2019-2020学年吉林省辽源市第五中学高一下学期期中考试数学(理)试卷

吉林省辽源市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共26分)1. （2分）交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A . 920B . 960C . 808D . 12002. （2分）已知α，β，γ是不重合的平面，a，b是不同的直线，则下列说法正确的是（）A . “若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件B . “若a∥b，a⊂α，则b∥α”是必然事件C . “若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D . “若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件3. （2分） (2018高一下·北京期中) 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若B＝45°，，则A＝（）A . 15°B . 75°C . 75°或105°D . 15°或75°5. （2分） (2018高一下·北京期中) 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a，乙掷出的点数记为b，则｜a－b｜≤1的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·北京期中) 若a，b是异面直线，则与a，b都平行的平面（）A . 不存在B . 有无穷多个C . 有且仅有一个D . 不一定存在7. （2分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若∠ABC＝，，则sin∠BAC＝（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·北京期中) 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·北京期中) 为了了解高一年级学生的体锻情况，学校随机抽查了该年级20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·北京期中) 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A . 0.5小时B . 1小时C . 1.5小时D . 2小时11. （2分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，给出以下条件，有唯一解的是（）A . ，A＝30°B . ，A＝60°C . ，B＝120°D . . ，A＝60°12. （2分） (2018高一下·北京期中) 同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是（）A . 5B . 6C . 7D . 813. （2分） (2018高一下·北京期中) 某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。

吉林省辽源市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共20题；共40分)1. （2分）设集合M={x|f（x）=0}，N={x|g（x）=0}，则方程f（x）•g（x）=0的解集是（）A . M∩NB . M∪NC . M、N中的某一个D . 不确定2. （2分）已知，则点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）已知，(0, π)，则tana=（）A . -1B .C .D . 14. （2分）已知，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·田阳月考) 的值等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·包头期中) 为得到函数y=sin（2x+ ）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A . 向右平移长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移长度单位7. （2分）平面向量与夹角为60°，，，则（）A .B . 12C . 4D . 28. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知函数，则的最小正周期和最大值分别为（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 已知点，向量，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知向量，，若，则实数（）A .B .C . 3D .11. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 已知为锐角，且，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分）化简（）A .B .C . 3D . 113. （2分）以下推导过程中，有误的是（）A .B .C .D .14. （2分）函数的最小值是（）A .B . -2C . -1D .15. （2分）使cosx=1﹣m有意义的m的取值为（）A . m≥2B . m≤0C . 0≤m≤2D . m＜﹣1或m＞116. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 中的对边分别是其面积，则中的大小是（）A .B .C .D .17. （2分） (2017高一下·廊坊期末) 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为a米和b米，测得灯塔A在观察站C西偏北60°，灯塔B在观察站C北偏东60°，则两灯塔A、B间的距离为（）A . 米B . 米C . 米D . 米18. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 在中，若，则是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 直角三角形或钝角三角形19. （2分） (2016高二上·临泉期中) 在△ABC，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形20. （2分）(2019高一下·雅安月考) 已知中，内角所对的边分别为，那么（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)21. （1分） (2017高二下·故城期末) 在平行四边形中，为一条对角线，，，则 ________．22. （1分） (2017高二上·集宁月考) 已知锐角三角形的三边长分别为 ,则的取值范围为________.23. （1分） (2016高一下·漳州期末) 如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一个生命迹象，这是它向右转135°可回到出发点，那么x=________（单位：m）．24. （1分） (2018高一下·威远期中) 在下列四个命题中：①已知大小分别为与的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角为;②已知，，则；③若A,B,C是斜的三个内角，则恒有成立；④已知，则的大小为 ;其中错误的命题有________.（写出所有错误命题的序号）三、解答题 (共2题；共15分)25. （10分）(2018高一下·长春期末) 在中,角所对的边分别为 ,且.（1）求 ;（2）若 ,求的周长.26. （5分） (2017高二下·河北期末) 已知分别是的内角所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，求边b的长.参考答案一、单选题 (共20题；共40分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、二、填空题 (共4题；共4分) 21-1、22-1、23-1、24-1、三、解答题 (共2题；共15分) 25-1、25-2、26-1、26-2、。

姓名，年级：时间：数学试题(理）一、选择题（ 本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知A=}22|{≤≤-x x ，函数)1lg(x y -=的定义域为B,则A B=（ ） A. ［-2，1） B 。

（-∞,1) C 。

（-∞，2］ D.［-2，+∞)2.已知函数log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >,且1a ≠），则((1))f f -=（ )A ．1B ．0C ．—1D ．a 3。

