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高一数学必修4向量加法运算及其几何意义讲义

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高中数学必修四课件2-2-1 向量加法运算及其几何意义课件

高中数学必修四课件2-2-1 向量加法运算及其几何意义课件

跟踪训练 2 向量(A→B＋P→B)＋(B→O＋B→M)＋O→P化简后等于
→ A.BC
→ B.AB
→ C.AC
√→
D.AM
解析 向量(A→B＋P→B)＋(B→O＋B→M)＋O→P ＝A→B＋B→O＋O→P＋P→B＋B→M＝A→M.
题型三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿 垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
反思
感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整 向量顺序后相加. (2)向量求和的多边形法则：—A1→A2＋—A2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝—A1→An.特别
地，当 An 和 A1 重合时，—A1→A2＋A—2→A3＋—A3→A4＋…＋—A—n－—1A→1 ＝0.
PART TWO
题型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
解 (1)作法：在平面内任意取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，B→C＝c，则O→C＝a＋b＋c.
加法的 平行四边形 法则
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
知识点二 向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律
a＋b＝_b_＋__a__
结合律
( a＋b )＋c＝a＋( b＋c )
思考 |a＋b|与|a|，|b|有什么关系？
答案 (1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则 a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.

课件_人教版高中数学必修四课件：向量加法运算及其几何意义PPT课件_优秀版

课件_人教版高中数学必修四课件：向量加法运算及其几何意义PPT课件_优秀版

（1）作业: P91 习题2．2的1．2．3．
呢？结合本节课的探究方法，请大胆的
问题1：两个向量的和向量方向怎么确定？
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
作业：
（1）作业: P91 习题2．2的1．2．3．
（2）拓展作业: 数有减法，向量是否有减法 呢？结合本节课的探究方法，请大胆的 提出猜想，并结合三角形法则与平行四 边形法则进行探究。.
以AD,AB为邻边作平行四则 边A形 C ，
表示船实际航行.的速度源自(2 )在 R A t 中 B|A C |， B 2 ,|B| C 23 D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4
tanCAB2 3 3 2
CAB60.
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º.
4连接 AC,则
O
aA
OCOAOBab
起点相同，两边平行
OAOBOC 同一起点，对角为和
思考1： 三角形法则与平行四边形法则，它们求 向量和的结果是否一样？
交换律: abba
思考2： 向量加法是否满足结合律？并证明.
结合律: (ab)ca(bc)
例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
谢谢光临指导
三角形法则与平行四边形法则，它们求
角来表示）.
例1：如图,已知
，求作向量
（2）
a
（3）
b
a
规 定 ： 0 a a 0 a
2、向量加法的平行四边形法则:
b
a
B
b

高中数学人教A版必修4--2.2.1向量的加法运算及其几何意义 精品课件

高中数学人教A版必修4--2.2.1向量的加法运算及其几何意义 精品课件
C
则
尾 相
B C
接
）O
O
OC CB OB
OA OB OC
（
共
起
A
点 ）
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之间有联系吗?
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法 的
a
b
法 则
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
B
C
bC
B
bA
O 实规际上定 a：三对： 角于a形两法个则不0作共出线的向0b图量形，O是这a平两行个四法a边则a形是法统则一作的
课堂小结
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
作业布置
作业：课本91页习题 2.2A组第4题 学案完成132页至133页
本节课到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
知识探究 根据图示填空
Ee D
(1)a b c
gf
d (2)(a b) d f
A
c bC (3)(a b d ) e g
例3:如图，一只船从 A点出发以2 3km /h的速度
向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速
度向
设用向量 AC表示船的速度,
C
D
用向量AB表示水流的速度.
船实际行驶的速度 AD是向量 AC
与向量AB的和向量
23
A2 B
解：在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3
深入探究
a
b
与
a
b的
大小关系如何？
深入探究
a b与
a
b

人教A版高中数学必修四2.2.1向量的加法及其几何意义说课课件

人教A版高中数学必修四2.2.1向量的加法及其几何意义说课课件

问题探究
实数的加法运算满足交换律，即对任意 a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的
加法也满足交换律吗？如何检验？
a
b
b a+b
a
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交换律：
ab ba
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到 任意多个向量.
小结
向量加 法
特例：共线向量
(1) 同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
B
CA
用平行四
边形法则求和向量的情况？
探究：
1 当a, b不共线时，
a b <ab< a b
2 当 a, b 同向时，
ab = a b
C
a+b b
A
a
B
a+b
Aa B
b
C
3 当 a, b 异向时，
ab = a b
a+b
C
A
B
结论： a b a b a b
问题探究
向量加 法
如图所示，计算下列各式
(1) (a+b)+c (2) a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
A
a
思考：实数的加法运算满足结合律，那 么向量的加法运算也满足结合律吗？
B
B
A

