《切线长定理及三角形的内切圆》导学案

课题：切线长定理【学习目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．【学习重点】切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．【学习难点】与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．情景导入生成问题旧知回顾：1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d<r，相交．2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？答：相切，略自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．练一练：1、PB=12, PO=13, 则AO=___2、PO=10, AO=6, 则PB=____3、若PA=4, AO=3, 则PO=___PB=___4、如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B、PO与⊙O 相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长？AOPBD知识模块二 三角形的内心 【自主探究】认真阅读课本P 99思考～P 100，回答下列问题：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？解：图略．归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等，它一定在三角形的内部．【合作探究】范例：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝9cm ，BC ＝14cm ，CA ＝13cm ，求AF 、BD 、CE 的长．解：设AF ＝x(cm )，则AE ＝x(cm )， CD ＝CE ＝AC －AE ＝13－x ， BD ＝BF ＝AB －AF ＝9－x. 由BD ＋CD ＝BC 可得： (13－x)＋(9－x)＝14 解得：x ＝4.因此，AF ＝4cm ，BD ＝5cm ，CE ＝9cm .[变式练习]如图，△ABC 中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °，点O 是⊙O 的内心，求∠ BOC 的度数。

课题：切线长定理与三角形的内切圆【学习目标】1．了解切线长的概念，理解切线长定理推导过程．2．熟练应用切线长定理解决问题，理解三角形的内切圆及内心等定义．【学习重点】切线长定理的推导及应用，三角形内切圆的作图及应用．【学习难点】切线长定理的应用及三角形内心的理解与应用．情景导入生成问题1．切线的判定定理和性质定理是什么？答：切线判定定理：经过圆的半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．大家知道，过圆上一点可以作圆的切线有且只有一条．如图，过圆外一点P能作圆的几条切线呢？答：能作两条，以OP为直径作圆，交⊙O于点A，B，PA，PB即为所求作的两条切线．自学互研生成能力知识模块一切线长定理阅读教材P52～P54，完成下列问题：问题：什么是切线长？什么是切线长定理？答：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长．过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角，这就是切线长定理．范例：(天津中考)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B.若∠P＝70°，则∠C的大小为55°．仿例1：(宜宾中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝20°．(范例图) (仿例1图) (仿例2图)仿例2：(毕节中考)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以点O为圆心作⊙O，交BC于点M，N，与AB，AC相切，切点分别为点D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A) A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°仿例3：如图，AD，AE，CB均是⊙O的切线，D，E，F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长是16．仿例4：(乌鲁木齐中考)如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB 上，若BG＝2－1，则△ABC的周长为( A)A．4＋2 2 B．6C．2＋2 2 D．4知识模块二三角形的内切圆问题：什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？答：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三条角平分线交点，叫做三角形的内心．范例：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，D，E，F是⊙O与三边相切的切点，AC＝3，BC＝4，则AD＝2，BF＝3，CE＝1，内切圆的半径r＝1．(范例图) (仿例1图) (仿例2图)仿例1：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是点D，E，F，已知∠A＝100°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是65°．仿例2：如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为( B) A．110°B．125°C．130°D．140°交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一切线长定理知识模块二三角形的内切圆检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。

