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2017—2018年度高二年级期末考试试题（卷）数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设复数z 满足11zi z+=-，则z 等于（ ）A ．1BCD ．2 2.当函数2xy x =⋅取极小值时，x 的值为（ ）A ．1ln 2 B ．1ln 2- C ．ln 2 D ．ln 2- 3.同学聚会上，某同学从《爱你一万年》、《十年》、《父亲》、《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．564.曲线()sin xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．25.函数ln ()xf x x=的单调递减区间是（ ） A ．(0,1) B ．(0,)e C ．(1,)+∞ D ．(,)e +∞ 6.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．80-B ．40-C ．40D ．807.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X ，则（ ） A ．(5,1)X B B ．(0.5,5)X B C ．(2,0.5)XB D ．(5,0.5)XB8.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁9.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点彼此互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则(|)P A B =（ ）A ．59 B ．49 C ．13 D ．2910.设a R ∈，若函数3axy e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-11.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数'()f x ，满足()'()f x f x <，且(0)2f =，则不等式()2xf x e <的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,2)-∞C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞ 12.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）A ．(,2016)-∞-B ．(2018,0)-C ．(,2020)-∞-D ．(2020,0)- 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 13.某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为45，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是 ．14.已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(22)0.4P ξ-≤≤=，则(2)P ξ>= ．15.观察等式：sin 30sin 90cos30cos90︒+︒=︒+︒，sin15sin 751cos15cos 75︒+︒=︒+︒，sin 20sin 40cos 20cos 40︒+︒=︒+︒.照此规律，对于一般的角α，β，有等式 ． 16.若函数1()ln(1)(0,0)1xf x ax x a x-=++≥>+的单调递增区间是[1,)+∞，则a 的值是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分.17.证明：当[0,1]x ∈时，sin 2x x x ≤≤. 18.为了调查患胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人. （1）根据以上数据列出22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：程，再对被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻两天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的数据，请根据12月2日至12月4日的数据求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗.则认为得到的线性回归方程是可靠的.试问（2）中所得到的线性回归方程是可靠的吗？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.20.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . ①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果，求()E X .12.2≈.若2(,)ZN μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=.21.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：（2）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望.22.已知函数()xf x e ax =-有两个不同的零点1x ，2x .（1）求a 的取值范围； （2）求证：122x x +>.2017—2018年度高二年级期末考试理科数学参考答案一、选择题1-5 ABBCD 6-10 CDADB 11、12：AC 二、填空题 13.4812514. 0.3 15. sin sin tan cos cos 2αβαβαβ++=+ 16. 1三、解答题17.证明：记F()＝sin －2，则F ′()＝cos －2当∈0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，F ′()＞0，F()单调递增； 当∈,14π⎛⎤⎥⎝⎦时，F ′()＜0，F()单调递减．又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当∈[0，1]时，F()≥0，即sin ≥2. 记H()＝sin －，则H ′()＝cos －1. 当∈[0，1]时，H ′()≤0，H()单调递减． 所以H()≤H(0)＝0，即sin ≤.≤sin ≤，∈[0，1]． 18.解：(Ⅰ)由已知可列2×2列联表：(Ⅱ)根据列联表中的数据，得2的观测值＝220×320×80×460≈9.638，因为9.638>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关”．19.解析 (1)设“选取的2组数据恰好是不相邻两天的数据”为事件A.从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中数据为12月份的日期数． 每种情况都是等可能出现的，事件A 包括的基本事件有6种． ∴P(A)＝610＝35.∴选取的2组数据恰好是不相邻两天数据的概率是35.(2)由数据可得x －＝11＋13＋123＝12，y －＝25＋30＋263＝27.∴b ^＝（11－12）×（25－27）＋（13－12）×（30－27）＋（12－12）×（26－27）（11－12）2＋（13－12）2＋（12－12）2＝52，a ^＝y －－b ^ x －＝27－52×12＝－3.∴y 关于的线性回归方程为y ^＝52－3.(3)当＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；同理，当＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.∴(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．20. 解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x —和样本方差s 2分别为x —＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0. 