2018-2019学年人教A版必修2 两条直线的交点坐标 两点间的距离 作业

§3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( )A ．m ＝3B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0)2．无 1 无数作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m 3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3．又当m ＝3时，l 1与l 2重合，故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得 x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．] 7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝09．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0．据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ． ∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ． ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ． 11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45． 因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．① 由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ，同理可得直线AC 的方程5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)．12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)．∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 的方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，3．。

3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【选题明细表】1.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为( D )(A)19x-9y=0 (B)9x+19y=0(C)19x-3y=0 (D)3x+19y=0解析:法一由得则所求直线方程为y=x=-x,即3x+19y=0.法二设直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,即(1+2λ)x-(3-λ)y+4+5λ=0,又直线过点(0,0),所以(1+2λ)·0-(3-λ)·0+4+5λ=0,解得λ=-,故所求直线方程为3x+19y=0.2.(2018·广州二模)已知三条直线l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( D ) (A){-,} (B){,-}(C){-,,} (D){-,-,}解析:因为三条直线不能围成一个三角形,所以分3种情况进行讨论.(1)若l1∥l3,此时m=.(2)若l2∥l3,此时m=-.(3)若l1,l2,l3相交于一点,2x-3y+1=0与4x+3y+5=0交点是(-1,-),代入mx-y-1=0,则m=-.综上,m取-,-,.故选D.3.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C(,a),则△ABC的形状是( C )(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)斜三角形解析:因为k AC==,k BC==-,k AC·k BC=-1,所以AC⊥BC,又|AC|==|a|.|BC|==|a|.所以△ABC为直角三角形.4.已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为( C )(A)(3,) (B)(2,)(C)(1,) (D)(1,)解析:直线l1的斜率为k1=tan 30°=,因为直线l2与直线l1垂直,所以k2=-=-,所以直线l1的方程为y=(x+2),直线l2的方程为y=-(x-2).两式联立,解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,).故选C.5.(2018·广东广州荔湾区期末)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y= -3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是( A )(A)-6<k<-2 (B)-5<k<-3(C)k<-6 (D)k>-2解析:解方程组得x=k+6,y=k+2.因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,所以x=k+6>0,y=k+2<0,所以-6<k<-2.故选A.6.(2018·四川雅安期末)不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是.解析:直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得所以不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过一个定点(2,3).答案:(2,3)7.(2018·甘肃武威凉州区期末)已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC中,BC边上的中线长为.解析:BC中点为(-1,2),所以BC边上中线长为=. 答案:8.(2018·宁夏石嘴山第三中学高二上期末)已知△ABC的顶点坐标A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0,求顶点C的坐标,及直线BC的方程. 解:因为AC⊥BH,所以由k BH=得k AC=-2,因此AC方程为y-1=-2(x-5),化简得2x+y-11=0,与2x-y-5=0联立,可解得C坐标为(4,3),因为B在高BH上,所以设B坐标为(2y+5,y),则AB中点M的坐标为(y+5,),而M在直线2x-y-5=0上,所以2(y+5)--5=0,解得y=-3,因此B(-1,-3),所以,由两点式可得BC方程为=化简得6x-5y-9=0.9.(2018·江西师大附中高一测试)△ABC的三个顶点分别为A(0,3), B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( A )(A)(B)1+(C)1+(D)2-解析:因为S△ABC=,AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得由题意得×a×(3-)=,得a=或a=- (舍去).10.(2017·辽宁抚顺高一期末)直线y=-x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边△ABC,则点C的坐标为.解析:由题意得A(,0),B(0,1),则|AB|=2,易知AC⊥x轴,所以点C的坐标为(,2).答案:(,2)11.(2018·重庆万州区期末)若△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B, ∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,则BC边所在的直线方程为.解析:因为∠B,∠C的平分线分别是x=0,y=x,所以AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.则A(3,-1)关于x=0的对称点A′(-3,-1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A″(-1,3)也在直线BC上,由两点式得,=,所求直线BC的方程为2x-y+5=0.答案:2x-y+5=012.(2018·广东台山华侨中学高二上期末)矩形ABCD的两条边AB和AD所在直线的方程分别是x-2y+4=0和2x+y-7=0,它的对角线的交点M的坐标是(-1,1),求边BC和边CD所在直线的方程.解:联立方程组得所以点A的坐标为A(2,3).因为点M(-1,1)是AC的中点,设点C的坐标为C(x0,y0),则有=-1且=1解得x0=-4,y0=-1,所以点C的坐标为(-4,-1),因为CD∥AB,BC∥AD,所以k BC=k AD=-2,k CD=k AB=,所以直线BC的方程是y-(-1)=-2[x-(-4)],即2x+y+9=0,直线CD的方程是y-(-1)=[x-(-4)],即x-2y+2=0.13.已知两点A(2,3),B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P.(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使||PA|-|PB||最大.解:(1)可判断A,B在直线l的同侧,设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1,y1),则有解得由直线的两点式方程得直线A1B的方程为=,即y=(x-4)+1,由得直线A1B与l的交点为P(,-),由平面几何知识可知,此时|PA|+|PB|最小.(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为=,即x+y-5=0.由得直线AB与l的交点为P(8,-3),此时||PA|-|PB||最大.。