函数2213)(-+=x x f x 的零点所在的区间是（ ）A. （—2,—1）B.（-1,0）C.(0，1) D 。

（1，2） 4.若1tan |tan |cos |cos |sin |sin |-=++xx x x x x ,则x 一定不是（ ) A ．第四象限角 B ．第三象限角 C ．第二象限角 D ．第一象限角5.下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（ ）A. 2||y x x =+B.22x x y -=- C 。

13x y x =- D.1ln 1x y x +=- 6.若函数ax x f -6)(=在［0,3］上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A.（0,2) B. (]20， C. （1，2) D.(]21， 7。

已知0x 是函数312)(--=x x f x 的一个零点，若),(),,3(0201+∞∈∈x x x x 则（ ）A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f < C.0)(,0)(21<<x f x f D 。

0)(,0)(21>>x f x f8。

函数12-=x y 的定义域为)5,2[)1,( -∞则其值域是（ ） A. ),0(+∞ B 。

]2,(-∞ C.),2[)21,(+∞-∞ D 。

]2,21()0,( -∞9.已知为则απαααtan ),,0(,51cos sin ∈-=+( ）A.4334--或B.34- C 。

数学试题（理）一、选择题( 本题共12小题，每小题5分，共60分。

)1.一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生1600名，其中高三学生400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是（）A. 10B. 15C. 20D. 302.有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A. 48B. 60C. 64D. 72t=-，则输出的n的值为（）3．执行如图所示的程序框图，若输入的25A．3 B．4C．5 D．64.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：若根据表中提供的数据，求出y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.1528.1y x =-+，则 a 的值等于（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．65.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100B.99C.98D.976．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=35,S 8=S 28,则S n 最大值为 ( ) A.324B.196C.431D.5317. 设一元二次方程x 2+bx+c=0,若b,c 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为 ( ) A.B.C.D.8．已知n S 是等差数列)}({*N n a n ∈的前n 项和，且576S S S >>，有下列四个命题：①0<d ；②011>S ；③012<S ；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确命题的序号是（ ）A ．②③ B．①② C．①③ D．①④9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 10. 在△ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线AD=,则AC=( )A.3B. 6C.2D.511．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样 C ．这五名男生成绩的方差小于这五名女生成绩的方差 D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数12若△ABC 的面积为(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则c a的取值范围是 .A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,3)D. (2,3)产量x （万件） 14 16 18 20 22 单位成本y （元/件） 12 10 7a3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为14. 若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1, ∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝_________. 15. 在△ABC 中,B=60°,AC=,则AB+2BC 的最大值为___________.16. 在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

吉林省2020年高一下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·蚌埠月考) 若角满足条件，且，则在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2019高一下·乌鲁木齐期末) 若均为第二象限角，满足，，则（）A .B .C .D .3. （2分）若向量与不相等，则与一定（）A . 有不相等的模B . 不共线C . 不可能都是零向量D . 不可能都是单位向量4. （2分）下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .5. （2分）如图，空间四边形中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则（）A .B .C .D .6. （2分）函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向左平移个长度单位7. （2分）如图所示，D是的边AB上的中点，则向量=（）A .B .C .D .8. （2分）函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)(|φ|＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A . y=－4sin（）B . y=－4sin（）C . y=4sin（）D . y=4sin（）9. （2分） (2016高一下·东莞期中) sin7°cos37°﹣sin83°sin37°的值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .10. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分）已知中，sin2A=sin2B+sin2C,b cosB-c cosC=0,则是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形12. （2分）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A .B . -C .D . -二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·宝清模拟) 已知α∈（，π），且sin +cos = ，则cosα的值________．14. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知△ABC满足，则 =________，又设D是BC边中线AM上一动点，则 =________．15. （1分） (2017高一下·嘉兴期末) 若tan（θ+ ）= ，则tanθ=________．16. （1分） (2016高一下·内江期末) 函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x的单调增区间为________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2017高二下·瓦房店期末) 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.18. （10分） (2019高一下·上海期中) 如图，已知的半径为1，点在直径的延长线上，，点是半圆上的一个动点，以为边作正三角形，且点与圆心分别在两侧.（1）若，试将四边形的面积表示成的函数并写出定义域；（2）求出四边形面积的最大值，并写出面积取得最大值时的的值.19. （10分） (2017高三下·鸡西开学考) 已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ（O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？20. （10分） (2017高三上·古县开学考) 已知函数，g（x）=2ln（x+m）．（1）当m=0，存在x0∈[ ，e]（e为自然对数的底数），使，求实数a的取值范围；（2）当a=m=1时，设H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ，y2）（x1＞x2＞﹣1），使得H（x1）﹣H（x2）= ？请说明理由．21. （10分） (2019高二上·鸡泽月考) 已知函数，，（1）当时，求函数的最小值．（2）当时，对于两个不相等的实数，，有，求证：．。

