高中数学 第二章 平面向量 2.22.2.3 向量数乘运算及其几何意义练习 新人教A版必修4

2．2.3向量数乘运算及其几何意义向量的数乘运算[提出问题]问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？提示:按三角形法则，｜a＋a|＝2|a｜。

问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？提示：可以．问题3：3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？提示：3a与a方向相同．－3a与a方向相反．［导入新知］1．向量数乘运算一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作λa，其长度与方向规定如下：(1)｜λa|＝|λ｜|a｜;(2)λa(a≠0)的方向错误!特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0错误!0。

2．向量数乘的运算律设λ,μ为实数，则（1）λ(μ a)＝(λμ)a；（2）(λ＋μ）a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b)＝λa＋λb.特别地,（－λ)a＝－（λa)＝λ(－a），λ(a－b）＝λa－λb。

[化解疑难］从两个角度看数乘向量(1）代数角度：λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量;另外,λa＝0的条件是λ＝0或a＝0。

（2）几何角度：对于向量的长度而言,①当|λ|〉1时，有|λa|>｜a｜,这意味着表示向量a的有向线段在原方向（λ>1)或反方向(λ〈－1）上伸长到｜a|的|λ|倍；②当0〈|λ｜〈1时，有|λa|<｜a｜，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1〈λ<0）上缩短到|a｜的|λ|倍.共线向量定理[提出问题］问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况?提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．问题2:根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0）的方向有何关系？提示:相同或相反．问题3：向量a与λa（λ为常数）共线吗？提示：共线．［导入新知］1．共线向量定理向量a（a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ,使b＝λa。

