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专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。
4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。
【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】见解析。
2020年中考数学考点过关培优训练卷：《尺规作图》一．选择题（每小题4分，共40分）1．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC 的周长为13cm，则△ABD的周长是（）A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm2．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④3．如图，△ABC为等边三角形，要在△ABC外部取一点D，使得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学做法：（）甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，BC长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．A ．两人都正确B ．两人都错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确4．如图，锐角△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ，若想找一点P ，使得∠BPC 与∠A 互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B 为圆心，AB 长为半径画弧交AC 于P 点，则P 即为所求；乙：分别以B ，C 为圆心，AB ，AC 长为半径画弧交于P 点，则P 即为所求； 丙：作BC 的垂直平分线和∠BAC 的平分线，两线交于P 点，则P 即为所求． 对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）A ．甲、丙正确，乙错误B ．甲正确，乙、丙错误C ．三人皆正确D ．甲错误，乙、丙正确5．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ； ②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ， 则下列说法错误的是（ ）A ．∠ABC ＝60°B ．S △ABE ＝2S △ADEC ．若AB ＝4，则BE ＝D ．sin ∠CBE ＝6．通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）A．B．C．D．7．画△ABC的边BC上的高，正确的是（）A．B．C．D．8．小明在学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（）A．∠A＝60°B．△ACD是直角三角形C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心9．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（3，2），点A在x轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧分别交边OA、OC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，恰好过点B，则点A的坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）10．小明同学在学习完全等三角形以后，思考怎么用三角板平分一个角，经过研究他得到一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别用三角板过点M，N 作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则△OMP≌△ONP，所以OP平分∠AOB．在此画图过程中△OMP≌△ONP的判定依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL二．填空题（每小题4分，共20分）11．在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，请你在小聪的启发下，经过点P画一条直线，把图分成面积相等的两部分．（画出直线，保留画图痕迹）12．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝．13．如图，已知△ABC中，∠A＝70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为°．14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠A'O'B'＝∠AOB，需要说明△A'O'B'≌△AOB，则这两个三角形全等的依据是．（写出全等的简写）15．画图、测量、填空画一个半径为2cm的圆，画出角度分别为30°、45°、60°、90°、120°的圆心角，测量不同圆心角所对弦的长度，并填入下面的表格中．（数据保留一位小数）依据表格中的数据，当圆心角小于平角时，圆心角与它所对弦长之间的变化规律是．三．解答题（每题8分，共40分）16．如图，∠AOC和∠DOB都是直角．（1）如图1，∠DOC＝32°，则∠AOB＝度；（2）在图1中，如果∠DOC≠32°，找出图中相等的锐角，并说明理由；（3）在图2中，利用三角板画一个与∠FOE相等的角．17．中国的5G时代正加速到来．如图，某通信公司要在W区修建一座5G基站，按照设计要求，基站到两个居民小区M，N的距离相等，到市区两条主干道a，b的距离也相等．基站P应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）18．三个顶点都在网格交点的三角形叫格点三角形（1）在图1中画出一个面积为4的格点直角三角形；（2）在图2中画出一个面积为4的格点等腰三角形．19．如图，已知A、B、C、D四点，请按下列要求画图：（不写作法，保留作图痕迹）．（1）画直线AD；（2）画射线AB；（3）画线段BD，在BD上求作点P，使点P到A、C两点的距离之和最小．理由是．20．如图，△ABC中，AB＝AC，（1）请你利用直尺和圆规完成如下操作：①作△ABC的角平分线AD；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（2）线段P A，PB，PC之间的数量关系是；请说明理由．（3）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．参考答案一．选择题1．解：由作法得MN垂直平分AC，∴AE＝CE＝3，DA＝DC，∵△ABC的周长为13cm，即AB+BC+AC＝13，∴AB+BD+DA+6＝13，即AB+BD+DA＝7，∴△ABD的周长为7cm．故选：A．2．解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选：A．3．解：（甲）如图一所示，∵△ABC为等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BEA＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BEA＝∠BED＝90°，由甲的作法可知，AB＝BD，∴∠ABC＝∠DBC，在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB，故甲的作法正确；（乙）如图二所示，∵BD∥AC，CD∥AB，∴∠ABC＝DCB，∠ACB＝∠DBC，在△AB C和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（ASA），∴乙的作法是正确的．故选：A．4．解：甲的作法正确：∠BPC＝180°﹣∠BP A，而BP＝BA，则∠A＝∠BP A，所以∠A+∠BPC＝180°；乙的作法错误：由BA＝BP，CA＝CP，则∠BAP＝∠BP A，∠CAP＝∠CP A，所以∠A＝∠BPC；丙的作法正确：证明∠ABP+∠ACP＝180°，则∠A+∠BPC＝180°．故选：A．5．解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED＝90°，CE＝DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝2DE，∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的说法正确；∵AB＝2DE，∴S△ABE ＝2S△ADE，所以B选项的说法正确；作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，在Rt△ECH中，∵∠ECH＝60°，∴CH＝CE＝1，EH＝CH＝，在Rt△BEH中，BE＝＝2，所以C选项的说法错误；sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的说法正确．故选：C．6．解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选：A．7．解：A．此图形知BD不是三角形的高，不符合题意；B．此图形中BD是AC边上的高，不符合题意；C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；D．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；故选：D．8．解：由作图可知：AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BA＝BC＝BD，∴△ACD是直角三角形，∴点B是△ACD的外心．故选：C．9．解：由作法得OB平分∠AOC，∴∠AOB＝∠COB，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB∥OC，∴∠COB＝∠ABO，∴∠ABO＝∠AOB，∴AO＝AB，设A（t，0），∴t2＝（3﹣t）2+22，解得t＝，∴A点坐标为（，0）．故选：A．10．解：∵两三角尺为直角三角形，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中∵，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：如图所示：沿着经过P、Q的直线把图形剪成面积相等的两部分．