吉林省辽源市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）四位二进制数能表示的最大十进制数是（）A . 4B . 15C . 64D . 1272. （2分）(2012·山东理) 执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A . 5B . 4C . 3D . 23. （2分）某年级有900名学生，随机编号为001，002，…，900，现用系统抽样方法，从中抽出150人，若015号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A . 036B . 081C . 136D . 7384. （2分） (2017高一下·淮北期末) 某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A . 100人B . 60人C . 80人D . 20人5. （2分） (2018高一下·北京期中) 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a，乙掷出的点数记为b，则｜a－b｜≤1的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017·青州模拟) 已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）B .C .D .8. （2分）下列说法正确的是（）A . 甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样B . 期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好C . 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好D . 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好9. （2分）已知集合，，，现给出下列函数：①②③④，若时，恒有，则所有可取的函数的编号是（）A . ①②③④B . ①②④C . ①②D . ④10. （2分）(2017·西安模拟) 已知，则tan2α=（）A .B .C . ﹣11. （2分）已知θ∈（﹣，0）且3tanθ•sinθ=8，则cos（﹣2θ）的值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .12. （2分）(2020·天津模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·河源期末) 如图所示的程序运行后输出的结果是________．14. （1分） (2016高一下·苏州期末) 利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为________．15. （1分） (2016高二下·福建期末) 投篮测试中，某同学投3次，每次投篮投中的概率相同，且各次投篮是否投中相互独立．已知他至少投中一次的概率为，则该同学每次投篮投中的概率为________．16. （1分）已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为1三、解答题 (共6题；共80分)17. （10分） (2016高一下·衡阳期中) 设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．18. （10分） (2016高二下·安徽期中) 甲、乙两人各自独立地进行射击比赛，甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击3次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．19. （15分） (2018高三上·西安模拟) 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？生产能手非生产能手合计25周岁以上组25周岁以下组合计2.7063.841 6.63510.828附：20. （15分） (2015高二上·葫芦岛期末) 为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：（1）求出表中m、n、M，N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：分组频数频率[0，30）30.03[30，60）30.03[60，90）370.37[90，120）m n[120，150）150.15合计M N（2）若我市参加本次考试的学生有18000人，试估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数；（3）为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率．21. （15分） (2016高二上·惠城期中) 某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：xi（月）12345yi（千克）0.50.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式： = ，）22. （15分） (2016高一上·徐州期末) 某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxf（x）0 30 ﹣30（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣， ]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共80分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