课时作业(二十一) 2.2.3 向量数乘运算及其几何意1．若3x －2(x －a )＝0，则向量x 等于( ) A ．2a B ．－2a C ．25a D ．－25a答案 B解析 由题知3x －2x ＋2a ＝0，∴x ＝－2a .2．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且d 与c 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且d 与c 反向答案 D解析 由c ∥d ，得c ＝λd ，∴k a ＋b ＝λ(a －b )即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，即c ＝－a ＋b 且c ＝－d . 3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形答案 A解析 AB →＝a ＋2b ，CD →＝－5a －3b ，因为a 与b 不共线，所以AB →与CD →不共线，所以AB 与CD 不平行．又AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，显然AD →＝2BC →，所以AD∥BC，所以四边形ABCD 为梯形，故应选A.4．设e 是与向量AB →共线的单位向量，AB →＝3e ，又向量BC →＝－5e ，若AB →＝λAC →，则λ＝( ) A.23 B.32 C ．－32D ．－23答案 C解析 AC →＝AB →＋BC →＝3e －5e ＝－2e ，由AB →＝λ·AC →得3e ＝λ·(－2)·e ，∴λ＝－32.5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13C ．－13D ．－23答案 A解析 ∵CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋2DB →＝CA →＋2(CB →－CD →) ＝CA →＋2CB →－2CD →， ∴3CD →＝CA →＋2CB →. ∴CD →＝13CA →＋23CB →.∴λ＝23，故选A.6．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a|a |B ．a ＝|a |eC ．a ＝－|a |eD ．a ＝±|a |e答案 D解析 对于A ，当a ＝0时，a|a |没有意义，错误 对于B 、C 、D 当a ＝0时，选项B 、C 、D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D.7．平面上点P 与不共线三点A 、B 、C 满足关系：PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则下列结论正确的是( ) A ．P 在CA 上，且CP →＝2PA → B ．P 在AB 上，且AB →＝2PB → C ．P 在BC 上，且BP →＝2PC →D ．P 点为△ABC 的重心答案 A解析 ∵AB →＝AP →＋PB →，∴PA →＋PB →＋PC →＝AP →＋PB →.∴PA →－AP →＝－PC →，∴CP →＝2PA →.∴P 在CA 上，且CP →＝2PA →，故选A.8．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →答案 A解析 延长OD 至E ，使|DE →|＝|OD →|， ∵OB →＋OC →＝OE →＝2OD →，∴2OA →＋OB →＋OC → ＝2OA →＋2OD →＝0. ∴OA →＋OD →＝0.∴OD →＝－OA →＝AO →，故选A.9．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.答案35 －2510．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)． 答案14b －14a 11．若▱ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，PO →＝a ，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝________． 答案 4a解析 PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝(PO →＋OA →)＋(PO →＋OB →)＋(PO →＋OC →)＋(PO →＋OD →)＝4PO →＝4a .12．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________． 答案43解析 设AB →＝a ，BC →＝b ，则AF →＝a ＋12b ，AE →＝b ＋12a ，AC →＝a ＋b ，所以AC →＝λAE →＋μAF →＝λ(b＋12a )＋μ(12b ＋a )＝(λ＋12μ)b ＋(12λ＋μ)a ＝a ＋b .又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43，故填43.13．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若三点A 、B 、D 共线，求k 的值．解析 BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， 因为A 、B 、D 共线，所以存在λ∈R ，使AB →＝λBD →， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，所以k ＝－8.►重点班·选做题14.如图所示，已知△AOB 中，点C 与点B 关于点A 对称，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解析 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →.∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.15．如图所示，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD.利用向量法证明M 、N 、C 三点共线．分析 转化为证明MC →∥MN →. 证明 设AB →＝a ，BC →＝b ，则MN →＝MB →＋BN →＝12a ＋13(－a ＋b )＝16a ＋13b ，MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，∴MC →＝3MN →.∴MC →∥MN →.又∵它们有公共点M ，∴M 、N 、C 三点共线．1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反答案 A解析 a ∥b 且|a |>|b |>0，所以当a 、b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a 、b 反向时，∵|a |>|b |，∴a ＋b 的方向仍与a 相同．2．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC →答案 C解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D解析 作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3.4．