12．解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则A D＝BD，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3．故答案为：3．13．解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，而∠A＝70°，∴∠BOC＝90°+×70°＝125°．故答案为125．14．解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，在△ODC和△O′D′C′中，，∴△COD≌△C'O'D'（SSS），∴∠D′O′C′＝∠DOC（全等三角形的对应角相等）．故答案为：SSS．15．解：通过画图测量可知：一个半径为2cm的圆，圆心角为30°、45°、60°、90°、120°所对弦的长度分别为1cm，1.5cm，2cm，2.8cm，3.5cm依据表格中的数据，当圆心角小于平角时，圆心角与它所对弦长之间的变化规律是：当圆心角增大时，弦的长度也增大．故答案为1，1.5，2，2.8，3.5，当圆心角增大时，弦的长度也增大．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵∠AOC＝90°，即∠AOD+∠DOC＝90°，∴∠AOD＝90°﹣32°＝58°，∴∠AOB＝∠DOB+∠AOD＝90°+58°＝148°；故答案为148；（2）相等的锐角为∠AOD＝∠BOC．理由如下：∵∠AOD+∠DOC＝90°，∠BOC+∠DOC＝90°，∴∠AOD＝∠BOC；（3）如图，∠MON为所作．17．解：如图，点P就是所求作的位置．18．【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求．（2）如图2中，△ABC即为所求．19．解：如图所示：（1）直线AD即为所求作的图形；（2）射线AB即为所求作的图形；（3）画线段BD，连接AC，与BD交于点P，点P为所求．理由是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．20．解：（1）如图，（2）P A＝PB＝PC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，即AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∵EF垂直平分AB，∴P A＝PB，∴P A＝PB＝PC．故答案为P A＝PB＝PC；（3）∵∠ABC＝70°，∴∠BAD＝90°﹣70°＝20°，∵P A＝PB，∴∠PBA＝∠P AB＝20°，∴∠BPD＝20°+20°＝40°，∵PD平分∠BPC，∴∠BPC＝2∠BPD＝80°．。
2020年中考数学试题分类汇编之十七尺规作图一、选择题1.（2020河北）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A. a ，b 均无限制B. 0a >，12b DE >的长 C. a 有最小限制，b 无限制D. 0a ≥，12b DE <的长 【答案】B 【详解】第一步：以B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； ∴0a >；第二步：分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； ∴12b DE >的长； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．综上，答案为：0a >；12b DE >的长， 故选：B ．2.（2020河南）.如图，在ABC ∆中，30AB BC BAC ==∠=︒ ，分别以点,A C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接,,DA DC 则四边形ABCD 的面积为（ ）A. B. 9 C. 6 D.【答案】D【解析】【分析】 连接BD 交AC 于O ，由已知得△ACD 为等边三角形且BD 是AC 的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC 、BO 、BD 的值，进而代入三角形面积公式即可求解．【详解】连接BD 交AC 于O ，由作图过程知，AD=AC=CD ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠DAC=60º，∵AB=BC,AD=CD ，∴BD 垂直平分AC 即：BD ⊥AC ，AO=OC ，在Rt △AOB 中，30AB BAC =∠=︒∴BO=AB ·sin30º AO=AB ·cos30º=32，AC=2AO=3， 在Rt △AOD 中，AD=AC=3,∠DAC=60º，∴DO=AD ·sin60º，∴ABC ADC ABCD S S S ∆∆=+四边形=113322⨯⨯= 故选：D ．3.（2020贵阳）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A. 无法确定B. 12C. 1D. 2【答案】C【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，∵∠C=90°，∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．4．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE 的度数．【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，观察作图过程可知：CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度数为65°故选：B．二、填空题∆的顶点A，C均落在格5．(2020天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC点上，点B在网格线上，且5AB=．3（I ）线段AC 的长等于______；（II ）以BC 为直径的半圆与边AC 相交于点D ，若P ，Q 分别为边AC ，BC 上的动点，当BP PQ +取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，Q ，并简要说明点P ，Q 的位置是如何找到的（不要求证明）_______．答案）如图，取格点M ，N ，连接MN ，连接BD 并延长，与MN 相交于点B '；连接B C '，与半圆相交于点E ，连接BE ，与AC 相交于点P ，连接B P '并延长，与BC 相交于点Q ，则点P ，Q 即为所求．6.(2020苏州）.如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________．【详解】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG ⊥ON 于点G ，由尺规作图步骤，可得：OD 是∠MON 的平分线，OA=OB ，∴OH ⊥AB ，AH=BH ，∵DE OC ⊥，∴DE ∥AB ，∵AD ON ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴8==，∵OB ·AG=AB ·OH ，∴AG=AB OH OB ⋅=12810⨯=485， ∴sin MON ∠=AG OA =2425． 故答案是：2425．7．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在x 轴，y 轴上分别截取OA ，OB ，使OA ＝OB ，再分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点P ．若点P 的坐标为（a ，2a ﹣3），则a 的值为 3 ．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．AB长为半径画弧，两弧交于【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于12点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．8．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A 和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC 于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为 5 ．9．（2020宁夏）（3分）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝32 度．三、解答题10.（2020北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB.求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12BAC .作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP.线段BP 就是所求作线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵CD∥AB，∴∠ABP= .∵AB=AC，∴点B在⊙A上.又∵∠BPC=12∠BAC（）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC【解析】（1）如图所示（2）∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