33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，～N(200，150)，从而P(187.8<<212.2)＝P(200－12.2<<200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知～B(100，0.682 6)，所以E()＝100×0.682 6＝68.26.21.解：(1)记每台仪器不能出厂为事件A ，则P(A)＝34(1)(1)45--＝120，所以每台仪器能出厂的概率P(A —)＝1－120＝1920.(2)生产一台仪器利润为1600元，即初检不合格，调试后再检合格，故所求为P ＝34(1)45-⨯＝15. (3)可取3800，3500，3200，500，200，－2800. P(＝3800)＝34×34＝916，P(＝3500)＝12C×15×34＝310， P(＝3200)＝21()5＝125，P(＝500)＝12C ×34×11()45⨯＝340，P(＝200)＝12C ×15×11()45⨯＝150，P(＝－2800)＝211()45⨯＝1400， 的分布列为：E()＝3800×916＋3500×10＋3200×25＋500×40＋200×50＋(－2800)×400＝3350.（每个概率正确得1分，分布列得2分）22.解：（1）()e xf x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上递减，在()ln ,a +∞上递增，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>． （严格讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）.（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()222222e 1e 1e e 2122x x x x x x G x g x g x x x x x x --⎛⎫--'''=+-=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭222(1)(2)x x e e x x x -⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭. 当01x <<时，10x -<，但因式222(2)x x e e x x ---的符号不容易看出，引出辅助函数()2x e x x ϕ=，则()3(2)'x e x x x ϕ-=，得()x ϕ在(0,2)上，当(0,1)x ∈时，2(1,2)x -∈，即022x x <<-<，则()()2x x ϕϕ>-，即2220(2)x xe e x x -->-，()'0G x <， 得()G x 在(0,1)上，有()()10G x G >-，即()()()201g x g x x >-<<.（iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()()1212g x g x g x =>-，又21x >，121x ->，()g x 在()1,+∞上，故212x x >-，122x x +>.2017—2018年度高二年级期末考试 理科数学参考答案及评分标准一．选择题二．填空题13. 125 14. 0.3 15. cos α＋cos β＝tan 2. 16. 1三．解答题17.证明：记F ()＝sin－2，则F ′()＝cos －2当∈0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，F ′()＞0，F ()单调递增； 当∈,14π⎛⎤⎥⎝⎦时，F ′()＜0，F ()单调递减． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当∈[0，1]时，F ()≥0，即sin ≥2.............. 6分 记H ()＝sin －，则H ′()＝cos －1. 当∈[0，1]时，H ′()≤0，H ()单调递减． 所以H ()≤H (0)＝0，即sin ≤. ≤sin ≤，∈[0，1]．.............12分 18.解：(Ⅰ)由已知可列2×2列联表：.............5分(Ⅱ)根据列联表中的数据，得2的观测值＝220×320×80×460≈9.638，因为9.638>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关”．.............10分19.解析 (1)设“选取的2组数据恰好是不相邻两天的数据”为事件A.从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中数据为12月份的日期数． 每种情况都是等可能出现的，事件A 包括的基本事件有6种．∴P(A)＝610＝35.∴选取的2组数据恰好是不相邻两天数据的概率是35..............4分(2)由数据可得x －＝11＋13＋123＝12，y －＝25＋30＋263＝27.∴b ^＝（11－12）×（25－27）＋（13－12）×（30－27）＋（12－12）×（26－27）（11－12）2＋（13－12）2＋（12－12）2＝52，a ^＝y －－b ^ x －＝27－52×12＝－3.∴y 关于的线性回归方程为y ^＝52－3..............8分(3)当＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；同理，当＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.∴(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．.............12分20. 解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x —和样本方差s 2分别为x —＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0. 33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，.............3分s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150..............6分(2)①由(1)知，～N(200，150)，从而P(187.8<<212.2)＝P(200－12.2<<200＋12.2)＝0.6826..............9分②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知～B(100，0.682 6)，所以E()＝100×0.682 6＝68.26..............12分21.解：(1)记每台仪器不能出厂为事件A ，则P(A)＝34(1)(1)45--＝120，所以每台仪器能出厂的概率P(A —)＝1－120＝1920..............2分(2)生产一台仪器利润为1600元，即初检不合格，调试后再检合格，故所求为P ＝34(1)45-⨯＝15..........4分 (3)可取3800，3500，3200，500，200，－2800. P(＝3800)＝34×34＝916，P(＝3500)＝12C×15×34＝310， P(＝3200)＝21()5＝125，P(＝500)＝12C ×34×11()45⨯＝340，P(＝200)＝12C ×15×11()45⨯＝150，P(＝－2800)＝211()45⨯＝1400，的分布列为：E()＝3800×916＋3500×10＋3200×25＋500×40＋200×50＋(－2800)×400＝3350..............12分（每个概率正确得1分，分布列得2分）22.解：（1）()e xf x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上递减，在()ln ,a +∞上递增，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>． （严格讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．.............4分（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()222222e 1e 1e e 2122x x x x x x G x g x g x x x x x x --⎛⎫--'''=+-=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.............12分（根据作答情况酌情给分）。