已知a ≠0，λ∈R ，下列叙述正确的是( )①λa ∥a ；②λa 与a 方向相同；③a|a |是单位向量；④若|λa |>|a |，则λ>1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④答案 B解析 ∵a ≠0，∴必有λa ∥a ，而a|a |是与a 同向的单位向量，故①、③正确；对于②，当λ>0时，λa 与a 同向，而λ<0时，λa 与a 反向；对于④，由|λa |>|a |⇒|λ|·|a |>|a |⇒|λ|>1⇒λ>1或λ<－1，故②、④错误．5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ[AB →|AB →|＋AC →|AC →|]，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 答案 B解析 AB →|AB →|表示向量AB →上以A 为始点的单位向量，记为e 1；AC →|AC →|表示向量AC →上以A 为始点的单位向量，记为e 2，由平行四边形法则可知，当λ∈[0，＋∞)时，λ·(e 1＋e 2)即为∠BAC 的内角平分线上以A 为始点的向量，作出图形可知，应选B. 6．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________． 答案 0解析 解析1：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0. 解析2：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.7．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________． 答案 2解析 ∵菱形ABCD 的边长为2，∴|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2.8．设e 1、e 2是两个不共线向量，b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )，a ＝2e 1－e 2，若a 、b 共线，则λ＝________． 答案 －12解析 由向量共线定理知，存在实数k ，满足b ＝k a ， 即e 1＋λe 2＝2k e 1－k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝1，－k ＝λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝－12.9．已知非零向量e 1、e 2不共线，若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．求证：A 、B 、D 三点共线．分析 证明三点A 、B 、D 共线等价于AB →∥BD →，由向量的加减法则以及平行向量基本定理，即可寻求出它们的关系．解析 BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，即存在实数λ＝5使得BD →＝λAB →，因此向量BD →与AB →共线，又因为它们有公共点B. ∴A 、B 、D 三点共线．10.如图所示，在正八边形ABCDEFGH 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EF →＝e ：(1)试用已知向量表示FB →； (2)试用已知向量表示CG →.解析 (1)由图可知，FB →＝－BF →＝－(b ＋c ＋d ＋e )；(2)由图可知，CG →＝c ＋d ＋e ＋FG →＝c ＋d ＋e －BC →＝c ＋d ＋e －b .11.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度： (1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .解析 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. ∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ， ∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义更上一层楼基础•巩固 1.31［21(2a +8b )-(4a -2b )］等于( ) A.2a -b B.2b -a C.b -a D.a -b 思路分析：原式=31(a +4b -4a +2b )=31(6b -3a )=2b -a . 答案：B 2.向量a 、b 共线的有( )①a =2e ，b =-2e ②a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e 2 ③a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 ④a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 思路分析：对于①②③中的向量a 与b ，都存在一个相应的实数λ，使a =λb ，而④中的两个向量，不存在实数λ使b =λa 成立.答案：A3.若O 是△ABC 内一点，OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的( )A.垂心B.重心C.内心D.外心 思路分析：∵OA +OB +OC =0，∴OA =-(OB +OC ).如图,OB +OC =OE =-OA .∴A、O 、E 三点共线，点D 为的中点.∴O 为三角形三条中线的交点，是它的重心.答案：B4.设=22(a +5b )，=-2a +8b ，=3(a -b )，则共线的三点是( ) A.A 、B 、C B.B 、C 、D C.A 、B 、D D.A 、C 、D 思路分析：∵+==(-2a +8b )+3(a -b )=a +5b ，∴=22.又与有公共点B ，∴A、B 、D 三点共线.答案：C综合•应用5.若|a |=m ，b 与a 的方向相反，且|b |=2，则a =__________.思路分析：由2||||m b a =，∴|a |=2m |b |. ∵b 与a 方向相反，∴b 与a 共线.∴a =2m -b . 答案：2m -b 6.下列四个命题：①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m(a -b )=m a -m b ；②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m-n)a =m a -n a ；③若m a =m b (m∈R )，则有a =b ；④若m a =n a (m 、n∈R ，a ≠0)，则m=n. 其中正确命题的序号为_________.思路分析：①②满足实数与向量积的运算律.③中若m=0，则m a =m b =0，不一定有a =b ；④中由m a =n a ，则(m-n)a =0,∵a ≠0，∴m -n=0.∴m=n.答案：①②④7.如图2-2-41所示，A 、B 、C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PA PC λ=+(1-λ)PA ，试证明.图2-2-41证明：因为向量BC 与向量BA 共线，根据向量共线定理可知BC =BA λ，即)(-=-λ，λλ-+=，)1(λλ-+=. 回顾•展望8.设e 1、e 2是两个不共线向量，已知AB =2e 1+m e 2，CB =e 1+3e 2.若A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值.解：∵A、B 、C 三点共线，∴、共线⇔存在实数λ，使=λ，即2e 1+m e 2=λ(e 1+3e 2)=λe 1+3λe 2， 解得⎩⎨⎧==.3,2λλm∴λ=2，m=6.。