3.3 直线的交点坐标与距离公式习题3.3
教学设计
本单元要学习的内容有两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离，其核心是点到直线的距离。

本节课对学生的分析能力解决问题的能力有一定要求，根据所授课班级的学生实际情况而定，针对班级学生数学基础较好，在解题能力特别是抽象思维的能力和逻辑思维能力方面比较好，多给学生自主探究、发现式学习提供机会。

（1）会求两条直线交点的坐标，两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离及应用．
（2）能根据斜率判断两条直线平行或垂直；
（3）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力
（4）培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神.
会求两条直线交点的坐标，两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离及应用．
设计意图（备
注）
复习准备：
两条直线交点的坐标，两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离公式概念回顾。

独立完成知识回顾
学生上台展示类型一的分类依据与成果
小组讨论分
享
小组讨论分学生上台展示类型二的分类依据与成果
享
小组讨论分
享学习小组
使学生对直线
方程的求解有
进一步的理解
小组讨论分
学生上台展示类型三的分类依据与成果
享
小组讨论分学生上台展示类型四的分类依据与成果
享
当堂指出学生在类型四内容上认识及讲解的优点及不足，对个别内容进行强调.B 组3对学生的分析能力和分类讨论能力有一定要求，特别是用分类讨论思想来证明问题的能力，学生学习起来有一定难度，所以需要老师
小组讨论分学生上台展示类型五的分类依据与成果
享。

课下能力提升(二十)[学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y －3＝02．(2016·佛山高一检测)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝04．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0. 题组2 两点间的距离公式5．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．26．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋107．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 8．求证：等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0 D ．3x －4y －5＝0 10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．[能力提升综合练]1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－42．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.1153．(2016·阜阳高一检测)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．5．若直线l: y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．7．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．答案 [学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确．2．解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6. 3．解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.题组2 两点间的距离公式5．解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－－1]2＋4－02＝42，|CB |＝3－52＋4－62＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.6．解析：选 C |AB |＝2＋12＋32＝32，|BC |＝2＋12＋0＝3，|AC |＝2－22＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.7．解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 5 8．证明：已知：等腰梯形ABCD .求证： AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系． 设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －02＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋c －02＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x －4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195.即p ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0， 即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升综合练]1．解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 3．解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m＋1)＝0，解得m ＝－13或－1.答案：－13或－15．解析：如图，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l: y ＝kx －3必过点(0，－3)．当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴上；当直线l 绕C 点逆时针(由位置AC 到位置BC )旋转时，交点在第一象限．根据k AC ＝－3－00－3＝33，得到直线l 的斜率k ＞33.∴倾斜角α的范围为30°<α<90°.答案：30°＜α＜90°6．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋2－y 0－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2.∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为： x ＋4y －4＝0.7．解：原式可化为y ＝x －42＋0－22＋x －02＋0－12.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得|PA |＋|PB |最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)， 由图可直观得出|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |， 故|PA |＋|PB |的最小值为|A ′B |的长度． 由两点间的距离公式可得 |A ′B |＝4－02＋－2－12＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.。