专题：切线长定理与三角形内切圆※知识要点1．切线长的概念从圆外一点能够作圆的 切线，切线上一点到切点之间的线段长叫做该点到圆的切线长． 2．切线长定理过圆外一点可以引圆的 切线，它们的切线长 ，该点与圆心的连线 两条切线的夹角． 3．三角形的内切圆与 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 ． 注意：三角形的内心具有以下性质：①三角形的内心是三角形 的交点； ②三角形的内心到三角形 距离相等．※题型讲练【例1】(1)如图，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，∠P ＝40°，则 ∠C 的度数为 ．(2)如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于点E ，△PCD 的周长为12，∠P ＝60°.求：(1)P A 的长； (2)∠COD 的度数．变式训练1： 1．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝70°，则∠P ＝________．2．如图，直线AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，OB ＝6，OC ＝8. (1)求∠BOC 的度数； (2)求BE ＋CG 的长.【例2】如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，点E 在AB ︵上，过点E 作⊙O 的切线，分别与P A ，PB 相交于点C ，D .若P A ＝3 cm ，则△PCD 的周长等于________．变式训练2：1． 如图，⊙O 内切于四边形ABCD ，AB ＝10，CD ＝8，则 AD ＋BC ＝________．2．如图，正方形ABCD 的边长为4 cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过点A 作半圆的切线，与半圆相切于点F ，与DC 相交于点E ，求△ADE 的面积．【例3】(1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝40°，延长AC 到点D ，使CD ＝BC ， 点P 是△ABD 的内心，则∠BPC 的度数 为_______．(2)如图2，E 为△ABC 内一点，AE 的延长线交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ，且DB ＝DC ＝DE .求证：E 为△ABC 的内心．变式训练3：1．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花，请在图中画出这个圆形花坛(保留作图痕迹，不要求写作法)．2．如图，在三角形ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是D ，E ，F ，AO 交BC 于G ；若AC ＝4，CG ＝ .(1)求⊙O 的半径； (2)求BF 的长.【例4】已知如图，⊙O 内切于△ABC 中，切点分别为D 、E 、F ，设△ABC 的三边长BC=a 、AC=b 、AB=c ，⊙O 半径为r . (1)用含有a 、b 、c 的代数式表示AE 、BD 、CF 的长； (2)若△ABC 的面积为S ，求证：r = ； (3)若△ABC 为直角三角形，且∠C =90°， 求证：r = = .备用图※课后练习1．如图1，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，OP 交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，AB ＝4 3，DC ＝2，则∠APB 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°2．如图2，⊙O 截△ABC 的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )A ．点O 是△ABC 的内心B ．点O 是△ABC 的外心 C ．△ABC 是等边三角形D ．△ABC 是等腰三角形图1 图2 图33．如图3，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC ，BC 分别交于点E ，F ，则( )A ．EF ＞AE ＋BFB ．EF ＜AE ＋BFC ．EF ＝AE ＋BFD ．EF ≤AE ＋BF 4．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 的长为( )A ．2.5B ．1.6C ．1.5D ．15．如图5，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( ) A ．133 B ．92 C ．4313 D ．2 56．如图6，在△ABC 中，内切圆I 与边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若∠A ＝70°，则∠EDF ＝________°．图4 图5 图67．如图7，P 是△ABC 的内心，连接P A ，PB ， PC ，△P AB ，△PBC ，△P AC 的面积分别为S 1， S 2，S 3，则S 1___S 2＋S 3.(填＜、＝或＞)8．如图8，由⊙O 外一点F 作⊙O 的两条切线，切点分别为B ，D ，AB 是⊙O 的直径， 图7 连接AD ，BD ，OF 交⊙O 于点E ，交BD 于 点C ，连接DE ，BE .下列四个结论：①BE ＝DE ；②∠EDF ＝∠EBF ；③DE ∥AB ； ④BD 2＝2AD ·FC .其中正确的结论有_______． 图89．如图，在等腰三角形ABC 中，CA ＝CB ，AD 是腰BC 边上的高，△ACD 的内切圆⊙E 分别与边AD ，BC 相切于点F ，G . (1)求证：AF ＝BG ；(2)过点E 作EH ⊥AB 于点H ，试探索线段 EH 与线段AB 的数量关系，并说明理由．10．如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，点I 是△ABC 的内心，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD 、DC ． (1)求证：BD =DC =DI ；(2)若圆O 的半径为10cm ，∠BAC ＝120°，求△BDC 的面积．34cbaS ++2cb a ab++2cb a -+。

切线长定理
一、教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。

2．掌握切线长定理及其应用。

能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。

情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。

德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯
和严谨的思维品质。

二、教学重点：切线长定理的应用。

教学难点：切线长定理的灵活应用。

突破关键：切线长定理的理解。

教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。

三、教学过程：
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O
是 .
探究加深：
芜湖经济技术开发区
九年级数学公开课
课题：§24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）
切线长定理
授课：张晓明
时间：2012年10月31日
班级：芜湖市第33中学
（安师大附中城北分校）
九（3）班。

第3课时切线长定理【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.由此我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC 中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为3PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.分析：∵I是内心.∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.∴∠ABC+∠ACB=160°.∴∠A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O 的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.3.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝cm4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,O x.∵YW,Y x均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,O x⊥x Y，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x .∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC.则ABC AOB BOC AOC S S S S =++ ()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG .∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。

24.2.3切线长定理与三角形的内切圆编制人：程家忠使用人：第24章第14课时【学习目标】1．理解切线长的定义与切线长定理，会用切线长定理解决有关问题.2．了解三角形的内切圆的概念，理解三角形的内心的概念。