高中数学 必修四 2.2.1向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4

高中数学 必修四 2.2.1向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4

②由图知，OABC为平行四边形，∴A→O＋A→B＝A→C； ③由图知，AEDB为平行四边形，∴A→E＋A→B＝A→D.
通法提炼 在向量的加法运算中，掌握“首尾相连”的运算规律 可以省去画图步骤，加快解题速度.
(1)化简：C→D＋B→C＋A→B；
(2)四边形ABCD是边长为1的正方形，
→ AB
＝a，
利用向量知识证明几何问题
【例2】 用向量方法证明对角线互相平分的四边 形是平行四边形．
【证明】
根据向量加法的三角形法则有
→ AB
＝
→ AO
＋
O→B，D→C＝D→O＋O→C.
又∵A→O＝O→C，D→O＝O→B，
∴A→O＋O→B＝D→O＋O→C.∴A→B＝D→C.
∴AB∥DC且AB＝DC，
即AB与DC平行且相等．
【分析】 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再 运用向量的结合律，调整向量顺序相加．
【解】 (1)①B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C； ②D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B＝B→D＋D→B＝0； ③A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝ A→F＋F→A＝0. (2)①由图知，OAFE为平行四边形，∴O→A＋O→E＝O→F；
通法提炼 向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：①将应用 问题中的量抽象成向量；②化归为向量问题，进行向量运算； ③将向量问题还原为实际问题.
在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升飞机从 A 地沿北偏东 60°方向飞行了 40 km 到达 B 地，再由 B 地沿正 北方向飞行 40 km 到达 C 地，求此时直升飞机与 A 地的相 对位置．
A→B＋B→C ＝A→C
3．平行四边形法则

高一数学人教A版必修4课件2.2.1 向量加法运算及其几何意义

高一数学人教A版必修4课件2.2.1 向量加法运算及其几何意义

目标导航
预习导引
1
2
பைடு நூலகம்
3
4
1.向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
目标导航
预习导引
1
2
3
4
2.向量加法的三角形法则 已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作 ������������ =a,������������ =b,则向量 ������������ 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b= ������������ + ������������ = ������������ ,这种求向量和 的方法,称为向量加法的三角形法则.
目标导航
预习导引
1
2
3
4
3.向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以O为起点的对角线
������������就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
目标导航
预习导引
1
2
3
4
4.向量加法的运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
目标导航
预习导引
1
2
3
4
预习交流 任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行? 提示:不一定,当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、向量加法运算 1.向量的和及其物理背景 两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运算,是物理学中位 移、力的合成等在数学运算中的抽象概括. 2.三角形法则和平行四边形法则

高中数学人教A必修4课件：2.2.1 向量加法运算及其几何意义

乙.
-14-
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型二
化简含有向量的关系式
【例 2】 化简下列各式: (1)������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������; (2)������������ + ������������ + ������������ + ������������ . 分析 :首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然后利 用向量加法的结合律求和 . 解 :(1)������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ =0. (2)������������ + ������������ + ������������ + ������������ = (������������ + ������������ ) + (������������ + ������������ ) = ������������ + ������������ = ������������ .

高一数学人必修四课件时向量加法运算及其几何意义

几何意义
多边形法则可以看作是三角形法则的推广，适用于多个向量 的加法运算。通过多边形法则，可以直观地理解多个向量相 加的结果。
03
向量加法运算性质
交换律
01
02
03
定义
对于任意两个向量 a 和 b ，有 a + b = b + a。
几何解释
在平面或空间中，两个向 量相加的结果与它们的顺 序无关。
向量加法运算规则
交换律
a+b=b+a。
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)。
02
向量加法运算方法
平行四边形法则
定义
两个向量相加，以这两个向量为邻边 作平行四边形，这两个向量的和就是 与这两个向量共起点的平行四边形的 对角线所表示的向量。
几何意义
体现了向量加法的几何直观性，通过 平行四边形的性质将向量加法转化为 线段的合成。
在平面直角坐标系中，位移可以 用一个有序数对表示，即位移向
量。
位移合成
若物体同时参与两个方向的直线运 动，其合位移可由两个分位移向量 相加得到。
位移与时间的关系
合位移与分位移遵循平行四边形法 则，且合位移与时间的比值等于合 速度。
速度合成问题
速度向量
速度是矢量，既有大小又有方向，可用一个有序数对表示速度向 量。
避免漏掉零向量
零向量是大小为零的向量，它没有方向。在 进行向量加法运算时，需要注意不要漏掉零 向量。
任何向量与零向量相加都等于原向量本身。 例如，$vec{a} + vec{0} = vec{a}$。
在进行多个向量相加时，若其中某个向量为 零向量，则可以将其忽略不计。例如， $vec{a} + vec{0} + vec{b} = vec{a} + vec{b}$。

高中数学 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4


多边形法则:
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾 向量的终点的向量．
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
二、向量加法的运算律