吉林省辽源五中2020学年高一数学下学期期中试题 理一、选择题（每小题5分，共60分）1．若0a b >>， 0c <，则 （ ） A. c c a b < B. bc ac > C. 11ac bc< D. 22ac bc > 2．已知的三边满足，则的内角C 为（ ）A. B. C.D. 3．下列说法中正确的是 （ ）A. 在正三棱锥中,斜高大于侧棱B. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥D. 有一个面是多边形,其余各面均为三角形的几何体是棱锥4. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，若1,7,120a b B ===o ，则c =（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 35．已知,x y 都是正数 , 且211x y+=则x y +的最小值等于 （ ） A. 6 B. 42 C. 322+ D. 422+6．函数2cos 2sin y x x =+，R ∈x 的值域是( ) A ．]1,0[ B ．]1,21[ C ．]2,1[- D ．]2,0[ 7．在下列函数中，最小值时 的是（ ）A.B. C. D.8. 已知等差数列{}n a 中， π2019111021=+++a a a a ，则()6cos a -=（ ）A. 22B. 22-C. 22± D. 0 9．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕BC 边所在直线旋转一周， 则所形成的旋转体的体积是( )A. 4πB. 34πC. 3πD. 32π 10．已知数列{a n }是等差数列，若121110a a +<，且它的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为（ ）A. 11B. 12C. 21D. 2211．当(],1x ∈-∞-时，不等式()2420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()1,2-B. ()4,3-C. ()3,4-D. ()2,1-12．已知数列{}n a 是各项均不为0的正项数列， n S 为前n 项和，且满足2+1n n S a =， *n N ∈，若不等式()1281nn n S a λ+≤+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值为A. 21-B. 15-C. 9-D. 2-二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．已知1tan ,2α=则cos2α=_____________ 14．设等比数列{a n }的前项和S n =2n -1（n ∈N *）,则a 12+a 22+…+a n 2=__________ 15．当[]1,1a ∈-时,不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为__________ 16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，A=6π,且()22513a bc -=-，则ABC ∆面积的最大值_______________三、解答题：17．（本题10分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,且.（1）确定角的大小； （2）若，且的面积为，求a b +的值.18．（本题12分）已知数列{}n a 满足12a =，且1122n n n a a ++=+， *N n ∈.（1）设2n n n a b =，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19. （本题12分）已知ABC ∆,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-v v，且//m n v v .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围. 20. （本题12分）(1)已知关于x 的不等式20x ax b -++>，(),a b R ∈的解集为{}|13,A x x x R =-<<∈．求a b +的值.(2)求解关于x 的不等式()22140mx m x -++>，其中m 为常数.21. （本题12分） 已知数列{}n a 满足n n n a a a a 222212321=++++-Λ,*N n ∈. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)设)1)(1(1--=+n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 22. （本题12分）已知数列{}n a 满足01=a ，1)1(11+++=+n n a a n n （1）证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n 1 是等差数列， 并求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前前n 项和为n S ，证明12+<n n S n 1.D 2.C 3.B 4. C. 5. C. 6.A7.D 8.B 9. D 10.C 11.A 12. D【解析】由+1n a =得114({4(nn a n a n S S --==,()()221411n n n a a a -∴=+-+,整理得()()1120n n n n a a a a --+--=,数列{}n a 是各项均不为0的正项数列, 12n n a a -∴-=,由+1n a =,令1n =可得()1112121n a a n n =∴=+-=-， 2n S n ∴=,不等式()1281n n n S a λ+≤+-即()8124nn n λ-≤++,当n 为偶数时， 104n λ≤+， 1044n +>Q , 4λ≤,当n 为奇数时， 64n λ≤-， 64n-单调递增， 1n =取最小2-， 2λ∴≤-，综上可得2λ≤-，所以实数λ的最大值为2-.13．3514. 413n - 15. 1x <或3x >16. 2512 17.(1),由正弦定理得又，， 又（2)由已知得，在中，由余弦定理得即， 又， 18.（1）把2n n n a b =代入到1122n n n a a ++=+，得1111222n n n n n b b ++++=+，两边同除以12n +，得11n n b b +=+，∴{}n b 为等差数列，首项1112a b ==，公差为1， ∴()*N n b n n =∈.（2）由22n n n n n a b n a n ==⇒=⨯， ∴1331222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯L2342122232n S ⇒=⨯+⨯+⨯ ()1122n n n n +++-⨯+⨯L ，两式相减，得1232222n n S -=++++-L ()112122n n n n ++⨯=-⨯-()()1*122N n n S n n +⇒=-⨯+∈.19.（1）由//m n v v ，得(2)0b c cosA acosB -+=. 由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=， 即()2sin CcosA sin A B sinC =+=.在ABC ∆中，由0sinC >， 得1cos 2A =. 又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===. 由余弦定理， 得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭， 整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤.所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.20.（1）【解析】易知11x =-和23x =是20x ax b --=的两个根， ∵根据韦达定理可知1212{ x x a x x b+==-， ∴132a =-+=， 12133b x x =-=⨯=， ∴5a b +=．21.22.。