3. 会作三角形的内切圆.【学习重点】切线长定理及其应用。

【学习难点】用切线长定理解决有关问题.【自主探究】一、导引自学1、回忆：⑴什么叫三角形的外接圆？什么叫三角形的外心？它是哪些线的交点？有何性质？⑵切线的性质定理是什么？2、自学：阅读教材P99—100练习以上内容，思考下列问题：⑴什么是切线长？⑵切线长定理的内容是什么？请画出图形，并用符号语言表示：⑶什么叫三角形的内切圆？如何作三角形的内切圆？请作出右图△ABC的内切圆。

⑷什么叫三角形的内心？它是哪几条线的交点？它有什么性质？二、自我检测P100练习1，2三、知新有疑通过自学，我又知道了：疑惑：【范例精析】例1△ABC的内切圆分别切AB，BC，AC于F，D，E，求证：BCEDOFAE=AF=1/2(AB+AC-BC)，BD=BF=1/2(BA+BC-CA)，CE=CD=1/2(CB+CA-AB)例2在△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE＝DB 。

【达标测评】1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，⑴APB=30°，则⑴ACB=（）．A．60° B．75° C．105° D．120°(1) (2) (3) (4)2、如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则⑴PCD的周长等于_________．3、如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．4、如图，⑴ABC中，AC=8，BC=15，AB=17，则其内切圆半径长为。

5、在⊿ABC中，∠A=50°（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= .(2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= .6、如图，已知⑴O是⑴ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，且⑴ABC的面积为6．求内切圆的半径r．【小结反思】通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验：知识技能方面：数学思想方法：学习感受反思：BP。

29.4 切线长定理学习目标：1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明〔重点〕3、会作三角形的内切圆〔重点〕学习重点：切线长定理学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：探究点一、切线长的定义：如以以下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线.P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.试一试：探究切线长定理：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等.该定理用数学符号语言表达为：∵∴典例解析：例1：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C 是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：〔1〕△PDE的周长；〔2〕∠DOE的度数.跟踪训练：1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E中相等的线段有第1题图第3题图2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，切线长为18，那么从这点到圆的最短距离为________.3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°.那么∠P=________.探究点二、三角形的内切圆〔一〕学前温故1．经过三角形三个顶点的圆叫做．外接圆的圆心叫做.这个三角形叫做.2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离.〔二〕学习新知1．与三角形三边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做.这个三角形叫做.2．三角形的内心到三角形的三边距离.典例解析：例2：如图(1)，在△ABC中，⊙I是△ABC∠FDE与∠A的关系，并说明理由．分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．解：点拨：连接圆心和是常作的辅助线．例3：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F.(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；(2)假设a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．解：点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．稳固训练：1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的()．A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，那么∠BOC为________度．3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，假设∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(3＋1)，求⊙O的半径．4.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径.〔1〕求证：AC∥OP︵〔2〕如果∠APC=70°，求 AC的度数5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长.六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。

P ABCA图3CB《切线长定理和三角形的内切圆》导学案 NO ：42班级_____姓名________小组_____评价_______一、学习目标1、了解切线长、三角形内切圆和三角形的内心等概念；2、掌握切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行计算和证明；3、会作已知三角形的内切圆。

二、自主学习1、阅读教材99页“探究”，思考下列问题： （1）过圆外一点可以作圆的几条切线？（2）什么是切线长？经过圆外一点作圆的切线，_______点与_______点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。

（3）切线长与切线有什么区别？_______是一条直线，_______是一条线段。

（4）切线长定理如何表述？从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的______相等，这点和圆心的连线平分两条切线的_________。

（读4遍） （5）如何证明切线长定理？（请在练习本上写出证明） （6）如右图，若PO 与圆分别交于C 、D ，连接AB ，交PO 于E 请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角。

2、阅读教材 “思考” ，认识三角形的内切圆：（1）与三角形各边都_________的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条_________的交点，叫做三角形的内心，它到三角形_________的距离相等。

（读3遍，并思考三角形的内切圆与三角形的外接圆有什么区别。

）（2）画出图1中△ABC 的内切圆。

3、自学检测：（1）如图2，△ABC 的内切圆⊙O 与三边分别切于D 、E 、F ， AB=10cm ，BC=12cm ，CA=16cm ，求AF 、BD 、CE 的长。

（2）如图3，△ABC 的三边与它的内切圆⊙O 分别切于D 、E 、F ，若∠A=70°，则∠EDF= _________。

（3）教材练习第1，2题。

三、合作探究1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC 的内切圆半径r=________2、如图4，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于 E 、F 两点，切点在弧AB 上，若PA=2，则△PEF 的周长是________3、如图5，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，∠ACB=90°，若∠BOC=105°，AB=4cm ，求∠OBC图4P图5A图6D图7B AD图8ADCEC A的度数与BC 的长。