2020年中考数学提分限时训练尺规作图（含答案）1.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是()图12.如图2,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的一半的长为半径画弧,两弧分别交于C,D两点,连接AC,BC,AD,BD,则四边形ADBC一定是()图2A.正方形B.矩形C.梯形D.菱形AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N 3.如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于12两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是()图3A.20°B.30°C.45°D.60°4.已知∠AOB=60°,以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB于点M,N,分别以M,N为圆心,以大于1MN的2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC=15°,则∠BOC的度数为()A.15°B.45°C.15°或30°D.15°或45°5.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是()图46.如图5,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分∠MON.有以下几条几何性质:①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线互相平分;③等腰三角形的“三线合一”.小明的作图依据是()图5A.①②B.①③C.②③D.①②③EF 7.如图6,BD是矩形ABCD的对角线,在BA和BD上分别截取BE,BF,使BE=BF;分别以E,F为圆心,以大于12的长为半径作弧,两弧在∠ABD内交于点G,作射线BG交AD于点P,若AP=3,则点P到BD的距离为.图68.如图7,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;②以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M';③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠COB内部交前面的弧于点N';④过点N'作射线ON'交BC于点 E.若AB=8,则线段OE的长为.图79.如图8,矩形ABCD中,∠BAC=60°,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点MN的长为半径作弧,交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等M,N为圆心,以大于12于.图810.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法):如图9,已知△ABC,请根据“SAS”作出△DEF,使△DEF≌△ABC.图911.在6×6的方格纸中,点A,B,C都在格点上,按要求画图.(1)在图①中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形;(2)在图②中仅用无刻度的直尺,把线段AB三等分(保留画图痕迹,不写画法).图1012.如图11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.(1)尺规作图:不写作法,保留作图痕迹.①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;②过点D作BC的垂线,垂足为E.(2)在(1)作出的图形中,求DE的长.图1113.如图12,AD是△ABC的角平分线.(1)作线段AD的垂直平分线EF,分别交AB,AC于点E,F;(用直尺和圆规作图,标明字母,保留作图痕迹,不写作法)(2)连接DE,DF,四边形AEDF是形.(直接写出答案)图12|拓展提升|14.如图13,∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠P AC=30°,AC=2√3.(1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在A,C两点分别与射线PB和PD相切.要求:写出作法,并保留作图痕迹;(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明;(3)求所得的劣弧与线段P A,PC围成的封闭图形的面积.图13【参考答案】1.C2.D3.B4.D5.C6.C7.3 过点P 作PQ ⊥BD ,垂足为Q ,根据题意可得BP 平分∠ABD. ∵四边形ABCD 为矩形,∴∠A=90°,∴P A=PQ.∵P A=3,∴PQ=3,8.4 由作法得∠COE=∠OAB , ∴OE ∥AB ,∵四边形ABCD 为平行四边形,∴OC=OA , ∴CE=BE ,OE 为△ABC 的中位线, ∴OE=12AB=12×8=4.9.3√3 在矩形ABCD 中,∠BAC=60°,∠B=90°,∴∠BCA=30°,∵AE 平分∠BAC , ∴∠BAE=∠EAC=30°, ∵在Rt △ABE 中,BE=1,∴AE=1sin30°=2,AB=1tan30°=√3, ∵∠EAC=∠ECA=30°,∴EC=AE=2, ∴BC=3.∴S 矩形ABCD =AB ·BC=3√3. 10.解:如图,△DEF 即为所求.11.解:(1)画出图形如图①所示.(2)如图②所示. 12.解:(1)如图所示.(2)∵DE ⊥BC ,∠ACB=90°,∴DE ∥AC , ∴∠ACD=∠CDE. ∵CD 平分∠ACB , ∴∠ACD=∠DCE , ∴∠DCE=∠CDE ,∴ED=EC.∵DE∥AC,∴△BED∽△BCA,∴DEAC =BE BC,设ED=x,则EC=x,BE=3-x,∴x2=3-x3,解得:x=65,∴DE的长为65.13.【思路分析】(1)分别以点A、点D为圆心,大于12AD的长为半径在线段AD的两侧分别作弧,交于两点,过这两点作直线,交AB于点E,交AC于点F,直线EF即为所求.(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=DE,F A=FD,推出∠EAD=∠EDA,∠F AD=∠FDA.再由角平分线的定义可得∠EAD=∠DAF,从而推出这四个角都相等.再根据内错角相等,两直线平行得出AE∥DF,AF∥ED,推出四边形AEDF是平行四边形,结合邻边相等证出四边形AEDF是菱形.解:(1)如图所示:直线EF就是线段AD的垂直平分线.(2)菱.证明:∵EF垂直平分AD,∴EA=ED,F A=FD,∴∠EDA=∠EAD,∠F AD=∠FDA,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠F AD,∴∠EDA=∠EAD=∠F AD=∠FDA,∴AE∥DF,AF∥ED,∴四边形AEDF为平行四边形,又∵EA=ED,∴四边形AEDF为菱形.14.解:(1)作法:①过A,C分别作PB,PD的垂线,它们相交于点O;②以O为圆心,OA长为半径画圆,则劣弧AC即为所求.如图.(2)已知:∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠P AC=30°,AC=2√3,过A,C分别作PB,PD的垂线,它们相交于O,以OA为半径作☉O.求证:PB,PD为☉O的切线.证明:∵∠BPD=120°,∠P AC=30°,∴∠PCA=30°,∴P A=PC,连接OP,∵OA⊥P A,OC⊥PC,∴∠P AO=∠PCO=90°,∵OP=OP,∴Rt△P AO≌Rt△PCO(HL),∴OA=OC ,∴PB ,PD 为☉O 的切线. (3)∵∠OAC=∠OCA=90°-30°=60°, ∴△OAC 为等边三角形, ∴OA=AC=2√3,∠AOC=60°. ∵PO 平分∠APC , ∴∠APO=60°, ∴AP=√33×2√3=2,∴劣弧AC 与线段P A ,PC 围成的封闭图形的面积=S 四边形APCO -S 扇形AOC =2×12×2√3×2-60·π·(2√3)2360=4√3-2π.。
第3讲尺规作图一级训练1．(2020年河北)如图6－3－11，点C在∠AOB的OB 边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，»FG是( )图6－3－11A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧2．(2011年浙江绍兴)如图6－3－12，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧相2交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC 的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )A．7 B．14 C．17 D．20图6－3－123．如图6－3－13，已知点M，N，作图：①连接点M，N；②分别以M，N为圆心、大于________的长为半径作弧，两弧相交于A，B两点；③作直线AB交MN于点C.C是________的________，AB是MN的________线．图6－3－134．如图6－3－14，已知线段AB和CD，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.图6－3－145．A，B是平面上的两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点．请问：这样的点有几个？在图中作出符合条件的点(要求尺规作图，保留痕迹，不写作法)．6．试把如图6－3－15所示的角四等分(不写作法)．图6－3－157．如图6－3－16，已知△ABC，画它的外接圆⊙O(要求：①保留作图痕迹；②写出作法)．图6－3－168．(2011年浙江杭州)四条线段a，b，c，d如图6－3－17，a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4.(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．图6－3－179．(2020年山东青岛)如图6－3－18，已知：线段a，c，∠α.求作：△AB C.使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.图6－3－18二级训练10．如图6－3－19，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出( )个．( )图6－3－19A．2 B．4 C．6 D．811．如图6－3－20，画一个等腰三角形ABC，使其底边BC＝a，高AD＝h.图6－3－2012．尺规作图：请在图6－3－21上作∠AOC，使其是已知∠AOB的32倍(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)．已知：求作：图6－3－2113．(2020年山东德州)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图6－3－22.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法)．图6－3－22三级训练14．(2020年贵州铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图6－3－23，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)．