2019-2020学年吉林省辽源五中高一（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知点A(−4,−2)，B(5,10)，直线l 过点O(0,0)且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A. (−∞,12]∪[2,+∞) B. [12,2] C. [2,+∞)D. (−∞,12]2. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若a 1+a 2+a 3=2，S 6=9S 3，则S 9=( )A. 50B. 100C. 146D. 1283. 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为( )A. 110B. 16C. 15D. 564. 甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足x ，a ，b ，y 成等比数列，则a +b 的最小值为( )A. 4B. 8C. 2√2D. 4√25. △ABC 的顶点A(4,3)，AC 边上的中线所在的直线为4x +13y −10=0，∠ABC 的平分线所在直线方程为x +2y −5=0，求AC 边所在直线的方程( )A. 2x −3y +1=0B. x −8y +20=0C. 3x −5y +3=0D. x −y +1=06. 在等差数列{a n }中，已知a 1=2，a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于( )A. 40B. 42C. 43D. 457. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y ≤2x −y ≥1y ≥0，目标函数z =y+1x+3的最大值是( )A. 23B. 49C. 59D. 138. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a9.在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=√3BD，sinC=√66，则BCBD=()A. √2B. √3C. 2D. 310.△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，若b=2√3，且△ABC的面积为S=−√34(a2+ c2−b2)，则a+c的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 411.若不等式1x +11−4x≥m，对x∈(0,14)恒成立，则实数m的最大值为()A. 7B. 8C. 9D. 1012.已知直线x+2y+√5=0与直线x−dy+11√5=0互相平行且距离为m.等差数列{a n}的公差为d，且a7⋅a8=35，a4+a10<0，令S n=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|，则S m的值为()A. 36B. 44C. 52D. 60二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l：kx−y+2−k=0过定点M，点P(x,y)在直线2x+y−1=0上，则|MP|的最小值是______ ．14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且√3(bsinC−ccosBtanC)=a.若△ABC 的内切圆面积为4π，则△ABC面积S的最小值______ ．15.已知数列{a n}满足a n+2+a n=a n−1(n∈N∗)，且a1=1，a2=2，则a2018=______．16.对于△ABC，有如下命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形．(2)若sinA=sinB，则△ABC一定为等腰三角形．(3)若sin2A+sin2B+cos2C<1，则△ABC一定为钝角三角形．(4)若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______ .(把所有正确的命题序号都填上)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x−2y=0的距离为√55．求该圆的方程．18.已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(Ⅰ)证明：a+b=2c；(Ⅱ)求的最小值．19.已知数列{a n}是等差数列，a2=3，a5=6，数列{b n}的前n项和为S n，且2b n−S n=2．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)记c n=a n+2中，求数列{c n}的前n项和T n．a n⋅a n+1⋅b n20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB(p∈R)，b2．且ac=14(Ⅰ)当p=5，b=1时，求a，c的值；4(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围．21.已知函数f(x)=x2−2ax，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，求满足f(x)<0的x的取值范围；(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)<3a2；(Ⅲ)若对于任意的x∈(2,+∞)，f(x)>0均成立，求a的取值范围．22.已知数列{a n}的前n项和S n满足√S n+1=√S n+1，且a1=1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1，且数列{b n}的前n项和T n满足6T n<t2−2t对任意正整数n恒成a n a n+1立，求实数t的取值范围；)n⋅a n+1，问：是否存在正整数m，使得c m≥c n对一切正整数n恒成(3)设c n=(34立？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：作出图形如图所示，因为点A(−4,−2)，B(5,10)，,k OB=2，故k OA=12要使得l与线段AB有公共点，．则直线l的斜率的取值范围为k≥2或k≤12故选：A．由题意画出图形，求出OA，OB连线的斜率，由图形即可得到答案．