3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离选题明细表知识点、方法题号两直线的交点2,7,9两点间的距离1,3,6对称问题4,10综合应用问题5,8,11,12,13基础巩固1.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则的值为( D )(A)(B)(C)3 (D)2解析:由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( C )(A)-24 (B)6 (C)±6 (D)24解析:在2x+3y-k=0中,令x=0得y=,将(0,)代入x-ky+12=0,解得k=±6.3.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( C )(A)2 (B)3+2(C)6+3 (D)6+解析:|AB|==3,|BC|==3,|AC|==3,则△ABC的周长为6+3.故选C.4.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点是( C )(A)(5,2) (B)(2,5)(C)(-5,-2) (D)(-2,5)解析:设P(2,5)关于x+y=0的对称点为(a,b),则解得5.已知A(3,-1),B(5,-2),点P在直线x+y=0上.若使|PA|+|PB|取最小值,则P点的坐标为( C )(A)(1,-1) (B)(-1,1)(C)(,-) (D)(-2,2)解析:点A(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1,-3),连接A′B,则A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点,直线A′B的方程为y+3=(x-1),即y=x-,与x+y=0联立,解得x=,y=-,故P点的坐标为(,-).6.已知A(1,5),B(5,-2),在x轴上的点M与A,B的距离相等,则点M的坐标为.解析:设M(x0,0)由|AM|=|BM|得=,解得x0=.即2x+y+2=0.答案:(,0)7.过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程为.解析:由得所以交点(-2,2)又知所求直线的斜率为-2,由点斜式得y-2=-2(x+2).即2x+y+2=0.答案:2x+y+2=08.若三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0能构成一个三角形,求k的取值范围.解:①当l1∥l3时知k≠0且有=1,所以有k=5.②当l2∥l3时知k≠0且有=-1,所以有k=-5.③当l1,l2,l3三线交于一点时,解方程组得故直线l1与l2相交于点(1,1).又l3过点(1,1),所以有5×1-k-15=0,所以有k=-10.综上可知,要使三条直线构成一个三角形,需有k≠±5且k≠-10.能力提升9.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点是( B )(A)(5,2) (B)(2,3)(C)(-,3) (D)(5,9)解析:由(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,得k(2x-y-1)-x-3y+11=0,由得所以直线过定点(2,3).10.直线l:x+2y-1=0关于点(1,-1)对称的直线l′的方程为( C )(A)2x-y-5=0 (B)x+2y-3=0(C)x+2y+3=0 (D)2x-y-1=0解析:由题意得l′∥l,故设l′:x+2y+c=0,在l上取点A(1,0),则点A(1,0)关于点(1,-1)的对称点是A′(1,-2),所以1+2×(-2)+c=0,即c=3,故直线l′的方程为x+2y+3=0,故选C.11.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,则此直线l的方程是. 解析:设l1上的点A的坐标为(x1,y1),因为P(3,0)是线段AB的中点,所以l2上的点B的坐标为(6-x1,-y1),所以解得所以点A的坐标为(,),由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.答案:8x-y-24=012.在x轴上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解:如图.(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|==5.因为直线BA的斜率k BA==-,所以直线BA的方程为y=-x+4.令y=0得x=,即P(,0).故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为(,0).(2)作A关于x轴的对称点A′,则A′(4,-1),连接CA′,则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.又|CA′|==,直线CA′的斜率k CA′==-5,则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).令y=0得x=,即P(,0).故A与C距离之和最小值为,此时P点的坐标为(,0).探究创新13.(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标. (2)求函数f(x)=+的最小值.解:(1)设P(x,y)(x∈R,y∈R)则|PA|=,|PB|=,所以|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+5+2y2+2y+5= 2(x-)2+2(y+)2+5,所以x=,y=-时|PA|2+|PB|2最小.故|PA|2+|PB|2最小值为5,此时P(,-).(2)如图f(x)=+=+.设A(2,3),B(6,1),P(x,0),则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点A′(2,-3),因为|PA′|+|PB|≥|A′B|=4, 所以|PA|+|PB|≥4.所以f(x)的最小值为4.。