图6－3－2315．(2011年甘肃兰州)如图6－3－24，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C.(1)请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连接AD，CD；(2)请在(1)的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C__________，D__________；②⊙D的半径＝____________(结果保留根号)；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为________(结果保留π)；④若点E(7,0)，试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．图6－3－24第3讲尺规作图【分层训练】1．D 2.C3.12MN MN中点垂直平分作图略4．略5．解：因为等腰直角三角形的直角顶点到另外两点距离相等，且∠C＝90°，故利用线段中垂线的性质和圆中直径所对的圆周角为直角作图．如图D35，故符合题意的点有2个．图D356．略提示：首先把∠O二等分，再把得到的两部分分别再二等分即可．7．略提示：分别作AB和BC的垂直平分线，设其交点为O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为外接圆．8．解：(1)只能取b，c，d三条线段，作图略．(2)四条线段中任取三条共有四种等可性结果：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，其中能组成三角形的只有(b，c，d)，所以以它们为边能作出三角形的概率是1 4 .9．略10．B 解析：如图D36，图D36这样的三角形最多可以画出4个．故选B. 11．略12．解：已知：∠AOB.求作：∠AOC＝32∠AOB.作图如图D37.图D3713．解：作AB的垂直平分线及∠l1Ol2的平分线，两直线的交点即是所求．如图D38，C1，C2就是所求的位置．图D3814．解：如图D39.图D3915．解：(1)如图D40.图D40(2)①(6,2) (2,0) ②2 5 ③5 4π④相切．理由：∵CD＝2 5，CE＝5，DE＝5，∴CD2＋CE2＝25＝DE2.∴∠DCE＝90°，即CE⊥CD.∴CE与⊙D相切．。
2020年中考数学试题分类汇编之十七尺规作图一、选择题1.（2020河北）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 下列正确的是（ ）A. a ，b 均无限制B. 0a >，12b DE >的长 C. a 有最小限制，b 无限制 D. 0a ≥，12b DE <的长 【答案】B【详解】第一步：以B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； ∴0a >；第二步：分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； ∴12b DE >的长； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 综上，答案为：0a >；12b DE >的长， 故选：B ．2.（2020河南）.如图，在ABC ∆中，30AB BC BAC ==∠=︒ ，分别以点,A C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接,,DA DC 则四边形ABCD 的面积为（ ）A. B. 9 C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD 交AC 于O ，由已知得△ACD 为等边三角形且BD 是AC 的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC 、BO 、BD 的值，进而代入三角形面积公式即可求解． 【详解】连接BD 交AC 于O ， 由作图过程知，AD=AC=CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DAC=60º， ∵AB=BC,AD=CD ，∴BD 垂直平分AC 即：BD ⊥AC ，AO=OC ，在Rt △AOB 中，30AB BAC =∠=︒∴BO=AB ·sin30º AO=AB ·cos30º=32，AC=2AO=3， 在Rt △AOD 中，AD=AC=3,∠DAC=60º，∴DO=AD ·sin60º=2，∴ABC ADC ABCD S S S ∆∆=+四边形=11332222⨯⨯+⨯⨯=故选：D ．3.（2020贵阳）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在CBA∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A. 无法确定B.12C. 1D. 2【答案】C【详解】解：由题意可知，当GP∴AB 时，GP 的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB 是∴ABC 的角平分线， ∴∴C=90°， ∴当GP∴AB 时，GP=CG=1， 故答案为：C ．4．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠B ＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE 的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE 的度数．【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，观察作图过程可知：CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度数为65°故选：B．二、填空题5．(2020天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC∆的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且53 AB=．（I）线段AC的长等于______；（II）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP PQ+取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______．答案）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B'；连接B C'，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B P'并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．6.(2020苏州）.如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作ADON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________．【详解】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG∴ON 于点G ， 由尺规作图步骤，可得：OD 是∴MON 的平分线，OA=OB ， ∴OH∴AB ，AH=BH ， ∴DE OC ⊥， ∴DE∴AB ， ∴ADON ，∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AB=DE=12， ∴AH=6，8==，∴OB∙AG=AB∙OH ， ∴AG=AB OH OB ⋅=12810⨯=485， ∴sin MON ∠=AG OA =2425． 故答案是：2425．7．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在x 轴，y 轴上分别截取OA ，OB ，使OA ＝OB ，再分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点P ．若点P 的坐标为（a ，2a ﹣3），则a 的值为 3 ．【分析】根据作图方法可知点P 在∠BOA 的角平分线上，由角平分线的性质可知点P 到x 轴和y 轴的距离相等，结合点P 在第一象限，可得关于a 的方程，求解即可． 【解答】解：∵OA ＝OB ，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点P ，∴点P 在∠BOA 的角平分线上， ∴点P 到x 轴和y 轴的距离相等，又∵点P 在第一象限，点P 的坐标为（a ，2a ﹣3）， ∴a ＝2a ﹣3， ∴a ＝3． 故答案为：3．8．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，分别以点A 和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，交AC 于点E ，连接BE ，若CE ＝3，则BE 的长为 5 ．9．（2020宁夏）（3分）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝32度．三、解答题10.（2020北京）已知：如图，∴ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∴AB.求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∴ABP=12BAC .作法：∴以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；∴连接BP.线段BP 就是所求作线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∴CD∴AB，∴∴ABP= .∴AB=AC，∴点B在∴A上.又∴∴BPC=12∴BAC （）（填推理依据）∴∴ABP=12∴BAC【解析】（1）如图所示（2）∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
