高中数学课时跟踪检测(二)极坐标系新人教A版选修4_4

极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。

例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

第一讲 坐标系 二 极坐标系 第一课时 极坐标系的概念课时跟踪检测一、选择题1．(2019·衡水期中)极坐标系中，与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3相同的点是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－2π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－4π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π3解析：因点π3与－5π3的终边相同，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π3与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3重合，故选D ．答案：D2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在的直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于过极点且垂直于极轴的直线对称解析：如图，点A (ρ，θ)与点B (ρ，π－θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称．故选D ．答案：D3．(2019·北京海淀区期末)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离为( )A ．1B ． 2C ． 3D ． 5解析：依题意，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4和点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离d ＝12＋12－2×1×1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＝ 2.故选B ．答案：B4．在极坐标系中，确定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置，下面方法正确的是( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：本题涉及极径ρ取负值的坐标表示，当ρ<0，确定点M (ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝|ρ|，故选B ．答案：B5．已知极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，若O 为极点，则△OAB 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，∴|OA |＝2，|OB |＝2，∠AOB ＝34π－π2＝π4， ∴|AB |＝22＋(2)2－2×2×2×22＝2，∴△AOB 为等腰直角三角形．故选D ．答案：D6．与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π6不表示同一点的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－76πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－116πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，136π解析：由ρ＝－3的表示方法知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－116π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，136π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π6表示同一点，故选B ． 答案：B 二、填空题7．将极轴绕极点顺时针方向旋转π4，得到射线OP ，在OP 上取一点M ，使|OM |＝2 018，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时的点M 的极坐标为____________．解析：∵－π4＝－2π＋74π，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018，74π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018，74π 8．下列各点的相互位置关系：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. ①A ，B 关于极轴所在直线对称；②A ，C 关于极点对称；③A ，D 关于过极点且垂直于极轴的直线对称．其中正确的是________．解析：在极坐标系中画出各点便知①②③都正确． 答案：①②③9．(2019·宝鸡中学期末)将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则当ρ＞0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．解析：依题意，ρ＝|OM |＝2，与OP 终边相同的角为－π6＋2k π(k ∈Z )．∵θ∈[0,2π)，∴k ＝1时θ＝11π6，∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6，它关于极轴对称的点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6三、解答题10．某大学校园的部分平面示意图如图，用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系．由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2， 得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m.又|AB |＝|BC |， 所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OD |＝2|AC |＝300 2 m ，|OG |＝12|OE |＝150 2 m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 11．(2019·抚顺第一中学月考)已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，将极点O 移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求点P 的新的极坐标．解：设点P 的新的极坐标为(ρ，θ)，如图．则|OO ′|＝23，又|OP |＝4，∠POO ′＝π3－π6＝π6，在△OPO ′中，ρ2＝(23)2＋42－2×23×4×cos π6＝4，故ρ＝2，又sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sin π62×23＝32，所以∠OPO ′＝π3， 所以θ＝π3＋π3＝2π3，故点P 的新的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.12．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解：(1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3得，|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. ∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知，|AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.13．(2019·保定高二期末)在极坐标系中，与点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点对称的点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，4π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3 解析：设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点的对称点为P ′(ρ，θ)，则ρ＝|OP |＝2，θ＝(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )， 令k ＝－1，则θ＝－2π3，∴P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3.答案：D由Ruize收集整理。

高中数学人教A 版选修4-4课时跟踪检测极坐标系一、选择题1.在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3重合的点是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎪⎫6，2π32.在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H3.将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( )A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)4.在极坐标系中，ρ1=ρ2且θ1=θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若ρ1＋ρ2=0，θ1＋θ2=π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是() A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合6.在极坐标下，圆C ：ρ2＋4ρsin θ＋3=0的圆心坐标为( )A ．(2,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2C ．(2，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π2二、填空题7.点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________．8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．9.在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB|=________.10.在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 在直线ρcos θ＋3ρsin θ=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 .三、解答题11.将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．12.在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．13.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x=－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求C 1，C 2的极坐标方程；14.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．。