2019—2020学年第一学期高二期末教学质量检测试题理科数学（B）参考答案及评分标准一、选择题1、B2、D3、D4、B5、A6、C7、D8、A9、C 10、B 11、C 12、A二、填空题13、02012504=++=+y x x 或 14、3 15、n n 2)53(5⋅-+ 16、17、.解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或 ………………2分 22:2101,1,q x x a x a x a -+-≥≥+≤-，或 ……………… 4分{}|1,1B x x a x a =≥+≤-记或 而,p q A⌝⇒∴B ， ……6分即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩………………10分 18、解：⑴依题意，设抛物线C 的方程为px y 22= ……1分12=p所以2=p ，抛物线C 的方程为 x y 42= ……5分⑵双曲线1322=-y x 的左焦点为)0 , 2(-F ……6分显然2-=x 不是抛物线C 的切线，设所求切线为)2(+=x k y ……8分 由⎩⎨⎧+==)2(42x k y x y 及0≠k 得，)2(42-=k y y0842=+-y k y ，依题意084)4(2=⨯-k ……8分，解得22±=k ……11分19.解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立， ……1分 ∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2. ……3分解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． ……5分 (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ……6分∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． ……7分 当p 真q 假时，解得1<m ≤2； ……9分 当p 假q 真时，即m <1. ……11分综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]． ……12分切线方程为)2(22+±=x y ……12分 20、解：（Ⅰ）证明：在图1中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G 为BC 边的中点，……1分则DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE ∥BC . ……3分在图2中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF ∩FG ＝F ，所以DE ⊥平面AFG .……5分又DE ∥BC ，所以BC ⊥平面AFG .（向量法酌情给分） …6分(Ⅱ)解：因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED ∩平面BCDE ＝DE ，AF ⊥DE ， 所以，AF ⊥ 平面BCDE 又因为DE ⊥GF ，所以FA ，FD ，FG 两两垂直． ………7分 以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F －xyz .则A (0，0，23)，B (3，－3，0)， E (0，－2，0)，所以AB →＝(3，－3，－23)， BE →＝(－3，1，0)． ………8分 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x 取x ＝1，则y ＝3，z ＝－1，则n ＝(1，3，－1)． ………9分显然m ＝(1，0，0)为平面ADE 的一个法向量， ………10分所以 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝55. ………11分由图形可知二面角B －AE －D 为钝角， 所以，二面角B －AE －D 的余弦值为－55. ………12分21.依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，。
2017-2018学年山西省吕梁市孝义市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）设复数z满足＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）当函数y＝x•2x取极小值时，x＝（）A．B．C．﹣ln2D．ln23．（5分）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）曲线f（x）＝e x sin x在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0B．﹣1C．1D．5．（5分）函数f（x）＝的单调递减区间是（）A．（0，1）B．（0，e]C．[1，+∞）D．（e，+∞）6．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．807．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，则（）A．X～B（5，1）B．X～B（0.5，5）C．X～B（2，0.5）D．X～B（5，0.5）8．（5分）甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（5分）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．10．（5分）设a∈R，若函数y＝e ax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＞﹣3B．a＜﹣3C．a＞﹣D．a＜﹣11．（5分）定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f'（x），满足f（x）＜f'（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣2020，0）B．（﹣∞，﹣2020）C．（﹣2016，0）D．（﹣∞，﹣2016）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是．14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，则P（ξ＞2）＝．15．（5分）观察等式：＝，＝1，＝照此规律，对于一般的角α，β，有等式．16．（5分）若函数的单调递增区间是[1，+∞），则a的值是．三、解答题：本题共6小题，共70分.17．（10分）证明：当x∈[0，1]时，．18．（12分）为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．（1）根据以上数据列出2×2列联表；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？附：K2＝，n＝a+b+c+d19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率．（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：b＝，．20．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．21．（12分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润＝出厂价﹣生产成本﹣检验费﹣调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax有两个不同的零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）求证：x1+x2＞2．2017-2018学年山西省吕梁市孝义市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．【解答】解：∵复数z满足＝i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z＝＝i，∴|z|＝1，故选：A．