中考一轮复习：尺规作图专项练习题1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．3．已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．4．如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．7．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．8．【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm 所有不同图案的个数1239．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）10．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝，∴△C′O′D′≌△COD（）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（）11．如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．12．按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）13．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．14．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．15．如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．16．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．17．如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是形．（直接写出答案）18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．19．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．21．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．22．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．23．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．24．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．25．如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG ＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．中考一轮复习：尺规作图专项练习题参考答案与试题解析1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；（2）∵∠ADE＝∠B∴DE∥BC，∴＝＝2．3．已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到E点；（2）利用平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，再根据线段垂直平分线上的性质得到EA＝EC，然后利用等线段代换计算△DCE的周长．【解答】解：（1）如图，CE为所作；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．4．如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．【解答】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．【解答】解：（1）如图所示；（2）OE∥AC，OE＝AC．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOD＝∠BAC，∴OE∥AC，∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE＝AC．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．【解答】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，即＝，∴DE＝．7．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．8．【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm 所有不同图案的个数1235813【分析】根据已知条件作图可知40cm时，所有图案个数5个；猜想得到结论；【解答】解：如图根据作图可知40cm时，所有图案个数5个50cm时，所有图案个数8个；60cm时，所有图案个数13个；故答案为5，8，13；9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O 即为所求．【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．10．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∠A′O′B′即为所求；（2）证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）故答案为：DC，SSS，全等三角形的对应角相等．11．如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．12．按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）【分析】（1）利用尺规作∠BAC的角平分线交AC于点P，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD，再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵AB＝40海里，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝20（海里），∵∠ACD＝45°，∴AC＝AD＝20（海里）．答：小岛A与港口C之间的距离为20海里．13．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．【分析】先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF 即可得到△DEF；【解答】解：如图，△DEF即为所求．14．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．15．如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠ECB＝30°，∵BC＝4，∴BE＝．16．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．17．如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是菱形．（直接写出答案）【分析】（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，F A＝FD，∴EA＝ED＝DF＝AF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为菱．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．19．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．【解答】解：如图所示，△ABC为所求作20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；（2）连接EC，ED，F A，利用三角形重心的性质解答即可．【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：（2）如图2所示，BH即为所求．21．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上；∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB＝PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：22．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；23．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．24．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．25．如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG ＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5即可．【解答】解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．。