D
B
a
D
b ba
(a b) c
b
a (b c)
c
A
ab
a
a b ab a b
何时取得等号?
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小.
1、不共线
a
2、共线
a
b
a+ b
b
o· a
a+ b
|a+ b|< |a|+ |b|
A
b
B
a b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |= | a | - | b |
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 (保留两个有效数字);
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速
A
水速 B
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角 表示,精确到度).
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5
D
C
2
2
AC AB BC
22 52 = 29 5.4
(2) MA BN AC CB __M__N____
(3) AB BD C A DC ___0_____

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[类题通法] 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[对点训练] 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速 度是 4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以433 m/s 的速度水平向东 移动，求雨滴着地时的速度和方向．
解：如图，用 OA 表示雨滴下落的速度， OB 表示风使雨滴水平向东
的速度．以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB，OC 就是雨滴下落
的实际速度．
在Rt△OAC中，|OA|＝4，| AC |＝433，
∴|OC |＝ |OA|2＋| AC |2＝
42＋4Βιβλιοθήκη 332＝83
3，
43
∴tan∠AOC＝| AC |＝ |OA|
3 4
＝ 33，∴∠AOC＝30°.
故雨滴着地时的速度大小是833 m/s，方向与 垂直方向成30°角向东．
4．如果| AB |＝8，| AC |＝5，那么| BC |的取值范围为 ________．
解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算． 答案：[3,13]
5.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC 上两点，且BP＝QC.求证： AB＋ AC ＝ AP＋ AQ.
证明： AB＝ AP＋ PB， AC ＝ AQ＋QC ，∴ AB＋ AC ＝ AP ＋ PB＋ AQ ＋QC . ∵ PB与QC 大小相等，方向相反， ∴ PB＋QC ＝0， 故 AB＋ AC ＝ AP＋ AQ＋0＝ AP ＋AQ.
[例3] 轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B 处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船 与A港的相对位置．
[解] 如图所示，设 AB 、 BC 分别是 轮船的两次位移，则 AC 表示最终位移， 且 AC ＝ AB＋BC .
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向量加法运算及其几何意义
知识梳理
1、向量加法的定义
求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2、求向量和的方法
(1)三角形法则：
已知非零向量a、b，在平面上任取一点A，
作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝AB ＋BC＝AC.上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，如图．这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.
3．向量加法的交换律和结合律
(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
常考题型
题型一、求作向量的和
例1、如图，已知a，b，求作向量a＋b.
变式训练
如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.
题型二、向量加法运算
例2、化简或计算：
(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.
变式训练
如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：(1)BC＋CE＋EA；(2)OE＋AB＋EA；(3)AB＋FE＋DC.
题型三、向量加法的应用
例3、轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km 到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
变式训练
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433
m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．
课堂小测
1、下列等式错误的是( )
A ．a ＋0＝0＋a ＝a
B ．AB ＋B
C ＋AC ＝0 C ．AB ＋BA ＝0
D ．CA ＋AC ＝MN ＋NP ＋PM 2、在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝2，则向量AB ＋AD ＋AC 的长度等于( )
A ．25
B ．4 5
C ．12
D ．6
3、如图，在平行四边形ABCD 中，
(1)AB ＋AD ＝________； (2)AC ＋CD ＋DO ＝________；
(3)AB ＋AD ＋CD ＝________； (4)AC ＋BA ＋DA ＝________.
4、如果|AB |＝8，|AC |＝5，那么|BC |的取值范围为________．
5、如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB ＋AC ＝AP ＋AQ .
同步练习
1、如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC DC BA ++等于 ( )
A. BD
B. DB
C. BC
D. CB
2、在△ABC 中，AB a =，BC b =，则a b +等于（ ）
A ．CA
B ．B
C C ．AB
D ．AC
3、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 一定是（ ）
A ．正方形
B ．菱形
C ．矩形
D ．平行四边形
4、若四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A ．A
B B
C AC += B ．AB AC BC += C ．AC BA B
D +=
D ．AC AD DC +=
5、已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则+a b 表示( )
A ．
B ．向东南航行2 km
C ．
D ．向东北航行2 km
6、已知
a ，
b 为非零向量，且+=+a b a b ，则( )
A ．a b ，且a 与b 方向相同
B ．a ，b 是共线向量且方向相反
C ．=a b
D ．a ，b 无论什么关系均可
7、如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则O P O Q
+=（ ） A ．OH B ．OG C ．FO D ．EO
8、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD BC ，则OA+BC AB +=( )
A.CD
B.OC
C.DA
D.CO 9、在平行四边形ABCD 中，若BC BA BC AB +=+，则四边形ABCD 是________．
10、已知3=a ，5=b ，则向量+a b 模长的最大值是____．
11、已知3AB =，5BC =，则AC 的取值范围是________
12、设a 表示“向东走19km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10 km ”，d 表示“向南走5km ”，试说明下列向量的意义．（1）a a +；（2）a b +；（3）a c +；（4）b d +；（5）
b c b ++；
（6）d a d ++．
13、在水流速度为10 km/h 的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．
14、求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．。