研究简报汽车钢板弹簧的非线性分析与数值计算杨 华,徐 旭,胡成栋(吉林大学数学研究所,长春130012)摘要:利用非线性连续介质力学的方法推导了汽车钢板弹簧大变形问题的L agrange 型动力学方程和边界条件,并根据其工作特点对方程进行简化,从而建立了汽车钢板弹簧在大变形下的理论模型.对片间的作用力进行数值模拟,数值结果和实验结果比较接近.改进了传统的设计方法.关键词:钢板弹簧;非线性;L agrange 型动力学方程中图分类号:O 343.5 文献标识码:A 文章编号:167125489(2004)0120054204收稿日期:2003204229.作者简介:杨 华(1973～),女,博士研究生,讲师,从事计算数学的研究,E 2m ail :yhkali @263.sina .com .Non l i n ear analysis and nu mer i cal co mputati on ofauto mobile steel plate spr i n gYAN G H ua ,XU Xu ,HU Cheng 2dong(Institute of M athe m atics ,J ilin U niversity ,Chang chun 130012,China )Abs trac t :In th is paper ,L agrange’s type of dyna m ics equati ons and boundary conditi ons for large defor m a 2ti on of automobile steel p late s p ring are deduced by using the non linear con tinuum m echanicsm ethod .A nd the num erical result app roach ing to the experi m ental result is ach ieved by si m ulating the force betw een the p ieces .T he m ethod in th is paper has i m p roved the conven ti onal designing m ethod .Keyw o rds :steel p late s p ring ;nonlinear ;L agrange’s type of dyna m ics equati on设计汽车钢板弹簧传统的方法是共同曲率法和集中荷载法[1],这两种方法均以线性、小变形理论为依据.但是随着汽车向大吨位和高重量级发展,钢板弹簧在工作中将产生大变形,因此传统的设计方案不再符合钢板弹簧的实际工作情况.本文假设片间的分布力为幂级数形式,对片间的作用力进行数值模拟,数值结果较传统的线性设计结果更接近实验值,这样就克服了传统设计方案的缺陷.1 大挠度梁的基本边值问题1.1 几何方程 汽车钢板弹簧在工作中将产生大变形,因而要对初始构形和现实构形加以区分.设梁的初始构形轴线#(见图1)为:Y τ=Y τ0(t ),曲率k =k 0(t )(t 为#的弧参数),则k 0(t )= Y τ¨0 .#的自然标架为{a ο1,a ο2,a ο3},横截面c 上的形心主轴标架为{A ψ1,A ψ2,A ψ3},梁上任意点p 的向径为Y τ(ΓΑ,t )=Y τ0(t )+ΓΑa οΑ, Α=1,2,(1)下标重复时表示求和,下同.由此得到初始构形上的度量张量:G ΑΒ=∆ΑΒ,G Α3=0,G 33=(1-k 0Γ1)2,(2)第42卷 第1期 吉林大学学报(理学版) V ol .42 N o .12004年1月 JOU RNAL O F J I L I N UN I V ER S IT Y (SC IEN CE ED IT I O N )Jan 2004其中Α=1,2;Β=1,2,下同.设现实构形上梁的轴线为Χ:y ο=y ο0(s )(s 为Χ的弧参数),Χ的自然标架为{b ϕ1,b ϕ2,b ϕ3},形心主轴标架为{B τ1,B τ2,B τ3}.从初始构形到现实构形梁上的p 点经过运动变为p ′点,p ′点向径可表示为(见图2)y ο(ΓΑ,t )=Y τ0(t )+V τ(t )+ΓΑB τΑ,(3)F i g .1 p po i n t di a gram F i g .2 p ′po i n t di a gram由此得到现实构形上的度量张量:g ΑΒ=∆ΑΒ,g 13=A A αΓ1,g 23=0,g 33=(1-kA Γ1)2A 2+A α2Γ21,(4)其中A 为B τ1(B τ3)的模,k =1A3[(V α1+k 0V 3) (V β3-2k 0V α1-k 20V 3)-(1+V α3+k 0V 1)] (V β1+2k 0V α3+k 0-k 20V 1)].用初始构形和现实构形上度量张量的改变来描述变形,Green 应变张量为E ΑΒ=0,E 13=12A A αΓ1,E 23=0,E 33=12[(A 2-1)+2Γ1(k 0-kA 3)+Γ21(k 2A 4-k 20+A α2)].(5)1.2 平衡方程 在现实构形上取一段微弧d s ,设作用在端部横截面上的内力为-N ∼′和N ∼′+d N ∼′,内力矩为-M ∼′和M ∼′+d M ∼′,质量力为Θ′d sf τ(Θ′为现实构形的质量密度).当梁平衡时有方程d N ∼′d t+Θf τ=0,d M ∼′d t+B τ3×N ∼′=0,(6)其中Θ为初始构形的质量密度.由K irchhoff 应力的定义有N ∼′=N 1B τ1+N 2B τ2+N 3B τ3,M ∼′=M 1B τ1+M 2B τ2+M 3B τ3.于是可得到建立在初始构形上的平衡方程(A N α1+A αN 1+kA 2N 3)b ϕ1+(A N α3+A αN 3-kA 2N 1)b ϕ3+Θf τ=0,AM α2+M 2A α+A 2N 1=0.