高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。

£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义选题明细表基础巩固1.下列说法正确的是( C )(A)2a与a不能相等(B)|2a|>|a|(C)2a∥a(D)|2a|≠1解析:对A,当a=0时,有2a=a;对B,当|a|=0时,有2|a|=|a|;对C,显然正确;对D,当|a|=时,有|2a|=1.综上可知C正确.2.(3a+b+c)-(2a+b-c)等于( A )(A)a-b+2c (B)5a-b+2c(C)a+b+2c (D)5a+b解析:(3a+b+c)-(2a+b-c)=(3a-2a)+( b-b)+(c+c)=a-b+2c.故选A.3.已知a,b为两个非零向量,则下列说法正确的个数是( D )①2a与a方向相同,且2a的模是a的模的两倍;②-2a与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;③-2a与2a是一对相反向量;④a-b与-(b-a)是一对相反向量.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为2>0,所以2a与a的方向相同且|2a|=2|a|,①对.因为5>0,所以5a与a的方向相同且|5a|=5|a|,而-2<0;所以-2a与a的方向相反,且|-2a|=2|a|,所以5a与-2a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;②对.按照相反向量的定义判断,③对,④错;选D.4.(2018·延安市高一期末)已知向量, ,满足||=||+||,则( D )(A) = + (B) =- -(C)与同向(D)与同向解析:向量, ,满足||=||+||,所以点C在线段AB上,所以与同向.故选D.5.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ (λ,μ∈R),则λ+μ等于( B )(A)1 (B) (C) (D)解析:因为E为线段AO的中点,所以=+=+ ()=+=λ+μ,所以λ+μ=+=,故选B.6.若=t (t∈R),O为平面上任意一点,则= .(用,表示)解析: =t,-=t(-),=+t-t=(1-t) +t.答案:(1-t) +t7.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k= .解析:由题意知,ka+2b=λ(8a+kb)(λ<0).所以(k-8λ)a+(2-λk)b=0.又a,b不共线,所以解得λ=-,k=-4.答案:-48.如图在边长为a的正方形ABCD中,E,F分别为边BC,CD中点,设=a, =b,试用a,b表示向量,.解:因为=+=a, = + =b,所以解得=a-b,=b-a.能力提升9.(2019·台州市高一期中)已知e1,e2是平面内两个不共线向量, =e1-ke2, =2e1-e2, =3e1-2e2,若A,B,D三点共线,则k的值为( A )(A)2 (B)-3 (C)-2 (D)3解析:因为=2e1-e2, =3e1-2e2,所以=-=(3e1-2e2)-(2e1-e2)=e1-e2.而=+=e1-ke2+2e1-e2=3e1-(k+1)e2.因为A,B,D三点共线,所以与共线,所以存在唯一的实数λ,使得3e1-(k+1)e2=λ(e1-e2),解得k=2.故选A.10.(2018·天津市高一期末)如图所示,向量, ,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,设=a, =b, =c,若c=ma+nb,则m-n的值等于.解析:向量, ,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,则=+=-3=-3(+),即=+3-3.=a, =b, =c,若c=ma+nb,则c=-a+b,所以m-n=--=-2.答案:-211.设a,b是两个不共线的非零向量,若=a, =tb(t∈R), = (a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C 三点共线?解:因为=a, =tb, = (a+b),所以=-=tb-a,=-= (a+b)-a=b-a,因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使=λ,即tb-a=λ(b-a).由于a,b不共线,所以解得故当t=时,A,B,C三点共线.探究创新12.(2018·重庆市调研)如图所示,在△ABC中,D,F分别是AB,AC的中点,BF与CD交于点O,设=a, =b,试用a,b表示向量.解:由D,O,C三点共线,可设=k1=k1(-)=k1(b-a)=- k1a+k1b(k1为实数),同理,可设=k2=k2(-)=k2(b-a)=-k2a+k2b(k2为实数),①又=+=-a+(-k1a+k1b)=- (1+k1)a+k1b,②所以由①②,得-k2a+k2b=- (1+k1)a+k1b,即 (1+k1-2k2)a+(k2-k1)b=0.又a,b不共线,所以解得所以=-a+b.所以=+=a+(-a+b)= (a+b).。