本题考查了直线斜率的求解，涉及了两点间斜率公式的应用，数形结合法的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．2.【答案】C【解析】解：根据题意：S3=a1+a2+a3=2，S6=9S3=18，则S6−S3=18−2=16，根据等比数列的性质可知，S3，S6−S3，S9−S6构成等比数列，故(S6−S3)2=S3(S9−S6)，即S9−S6=128，故S9=S6+128=146，故选：C．根据题意，分析可得S6−S3=16，进而由等比数列的性质可知，(S6−S3)2=S3(S9−S6)，即S9−S6=128，变形可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，涉及等比数列的性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意，观光车的发车时段为60分钟，即等待时间的区间为(0,60)，设等待时间为x，则等待时间不多于10分钟的等待时间区间为(0,10)，由几何概型可得，等待时间不多于10分钟的概率为P =1060=16． 故选：B ．将等待时间转化为区间表示，然后利用区间长度之比求解即可．本题考查了几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为甲的中位数为81，故x =1， 因为乙的平均数为86，则y =4，又正实数a ，b 满足x ，a ，b ，y 成等比数列， 所以ab =xy =4，则a +b ≥2√ab =4，当且仅当a =b =2时取等号， 所以a +b 的最小值为4． 故选：A ．由中位数和平均数的定义求出a ，b 的值，再利用等比数列的性质求出ab =4，然后由基本不等式求解最值即可．本题考查了茎叶图的理解和应用，中位数以及平均数的应用，利用基本不等式求解最值，考查了识图能力与逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：联立方程组{x +2y −5=04x +13y −10=0，解得{x =9y =−2，所以点B(9,−2)，设点A(4,3)关于直线x +2y −5=0的对称点为A′(x 0,y 0)，则有{3−y 04−x⋅(−12)=−14+x 02+2×3+y 02−5=0，解得{x 0=2y 0=−1，所以点A′(2,−1)， 因为点A′在直线BC 上， 则直线BC 的方程为y −(−1)=−2−(−1)9−2(x −2)，即x +7y +5=0， 设点C(x 1,y 1)，则AC 的中点坐标为(x 1+42,y 1+32)，所以{x 1+7y 1+5=02(x 1+4)+132(y 1+3)−10=0，解得{x 1=−12y 1=1，所以点C(−12,1)，故k AC =3−14−(−12)=18，则AC 边所在直线的方程为y −3=18(x −4)，即x −8y +20=0． 故选：B ．先求出B 的坐标，再利用点关于直线的对称点，求出点A(4,3)关于直线x +2y −5=0的对称点A′的坐标，利用A′在直线BC 上，求出直线BC 的方程，设C 点的坐标，建立方程组，求出点C ，即可求出直线AC 的方程．本题考查了直线方程的求解与应用，中点坐标公式的应用，点关于直线的对称点的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．先根据a 1=2，a 2+a 3=13求得d 和a 5，进而根据等差中项的性质知a 4+a 5+a 6=3a 5求得答案． 【解答】解：在等差数列{a n }中，已知a 1=2，a 2+a 3=13， 得d =3，a 5=14， ∴a 4+a 5+a 6=3a 5=42． 故选：B ．7.【答案】D【解析】解：不等式所表示的平面区域如图所示： 因为z =y+1x+3表示过可行域内的点(x,y)与点M(−3,−1)的直线的斜率，由{x +y −2=0x −y −1=0，解得A(32,12)，这时k MA =12−(−1)32−(−3)=13， 故目标函数z =y+1x+3的最大值是13， 故选：D ．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.【答案】D【解析】解：由已知得：a=110(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)= 14.7；b=12(15+15)=15；c=17，∴c>b>a．故选：D．先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．本题考查平均数为，中位数，众数的求法，是基础题，解题时要认真审题．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式，属于中档题．由题意可设AB=AD=x，BD=2√33x，△ABD中，由余弦定理cosA=AB2+AD2−BD22AB⋅AD可求cos A，然后结合同角三角函数平方关系可求sin A，△ABC中，由正弦定理ABsinC =BCsinA，可求BC，即可．【解答】解：由题意可设AB=AD=x，BD=2√33x，△ABD中由余弦定理可得，cosA=AB2+AD2−BD22AB⋅AD =x2+x2−43x22x2=13，∵A∈(0,π)，∴sinA=2√23，∵sinC=√66，△ABC中，由正弦定理可得，ABsinC =BCsinA，2√23=√66，∴BC =4√3x3则BCBD =4√33x 2√3x 3=2，故选：C ．10.【答案】D【解析】解：由余弦定理可得：2accosB =a 2+c 2−b 2， ∵△ABC 的面积为S =−√34(a 2+c 2−b 2)，∴12acsinB =−√34⋅2ac ⋅cosB ，∴tanB =−√3， 又∵0<B <π， ∴B =2π3，∵(2√3)2=b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−ac ≥(a +c)2−(a+c)24=3(a+c)24，∴(a +c)2≤16，即a +c =4，当且仅当a =c 时，等号成立， ∴a +c 的最大值为4， 故选：D ．运用已知条件，以及余弦定理，可得B =2π3，再结合均值不等式，即可求解．本题考查余弦定理及运用，以及均值不等式的使用，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵对x ∈(0,14)，1x +11−4x =[4x +(1−4x)]⋅(1x +11−4x )=4+4x1−4x +1−4x x+1≥5+2√4x1−4x ⋅1−4x x=9，∴式子1x +11−4x 的最小值为9， ∵1x +11−4x ≥m ，对x ∈(0,14)恒成立，∴9≥m ，对x ∈(0,14)恒成立，则实数m 的最大值为9， 故选：C ．