2020年数学中考复习每日一练第二十七讲《尺规作图》一．选择题1．下列说法正确的是（）A．用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线的过程，是用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”B．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边角边”构造了全等三角形C．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”D．用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边角边”构造了全等三角形2．如图，仔细观察用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE示意图，请你根据所学知识，说明画出的∠AOE＝∠BOE的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS3．如图，在△ABC中，一位同学按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，作与BC相交于C，E 两点的弧；（2）分别以点C和点E为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点P；（3）作射线AP，交BC于点D．则下列结论中错误的是（）A．PE＝PC B．ED＝CD C．∠EAD＝∠CAD D．∠BAE＝∠CAD 4．如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是（）A．B．C．D．5．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（）①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣①C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②6．作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别是：甲：第一步：在⊙O上任取一点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F．第二步：依次连接这六个点．乙：第一步：任作一直径AD．第二步：分别作OA，OD的中垂线与⊙O相交，交点从点A 开始，依次为点B，C，E，F．第三步：依次连接这六个点．对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲正确，乙错误B．甲、乙均错误C．甲错误，乙正确D．甲、乙均正确7．如图，在∠AOB中，尺规作图如下：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；分别以点D和点E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点C；作射线OC，连结CE、CD．下列结论不一定成立的是（）A．OE＝EC B．CE＝CD C．∠OEC＝∠ODC D．∠ECO＝∠DCO 8．如图，△ABC的周长为26cm，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线DE与AB边交于点F，与AC边交于点G，连接BG，△GBC的周长为14cm，则BF的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．12cm9．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容如图，已知∠AOB，求作：∠AOB的角平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交☺于点N；②分别以点⊕为圆心，大于♡的长为半径画弧，两弧在⊗内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．（）A．☺表示OA B．⊕表示M、C C．♡表示ON D．⊗表示∠AOB 10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD＝6，则CD的长为（）A．2 B．4 C．6 D．3二．填空题11．如图，边长为2的正方形ABCD，以AB为直径作⊙O，CF与⊙O相切于点E，与AD交于点F，则△CDF的面积为．12．如图，用尺规作∠MON的平分线OP．由作图知△OAC≌△OBC，从而得OP平分∠MON，则此两个三角形全等的依据是．13．如图，已知线段AB，按下列要求自己完成画图并计算，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，取AC中点D；如果AB＝6，则线段BD的长度为．14．如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格图中，线段AB的两个端点都在格点上，若以AB为斜边，则可以作出个格点直角三角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形．15．小明分别以正六边形ABCDEF 的顶点B 、D 、F 为圆心，以BA 长为半径作圆弧，设计出如图所示的图案．若AB ＝1，则该图案外围轮廓的周长为 ．16．如图，直线MN ∥PQ ，直线AB 分别与MN ，PQ 相交于点A 、B ，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AN 于点C ，交AB 于点D ②分别以C ，D 为圆心，以大于， CD 长为半径作弧，两弧在∠NAB 内交于点E ；③作射线AE 交PQ 于点F ，若∠ABP ＝70°，则∠AFB ＝ ，17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长，交BC 于点D ，则下列说法中，正确的有 ．（填写序号） ①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC ＝1：3．18．如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H；下列结论：①BH垂直平分线段AD；②AC平分∠BAD；③S＝BC•AH；④A H△ABC ＝DH．其中一定正确的有（只填序号）三．解答题19．已知，如图，∠MON．（1）用直尺和圆规画出∠MON的平分线OA（保留作图痕迹，不写作法，不用证明）（2）在射线OA上任意选取一点P，再在射线OM上选取一点B，要求∠OBP为钝角．①在射线ON上找到所有使得PD＝PB的点D．②写出∠OBP与∠ODP之间的数量关系，并证明．20．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法和结论）（1）作射线AC；（2）作直线BD与射线AC相交于点O；（3）分别连接AB、AD；（4）我们容易判断出线段AB、AD、BD的大小关系是AB+AD＞BD，理由是．21．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，点E1，E2是AB三等分点，点F1，F2是CD三等分点，E1F1，E2F2分别交AC于点G1，G2，求证：AG1＝G1G2＝G2C．（2）如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．（保留作图痕迹）22．如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B′处；将三角形NAE沿EN折叠，点A落在点A’处．（1）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，用直尺、量角器画出射线EB′与EA′；（2）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，求∠A'EB'的度数；（3）若∠MEB＝α，∠NEA＝β，用含α、β的代数式表示∠A'EB'的度数．23．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考．（1）发现：如图1，线段AB＝12，点C，E，F在线段AB上，当点E，F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为．（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求，已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF，学习小组应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的想法：①在图中标出点E点F的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示E，F点的理由．24．LED显示屏是一种平板显示器，可以显示计算机生成的动态图文画面．如图①是平面显示的8X8正三角形网格的示意图，其中每个小正三角形的边长均为1，位于AD中的处的输入光点P按②的程序移动．（1）请在图①中画出光点P经过的路径；（2）求光点P经过的路径总长．参考答案一．选择题1．解：A．用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线的过程，是用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上“，所以A选项正确，符号题意；B．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边边边”构造了全等三角形，所以B选项错误，不符合题意；C．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“是用“边边边”构造了全等三角形，所以C选项错误，不符合题意；D．用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边边边”构造了全等三角，所以D选项错误，不符合题意．故选：A．2．解：根据用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE的过程可知：OD＝OC，DE＝CE，AE＝AE，∴△ODE≌△OCE（SSS）∴∠AOE＝∠BOE．故选：D．3．解：根据作图过程可知：AP是CE的垂直平分线，∴PE＝PC，ED＝CD，AE＝AC，∴∠EAD＝∠CAD．所以A、B、C选项都正确．故选：D．4．解：已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，画法正确的是B、C、D选项，不符合题意．A选项错误，符合题意；故选：A．5．解：根据作一个角等于已知角的过程可知：④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．故选：C．6．解：甲：由作图可知，AB＝BO＝AO，即△AOB为等边三角形，同理可得△BOC，△COD，△DOE，△EOF，△AOF均为等边三角形，故AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，所以六边形ABCDEF为正六边形；乙：由作图可得，BA＝BO＝AO，即△ABO为等边三角形，同理可得△AOF，△COD，△DOE均为等边三角形，故∠EOF＝∠BOC＝60°，而BO＝CO＝EO＝FO，所以△BOC，△EOF均为等边三角形，所以AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，所以六边形ABCDEF为正六边形；因此，甲、乙两人的作法均正确，故选：D．7．解：根据作图过程可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC∴△OEC≌△ODC（SSS）∴∠OEC＝∠ODC∠ECO＝∠DCO．所以B、C、D选项都成立．所以A选项不成立．故选：A．8．解：由画图可知：DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，AG＝BG，∵△GBC的周长为14cm，即BC+BG+CG＝14cm，∴BC+AC＝14cm，∵△ABC的周长为26cm，即AB+BC+AC＝26cm，∴AB＝12cm，∴BF＝6cm．