3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知直线x －y ＋1＝0和直线x －2y ＋1＝0，则它们的交点坐标是( ) A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(－1，0) D ．(－2，－1)2．已知△ABC 中，顶点分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2 D ．不确定4．已知坐标平面内两点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上．若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点的坐标为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫135，－135D ．(－2，2)5．已知坐标平面内两点M (1，0)，N (－1，0)，若直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值X 围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0，2]6．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为( )A．5 2B．5 13C．5 17D．5 5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知直线ax＋3y－12＝0与直线4x－y＋b＝0互相垂直，且相交于点P(4，m)，则b ＝________．9．设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________．10．经过两直线2x－y－3＝0和x＋y＋3＝0的交点且与直线3x－y－1＝0垂直的直线方程为______________．11．已知坐标平面内两点A(－2，2)，B(2，2 3)，若在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，则此时|PA|的值为________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．13．(13分)求过两直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．14．(5分)已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2，则S 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D. 215．(15分)已知直线l 被两平行直线3x ＋y －6＝0和3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，且直线过点A (1，0)，求直线l 的方程．3．3.1 两条直线的交点坐标 3．3.2 两点间的距离1．C [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.2．D [解析] 由两点间的距离公式得||AB ＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝52，||AC ＝（1＋3）2＋（7－1）2＝52， ||BC ＝（1－3）2＋（7＋3）2＝104， 所以有||AB 2＋||AC 2＝||BC 2，且||AB ＝||AC ，故△ABC 为等腰直角三角形．3．B [解析] 由题意得k AB ＝b －a5－4＝1，即b －a ＝1，由两点间的距离公式得|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝ 2.4．C [解析] 设点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B ，则A ′B 与直线x ＋y ＝0的交点即为P 点，因为直线A ′B 的方程为y ＋3＝－2＋35－1×(x －1)，即y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立，解得x ＝135，y ＝－135，故P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.5．A [解析] 将M (1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝2；将N (－1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝－2.对比选项知应选A.6．D [解析] 当直线4x ＋y ＝4与直线mx ＋y ＝0平行时，m ＝4；当直线4x ＋y ＝4与直线2x －3my ＝4平行时，－4＝23m ，即m ＝－16；当直线mx ＋y ＝0与直线2x －3my ＝4平行时，－m ＝23m，无解；当三条直线交于一点时，联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44－m ，y ＝－4m 4－m ，代入2x －3my ＝4，解得m＝23或m ＝－1.综上所述，满足条件的m 值有4个． 7．B [解析] 设A (－3，5)关于直线l ：3x －4y ＋4＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧3×x ′－32－4×y ′＋52＋4＝0，y ′－5x ′＋3×34＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3，y ′＝－3.∵所求的路程即为|A ′B |， ∴由两点间的距离公式得d ＝|A ′B |＝（3－2）2＋（－3－15）2＝5 13.8．－13 [解析] 由两直线互相垂直得－a 3·4＝－1，即a ＝34，由点P (4，m )在直线34x＋3y －12＝0上，得3＋3m －12＝0，即m ＝3，再将P (4，3)的坐标代入4x －y ＋b ＝0，得16－3＋b ＝0，即b ＝－13.9.⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1k [解析] 由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a )y ＝1，即a (x －y )＋ky －1＝0，若其对于任何a ∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k ，y ＝1k .10．x ＋3y ＋9＝0 [解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，故交点为(0，－3)．又因为直线3x －y －1＝0的斜率为3，所求的直线与直线3x －y －1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋3＝－13x ，化简得x ＋3y ＋9＝0.11.13 [解析] 设所求点P 的坐标为(x ，0)，由||PA ＝|PB |及两点间的距离公式得， （x ＋2）2＋（0－2）2＝（x －2）2＋（0－2 3）2， 化简得8x ＝8，解得x ＝1，所以所求点P 的坐标为(1，0)，所以||PA ＝（1＋2）2＋（0－2）2＝13.12．解：设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 整理得(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.又∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 故直线l 的方程为15x ＋5y ＋16＝0.13．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，2x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即P 点坐标为(－2，1)．根据题意知，当截距等于0时，所求直线的方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当截距不等于0时，设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，－2a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，所以所求直线的方程为x －1＋y－1＝1，即x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0.14．B [解析] S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．解：①若直线l 的斜率不存在，且过点A (1，0)，则l 的方程为x ＝1，此时l 与两平行线的交点分别为M (1，3)，N (1，－6)，由两点间的距离公式得|MN |＝9，满足题意．②若直线l 的斜率存在，且过点A (1，0)，则可设l 的方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，y ＝k （x －1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6k ＋3，y ＝3k k ＋3，即直线l 与直线3x ＋y －6＝0的交点坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3.同理可得直线l 与直线3x ＋y ＋3＝0的交点坐标为D ⎝⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3.∴由两点间的距离公式得|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3－k ＋6k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k ＋3－3k k ＋32＝9， ∴k ＝－43，∴直线l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0.综合①②可知，直线l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.。