必修四第二章 平面向量2.2.3 数乘向量1.已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=则||b = （）A. B. C.5 D. 252. 设a 、b 、c 是单位向量且a ·b ＝0则()()a c b c -•-的最小值为 ( )（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)13.已知平面向量(,1)a x =2(,)b x x =- 则向量+a b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线4. 已知向量 (1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 （ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 5．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 6.已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b （ ）（A ）垂直 （B ）不垂直也不平行 （C ）平行且同向 （D ）平行且反向7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则( )A ．PA ＋PB ＝0B ．PC ＋PA ＝0 C ．PB ＋PC ＝0D ．PA ＋PB ＋PC ＝08.已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．49.已知向量a ，b 满足1a =，2b =， a 与b 的夹角为60°，则a b -=10.已知点A 、B 、C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则关于x 的方程x 2OA ＋x OB ＋AC ＝0的解集为( )A ．∅B ．{－1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1－52，－1＋52D ．{－1,0}参考答案：1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】3a b -=10.【答案】A。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义主动成长夯基达标1.4(a -b )-3(a +b )-b 等于（ ）A.a -2bB.aC.a -6bD.a -8b 解析:4（a -b ）-3（a +b ）-b =4a -4b -3a -3b -b =a -8b . 答案:D2.已知=32，=32，则等于（ ） A.31CB B.-31CB C.-32CB D.32CB 解析: DE =AE -AD =32323232-==-.答案:C3.点C 在线段AB 上，且AC =53AB ，则AC 等于（ ） A.32 B.23 C.-32 D.-23解析:如图，设=5，则=3，=2，又与方向相反，故=-23.答案:D 4.若O 为ABCD 对角线的交点，=2e 1，=3e 2，则23e 2-e 1等于（ ） A. B. C. D. 解析:23e 2-e 1=21(3e 2-2e 1)=21(-AB )=21(+BA )=21BD =.答案:B5.已知5(x +a )=2(b -x ),则x 等于（ ）A.75a -72b B.83a -85b C.-75a +72b D.73-a +75b解析:5(x+a )=2(b -x)⇒5x+5a =2b -2x ⇒7x=-5a +2b ⇒x=b a 7275+-.答案:C6.给出下面四个结论：①对于实数p 与向量a 、b 有p(a -b )=p a -p b ;②对于实数p 、q 和向量a ，有（p-q ）a =p a -q a ;③若p a =p b (p∈R ),则有a =b ；④若p a =q a (p 、q∈R ,a ≠0),则p=q.其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 解析:结论③中，p=0也有p a =p b .其余正确.答案:C7.若=3e 1，CD =-5e 1，且||=|BC |，则四边形ABCD 是（ ） A.平行四边形 B.等腰梯形 C.菱形 D.不等腰的梯形解析:由=3e 1,=-5e 1,得∥且||≠||，||=||，即四边形ABCD 是一组对边平行，另一组对边相等，所以四边形ABCD 是等腰梯形. 答案:B8.O 为平行四边形ABCD 的中心，=4e 1，=6e 2，则3e 2-2e 1=____________. 解析:3e 2-2e 1=21-21=21（-）=21=. 答案: BO9.若2(y -31a )-21(c +b -3y )+b =0,其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y =_____________. 解析:2y-32a -21c -21b +23y+b =0,即27y-32a -21c +21b =0, ∴y=214a -71b +71c .答案: 214a -71b +71c10.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=-4a -b ，=-5a -3b （a 、b 为不共线向量）， 求证：四边形ABCD 是梯形.证明:∵AB =a +2b ，BC =-4a -b ，CD =-5a -3b ， ∴=++=a +2b -4a -b -5a -3b =-8a -2b . ∴=2.∴AD ∥BC 且AD=2BC. ∴四边形ABCD 是梯形.11.如图2-2-21，已知=3e 1，=3e 2，（1）若C 、D 是AB 的三等分点，求、.（用e 1、e 2表示）（2）若C 、D 、E 是AB 的四等分点，求、、.（用e 1、e 2表示）图2-2-21解析:（1）∵C、D 是AB 的三等分点， ∴==DB =31AB =31（-） =31（3e 2-3e 1）=e 2-e 1. ∴OC =OA +AC =3e 1+e 2-e 1=2e 1+e 2,OD =OA +AD =3e 1+2CD =3e 1+2e 2-2e 1=e 1+2e 2.（2）AC =CD =DE =EB =41AB =41（3e 2-3e 1）=43e 2-43e 1， ∴=+=3e 1+43e 2-43e 1=49e 1+43e 2，=+=49e 1+43e 2+43e 2-43e 1=23e 1+23e 2,=+=23e 1+23e 2+43e 2-43e 1=43e 1+49e 2.12.设G 是△ABC 的重心，O 为平面内不同于G 的任一点，求证：=31（++）. 证明:∵=+，=+，=+,又∵G 为△ABC 重心，∴++=0. ∴OG +OG +OG =OA +OB +OC ，即=31（++）. 点评:若O 与G 重合，上式即为31（OA +OB +OC ）=0，即OA +OB +OC =0.走近高考13.(2006安徽高考)在ABCD 中，AB =a ，AD =b ，AN =3NC ，M 为BC 中点，则=_____________.（用a 、b 表示）解析:方法一：如图， ++=-21b -a +43=-21b -a +43（a +b ）=41（b -a ）. 方法二：设AC 交BD 于O ，由于N 为AC 的43处分点，则有N 为OC 中点，=21=41=41（b -a ）. 答案:41（b -a ） 14.(2005全国高考卷Ⅰ)△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH =m(++),则实数m=_______________.解析:（特殊值法）当△ABC 为直角三角形时，O 为AC 中点.AB 、BC 边上高的交点H 与B 重合.++==OH ，∴m=1.答案:1。

