27.2.1二次函数y=ax2的图象和性质

27.2.1
2的 二次函数y=ax
图象和性质
y x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念 有关概念: 2. 平面内点的坐标 平面内点的坐标:
(a,b) P
第二象限
y(纵轴 纵轴) 纵轴 b
第一象限
a
第三象限
o
x(横轴 横轴) 横轴
第四象限
3. 坐标平面内的点与有序 实数对是: 一一对应. 实数对是 一一对应 坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对 坐标平面内的任意一点 都有唯一一对 有序实数(x,y)与它对应 任意一对有序实数 有序实数 与它对应;任意一对有序实数 与它对应 (x,y),在坐标平面内都有唯一的点 与它对应 在坐标平面内都有唯一的点M与它对应 在坐标平面内都有唯一的点 与它对应.
B(-x,y)
D(-m,-n) P(a,a)
④.对称于坐标轴的两点: 对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点: 对称于原点的两点:
A(x,y)
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
8 3
4 8 2 8 3 -6
... ... ... ... ... ...
x y=2x2 x
2 y = 2x2 y=2x 3
-2 -1.5 8 4.5
-1 -0.5 2 0.5 -1
2 3
... -3 ... -6
-2 -1.5
8 3
1.5
1 y = x2 2
y = 2x2
列表参考
2 y = x2 3

0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
函数图象画法
描点法
注意： 注意：列表时自变量 取值要均匀和对称。 取值要均匀和对称。 2 y= x
画出下列函数的图象。 画出下列函数的图象。
y = x2
1 y= x
列表 描点 连线
1 2 (1) y = x 2 (2) y = 2x2 2 2 (3) y = x 3
对称轴是 除顶点外）， ），在对称轴的 下 方（除顶点外），在对称轴的
2 y = x2在x轴的 （2）抛物线 ） 轴的 3
左侧， 随着 随着x的 在对称轴的右侧， 随着 随着x的 左侧，y随着 的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着 的
增大而减小，当x=0时，函数 的值最大，最大值是 0 ， 的值最大， 时 函数y的值最大
当x=-2时，y=-4 时 当x=1时，y=-1 时 当x=-1时，y=-1 时 当x=2时，y=-4 时
y =x
当a<0时，在对称轴的 时 2 右侧， 随着 随着x的增大而 右侧，y随着 的增大而 减小。 减小。
y = x2
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是原点， 、抛物线 的顶点是原点， 对称轴是y轴。 对称轴是 轴
y = x2
2、当a>0时，抛物线 、 轴的上方（ 时 抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）， 轴的上方 除顶点外）， 它的开口向上，并且向上无限伸展； 它的开口向上，并且向上无限伸展； 轴的下方（ 当a<0时，抛物线 时 抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）， 轴的下方 除顶点外）， 它的开口向下，并且向下无限伸展。 它的开口向下，并且向下无限伸展。 3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着 的增大而减小；在 、 随着x的增大而减小 时 在对称轴的左侧， 随着 的增大而减小； 对称轴右侧， 随着 的增大而增大。 随着x的增大而增大 时函数y的值最 对称轴右侧，y随着 的增大而增大。当x=0时函数 的值最 时函数 随着x的增大而增 小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着 的增大而增 时 在对称轴的左侧， 随着 在对称轴的右侧， 随着 增大而减小， 随着x增大而减小 大；在对称轴的右侧，y随着 增大而减小，当x=0时，函 时 数y的值最大。 的值最大。 的值最大
当x
≠
0时，y<0. 时
1、已知抛物线y=ax2经过点 （-2，-8）。 、已知抛物线 经过点A（ ， ）。 （1）求此抛物线的函数解析式； ）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点 （-1，- 4）是否在此抛物线上。 ）判断点B（ ， ）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 ）求出此抛物线上纵坐标为 的点的坐标
y = x2
1、观察右图， 、观察右图， 并完成填空。 并完成填空。 练习2 2、练习2 3、想一想 练习4 4、练习4
二次函数y=ax2的性质 二次函数 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
y = x2
y=x2 抛物线 y=-x2 在同一坐标系内，抛物线y=x2） 在同一坐标系内，抛物线0，0） （0，0） ， ） （ ， 与抛物线 顶点坐标 y= -x2的位置有什么关系2？ 如果在同一坐标系内 的位置有什么关系？ 在同一坐标系内，抛物线y=x 与抛物线 轴 y轴 轴 对称轴 2在同一坐标系内，抛物线 -ax2的图象，y轴 画函数y=ax2与y= 的图象，怎样画才简便？ 怎样画才简便？ 画函数 y= -x 的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内 的位置有什么关系？ 轴的上方（ 2 在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方 轴的上方 除顶点外） 2轴的下方（ 既关于x轴对 既关于 位置 画函数y=ax2抛物线抛物线y=x 与抛物线 y= -x2轴的下方（除顶点外 的图象，怎样画才简便？ 轴对 画函数 答：抛物线抛物线 与y= -ax2的图象，怎样画才简便？2 又关于原点对称。只要画出y=ax 与y= -ax 中的 称，又关于原点对称。只要画出 向上 向下 一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 开口方向 一条抛物线，另一条可利用关于 轴对称或关于原点 对称来画。 对称来画。 增减性 演示 极值 当x=0时，最小值为 。 当x=0时，最大值为 。 时 最小值为0。 时 最大值为0。
解（1）把（-2，-8）代入 ） ， ）代入y=ax2,得 得 解出a= 所求函数解析式为 -8=a(-2)2,解出 -2,所求函数解析式为 解出 y= -2x2. )2 ，所以点 （-1 ，所以点B（ （2）因为 4 ≠ 2(1 ） 4）不在此抛物线上。 ）不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x = ± 3 ） 得 所以纵坐标为-6的点有两个 的点有两个， 所以纵坐标为 的点有两个，它们分别是 ( 3,6)与 3,6) (
点的位置及其坐标特征: 4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: 各象限内的点:
Q(b,-b)
y
Q(0,b) C(m,n)
②.各坐标轴上的点: 各坐标轴上的点:
M(a,b)
(-,+) o
(+,+)
P(a,0)
N(a,-b) ③.各象限角平分线上的点: (-,-) 各象限角平分线上的点:
x (+,-)
3
3
(-
3, - 6)
( 3, - 6)
y=-2x2 y=-
中考语录
一场、两场、三场、四场考试， 最终为了一场中考； 一次、两次、三次、四次痛苦， 最终为了一次微笑。
y = x 2
用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
y = 2x2
2、根据左边已画好的函数图象填空： 根据左边已画好的函数图象填空 （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 0，0） ）抛物线 , （ ， ）
2 2 y = x 3
y轴 ，在对称轴的右 侧， 轴 y随着 的增大而增大；在 随着x的增大而增大 随着 的增大而增大； 对称轴的左 ， 侧 y随着 的增大而减小，当x= 0 随着x的增大而减小 随着 的增大而减小， 时， 函数y的值最小 的值最小， 函数 的值最小，最小值是 0 ,抛物 抛物 除顶点外）。 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。 轴的
y = x2
1 y = x2 2
y = 2x2
y = x2
2 y = x2 3
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线 抛物线。 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称，y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
y= x
2
当a>0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 减小。 减小。 当a>0时，在对称轴的 时 右侧， 随着 随着x的增大而 右侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当a<0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当x=-2时，y=4 时 当x=1时，y=1 时 当x=-1时，y=1 时 当x=2时，y=4 时