学年高数(一)复习提要

大一上高数复习知识点一、函数与极限函数的定义：设有两个非空集合 A 和 B，如果按照某种确定的对应关系 f，使得对于 A 中的每一个元素 x，在 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应，那么就称 f 是从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)。

函数的极限：设函数 f(x) 在点 x=a 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0<|x-a|<δ 时，有 |f(x)-A|<ε 成立，那么就称函数 f(x) 在点 x=a 处的极限为 A，记作lim(x→a) f(x) = A。

二、导数与微分导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x=a 处某个邻域内有定义，如果极限lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h存在，则称该极限为函数 y=f(x) 在点 x=a 处的导数，记作 f'(a)或 dy/dx| (x=a)。

导数的应用：函数的导数具有很广泛的应用，例如：1. 切线问题：导数可以表示函数曲线在某一点处的切线斜率。

2. 函数的单调性与极值问题：通过导数的正负性可以判断函数的单调性及极值点。

3. 函数的凹凸性与拐点问题：通过导数的增减性可以判断函数的凹凸性和拐点。

4. 弧长与曲率问题：导数可以用于计算函数曲线的弧长和曲率等。

微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x=a 处可导，那么函数在点x=a 处的微分 dy 是指函数 f(x) 在点 x=a 处的增量与自变量增量 dx 之比，即 dy=f'(a)·dx。

三、积分与定积分定积分的定义：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有定义，将区间 [a, b] 分成 n 个小区间，假设 Delta x 是区间 [a, b] 中最大的小区间长度，选取小区间 [x(i-1), xi] 上的任意一点 x(i)，然后构造和式：Σ f(x(i))·Delta x，当 n 趋于无穷大，Delta x 趋于 0 时，如果和式的极限存在，且与区间的选取方式无关，那么称此极限为函数 f(x)在区间 [a, b] 上的定积分，记作∫[a,b] f(x)dx。

《高等数学一》课程复习大纲与练习题第一章函数一、内容小结1.函数的概念（1）函数的定义（2）函数的表示法：公式法（解析法）、图像法和表格法2.函数的基本性质（1）有界性（2）单调性：函数的单调性一般与区间有关（3）奇偶性：偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像则是关于原点对称（4）周期性：周期函数的图像呈周期状，即在任意形如nnT+的区间上，函数的图像有相同的形状。

+x+x[T)1](,3.常用的函数类型（1）基本初等函数：常值函数：cy=；幂函数：μμ(y=为实常数)；x指数函数：)1aay x；(≠,0>=a对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a ；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======； 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ==== （2）反函数 （3）复合函数（4）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式（公式）表示的函数（5）分段函数：如果)(x f 在其定义域的不同的子区间内，其对应法则有着不同的初等函数表达式，则称)(x f 为分段函数。

二、常见题型1.求函数的自然定义域。

2.判断函数是否相等。

3.已知(x)u ,)(f y ϕ==u ，求复合函数(x))f(ϕ。

4.已知复合函数(x))f(ϕ的表达式，求f(u)或(x)u ϕ=的表达式。

5.判断函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。

6.求函数的反函数。

7.从实际问题中列函数关系式。

第二章 极限与连续一、内容小结 1.有关定义 （1）数列 （2）数列的极限（3）级数 （4）级数的部分和 （5）级数的敛散 （6）函数的极限 （7）无穷小量 （8）无穷大量 （9）无穷小量的阶 （10）函数的连续性 （11）左连续 （12）右连续（13）函数在闭区间],[b a 上连续 （14）第一类间断点 （15）第二类间断点 2.数列极限的有关性质和结论（1）唯一性：若a a n n =∞→lim ，则极限值是唯一的。

高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。

在学习的时候要侧重以下几点： ⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。

)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 存在，且该点处的导数就是这个极限的值。

导数的定义式还可写成极限 00)()(lim0x x x f x f x x --→ 函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。

曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。

反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。

⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。

⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数x x y 2)1(-=，求y '。

在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。

如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=x x x x x x xx y 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 2321212123----='x x x y 这样计算不但简单而且不易出错。

又例如函数 321-+=x x y ，求y '。

显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得 )2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y 若函数由参数方程 ⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''= 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。