由题意利用基本不等式求得式子1x +11−4x 的最小值，可得实数m 的最大值． 本题主要考查基本不等式在处理不等式恒成立问题中的应用，属于中档题．12.【答案】C【解析】 【分析】根据平行线的距离求出d =−2，以及m =10，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和．考查两平行直线的距离及等差数列{a n }的前n 项的绝对值的和，属于中档题． 【解答】解：由两直线平行得d =−2，由两平行直线间距离公式得m =√5−√5|√1+22=10，∵a 7⋅(a 7−2)=35得a 7=−5或a 7=7． ∵a 4+a 10=2a 7<0， ∴a 7=−5， ∴a n =−2n +9，∴S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52． 故选：C ．13.【答案】3√55【解析】解：直线l ：kx −y +2−k =0，即k(x −1)−y +2=0，令参数k 的系数x −1=0，求得x =1，y =2，故直线l 过定点M(1,2)， 点P(x,y)在直线2x +y −1=0上，∴y =1−2x ，∴|MP|=√(x −1)2+(1−2x −2)2=√5x 2+2x +2=√5(x +15)2+95，故当x =−15时，|MP|取得最小值为3√55，故答案为：3√55． 令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得|MP|的最小值．本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题．14.【答案】12√3【解析】解：因为√3(bsinC−ccosBtanC)=a，所以√3(sinBsinC−cosBcosC)=sinA，即−√3cos(B+C)=sinA，所以√3cosA=sinA，即tanA=√3，所以A=π3．由题意知△ABC内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I，M，N为切点，则，AI=4，AM=AN=2√3，从而a=b+c−4√3，由余弦定理得(b+c−4√3)2=b2+c2−bc，整理得3bc+48=8√3(b+c)≥16√3√bc，解得bc≥48(bc≤163舍去)，从而S=12bcsinA≥12×48×√32=12√3．即△ABC面积S的最小值为12√3．故答案为：12√3．由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得tan A，结合A为锐角，可求A 的值，由题意知AI=4，AM=AN=2√3，可求a=b+c−4√3，利用余弦定理，基本不等式可求bc≥48(bc≤163舍去)，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：∵a n+2+a n=a n+1，∴a n+3=a n+2−a n+1=a n+1−a n−a n+1=−a n，可知数列的周期为6，所以a2018=a6×336+2=a2=2，故答案为：2．根据已知可以推出数列周期为6，利用数列周期性求解即可．本题考查数列递推式和周期数列的应用，难度适中．16.【答案】(2)(3)(4)【解析】【分析】本题借助命题考查三角形的有关知识，属于一般题．根据正余弦定理及两角和差的正切公式，对四个选项逐一判断即可．【解答】解：(1)2A=2B或2A+2B=π，∴△ABC为等腰或直角三角形，故(1)不正确．或，又，不可能成立，故A=B，△ABC一定是等腰三角形，故(2)正确．(3)由sin2A+sin2B+cos2C<1可得sin2A+sin2B<sin2C由正弦定理可得a2+b2<c2再由余弦定理可得cosC<0，C为钝角，命题(3)正确．(4)∵tanA+tanB=tan(A+B)(1−tanAtanB)=−tanC(1−tanAtanB)∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0∴A、B、C全为锐角，命题(4)正确．故答案是(2)(3)(4)．17.【答案】解：设所求圆心为P(a,b)，半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，∴劣弧所对的圆心角为90°，故r=√2b，即r2=2b2，∴2b2−a2=1①，又∵P(a,b)到直线x−2y=0的距离为√55，即√5=√55，即a−2b=±1.②解①②组成的方程组得：{a =1b =1或{a =−1b =−1，于是即r 2=2b 2=2，∴所求的圆的方程为(x +1)2+(y +1)2=2或(x −1)2+(y −1)2=2．【解析】依题意，可设所求圆心为P(a,b)，半径为r ，由①截y 轴所得的弦长为2可得r 2=a 2+1；由②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1可知劣弧所对的圆心角为90°，从而有r =√2b ；再由③圆心到直线l ：x −2y =0的距离为√55可得a −2b =±1，综合可求得a ，b 的值，从而可得该圆的方程．本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：由2(tanA +tanB)=tanAcosB +tanBcosA 得：2(sinA cosA+sinB cosB)=sinA cosAcosB+sinB cosAcosB；∴两边同乘以cos A cos B 得，2(sinAcosB +cosAsinB)=sinA +sinB ； ∴2sin(A +B)=sinA +sinB ； 即sinA +sinB =2sinC(1)；根据正弦定理，asinA =bsinB =csinC =2R ； ∴sinA =a 2R,sinB =b 2R,sinC =c 2R，代入(1)得：a2R +b2R =2c2R ； ∴a +b =2c ； (Ⅱ)a +b =2c ；∴(a +b)2=a 2+b 2+2ab =4c 2；∴a 2+b 2=4c 2−2ab ，且4c 2≥4ab ，当且仅当a =b 时取等号； 又a ，b >0； ∴c 2ab ≥1；∴由余弦定理，cosC =a 2+b 2−c 22ab=3c 2−2ab 2ab=32⋅c 2ab −1≥12；∴cosC 的最小值为12．【解析】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a 2+b 2≥2ab 的应用，不等式的性质．