故选：A．9．解：作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．故选：D．10．解：由作图过程可知：DN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6∵∠B＝30°∴∠DAB＝30°∴∠C＝90°，∴∠CAB＝60°∴∠CAD＝30°∴CD＝AD＝3．故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：∵⊙O与AD，CF，BC相切于点A，E，B，∴FA＝FE，CE＝CB＝2，设AF＝FE＝x，在Rt△DFC中，∵DF2+CD2＝CF2，∴（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得x＝，∴DF＝，＝•DC•DF＝×2×＝，∴S△CDF故答案为．12．解：由基本作图得OA＝OB，AC＝BC，而OC为公共边，所以利用“SSS”可判断△AOC≌△BOC，所以∠AOC＝∠BOC．故答案为：SSS．13．解：如图，点C，D即为所求．∵BC＝2AB，AB＝6，∴BC＝12，∴AC＝AB+BC＝6+12＝18，∵AD＝DC，∴AD＝AC＝9，∴BD＝AD﹣AC＝9﹣6＝3，故答案为3．14．解：如图所示：线段AB的两个端点都在格点上，以AB为斜边，可以作出4个格点直角三角形，△ABC的面积最大．故答案为4．15．解：由题意可知：∵正六边形ABCDEF六个边相等都等于1，六个内角相等都等于120°，∴图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和，即图案外围轮廓的周长为：3×＝4π．故答案为4π．16．解：∵MN∥PQ，∴∠NAF＝∠BFA，由题意得：AF平分∠NAB，∴∠NAF＝∠BAF，∴∠BFA＝∠BAF，∵∠ABP＝∠BFA+∠BAF，∴∠ABP＝2∠BFA＝70°，∴∠AFB＝70°÷2＝35°，故答案为：35°．17．①证明：连接NP，MP，在△ANP与△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD＝∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②证明：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，∠ADC＝60°，故此选项正确；③证明：∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④证明：∵在Rt△ACD中，∠2＝30°，∴CD＝AD，∴BC＝BD+CD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD，∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，∴S△DAC ：S△ABC＝1：3，故此选项正确；故答案为：①②③④．18．解：连接CD，BD．由作图可知，AC＝CD，BA＝BD，∴BH垂直平分线段AD，故①④正确，∴S△ABC＝•BC•AH，故③正确，无法判断②正确，故②错误，故答案为①③④三．解答题（共6小题）19．解：如图，（1）OA即为所求；（2）①点D1、D2即为所求；②∠OBP＝∠OD1P，∠OBP+∠OD2P＝180°．证明：分别作PE⊥AM于点E，PF⊥AM于点F ∵OA平分∠MON∴PE＝PF∵PB＝PD1∴Rt△BPE≌Rt△D1PF∴∠PBE＝∠PD1F∴∠OBP＝∠OD1P同理可证∠PBE＝∠PD2F∵∠OBP+∠PBE＝180°∴∠OBP+∠OD2P＝180°．20．解：如图，（1）射线AC即为所求；（2）直线BD与射线AC相交于点O；（3）AB、AD即为所求；（4）线段AB、AD、BD的大小关系是AB+AD＞BD，理由是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．21．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∵DF1＝CD，AE1＝AB，∴DF1＝AE1，∴四边形ADF1E1是平行四边形，∴AD∥E1F1，∴E1G1∥BC，∴＝＝，同法可证：＝＝，∴AG1＝CG2＝AC，∴AG1＝G1G2＝G2C．（2）如图，点P，Q即为所求．22．解：（1）图形如图1中所示：（2）与翻折可知：∠AEA′＝2∠AEN＝90°，∠BEB′＝2∠BEM＝60°，∴∠A′EB′＝180°﹣90°﹣60°＝30°．（3）当α+β≤90°时，∠A′EB′＝180°﹣2（α+β），当α+β＞90°时，∠A′EB′＝2（α+β）﹣180°．23．解：（1）如图1中，∵EC＝AC，CF＝BC，∴EF＝EC+CF＝（AC+BC）＝AB＝6．如图2中，∵EC＝AC，CF＝BC，∴EF＝EC﹣CF＝（AC﹣BC）＝AB．故答案为6， AB．（2）①如图3中，在CD上取得M，使得AC＝CM，F为BM的中点，点E与C重合．②∵F为BM的中点，∴MF＝FB，∵AB＝AC+CM+MF+FM，CM＝AC，∴AB＝2CM+2MF＝2（CM+MF）＝2EF，∵AB＝40m，∴EF＝20m，∵AC+BD＜20m，∵点E与C重合，EF＝20m，∴CF＝20m，∴点F落在线段CD上．24．解：（1）光点P经过的路径如图所示．（2）光点P经过的路径总长＝2π×2＝4π．。
2020年中考数学人教版专题复习：尺规作图基本作图1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．2．基本作图有五种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．典例精析典例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是A．AD=BD B．BD=CDC．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D【解析】∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．典例2如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．（1）尺规作图：①在AN上取一点C，使BC=BA；②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．1 2【解析】（1）①以B点为圆心，BA长为半径画弧交AN于C点；如图，点C即为所求作；②利用基本作图作BD平分∠MBC；如图，BD即为所求作；（2）先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判定得到结论．∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，∵BD平分∠MBC，∴∠MBD=∠CBD，∵∠MBC=∠A+∠BCA，即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．拓展1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能2．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC的度数．复杂作图利用五种基本作图作较复杂图形．典例精析典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．①作射线AC；②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．【答案】见解析．【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；③如图所示，线段CF即为所求；（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．故答案为：两点之间，线段最短．拓展3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）同步测试1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是A．用尺规作一条线段等于已知线段B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D．不能确定2．下列作图属于尺规作图的是A．画线段MN=3 cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是A ．BH 垂直平分线段ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC =BC ·AHD ．AB =AD4．如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了∠AOB =∠NCB ，作图痕迹中，弧FG 是A ．以点C为圆心，OD 为半径的弧 B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧 C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧5．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ； ②分别以点E 、F 为圆心，大于EF 长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③作射线AG 交BC 边于点D ． 则∠ADC 的度数为A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°6．如图，△ABC 为等边三角形，要在△ABC 外部取一点D ，使得△ABC 和△DBC 全等，下面是两名同学做法： 甲：①作∠A 的角平分线l ；②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交l 于点D ，点D 即为所求；12乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=__________．8．如图，在△ABC中，AB=A C．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为__________度．9．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）已知：线段AB；求作：线段AB的垂直平分线MN．10．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠C=30°，求证：DC=DB．。