大一高数知识点提纲
一、实数与数轴
A. 实数的定义与性质
B. 数轴的概念和表示法
C. 实数的分类：有理数和无理数
二、函数与映射
A. 函数的定义与性质
B. 函数的图像与性质
C. 映射的概念与性质
三、数列与极限
A. 数列的定义和性质
B. 数列的收敛与发散
C. 数列极限的计算与性质
四、导数与微分
A. 导数的定义与性质
B. 基本导数法则
C. 高阶导数和隐函数求导
五、微分中值定理与应用
A. 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的概念与性质
B. 柯西中值定理及其应用
C. 泰勒展开和泰勒公式的应用
六、不定积分与定积分
A. 不定积分的定义与性质
B. 基本积分法则
C. 定积分的定义与性质
七、微分方程初步
A. 微分方程的基本概念和分类
B. 一阶常微分方程的解法
C. 高阶常微分方程的解法
八、空间解析几何
A. 点、直线、平面的方程及其性质
B. 空间中的曲线与曲面
C. 参数方程与极坐标方程
九、多元函数与偏导数
A. 多元函数的概念与性质
B. 偏导数的定义与计算
C. 隐函数求导与高阶偏导数
十、重积分与曲线积分
A. 二重积分的概念与计算
B. 三重积分的概念与计算
C. 曲线积分的概念和计算
以上是大一高数的知识点提纲，它包括实数与数轴、函数与映射、数列与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分与定积分、微分方程初步、空间解析几何、多元函数与偏导数、重积分与曲线积分等内容。

通过学习这些知识点，学生可以建立起大一高数的基本概念和计算方法，为后续更高级的数学课程打下坚实的基础。

高数解题技巧。

高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。

（高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。

《高等数学（一）》考试大纲第一章函数及其图形（一）考核的知识点1.一元函数的定义及其图形2.函数的表示法（包括分段函数）3.函数的几个基本特性4.反函数及其图形5.复合函数6.初等函数7.简单函数关系的建立（二）自学要求函数是数学中最基本的概念之一，它从数学上反映各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象。

本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示方法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常用的经济函数；能根据比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。

本章重点：函数概念和基本初等函数难点：函数的复合（三）考核要求1.一元函数的定义及其图形，要求达到“领会”层次。

1.1 清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素――定义域和对应法则（映射），知道什么是函数的值域。

1.2 清楚函数与其图形之间的关系1.3 对给定的解析式，会求出由它所确定的函数的自然定义域。

2.函数的表示法，要求达到“识记”层次。

2.1 知道函数的三种表示法――解析法，表格法，图像法，并知道它们各自的特点。

2.2 清楚分段函数的概念3.函数的几个基本特性，要求达到“简单应用”层次。

3.1 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义，并会判定比较简单的函数是否具有这些特性。

4.反函数及其图形，要求达到“领会”层次。

4.1 知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数4.2 会求比较简单的定义域、值域和图形与其反函数的定义域、值域和图形之间的关系5.复合函数，要求达到“简单应用”层次。

5.1 清楚函数的复合运算的含义，会求比较简单的复合函数的定义域。

5.2 会做多个函数按一定顺序的复合，并会把一个函数分解成简单函数的复合6.初等函数，要求达到“简单应用”层次。

6.1 知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性和图形（不含余切、正割、余割及其反函数的图形）。