2．【解答】解：y′＝2x+x•2x ln2＝（1+xln2）•2x＝0，即1+xln2＝0，x＝．故选：B．3．【解答】解：同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌选出两首歌进行表演，基本事件总数n＝＝6，《爱你一万年》未选取的对立事件是《爱你一万年》被选取，则《爱你一万年》未选取的概率p＝1﹣＝1﹣＝．故选：B．4．【解答】解：∵f′（x）＝e x sin x+e x cos x，∴f′（0）＝e0（cos0+sin0）＝1，∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．故选：C．5．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）＝，令f′（x）＝＜0解得x＞e，∴函数f（x）的单调减区间为（e，+∞）．故选：D．6．【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T r+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r＝25﹣r（﹣1）r x5﹣r y r．令5﹣r＝2，r＝3，解得r＝3．令5﹣r＝3，r＝2，解得r＝2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数＝22×（﹣1）3+23×＝40．故选：C．7．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，每次正面向上的概率都是0.5，∴X～B（5，0.5）．故选：D．8．【解答】解：∵四位歌手中只有一个人说的是真话，∴若甲说的是真话，则乙获奖，丙丁矛盾，故不对；若乙说的真话，则丁获奖，丙说的是真话矛盾，故不对；若丙说的真话，则乙说的话真矛盾，故不对；若丁说的是真话，则乙丙未获奖，丁未获奖；∴获奖的歌手是甲．故选：A．9．【解答】解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3＝27种所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27＝108种因为4 个人去的景点不相同的可能性为4×3×2×1＝24种，所以P（A|B）＝＝．故选：A．10．【解答】解：设f（x）＝e ax+3x，则f′（x）＝3+ae ax．若函数在x∈R上有大于零的极值点．即f′（x）＝3+ae ax＝0有正根．当有f′（x）＝3+ae ax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln（﹣）．由x＞0，得参数a的范围为a＜﹣3．故选：B．11．【解答】解：根据题意，设g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，又由f（x）满足f（x）＜f'（x），则g′（x）＞0，则函数g（x）在R上为增函数，若f（0）＝2，则g（0）＝＝2，f（x）＜2e x⇒＜2⇒g（x）＜g（0），又由函数g（x）在R上为增函数，则x＜0，则不等式f（x）＜2e x的解集为（﹣∞，0）；故选：A．12．【解答】解：根据题意，设g（x）＝x2f（x），x＜0，其导数g′（x）＝[x2f（x）]′＝2xf（x）+x2f′（x）＝x（2f（x）+xf′（x）），又由2f（x）+xf′（x）＞x2≥0，且x＜0，则g′（x）≤0，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0⇒（x+2018）2f（x+2018）＞（﹣2）2f（﹣2）⇒g（x+2018）＞g（﹣2），又由函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，则有，解可得：x＜﹣2020，即不等式（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2020）；故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即X～B（3，）∴P（X＝2）＝C32（）2•＝故答案为；14．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，∴P（ξ＞2）＝[1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]＝0.3，故答案为：0.3．15．【解答】解：∵＝＝tan60°＝tan（）＝1＝tan45°＝tan（），＝＝tan30°＝tan（），…∴对于一般的角α，β，有等式＝tan，故答案为：＝tan．16．【解答】解：f′（x）＝+＝﹣．（x≥0，a＞0）．由f′（x）≥0，可得a≥，x∈[1，+∞），∴a≥1．∵函数的单调递增区间是[1，+∞），∴a＝＝1．a＝1时，f′（x）＝＝，满足函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞），故答案为：1．三、解答题：本题共6小题，共70分.17．【解答】证明：记F（x）＝sin x﹣x，则F′（x）＝cos x﹣，当x∈时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；当x∈时，F′（x）＜0，F（x）单调递减．又F（0）＝0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sin x≥x．记H（x）＝sin x﹣x，则H′（x）＝cos x﹣1．当x∈[0，1]时，H′（x）≤0，H（x）单调递减．所以H（x）≤H（0）＝0，即sin x≤x．综上，x≤sin x≤x，x∈[0，1]．18．【解答】解：（1）由已知可列2×2列联表得：（2）由计算公式得K2的观测值为：K2＝≈9.638，∵9.638＞6.635∴在犯错识的概率不超过0.010的前提下，我们认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．19．【解答】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以；（2）由题意知，计算＝×（11+13+12）＝12，＝×（25+30+26）＝27；由公式，求得（x i y i）＝11×25+13×30+12×26＝977，＝112+132+122＝434；所以＝＝＝2.5，＝27﹣2.5×12＝﹣3；所以y关于x的线性回归方程是＝2.5x﹣3；当x＝10时，＝2.5×10﹣3＝22，|22﹣23|＜2；同样，当x＝8时，＝2.5×8﹣3＝17，|17﹣16|＜2；所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．20．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：＝170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z ＜200+12.2）＝0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．21．【解答】解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A，则，所以每台仪器能出厂的概率．（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率：．（Ⅲ）X可取3800，3500，3200，500，200，﹣2800．，，，，，．X的分布列为：．22．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x﹣ax的导数为f′（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，f（x）至多有一个零点，舍去；则必有a＞0，得f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，要使f（x）有两个不同的零点，则须有f（x）的最小值f（lna）＜0，即a﹣alna＜0，解得a＞e；（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x→﹣∞时，f（x）→+∞；当当x→+∞时，f（x）→+∞）．（2）证明：函数f（x）＝e x﹣ax有两个不同的零点x1，x2．即e x＝ax有两个不等实根，可得a＝有两个不等实根，设g（x）＝，构造函数G（x）＝g（x）﹣g（2﹣x），则G′（x）＝g′（x）+g′（2﹣x）＝+＝（x﹣1）（﹣）＝，当0＜x＜1时，x﹣1＜0，但因式的符号不容易看出，引出辅助函数，则，得φ（x）在（0，2）上递减，当x∈（0，1）时，2﹣x∈（1，2），即0＜x＜2﹣x＜2，则φ（x）＞φ（2﹣x），即，G'（x）＜0，得G（x）在（0，1）上递减，有G（x）＞G（1）＝0，即g（x）＞g（2﹣x）（0＜x＜1）．将x1代入不等式得g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），又x2＞1，2﹣x1＞1，g（x）在（1，+∞）上递增，故x2＞2﹣x1，x1+x2＞2．。