(Ⅰ)由切化弦公式tanA =sinAcosA ,tanB =sinBcosB ，带入2(tanA +tanB)=tanAcosB +tanBcosA 并整理可得2(sinAcosB +cosAsinB)=sinA +cosB ，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA +sinB =2sinC ，从而根据正弦定理便可得出a +b =2c ；(Ⅱ)根据a +b =2c ，两边平方便可得出a 2+b 2+2ab =4c 2，从而得出a 2+b 2=4c 2−2ab ，并由不等式a 2+b 2≥2ab 得出c 2≥ab ，也就得到了c 2ab≥1，这样由余弦定理便可得出cosC =3c 22ab−1，从而得出cos C 的范围，进而便可得出cos C 的最小值．19.【答案】解：(1)由已知得{a 1+d =3a 1+4d =6，解得a 1=2，d =1，所以a n =n +1，当n =1时，2b 1−b 1=2，∴b 1=2① {2b n −S n =2当n ≥2时,2b n−1−S n−1=2，当n ≥2时，b n =2b n−1② 由①，②得b n =2n ．(2)由(1)知，所以c n =n+32n ⋅(n+1)⋅(n+2)⇒c n =12n−1⋅(n+1)−12n ⋅(n+2)⇒T n =(120⋅2−121⋅3)+(121⋅3−122⋅4)+(122⋅4−123⋅5)+⋯+(12n−1⋅(n+1)−12n ⋅(n+2)) ∴T n =12−12n ⋅(n+2)．【解析】(1)利用已知条件求解首项与公差，求出数列{a n }的通项公式；通过2b n −S n =2求出首项与公比，即可求解数列{b n }的通项公式； (2)化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题设并利用正弦定理得{a +c =54ac =14， 故可知a ，c 为方程x 2−54x +14=0的两根，进而求得a =1，c =14或a =14，c =1． (Ⅱ)由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −2accosB =p 2b 2−12b 2cosB −12b 2，即p 2=32+12cosB ， 因为0<cosB <1， 所以p 2∈(32,2)，由题设知p ∈R ，所以√62<p <√2或−√2<p <−√62，又由sinA +sinC =psinB ，知p 是正数， 故√62<p <√2即为所求， 所以p 的取值范围是(√62,√2)．【解析】本题考查了解三角形问题，正弦定理和余弦定理，属于中档题． (Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a 和c 的值． (Ⅱ)先利用余弦定理求得a ，b 和c 的关系，把题设等式代入表示出p 2，进而利用cos B 的范围确定p 2的范围，进而确定p 的范围．21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，当a =1时，f(x)=x 2−2x ，所以f(x)<0，即x 2−2x <0，解得0<x <2． 所以f(x)<0的解集为(0,2)；(Ⅱ)由f(x)<3a 2，得 x 2−2ax −3a 2<0， 所以 (x −3a)(x +a)<0， 当a >0时，解集为(−a,3a)； 当 a =0时，解集为空集； 当a <0时，解集为(3a,−a)．(Ⅲ)f(x)>0，即x 2−2ax >0，变形可得2ax <x 2． 又由x ∈(2,+∞)，则a <x2在x ∈(2,+∞)上恒成立； 则有a ≤1．即a 的取值范围是(−∞,1]．【解析】(Ⅰ)根据题意，当a =1时，f(x)=x 2−2x ，所以f(x)<0，即x 2−2x <0，解可得x 的取值范围，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由f(x)<3a 2，得 x 2−2ax −3a 2<0，变形可得(x −3a)(x +a)<0，按a 的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案；(Ⅲ)f(x)>0，即x 2−2ax >0，变形可得2ax <x 2，结合x 的范围可得a <x2在x ∈(2,+∞)上恒成立；据此分析可得答案．本题考查二次函数的性质以及一元二次不等式的解法，涉及函数恒成立问题，属于基础题．22.【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和S n 满足√S n+1=√S n +1，且a 1=1．∴√S n+1−√S n =1，√S 1=1．∴数列{√S n }是等差数列，首项与公差都为1． ∴√S n =1+n −1=n ， ∴S n =n 2．n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1． n =1时，a 1=S 1=1，对于上式成立． ∴a n =2n −1． (2)b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{b n }的前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯…+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12， ∵满足6T n <t 2−2t 对任意正整数n 恒成立， ∴6×12≤t 2−2t ，解得：t ≥3或t ≤−1．∴实数t 的取值范围是t ≥3或t ≤−1． (3)设c n =(34)n ⋅a n+1=(34)n ⋅(2n +1)，c n+1−c n =(34)n+1(2n +3)−(34)n ⋅(2n +1)=(34)n ⋅5−2n 4，可得：c 1<c 2<c 3>c 4>⋯…．∴存在正整数m =3，使得c m ≥c n 对一切正整数n 恒成立．【解析】(1)数列{a n }的前n 项和S n 满足√S n+1=√S n +1，且a 1=1．√S n+1−√S n =1，利用等差数列的通项公式可得：S n .n ≥2时，a n =S n −S n−1.n =1时，a 1=S 1，可得a n ． (2)b n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用裂项求和可得：数列{b n }的前n 项和T n ，根据单调性可得T n 的最值情况，再根据满足6T n <t 2−2t 对任意正整数n 恒成立，即可得出实数t 的取值范围．(3)设c n =(34)n ⋅a n+1=(34)n ⋅(2n +1)，通过作差可得其单调性，即可得出结论． 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。