(7)1.3 本构方程 设K irchhoff 应力张量2～与Green 应变张量E ～之间满足线性各向同性弹性方程,即2～与E ～满足方程:2ij =ΚΗ∆ij +2GE ij ,式中Η=E kk ,Κ,G 是L a m e 常数,则55 第1期杨 华,等:汽车钢板弹簧的非线性分析与数值计算 233=12(Κ+2G )[(A 2-1)+2Γ1(k 0-kA 3)+(k 2A 4-k 20+A α2)Γ2],N 3=12(Κ+2G )[(A 2-1)Γ1+(k 2A 4-k 20+A α2)I ],M2=(Κ+2G )(k 0-kA 2)I,(8)其中I =∫cΓ21d c.1.4 边界条件 给出如下边界条件:(1)位移边界条件:在s =s 0处,V 1(s )=V 10,V 3(s )=V30,V α1(s )=V α10;(9) (2)应力边界条件:在s =s 1处,N 1=A N ′10(1-k 0V 1+V α3)+A N ′30(V α1+k 0V 3),N 3=-A N ′10(V α1+k 0V 3)+A N ′30(1-k 0V 1+V α3),M2=M 20.(10)2 汽车钢板弹簧在大变形下的理论模型设计钢板弹簧的主要目的是求出各片的初曲率半径、应力、应变,并且校核其刚度.由于各片弹簧在自由状态到夹紧状态的过程中不清楚各片的初曲率半径和外荷载,因而求解必须联系弹簧的工作状态.弹簧片从初曲率k ϕc 经压缩变至k ϕ0(认为k ϕ0是常量)在方程组中必须提及,否则就无法反映弹簧片从初曲率不同变至曲率相同的预压缩过程.假设钢板弹簧在变形过程中沿轴线方向的位移很小,并假设预压缩是通过纯弯曲完成的,因此未受外荷载作用时装配后的各片弹簧在同一截面上的弯距和等于零.如果在静荷载作用下各片弹簧的最大正应力趋于一致,则认为各片弹簧经最大变形后都能参加工作.用最大正应力的互等来确定初曲率.由以上分析,提出如下假设:(1)各片间的作用力只有法向分量,没有切向分量,即f 3=0;(2)梁的轴线在变形前后不变,即A =1,A α=0;(3)主片端部作用一静荷载P ,片间的分布力为幂级数形式,即f 1=D 0+D 1X +D 2X 2,其中D 0,D 1,D 2是待定参数.由此得到简化后的方程组:k (i )=[(u β1(i )-k 20u 1(i )+k 0)2+(-2k 0u α1(i ))2]1 2,k 0(i )=[(w β1(i )-k 2c w 1(i )+k c )2+(-2k c w α1(i ))2]1 2,u 1(i )(l i +1)-w 1(i )(l i +1)=u 1(i +1)(l i +1)-w 1(i +1)(l i +1),u 1(i )(l ′i +1)-w 1(i )(l ′i +1)=u 1(i +1)(l ′i +1)-w 1(i +1)(l ′i +1),u 1(i )(l ″i +1)-w 1(i )(l ″i +1)=u 1(i +1)(l ″i +1)-w 1(i +1)(l ″i +1),N α1(i )+k (i )N 3(i )+Θ(D 0+D 1X +D 2X 2)=0,M α2(i )+N 1(i )=0,N 3(i )=12(Κ+2G )(k 2(i )-k 20(i ))I ,M 2(i )=(Κ+2G )(k 0(i )-k (i ))I ,233(i )=1I 12M 2(i )h +N 3(i )h 2,233(i )=233(i +1),∑ni =1H(i )-nk 0=0, i =1,2,…,n .(11)65 吉林大学学报(理学版)第42卷 上述方程组中要求的主要是片间的分布力f 1,可使用延拓法、中点求积牛顿法[2]解上述非线性方程组.3 数值算例及结果分析数值计算中仅考虑5片弹簧,且只考虑半段弹簧.根据钢板弹簧的实际工作情况,则简化为一端固定,另一端受力的悬臂梁结构.钢板的密度Θ=718×103kg m 3,横截面面积S =21744×10-3m 2,弹性模量E =4×106Pa ,截面惯性矩I =41492×10-8m 4,主片端部受力P =37310N ,k 0=01325,其它参数列于表1.Table 1 Or i gi n a l curva ture and length of spr i n gs 3Sp ringT he first p ieceT hesecond p ieceT he th ird p ieceT he fourth p ieceT he fifth p ieceO riginal curvature (k c )0.2900.3010.3160.3410.349L ength (l )10.9820.8640.7340.609 3l is di m ensi onless.根据数值计算结果描绘出改进值的应变曲线,它与实验值、传统的线性设计值之间的关系曲线比较如图3所示.从图3中可见,第一片弹簧到第五片弹簧数值结果比以线性、小变形为依据的传统设计结果更接近实验值,这就克服了传统设计的缺陷,从而改进了传统的设计方案.F i g .3 Co m pare di a gram of non l i n ear and l i n ear and exper i m en t(a )The first p iece ;(b )the second p iece ;(c )the third p iece ;(d )the fourth p iece ;(e )the fifth p iece .□:Experi m ent result ;- -:i m p roved result ;-:designed result .参考文献[1] A utomobiles’Secti on of J ilin U niversity of T echnol ogy (吉林工业大学汽车教研室).A utomobile’s design (汽车设计)[M ].Beijing (北京):Ch ina M ach ine P ress (机械工业出版社),1985.[2] L i Q ing 2yang (李庆扬).N um erical s oluti on of nonlinear equati ons (非线性方程组的数值解法)[M ].Beijing (北京):Science P ress (科学出版社),1985:1232152.(责任编辑:赵立芹)75 第1期杨 华,等:汽车钢板弹簧的非线性分析与数值计算 。