必修四
第二章 平面向量
2.2.3 数乘向量
1.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.
2．下列说法中正确的是( )．
A ．向量a 与非零向量b 共线，向量b 与向量c 共线，则向量a 与c 共线
B ．任意两个模长相等的平行向量一定相等
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角
D ．共线的两个非零向量不平行
3.下面有四个命题，其中真命题的个数为( )．
①向量的模是一个正实数．
②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．
③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．
④模相等的平行向量一定相等．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 边上的中线，G 是它们的交点，则下列等式中不正确的是( )．
A ．BG ＝BE 3
2 B ．DG ＝AG 2
1 C ．CG ＝－FG 2
D ．DA 31＋FC 32＝BC 2
1 5.设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0；②|a |－|b |＜|a －b |；③(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －
2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )．
A．①②B．②③C．③④D．②④
参考答案：
1.【答案】－12
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D。

平面向量的线性运算2．2.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P87～90，思考并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？(3)向量共线定理是怎样表述的？(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa )＝(λμ)a ； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义．(2)对于非零向量a ，当λ＝1|a |时，λa 表示a 方向上的单位向量．(3)注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa ＝0； ②若a ＝0，则λa ＝0.应该特别注意的是结果是零向量，而非实数0. 2．向量共线的条件向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .[点睛] (1)定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa .(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t ，s ，使ta ＋sb ＝0，则a 与b 共线；若两个非零向量a 与b 不共线，且ta ＋sb ＝0，则必有t ＝s ＝0.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa 的方向与a 的方向一致．( )(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．( )(3)对于任意实数m 和向量a ，b ，若ma ＝mb ，则a ＝b .( ) ★答案★：(1)× (2)× (3)×2．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2b D ．a ＝－2b★答案★：A3．在四边形ABCD 中，若AB ―→＝－12CD ―→，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形★答案★：C4．化简：2(3a ＋4b )－7a ＝______. ★答案★：－a ＋8b[典例] (1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． [解] (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用](1)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －23b ＋(2b －a )． (2)已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y . 解：(1)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎨⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .[典例]如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.[解] BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．[活学活用]如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.解：由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .共线向量定理的应用1．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2， ∴BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝e 1－4e 2. 又AB ―→＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB ―→＝2BD ―→，∴AB ―→∥BD ―→.∵AB 与BD 有交点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ―→＝13AB ―→＋25AC ―→，BQ ―→＝15AB ―→＋25AC ―→.求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BQ ―→＝－13AB ―→－25AC ―→＋AB ―→＋15AB ―→＋25AC ―→＝1315AB ―→，所以PQ ―→∥AB ―→.又|AB ―→|＝15，所以|PQ ―→|＝13，故|PQ ―→|≠|AB ―→|，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|λa |＝λ|a |解析：选C 只有当λ>0时，才有a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．故选C.2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e解析：选C 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .3．已知AB ―→＝a ＋5b ，BC ―→＝－2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB ―→， 又∵BD ―→与AB ―→有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，又AP ―→＝t AB ―→，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ―→＝CP ―→－CA ―→＝23CA ―→＋13CB ―→－CA ―→＝13(CB ―→－CA ―→)＝13AB ―→，又AP ―→＝t AB ―→，∴t ＝13.5．已知e 1，e 2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有( ) ①a ＝5e 1，b ＝7e 1；②a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；③a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－3e 2.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析：选A ①中，a 与b 显然共线；②中，因为b ＝3e 1－2e 2＝6⎝⎛⎭⎫12e 1－13e 2＝6a ，故a 与b 共线；③中，设b ＝3e 1－3e 2＝k (e 1＋e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ，－3＝k 无解，故a 与b 不共线．故选A.6．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0.★答案★：07．已知x ，y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y ＝0，解得x ＝y ＝12.★答案★：12 128．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由DE ―→＝BE ―→－BD ―→＝23BC ―→－12BA ―→＝23(AC ―→－AB ―→)＋12AB ―→＝－16AB ―→＋23AC ―→，得λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.★答案★：129．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1，∴k ＝－2.10.如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，求实数m 的值．解：AP ―→＝AN ―→＋NP ―→＝14AC ―→＋NP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴NP ―→＝m AB ―→－344AC ―→.又NB ―→＝NC ―→＋CB ―→＝34AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→－14AC ―→，设NP ―→＝λNB ―→ (0≤λ≤1)，则λAB ―→－14λAC ―→＝m AB ―→－344AC ―→，∴m ＝λ＝311.层级二 应试能力达标1.如图，△ABC 中，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，DC ―→＝3BD ―→，AE ―→＝2EC ―→，则DE ―→＝( )A ．－13a ＋34bB.512a －34b C.34a ＋13b D ．－34a ＋512b解析：选D 由平面向量的三角形法则，可知DE ―→＝DC ―→＋CE ―→＝34BC ―→＋⎝⎛⎭⎫－13 AC ―→ ＝34(AC ―→－AB ―→)－13AC ―→＝－34AB ―→＋512AC ―→＝－34a ＋512b ，故选D.2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫12 OA ―→＋12 OB ―→＋2OC ―→，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．BC 边中线的中点D ．AB 边的中点解析：选B ∵O 是△ABC 的重心，∴OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫－12 OC ―→＋2OC ―→ ＝12OC ―→，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋2b ，AC ―→＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．－2或1D ．－1或2解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故可设AB ―→＝k AC ―→，因为AB ―→＝λa ＋2b ，AC ―→＝a ＋(λ－1)b ，所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]，所以λ＝k,2＝k (λ－1)，解得λ＝－1或λ＝2.4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→， ∴PA ―→＋PB ―→＋PC ―→－AB ―→＝0，∴PA ―→＋PB ―→＋BA ―→＋PC ―→＝0，即PA ―→＋PA ―→＋PC ―→＝0， ∴2PA ―→＝CP ―→，∴点P 在线段AC 上．5．已知点P ，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足PA ―→＋PC ―→＝0,2QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，若|PQ ―→|＝λ|BC ―→|，则实数λ＝________.解析：由条件PA ―→＋PC ―→＝0，知PA ―→＝－PC ―→＝CP ―→，所以点P 是边AC 的中点．又2QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，所以2QA ―→＝BC ―→－QB ―→－QC ―→＝BC ―→＋CQ ―→＋BQ ―→＝2BQ ―→，从而有QA ―→＝BQ ―→，故点Q 是边AB 的中点，所以PQ 是△ABC 的中位线，所以|PQ ―→|＝12|BC ―→|，故λ＝12. ★答案★：126.如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则t ＝λ－μ的最大值是________．解析：设AE ―→＝k AD ―→,0≤k ≤1，则AE ―→＝k (AC ―→＋2CB ―→)＝k [AC ―→＋2(AB ―→－AC ―→)]＝2k AB―→－k AC ―→，∵AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取得最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.★答案★：37.已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，M 为AB 的中点，N 为BD 上靠近B 的三等分点．(1)用a ，b 表示向量MC ―→，NC ―→. (2)求证：M ，N ，C 三点共线． 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ―→＝AD ―→＝a .∵M 为AB 的中点，∴MB ―→＝12AB ―→＝12b ，∴MC ―→＝MB ―→＋BC ―→＝12b ＋a .∵N 为BD 上靠近B 的三等分点，∴NB ―→＝13DB ―→，∴NC ―→＝NB ―→＋BC ―→＝13DB ―→＋BC ―→＝13(AB ―→－AD ―→)＋BC ―→＝13(b －a )＋a ＝23a ＋13b . (2)证明：由(1)知NC ―→＝23MC ―→，又NC ―→与MC ―→有公共点C ，∴M ，N ，C 三点共线．8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ―→，DC ―→； (2)若OE ―→＝λOA ―→，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，得OA ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，从而OC ―→＝2OA ―→－OB ―→＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ―→＝23OB ―→，从而DC ―→＝OC ―→－OD ―→＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ―→＝μDC ―→， 又EC ―→＝OC ―→－OE ―→＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC ―→＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

