【详解】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM⊥BC，∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，∴333 OM故选：D．【名师点拨】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．变式1-2．（2019·宿迁市期末）正六边形的周长为6，则它的面积为（）A．93B．332C3D．33【答案】B【提示】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC 的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC=16×360°=60°， ∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∵正六边形ABCDEF 的周长为6， ∴BC=6÷6=1， ∴OB=BC=1， ∴BM=12BC=12， ∴2222131()22OB BM -=-=， ∴S △OBC =12×BC×OM=1331224⨯⨯= ， 3336=． 故选：B ． 【名师点拨】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1-3．（2020·东台市期末）在一块半径为2cm 的圆形钢板中裁出一个最大的等边三角形，此等边三角形的边长（ ） A ．1cm B 3cm C ．2cm D ．3cm【答案】D 【提示】画出图形，作OC AB ⊥于点C ，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC 的长即可得出AB 的长. 【详解】解：依题意得3603120AOB ∠=︒÷=︒， 连接OA ，OB ，作OC AB ⊥于点C ， ∵OA OB =，∴2AB AC =，60AOC ∠=︒， ∴sin 603cm AC OA =⋅︒=， ∴223cm AB AC ==． 故选：D ．【名师点拨】本题考查了圆的内接多边形，和垂径定理的使用，弄清题意准确计算是关键.变式1-4．（2019·宿迁市期中）如图，已知正六边形ABCDEF ，则∠ADF ＝_____度．【答案】30 【提示】找到AD 的中点O ，连接OF ，由多边形是正六边形可求出∠AOF 的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADF 的度数． 【详解】解：由题意知：AD 是正六边形的外接圆的直径， 找到AD 的中点O ，连接OF ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOF ＝3606︒＝60°， ∴∠ADF ＝12∠AOF ＝12×60°＝30°．故答案为：30．【名师点拨】此题考查的是圆与正六边形，掌握圆的内接正六边形的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．变式1-5 （2019·房县期末）若用αn表示正n边形的中心角，则边长为4的正十二边形的中心角是____．【答案】30º【提示】根据正多边形的中心角的定义，可得正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．故答案为：30º．【名师点拨】此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．考查题型二已知正多边形的中心角求边数典例2．（2018·东台市期末）如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是（）．A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】÷=．试题提示：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360725变式2-1．（2020·宿豫区期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【提示】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【名师点拨】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．变式2-2．（2019·赣榆区期中）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .【答案】15.【提示】连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行提示即可得. 【详解】连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15.【名师点拨】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．考查题型三正多边形和圆典例3．（2020·浔阳区期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是23cm，则这个正六边形的周长是（）A．12 B．63C．36 D．123【答案】D【提示】由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=OA，即可得出答案【详解】设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠AOB=60°，AO=BO=23cm，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=23cm，∴正六边形ABCDEF的周长=6AB=123cm.故选D【名师点拨】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键. 变式3-1．（2018·射阳县期末）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定【答案】B【解析】设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n︒，正多边形的一个外角等于360n︒，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．故选B．变式3-2．（2018·合肥市期末）如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是弧AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【提示】首先连接OB，OC，由O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BEC的度数．【详解】连接OB，OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC=90°，∴∠BEC=12∠BOC=45°．故选B．变式3-3（2020·泉州市期中）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【提示】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．【详解】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，∴360°÷36°＝10，∴排成圆环需要10个正五边形，故排成圆环还需7个五边形．故选：B．【名师点拨】本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角．变式3-4．（2020无锡市期中）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则SS阴影空白的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C【详解】解：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即SS阴影空白=5．故选C．【名师点拨】本题考查正多边形和圆．变式3-5．（2019·临川市期中）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14【答案】C【提示】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．圆的直径正好是大正方形边长，∴根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2，∴大正方形的边长为2，则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【名师点拨】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.变式3-6．（2020·吴江区期末）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．22B．2C．22D．1【答案】B【解析】试题解析：如图所示，连接OA、OE，∵AB 是小圆的切线，∴OE ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AE =OE ，∴△AOE 是等腰直角三角形， 2 2.2OE OA ∴== 故选B. 变式3-7．（2019·徐州市期末）已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（ ） A ．43 B ．23 C ．33 D ．322【答案】C【提示】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1，利用勾股定理可求出该内接正三角形的边长为3，高为32，从而可得出面积． 【详解】解：由题意可得出圆的半径为1，∵△ABC 为正三角形，AO=1，AD BC ⊥，BD=CD ，AO=BO ，∴1DO 2=，32AD =， ∴223BD 2OB OD =-=， ∴BC 3=∴13333224ABC S =⨯=． 故选：C ．【名师点拨】本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键．考查题型四利用尺规作正多边形典例4．（2019·扬州市期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。

九年级上册数学正多边形和圆正多边形和圆（人教版九年级上册）一、正多边形的概念。

1. 定义。

- 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

例如，等边三角形是正三角形，正方形是正四边形。

2. 正多边形与圆的关系。

- 把一个圆分成n(n≥slant3)等份：- 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。

- 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

二、正多边形的有关计算。

1. 正多边形的中心、半径、边心距、中心角。

- 中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。

- 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径，通常用R表示。

- 边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距，通常用r表示。

- 中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的中心角α=frac{360^∘}{n}。

2. 正多边形的有关计算。

- 设正n边形的边长为a_n，半径为R，边心距为r。

- 在由半径R、边心距r和边长的一半frac{a_n}{2}所构成的直角三角形中，根据勾股定理有R^2=r^2+(frac{a_n}{2})^2。

- 正n边形的周长C = n× a_n，面积S=(1)/(2)C× r=(1)/(2)n× a_n× r。

三、正多边形的画法。

1. 用量角器等分圆。

- 先用量角器画一个等于frac{360^∘}{n}的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的(1)/(n)，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就可以得到圆的n等分点，从而画出正n边形。

2. 用尺规等分圆（特殊正多边形）- 正六边形：- 由于正六边形的中心角为60^∘，所以在圆中，以半径为弦长，在圆上依次截取六段相等的弧，就可以得到正六边形。

- 正四边形（正方形）：- 先作圆的两条互相垂直的直径，再连接直径与圆的四个交点，就得到正方形。