大一高数期末复习知识点在大一的高等数学课程中，期末考试是一个非常重要的环节。

为了顺利通过考试，掌握并复习好以下几个关键的知识点是至关重要的。

一、函数与极限函数是高数课程的基础，在复习期间要着重强化对函数的理解。

函数的定义、性质和分类是必须要掌握的内容。

此外，对于极限的理解也是十分重要的。

掌握极限的定义，习题的计算和证明都是需要加强的内容。

二、导数与微分导数和微分是高数中的重要概念，也是大一上学期的重点内容。

了解导数的基本定义，熟练掌握导数的计算方法，对于各种常用函数的导数特性有着清晰的认识，尤其是链式法则、求导法则和隐函数求导等知识点需要牢固掌握。

三、积分与定积分掌握积分和定积分的概念、性质和计算方法是必要的。

熟悉常见函数的积分表达式，理解积分的几何意义以及积分的应用，如曲线的弧长、曲线围成的面积等。

此外，必须对定积分的计算方法掌握熟练，特别是换元积分法和分部积分法，这些方法在求解特定积分时非常有用。

四、级数与幂级数理解级数的定义、性质和判敛方法是复习过程中的重点之一。

重点掌握等比级数、调和级数、幂级数等的收敛性质和求和方法。

对于收敛级数的性质和运算规则，也需要进行相应的复习。

五、多元函数与偏导数在大一高数的后期，多元函数和偏导数的内容逐渐引入。

要对多元函数的概念、性质、极限和连续性进行全面的复习。

了解偏导数的概念和计算方法，熟悉各种高阶偏导数的计算技巧，并掌握偏微分方程的基本思想和解法。

六、方程与不等式复习期间需要重点关注方程与不等式的求解。

对于高一数学基础的方程、等式和绝对值方程，需要复习其中的解法和技巧。

还有二次方程、三角方程、指数方程和对数方程等特殊类型方程的求解方法也需要进行详细的复习。

同时，对于不等式的性质和求解方法也要牢固掌握。

七、空间解析几何空间解析几何是大一高数的最后一个重点内容。

对于空间直线和平面的方程、性质与相互位置关系要有清晰的认识。

重点复习直线与平面的交线和距离计算，空间曲线与曲面的方程和性质也需要进行细致的复习。

高数大一上期末复习要点高等数学是一门大一上学期的重要课程，它是数学的一门基础性课程，也是理工科学生必修的一门课程。

本文将总结和归纳高等数学大一上学期的复习要点，以帮助同学们对这门课程进行有效的复习。

一、函数与极限1. 函数的概念、性质和表示法2. 函数的基本类型：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算：和、差、积、商、复合函数4. 函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性5. 极限的定义、性质和相关定理6. 数列极限与函数极限的关系二、导数与微分1. 导数的概念、定义和几何意义2. 导数的计算法则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导等3. 高阶导数的概念与计算4. 函数的微分与微分近似值的应用5. 函数的单调性与极值问题6. 函数的图像与导数的关系三、积分与不定积分1. 积分的概念、性质和计算方法2. 定积分的概念、性质和计算方法3. 牛顿-莱布尼茨公式与不定积分的概念4. 不定积分的基本性质和计算方法5. 不定积分的换元法与分部积分法6. 定积分的几何应用：面积、曲线长度、平均值等四、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式2. 一阶微分方程的可分离变量、齐次方程和线性方程解法3. 一阶线性微分方程的常数变易法和伯努利方程解法4. 二阶齐次线性微分方程的特征方程解法5. 二阶非齐次线性微分方程的特解叠加法与待定系数法6. 微分方程的应用：变种种群模型、生命问题、机械振动等五、级数与幂级数1. 数列与级数的概念和性质2. 收敛与发散的判定：比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 常数项级数的和与收敛域4. 幂级数的收敛半径与收敛域5. 幂级数的运算：求导、求积等6. 幂级数的应用：函数展开、函数逼近等上述要点是大一上学期高等数学课程的重点内容，同学们在复习的过程中应该重点关注，并通过课堂笔记、教材、习题集等进行系统复习和巩固。

同时，在复习过程中要注重提高自己的问题解决能力和应用能力，培养数学思维和分析能力。

高数大一知识点大概高数是大一学生必修的一门重要课程，它是数学的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力有着重要的作用。

在大一学习高数的过程中，有一些重要的知识点需要我们牢牢掌握。

本文将对高数大一知识点进行概括和总结，帮助大家回顾和复习。

一、极限与连续1. 极限的概念：极限是指当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于某个值或者无穷大/无穷小的过程。

2. 极限的性质：极限具有唯一性、有界性和保号性等性质。

3. 极限运算法则：和、差、积、商的极限运算法则，以及多项式、指数函数、对数函数等常见函数的极限性质。

4. 连续的概念：函数在某个点上，如果极限存在且与函数值相等，则该函数在该点上连续。

二、微分与导数1. 导数的定义：导数是函数在某一点上的变化率，可以表示为函数的斜率。

2. 导数的计算：常见函数的导数计算公式，包括幂函数、指数函数、三角函数等。

3. 高阶导数：导数的导数，也称为高阶导数，可以通过多次求导得到。

4. 导数的几何意义：导数表示函数在某一点上的切线斜率，可以用于求函数的极值、凹凸性和曲线的拐点等问题。

三、积分与不定积分1. 不定积分的概念：不定积分是求导的逆运算，是函数在求导过程中恢复原来函数的过程。

2. 基本积分公式：常见函数的不定积分计算公式，包括幂函数、指数函数、三角函数等。

3. 定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的积分，可以表示为区间上的面积或者曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

4. 定积分的计算方法：利用定积分的性质和基本积分公式，可以计算各种函数的定积分。

四、级数1. 数列的概念：数列是按一定顺序排列的一串数。

2. 数列的极限：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值逐渐趋于稳定的过程。

3. 级数的概念：级数是指无穷多项的和，可以是无穷级数或有穷级数。

4. 收敛与发散：级数的收敛是指级数的部分和逐渐趋于一个有限的值，发散则表示级数的部分和无穷大或无穷小。

五、常微分方程1. 常微分方程的概念：常微分方程是指含有未知函数及其导数的方程。