设复数，则B. C. D.【解析】试题分析：当函数的值为（B. C. D.【答案】故选：B．B. C. D.【答案】【解析】在点B. C. D.先求函数因为函数图象在点处的切线的斜率为函数在处的导数，就可求出切线的斜率．的单调递减区间是（B. C. D.【解析】分析：对求导，令，即可求出函数的单调递减区间详解：函数的定义域为，得到.的展开式中B. C. D.的展开式的通项公，解得令，解得．即可得出．的展开式的通项公，解得，解得的展开式中的故选：C．次，正面向上的次数为B.D.次，正面向上的次数，由此能求出正面向上的次数次，正面向上的次数个景点旅游，每人只去一个景点，设事件个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（B. C. D.【答案】个人去的景点不相同的可能性为故选：D．，若函数有大于零的极值点，则（B. C. D.，则有正根，当有成立时，显然有，．由的范围为．故选考点：利用导数研究函数的极值．视频定义域为的可导函数的导函数，，且则不等式A. B. C. D.，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出详解：设，则单调递增．，，单调递增．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有A. B.D.分析可得则函数的定义域分析可得：原不等式等价于，解可得的取值范围，详解：根据题意，设且，，则函数在区间（上为减函数，又由函数在区间上为减函数，解可得：，即不等式的解集为．，那么播下粒这样的种子恰有粒发芽的概率是【答案】【解析】分析：每，播下，根据二项分布的概率求法，求出结果．1粒发芽的概率为定值，播下由题意知独立重复实验服从二项分布即即答案为．二项分布要满足的条件是每次试验中，已知随机变量，且，则服从正态分布，且，且故答案为：0.3．，，照此规律，对于一般的角__________．【答案】【解析】分析：观察等式已知条件所给等式，据此，判断出对于一般的角∴对于一般的角，，有等式：故答案为：点睛：本题主要考查了归纳推理的灵活运用，解答此题的关键是仔细观察已给等式，并从中找出规律．若函数的单调递增区间是1的单调区间；，则，即在上单调递增，不符题意，舍；，令，可得或，在上是减函数，在上是增函数；根据题意若函数的单调递增区间是，则证明：当时，.记，x∈x∈可证得当，即，同理可证当时，，x∈时，F′(x)＞0，F(x)单调递增；F(0)＝0sinx≥，则.，．点睛：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思在某地对名未患胃病者生活不规律的共人，人的前提下认为“，其中）由已知作出）由列联表，结合计算公式，求得=的观测值，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“40岁以上的人患胃病与否和生活规日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每月日月日月日月日月日温差发芽数组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取组数据恰好是不相邻两天数据的概率；月日与日的数据，请根据月日至日的数据求出关于）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过【答案】（1）；（；【解析】分析：（）根据题意列举出从的，满足条件的事件包括的基本事件有）根据所给的数据，先求出，.(2)由数据可得，.，∴y关于x的线性回归方程为.，|22时，∴(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如频率分布）求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，①利用该正态分布，求件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品利用①的结果，求若，则.，（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为）求生产一台仪器所获得的利润为为生产两台仪器所获得的利润，求【解析】试题分析：由表可知生产一台仪器所获得的利润为（Ⅲ）由题意可得可取，，，，则．1600的概率可取，，，．，，，的分布列为：22. 已知函数有两个不同的零点，.的取值范围；）求证：）；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而求出，则时，在上，有，即.代入上面不等式中即可证明详解：，若，至多有一个零点，舍去；则必有，得上递减，上递增，要使有两个不同的零点，则须有（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当；当时，）当时，，但因式，则，得在上时，，即，则，即，在，有，即代入上面不等式中得，又，在，故，点睛：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题．。
2017---2018年度第一学期高二年级期末考试理科数学参考答案1--5 BABCD 6--10 CBDAC 11--12 DB 13、[]21,3,1x x ∃∈-> 14.3 151617、解：（1）因为AB =D 是线段AB 的中点，则CD AB ⊥4AD AC ∴== 点C 的坐标为（－2，6） 在Rt ACD ∆中，可得2CD =设所求直线l 的方程为：5y kx =+即50kx y -+= ………………2分324k =⇒=此时直线l 的方程为： 34200x y -+= ………………4分 又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为：0x =所以所求直线l 的方程为： 34200x y -+=或0x = ………………6分 （2）设过点P 的圆C 的弦的中点为(,)D x y ，则CD PD ⊥ 即0CD PD ⋅= 所以(2,6)(,5)0x y x y +-⋅-=化简得所求轨迹的方程为：22211300x y x y ++-+= ………………………………12分18、解：(1)由(1)0f =，得222240a a b c -+-=，∴2b c =， 又由正弦定理，得sin 2sin B C =， ∵3B C π-=，∴3B C π=+，将其代入上式，得sin()2sin 3C C π+=，……………2分cos C C =，∴tan C =. ∵角C 是三角形的内角，∴6C π∠=. ………………………………6分(2)∵(2)0f =，∴222242240a a b c -+-=，即22220a b c +-=，……………8分又2a b =由余弦定理，22222224(2)522228b b b b a bc cocC ab b b ++-+-===⋅⋅ ……………………12分19、解：（1）当2n ≥时，由1111111222n n n n n n a S S ---=--+==………………2分当1n =时，111122a ==………………………………4分 所以12n n a =()*n N ∈ ………………………………5分 （2）由（1）及12log n n b a = ()*n N ∈，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭， (7)分 所以()1111111n n b b n n n n +==-++， …………………………9分 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++= 1111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111n n n =-=++. …………………………12分 20、（1）证明：∵PAB ∆和PBD ∆都是等边三角形，∴PA PB PD ==， 又∵PO ⊥底面ABCD ，∴OA OB OD ==，则点O 为ABD ∆的外心，又因为ABD ∆是直角三角形，∴点O 为AD 中点. …………………3分（2）证明：由（1）知，点P 在底面的射影为点O ，点O 为AD 中点，PO ⊥底面ABCD ，∴BC PO ⊥，∵在Rt ABD ∆中，BD BA =，OB AD ⊥， ∴4DBO ODB π∠=∠=，又AB CD 且AB CD =，∴4CBD π∠=，从而2CBO π∠=即CB BO ⊥，由BC PO ⊥，CB BO ⊥得CB ⊥面PBO ，∴BC PB ⊥. ………………………………6分 （3）以点O 为原点，以,,OB OD OP 所在射线为x 轴 ，y 轴，z 轴建系如图，∵2AB =，则(0,,)(0,2,O B C ，D ,P，(BA =，(BP =，BC =， 设面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n BA n BP ⋅=⋅=，得0=，0+=，取1x =，得1,1y z =-= 故(1,1,1)n =-. 