两条直线的交点坐标 同步练习一、选择题1、若三条直线：0832=++y x ，0=-y x ，和054=++ky x 相交于一点，则k 的值 等于（ ） A. –2 B. 21-C. 2D. 21 2、已知方程0||=-y x a 和0=+-a y x )0(>a 所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是（ ） A. 0>a B. 10<<a 或1>a C. 1>a D. 10<<a3、. 两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1＜a ＜2B ．a ＞－1C ．a ＜2D ．a ＜－1或a ＞24、如果{}{}φ==++⋂=++01|),(0|),(ay x y x b y ax y x ，则（ ）A. 1=a 且 1≠bB. 1=a 且 1-≠bC. 1±=a 且 1±≠bD. 1=a 且 1≠b 或1-=a 且 1-≠b5、设两直线l 1与l 2的方程分别为x ＋y 1－cos α ＋b ＝0，xsin α＋y 1+cos α －a ＝0，（a ，b 为常数，α为第三象限角），则l 1与l 2 （ ）A ．平行B ．垂直C ．平行或重合D ．相交但不一定垂直二、填空题6、直线0243=-+y x 和022=++y x 的交点坐标为__________________.7、已知P （-3，-1），Q （4，6），线段PQ 与直线0523=-+y x 交于点，则M 分PQ 的比为__________________.8、两条直线032:1=-+k y x l 和012:2=+-ky x l 的交点在y 轴上，则=k __________________.9、经过直线053:1=++y x l 和072:2=+-y x l 的交点及A （2，1）的直线l 的方程是__________________.10、已知菱形ABCD 的相对顶点A （1，-2），C （-2，-3），则对角线BD 所在的直线方程为__________________.三、解答题11、已知直线1l 过)1,0(1-P ，)0,2(2P 两点，直线01:2=-+y x l ，求1l 与2l 的交点坐标。

人教A版高中数学必修二3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离公式同步训练A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）直线l1：x+4y-2=0与直线l2：2x-y+5=0的交点坐标为（）A . （－6，2）B . （－2，1）C . （2，0）D . （2，9）2. （2分）已知实数x、y满足2x+y+5=0，那么的最小值为（）A .B .C .D .3. （2分）已知三条直线y＝2x ， x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m ， n)可能是（）A . (1，－3)B . (3，－1)C . (－3,1)D . (－1,3)4. （2分）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（－3，5）出发，被x轴反射后到达点B（2，7），则这束光线从A到B所经过的距离为（）。

A . 12B . 13C .D .5. （2分） (2018高二上·万州期中) 不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点（）A .B . (-2，0)C . (-2，3)D . (2，3)6. （2分）一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是（）A . 4B . 5C .D .二、填空题 (共4题；共4分)7. （1分） (2018高二上·浙江期中) 已知、，点线段（含端点）上移动，则的最小值为________．8. （1分） (2019高二上·长治期中) 直线与的交点坐标为________.9. （1分） (2018高二上·哈尔滨月考) 已知直线截圆所得的弦的中点坐标为，则弦的垂直平分线方程为________.10. （1分） (2017高二上·定州期末) 点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为________．三、解答题 (共4题；共35分)11. （5分）(2018高二下·保山期末) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(Ⅰ)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；；(Ⅱ)已知点为直线上的两个动点，且点为曲线上任意一点，求面积的最大值及此时点的直角坐标．12. （10分） (2018高一上·阜城月考)（1）求经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程；（2）求经过点，且与直线垂直的直线的一般方程.13. （10分） (2018高二上·綦江期末) 已知两直线和的交点 .（1）求经过点和点的直线的方程；（2）求经过点且与垂直的直线的方程．14. （10分） (2017高一上·辽宁期末) 已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．参考答案一、单选题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共4题；共4分)7-1、8-1、9-1、10-1、三、解答题 (共4题；共35分)11-1、12-1、12-2、13-1、13-2、14-1、14-2、。