九年级 圆的专题（含答案）
1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内
切圆，且此圆半径不大于2
R
．
解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知
sin sin sin 2AC BD
EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R
⋅+=∠+⋅∠=∠∠=
，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆．
由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P
为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2AD
r PF PFG PF ACD PF PC ACB R
=⋅∠=⋅∠=⋅=⋅∠⋅
2
2
24222AD PC AB AD PC PA R R
R R R R ⋅⋅⋅==≤=．取到等号仅当P 为圆心时．
2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与
1O e 交于点D ，
且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △．
解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=︒，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △．
设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=︒，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠．
又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △． 3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△，
求BC ．
解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角
形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=⋅=⋅，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI
BC IE
+==，
72
BC =．
C
F
G
P
H D
B
E
A (b)
(a)O 1A
O
B
M E C
D F O 1
O
B E C
D F
4. 在平面上给定等腰三角形ABC ，其中AB AC =，试在平面上找到所有符合要求的点M ，使ABM △、
ACM △都是等腰三角形．
解析 要使ABM △为等腰三角形，M 必定在AB 的垂直平分线上，或在以A 、B 为圆心、AB 为半径的圆上．ACM △亦然．这样得到3个圆A e 、B e 、C e ．
在A e 上除了B 、C 及其对径点B '、C '，其余的点都符合要求．此外，还有6个点，即AB 中垂线与C e 的两个交点1M 、2M ，AC 的中垂线与B e 的两个交点3M 、4M ，B e 与C e 的另一个交点6M （不是A ），两条中垂线的交点5M （即ABC △之外心），如图． 何时1M 在直线AB 上或A 、C 、2M 共线，此时A ∠是三边长分别为1:2:2的等腰三角形的底角，此时1M 、2M 、3M 、4M 均不符合要求；又120A ∠=︒时，六点变一点，且在A e 上，120A ∠>︒时，只有5M 与6M 两点．
评注 读者可考虑ABC △为不等边三角形时的情形．
5. 已知：ABC △中，AB AC =，AD 是高，P 为AC 上任一点，PC 的中垂线RQ 交AD 于R ，求证：
RPB DAC ∠=∠．
解析 如图，易知RP RC RB ==，R 为PBC △外心，2180BRP C BAC ∠=∠=︒-∠，故A 、B 、R 、P 共圆，于是RPB BAD DAC ∠=∠=∠．
6. D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上，则AEF △、BFD △、CDE △的外接圆共点． 解析 如图，设AEF △、BFD △的外接圆除F 之外，还交于P ，连结PD 、PE 、PF ，则PEC AFP BDP ∠=∠=∠，故E 、P 、D 、C 共圆，证毕．
l
E D
C
B
A
M 6
M 5M 4
M
3M 2M 1B'
C'
C
B A P Q
R
C
D
B
A
7. 平面上有一条光线穿过该平面上的一圆，打在一条直径上并发生反射，最后穿出圆去，求证：这条
光线与圆的两个交点、与直径的接触点以及圆心，该四点共圆．
解析 如图，设这条光线为APB ，EOF 是题设中的直径，延长AP 至O e 于C ，则BPF APE CPF ∠=∠=∠，B 与C 关于EF 对称．于是BPO △≌CPO △．这样一来，便有OBP OCP OAP ∠=∠=∠，于是A 、O 、P 、B 四点共圆．
评注 本题亦可利用圆心角证．
8. 已知P 为ABC △外接圆的»BC
上一点，则P 在直线AB 、BC 、CA 的射影L 、M 、N 共线． 解析 如图，连结LM 、MN ，BP ，CP ，则由L 、M 、P 、B 共圆，M 、P 、N 、C 共圆及A 、B 、P 、C 共圆，得9090180LMP NMP LMB PCN LPB ABP ∠+∠=∠+︒+∠=∠+∠+︒=︒，故L 、M 、N 共线．
评注 此线称为西摩松线．反之，若三垂足共线，则P 在ABC △外接圆上．
9. 四边形ABCD 对角线交于O ，AO CO BO DO ⋅=⋅，O 在AB 、BC 、CD 、DA 上的垂足分别是E 、
F 、
G 、
H ，求证：EF GH EH FG +=+． 解析 如图，易知A 、B 、C 、D 共圆．
由A 、E 、O 、H 共圆，得sin EH AO A =（A ∠即BAD ∠，余同），同理sin FG CO C == sin(180)sin CO A CO A ︒-=⋅，故sin EH FG AC A +=，同理sin EF GH BD B +=．
题12.2.2
C
D
B
P
E
F
A
题12.2.3
P
O
C
F
B E
A
P N
M L C
B
A
C
G
F
O
D
B
H
E
A