2020中考复习——尺规作图与测量专题训练（一）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.尺规作图的画图工具是()A. 刻度尺、量角器B. 三角板、量角器C. 直尺、量角器D. 没有刻度的直尺和圆规2.在下图中，正确画出AC边上高的是()．A. B.C. D.3.利用基本作图，不能．．作出唯一三角形的是()A. 已知两边及夹角B. 已知两角及夹边C. 已知两边及一边的对角D. 已知三边4.下列语句中：①画直线AB=3cm；②延长直线OA；③直线AB与直线BA是同一条直线，所以射线AB与射线BA也是同一条射线；④在同一个图形中，线段AB与线段BA是同一条线段．正确的个数有A. 0B. 1C. 2D. 35.如图，给出了过直线AB外一点P，作已知直线AB的平行线的方法，其依据是()A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行C. 同旁内角互补，两直线品行D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行6.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是()A. SASB. ASAC. SSSD. SSA7.小明在研究矩形的时候，利用直尺和圆规作出了如图的图形，依据尺规作图的痕迹，可知∠α的度数为()A. 56°B. 68°C. 28°D. 34°8.如图，已知∠AOB=26.5°，∠CPD=55°，分别以O，P为圆心，以同样长为半径作弧，交OA，OB于点E，F，交PC，PD于点M，N；以点N为圆心，以EF长⏜于点G，作射线PG，则∠CPG的度数是()为半径作弧，交MNA. 26.5°B. 27.5°C. 28°D. 28.5°二、填空题9.如图，一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有A、B、C三个出口，一只花猫想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，请在图中找出这只猫的最佳蹲守地点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)10.如图，在利用量角器画一个40°角的过程中，对于先找点再画射线这一步骤的依据：小王同学认为是两点确定一条直线，小李同学认为是两点之间线段最短，说法正确11.用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是．12.下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，△ABC．求作：直线AD，使AD//BC．作法：如图2：AC为半径作弧，①分别以点A、C为圆心，以大于12两弧交于点E、F；②作直线EF，交AC于点O；③作射线BO，在射线BO上截取OD(B与D不重合)，使得OD=OB；④作直线AD．∴直线AD就是所求作的平行线．根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明．证明：连接CD．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理依据)．∴AD//BC(______)(填推理依据)．13.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，MN的长为半径画弧，两弧在第二交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12象限内相交于点P(a,b)，则a与b的数量关系是________．14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，tanC=2，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于D，分3BD长为半径作弧，两弧别以B、D为圆心，以大于12交于点E，射线AE与BC于F，过点F作FG⊥AC于G，则FG的长为______．15.尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离相等，请你作出灯柱的位置P.(不写作图过程，保留作图痕迹)三、解答题16.如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．17.如图，兄弟俩同时从家里出发去公园游玩．如果两人步行的速度相同，弟弟从家出发经过A点去公园，哥哥从家出发经过B点去公园．请观察图形，估计谁先到达公18.如图，在网格纸上，分别画出图1、图2所给图形关于直线l对称的图形．19.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于点D；(2)尺规作图：以AB边上一点O为圆心作⊙O，且点A、点D都在⊙O上；(3)判断BC与⊙O的位置关系并证明．(1)分别画出△ABC中AB边上的高CH、BC边上中线AG．(2)画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．(3)连接AD、BE，那么AD与BE的关系是_____，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积为_____．21.校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助作出灯柱的位置点P(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)22.如图，已知ΔABC.请用尺规在AB，BC，AC上分别找点P，D，Q，使四边形APDQ是菱形.(保留作图痕迹，不写作法)23.如图，已知△ABC．(1)尺规作图作△ABC的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，求圆的半径r．24.数学活动课上，陈老师布置了一道题目：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规作矩形ABCD(保留作图痕迹).请根据小敏的作法将图形补充完成，并给出证明．答案和解析1.D解：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．2.C3.C解：A、已知两边及其夹角，SAS可以确定三角形，本选项不符合题意．B、已知两角及夹边，ASA可以确定三角形，本选项不符合题意．C、已知两边及一边的对角，SSA不能确定三角形，本选项符合题意．D、已知三边，SSS可以确定三角形，本选项不符合题意．4.B解：①画直线AB=3cm，说法错误，直线没有长度；②延长直线OA，直线向两方无限延伸，不能延长，故此说法错误；③直线AB与直线BA是同一条直线，射线AB与射线BA不是同一条射线，故此说法错误；④在同一个图形中，线段AB与线段BA是同一条线段，正确，5.A解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行．6.B7.A×68°=56°．解：∠α=90°−128.D解：由作图可知：∠GPD=∠AOB=26.5°，∴∠CPG−∠CPD−∠GPD=55°−26.5°=28.5°，9.解：如图所示，一只花猫想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只猫的最佳蹲守地点为F点..10.小王解：在利用量角器画一个40°角的过程中，对于先找点再画射线这一步骤的依据：是两点确定一条直线，故答案为小王．11.内错角相等，两直线平行12.对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行．平行四边形的对边平行证明：连接CD．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行)∴AD//BC(平行四边形的对边平行)．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行；平行四边形的对边平行．13.a+b=0解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，又∵点P(a,b)第二象限内，∴b=−a，即a+b=0，14.35解：如图过点F作FH⊥AB于点H，由作图知AD=AB=1，AE平分∠BAC，∴FG=FH，又∵∠BAC=∠AGF=90°，∴四边形AGFH是正方形，设AG=x，则AH=FH=GF=x，∵tanC=23，∴AC=ABtanC =32，则CG=32−x，∵∠CGF=∠CAB=90°，∴FG//BA，∴△CFG∽△CBA，∴CGCA =FGAB，即32−x32=x1，解得x=35，∴FG=35，15.解：如图，点p为所作．CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线17.解：弟弟先到达公园，从图上量得弟弟所走的路程较短．18.解：图1、图2所给图形关于直线l对称的图形.作图如下：19.解：(1)如图所示：(2)见(1)中图；(3)直线BC与⊙O相切．证明：连接OD，如(1)中图，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC．∴∠ODA=∠DAC．∴OD//AC.∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．∴BC为⊙O的切线．20.(1)解：过点C作CH⊥AB的延长线于点H，则CH即为AB边上的高，由题意可知H点在B点右侧相距2个方格，如图所示；BC与方格的交点即为BC的中点G，连结AG，则AG即为BC边上的中线，如图所示；(2)解：先画出△ABC向右平移6格，再向上平移3格，如图所示；(3)平行且相等；9．解：(3)连结AD，BE，则ADBE为平行四边形，AD与BE的关系式平行且相等，线段AB扫过的部分所组成的封闭图形为正方形，其面积=3×3=9．21.解：如图，点P为所作，22.解：如图所示.作∠ABC的角平分线，与BC的交点为D；作线段AD的中垂线，分别与AB，AC，交于点P，Q．23.解：(1)如图所示；(2)连接OB，连接OA交BC于点E，∵△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，∴BE=CE=5，AE=√AB2−BE2=√11，在Rt△BOE中，r2=52+(r−√11)2，∴r=√11=18√1111．24.解：如图所示∵O是AC的中点，∴OA=OC，又∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△ABC中∵BO为AC边上的中线，∴BO=1AC，2BD，又∵BO=12∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．。