设面PBC 的法向量为(,,)m r s t =，则0m BC ⋅=，0m BP ⋅=，取1r =，则1t =，故(1,0,1)m =，于是6,3m n coc m n m n⋅<>==⋅，由图观察知A PB C --为钝二面角，所以该二面角的余弦值为. …………………12分21、解（Ⅰ）由已知得2a c =，又222,a b c b =+2a =，………………4分所以椭圆C 的方程为： 22143x y +=；…………………………………………………5分 （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝， 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=， 即1212043x x y y +=（1）…………………………………………………6分由22143y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消除y 整理得： ()()222348430k x mkx m +++-=，由()()222264163430k m km∆=-+->，得，而()2121222438,3434m mkx x x x k k -+=-=++（2）………………………7分 ()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+（3）将（2）（3）代入（1）得：()()()()2222243340434334m m k k k --+=++， 即22243m k -=，………………………………………………………………………8分又1AB ==9分原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =， (10)分12AOBS AB d ∆∴==，………………11分把22243m k -=代入上式得AOB S ∆，即AOB S ∆………………12分 22、选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由2cos ρθ=得，22cos ρρθ=，所以222x y x +=………………………………4分（Ⅱ）由已知，曲线C 经过变换后所得方程'C 的方程中为：2214x y +=.……………………6分所以()()2,0,0,1A B ，设()2cos ,sin ,02P πϕϕϕ<<.则1112cos cos ,2sin sin22POB POA S Sϕϕϕϕ∆∆=⨯⨯==⨯⨯=， 所以(cos sin 14OAPB S πϕϕϕ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭.当4πϕ=时，四边形OAPB ………………………………10分23、解：（Ⅰ）由，5232<+-x ，得 30<<x…………………………………4分 （Ⅱ）由题意知{}{}()()y y f x y y g x =⊆=又()3)32()2(322+=+--≥++-=a x a x x a x x f()2232≥+-=x x g所以321a a +≥⇒≥-或5a ≤-………………………………………………10分。
2017—2018年度高二年级期末考试试题(卷）数学(理科）注意事颂：1.答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3.考试时间120分钟，满分150分。
—、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设复数z 满足则i zz=-+11，则||z 等于 A.1 B.2 C.3 D.22.当函数xx y 2⋅=取极小值时，x 的值为 A.2ln 1 B. 2ln 1- C. 2ln D. 2ln - 3.同学聚会上，某同学从《爱你一万年》、《十年》、《父亲》、《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为 A.31 B. 21 C.32 D. 65 4.曲线x e x f xsin )(=在点(0, )0(f )处的切线斜率为 A.0 B.-1 C.1 D. 225.函数xxx f ln )(=的单调递减区间是 A.(0，1) B .(0, e) C. (1，+∞) D. (e ，+∞)6. 5)2)((y x y x -+的展开式中33y x 的系数为A. -80B.-40C.40D.807.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正而向上的次数为，则 A. -B[5, 1)B. -B(0.5,5)C. -B(2, 0.5)D.-B 《5, 0.5)8.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有—位获奖。
有人分别采访了四位歌手 甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙未获奖”；两说“丁获奖”；丁说“丙说的不对”。
若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是A.甲B.乙C.丙D.丁9.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 个人去的景点彼此互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则 A.95 B. 94 C.31 D. 92 10.设R a ∈，若函数x e y ax3+=，有大于零的极值点，则A. a ＞-3B.a ＜-3C.a ＞31-D. a ＜31- 11.定义域为R 的可导函数)(x f y =的导函数)('x f ，满足)('＜)(x f x f ，且 2)0(=f ，则不等式xx f e 2＜)(的解集为A. (-∞，0)B. (-∞,2)C. (0, +∞)D. (2, +∞)12.设函数)(x f 是定义在(-∞，0)上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有)(')(2x xf x f +>2x ,则不等式)2(4)2018(--+f x >0 的解集为A.( -∞, -2016)B.(-2018,0)C. (-∞,-2020)D. (-2020,0)二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
山西省孝义市2017-2018学年高二上学期期末考试语文试题一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下而的文字完成下列小题。
人的一生，绝大部分时间是在家庭中度过的。
家庭不仅为人的生存发展提供了基本物质保障，而且为人的精神生活提供了重要环境。
人生的幸福很大程度上可归结为家庭的幸福。
因此，家庭是生命的摇篮、情感的港湾、文明的载体。
中华文化强调人伦之道，重视家庭成员之间的和谐，在几千年的发展进程中形成了一系列具有鲜明民族特色的家庭伦理道德规范，如尊老爱幼、父慈子孝、夫勤妇俭等，这些家庭伦理道德规范对于维护中华民族的家庭关系和家庭模式、维护社会稳定都具有重要作用。
《礼记》说：“父子笃，兄弟睦，夫妇和，家之肥也。
”谓“肥”，即健康、和谐、融洽之意。
在我国先贤看来，每个家庭成员都有自己的角色，每个角色都有自己的责任，所有角色互相配合才能成为团结协作的整体。