课时跟踪检测 (二) 极坐标系一、选择题1．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 解析：选 B 在极坐标系中，描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点，即为点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2对称的点为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但选项中没有此点，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6还可以写成⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，化为极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6B.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π6 解析：选B ∵点M 的直角坐标为(－3，－1)，∴ρ＝－32＋－2＝2，又点M 位于第三象限，且tan θ＝－1－3＝33，∴可取θ＝7π6，故选B. 3．极坐标系中的点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心的距离为( ) A ．2B ．1C ．3 D. 3解析：选D 点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，由两点间的距离公式得所求距离为 3.4．在复平面内，设点P 对应的复数为1＋i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，π4解析：选A 设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，∵点P 的直角坐标为(1,1)，∴ρ＝|OP |＝2，θ＝π4，故选A. 二、填空题5．极点的极坐标为________．解析：因为极点对应的极径为0，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)． 答案：(0，θ)(θ∈R)6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解析： |AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5. 答案： 5 7．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角的大小为________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以22＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，求它们的直角坐标． (2)已知点的直角坐标分别为A (6，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－63， C ()－6，－2，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，－32， D (32，－32)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π6. 10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积．解：(1)如图，由A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3， B ()2，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. 所以△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，所以|AB |＝|BC |＝|CA |，故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知， |AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3.所以S △ABC ＝12×23×23×32＝3 3.。

时间：45分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．极坐标⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由题意可得ρ＝1，θ＝2π3， ∴x ＝ρcos θ＝－12，y ＝ρsin θ＝32，故它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在第二象限，故选B.2．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，则A 和B 之间的距离为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．1 答案 A解析 由已知得|OA |＝3，|OB |＝23，∠AOB ＝π6，所以|AB |＝ 32＋(23)2－2×3×23cos π6＝ 3.3．点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点O 对称的点的一个极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π4 答案 B解析 与点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点对称的点的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4＋2k π(k ∈Z )，故选B.4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 答案 A解析 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．5．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 答案 B解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项中没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.6．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( )A ．(32，42)B ．(－32，42)C ．(－32，－42)D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)．二、填空题(每小题5分，共15分)7．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．答案 (ρ，0)解析 点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y)，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．8．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 解析 如图所示，|OM|＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.9．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π解析 ∵点P(x ，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2， ∴ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.三、解答题(每小题满分10分，共30分)10．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解 设M(r,0)， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r·cos π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的极坐标为(1,0)或(7,0)．11．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标； (2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－53，C(－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C(－2，－2)，D(23，－2)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3. 12．△ABC 的顶点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫4，4π3、B ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6、C ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解 ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2， ∠BOC ＝7π6－5π6＝π3， ∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O 为极点)(1)|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝42＋62＝213.|BC|＝|OB|2＋|OC|2－2|OB|·|OC|cos∠BOC＝213，|AC|＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|cos∠AOC＝45－2 3. 因为|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形．(2)S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12，S△BOC＝12|OB|·|OC|sin∠BOC＝123，S△COA＝12|OC|·|OA|sin∠COA＝8.所以S△ABC＝S△BOC＋S△COA－S△AOB＝123－4.。

二 极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-)4点P 的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积．参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D. 3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ2，tan θ＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π)8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π.∴正方形的顶点的极坐标分别为A ，4π)，B ，34π)，C ，54π)，D ，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A 0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E ，34π)，F (300，π)，G ，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。

课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点．2．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5) 解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3. 3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________． 解析：如图，易知对称点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，76π.答案：⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，76π 6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB|＝________. 解析：|AB|＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M(r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以 (42)2＋r 2－82rcos π4＝5， 即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，。

第2课时 极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点 极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M 的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？ 答案 可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？ 答案 ①直角坐标的原点为极点；②x 轴的正半轴为极轴；③单位长度相同． 梳理 互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).类型一 点的极坐标化直角坐标 例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解 根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A (－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C (0，－4)． 类型二 点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)． 由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.(3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)． 由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2k π(k ∈Z )．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2k π(k ∈Z )． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2k π(k ∈Z )． 极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0.反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解 把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tan θ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2k π，k ∈Z .依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2k π，k ∈Z .类型三 极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)，同理可得B (－4，－43)．设线段AB 的中点为M (m ，n )，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标． 解 由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tan θ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2.∴B (－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1或tan θ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析 设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tan θ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析 由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6， 由6cos θ＝－3，得cos θ＝－12，又0≤θ<2π，且M (－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4 答案 C解析 易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tan θ＝yx ＝33， 又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)． 二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________．答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________． 答案5π6解析 点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32，故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________． 答案 (－1，－3)解析 由于M (－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析 点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________． 答案 (1,0)或(7,0)解析 设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)． 三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y <0，∴ρ＝15，θ＝3π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，7π6.(1)求|AB |的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)． 解 如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB |2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB |＝93.(2)S △AOB ＝12OA ·OB sin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3.13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解 将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线． 方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →， 所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P (x ，y )在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2. 又tan θ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解 如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsin θ＝4sin π6＝2， 又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y )，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。