学习资料第二章 平面向量2．2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义［A 组 学业达标］1．设a 是非零向量,λ是非零实数，则下列结论中正确的是（ )A ．a 与λa 的方向相同B ．a 与－λa 的方向相反C ．a 与λ2a 的方向相同D ．｜λa |＝λ|a ｜ 解析：只有当λ〉0时，才有a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且｜λa ｜＝λ|a ｜.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．答案：C2．点C 在线段AB 上，且错误!＝错误!错误!，则错误!＝（ )A 。

错误!错误!B.错误!错误! C ．－错误!错误! D ．－错误!错误! 解析：依题意，可得AC ＝错误!BC ,又错误!和错误!方向相反,所以错误!＝－错误!错误!。

答案：C3．已知向量a ,b 是两个非零向量,在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是 （ ） ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ,使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中错误!＝a ，错误!＝b 。

A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：由2a －3b ＝－2（a ＋2b ）得b ＝－4a ，故①正确；由λa －μb ＝0，得λa ＝μb ，故②正确；若x ＝y ＝0，x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线,故③错误；梯形ABCD 中,没有说明哪组对边平行，故④错误．答案：A4．已知e 1，e 2是不共线向量，则下列各组向量中,是共线向量的有（ )①a ＝5e 1,b ＝7e 1；②a ＝12e 1－错误!e 2，b ＝3e 1－2e 2； ③a ＝e 1＋e 2,b ＝3e 1－3e 2。

A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 解析：①中，a 与b 显然共线；②中，因为b ＝3e 1－2e 2＝6错误!＝6a ，故a 与b 共线;③中，设b ＝3e 1－3e 2＝k (e 1＋e 2），无解,故a 与b 不共线，故选A 。