当然，家庭之中难免会有矛盾，这就需要协调。
协调得好，大家都心情舒畅，同心协力发展事业、发家致富，培养子女健康成长，这就是“家和万事兴”。
家庭关系的重要协调和保障机制之一是孝道。
“百善孝为先。
”孝道的基本内容是父慈子孝，它在社会道德生法中具有重要地位、得到普遍奉行。
由孝道形成的浓烈家族亲情，对家庭稳定乃至社会稳定有着极为重要的作用。
孔子认为，“子生三年然后免于父母之怀”，把“孝”的准则诉诸报恩的情理。
饮水思源、知恩图报，这是中华民族的传统美德。
懂得报恩是一个有教养的人的必备品质，古今中外概莫能外。
中华文化的特别之处在于，它不是像宗教那样通过教堂而主要是通过家庭来培育这种品质：“立爱自亲始”“孝弟也者，其为仁之本与”，强调从报父母养育之恩开始再推扩到报师长提携之恩、朋友知遇之恩、国家培养之恩等。
亲情之爱犹如投进湖而的石子，荡开的层层涟漪由近及远。
传统的孝道还要求子孙继承祖辈的志向、理想及其崇高事业，弘扬祖辈的进取的精神和坚韧的意志。
这是家族乃至民族后继有人、兴旺发达的史要精神纽带。
2017-2018学年山西省孝义市高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2015秋•孝义市期末）双曲线16x2﹣9y2=144的离心率为（）A．B．C．D．2．（5分）（2015秋•孝义市期末）“∃x∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x02﹣x0+1＜0 B．∀x∈R，x02﹣x0+1＜0C．∃x∈R，x02﹣x0+1≥0 D．∀x∈R，x02﹣x0+1＞03．（5分）（2015秋•孝义市期末）已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则实数a=（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣14．（5分）（2015秋•孝义市期末）“x为无理数”是“x2为无理数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．（5分）（2003•天津）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣86．（5分）（2015秋•孝义市期末）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24 B．36 C．72 D．1447．（5分）（2015秋•孝义市期末）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线的方程是（）A．3x﹣2y﹣3=0 B．3x﹣2y+3=0 C．2x﹣3y﹣3=0 D．2x﹣3y+3=08．（5分）（2011•浙江）下列中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β9．（5分）（2015秋•孝义市期末）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若=x+y+z，则x+y+z=（）A．B．C．1 D．210．（5分）（2015秋•孝义市期末）点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，则异面直线CM与DN所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）（2015秋•孝义市期末）经过点M（2，1）作直线l交双曲线x2﹣=1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（）A．4x+y+7=0 B．4x+y﹣7=0 C．4x﹣y﹣7=0 D．4x﹣y+7=012．（5分）（2015秋•孝义市期末）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F点作直线交抛物线C于A，B两点，则△AOB的最小面积是（）A．B．2 C．4 D．1二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）（2015秋•孝义市期末）边长为a的正方体的内切球的表面积为．14．（5分）（2015秋•孝义市期末）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若⊥，则x=．15．（5分）（2015秋•孝义市期末）下列四个：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否；②“正方形是菱形”的否；③若ac2＞bc2，则a＞b；④“若tanα=tanβ，则α=β”的逆；．其中真为（只写正确的序号）．16．（5分）（2015秋•孝义市期末）椭圆+=1上的点到直线4x﹣5y+40=0的最小距离为．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．（10分）（2015秋•孝义市期末）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．18．（12分）（2015秋•孝义市期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDC的体积．19．（12分）（2015秋•孝义市期末）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）讨论点C的轨迹的形状．20．（12分）（2015秋•孝义市期末）已知p：指数函数y=（1﹣a）x是R上的增函数，q：不等式ax2+2x+1＞0在R上恒成立．若p是真，q是假，求实数a的取值范围．21．（12分）（2015秋•孝义市期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．22．（12分）（2015秋•孝义市期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，点M为椭圆上的一个动点，△MF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P为椭圆上一点，PF1与y轴相交于Q，且=2．若PF1与椭圆相交于另一点R，求△PRF2的面积．2015-2016学年山西省孝义市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2015秋•孝义市期末）双曲线16x2﹣9y2=144的离心率为（）A．B．C．D．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，运用离心率的计算公式，可得所求值．【解答】解：双曲线16x2﹣9y2=144化为标准方程，可得：﹣=1，即有a=3，b=4，c==5，可得e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率公式的求法，注意将方程化为标准方程，运用离心率公式，考查运算能力，属于基础题．2．（5分）（2015秋•孝义市期末）“∃x∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x02﹣x0+1＜0 B．∀x∈R，x02﹣x0+1＜0C．∃x∈R，x02﹣x0+1≥0 D．∀x∈R，x02﹣x0+1＞0【分析】根据特称的否定方法，结合已知中的原，可得答案．【解答】解：“∃x∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是“∀x∈R，x02﹣x0+1＞0”，故选：D．【点评】本题考查的知识点是特称的否定，难度不大，属于基础题．3．（5分）（2015秋•孝义市期末）已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则实数a=（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【分析】对a分类讨论，利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：当1﹣4a=0，即a=时，两条直线分别化为：11x+32=0，3x﹣17y+28=0，此时两条直线不垂直，舍去；当4+a=0，即a=﹣4时，两条直线分别化为：12x﹣17y+8=0，22x+7=0，此时两条直线不垂直，舍去；当a≠或﹣4时，由于两条直线相互垂直可得：×=﹣1，解得a=0或1．综上可得：a=0或1，故选：C．【点评】本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）（2015秋•孝义市期末）“x为无理数”是“x2为无理数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】“x2为无理数”，则必然x为无理数；而x为无理数，例如取，则x2为实数．即可判断出关系．【解答】解：“x2为无理数”，则必然x为无理数，否则x为实数；而x为无理数，例如取，则x2=2为实数．因此“x为无理数”是“x2为无理数”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了无理数的意义及其性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2003•天津）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．6．（5分）（2015秋•孝义市期末）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24 B．36 C．72 D．144【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，其底面面积S=×（2+4）×3=9，高h=8，故体积V=Sh=72，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．7．（5分）（2015秋•孝义市期末）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线的方程是（）A．3x﹣2y﹣3=0 B．3x﹣2y+3=0 C．2x﹣3y﹣3=0 D．2x﹣3y+3=0【分析】联立直线与圆的解析式得到交点A和B的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1，由直线AB的斜率得到中垂线的斜率，即可得到中垂线的解析式．【解答】解：联立得：，解得：13x2﹣14x﹣26=0，同理解得13y2+18y﹣7=0因为点A和点B的中点M的坐标为（x=，y=），利用根与系数的关系可得：M（，﹣）；又因为直线AB：2x+3y+1=0的斜率为﹣，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1可知垂直平分线的斜率为；所以弦AB的垂直平分线方程为y+=（x﹣），化简得3x﹣2y﹣3=0，故选：A．【点评】考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为﹣1，会求线段中点的坐标，根据条件能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用．8．（5分）（2011•浙江）下列中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．【解答】解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此错误．故选D．【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．9．（5分）（2015秋•孝义市期末）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若=x+y+z，则x+y+z=（）A．B．C．1 D．2【分析】连接AE，得出=+，=+，由此求出x、y与z的值．【解答】解：如图所示，连接AE，∵E、G分别是CD、BE的中点，∴=+，∴=+=++；又=x+y+z，∴x+y+z=++=1．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算的应用问题，是基础题目．10．（5分）（2015秋•孝义市期末）点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，则异面直线CM与DN所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与DN所成的角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则N（1，2，2），D（0，0，0），C（0，2，0），M（2，2，1），则=（2，0，1），=（1，2，2），设异面直线所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线CM与DN所成的角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）（2015秋•孝义市期末）经过点M（2，1）作直线l交双曲线x2﹣=1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（）A．4x+y+7=0 B．4x+y﹣7=0 C．4x﹣y﹣7=0 D．4x﹣y+7=0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线AB的方程，代入双曲线的方程，由判别式的符号，即可得到判断直线的存在性．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得，（x1﹣x2）（x1+x2）﹣=0，M为AB的中点，即有x1+x2=4，y1+y2=2，可得直线AB的斜率为k====4，即有直线AB的方程为y﹣1=4（x﹣2），即为4x﹣y﹣7=0．由y=4x﹣7代入双曲线的方程x2﹣=1，可得14x2﹣56x+51=0，即有△=562﹣4×14×51=280＞0，故存在直线AB，其方程为4x﹣y﹣7=0．故选：C．【点评】本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的存在性，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2015秋•孝义市期末）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F点作直线交抛物线C于A，B两点，则△AOB的最小面积是（）A．B．2 C．4 D．1【分析】由题意，根据对称性，当且仅当AB⊥x轴时，△AOB的面积最小，即可得出结论．【解答】解：由题意，根据对称性，当且仅当AB⊥x轴时，△AOB的面积最小，故最小面积为=1，故选：D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）（2015秋•孝义市期末）边长为a的正方体的内切球的表面积为πa2．【分析】求出棱长为a的正方体的内切球的半径r=，由此能求出其表面积．【解答】解：棱长为a的正方体的内切球的半径r=，表面积=4πr2=πa2．故答案为：πa2【点评】本题考查正方体的内切球的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）（2015秋•孝义市期末）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若⊥，则x=．【分析】由题意可得=﹣8﹣2+3x=0，由此解得x的值．【解答】解：∵向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），⊥，则=﹣8﹣2+3x=0，解得x=，故答案为．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．15．（5分）（2015秋•孝义市期末）下列四个：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否；②“正方形是菱形”的否；③若ac2＞bc2，则a＞b；④“若tanα=tanβ，则α=β”的逆；．其中真为③④（只写正确的序号）．【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若xy=0，则x=0且y=0”为假，故其逆否也为假；②“正方形是菱形”的否为“不是正方形的四边形，不是菱形”为假；③若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故为真；④“若tanα=tanβ，则α=β”的逆为“若α=β，则tanα=tanβ”为真；．综上可得：真为：③④，故答案为：③④【点评】本题以的真假判断与应用为载体，考查了四种，四边形的几何特征，不等式的基本性质，三角函数的定义等知识点，难度中档．16．（5分）（2015秋•孝义市期末）椭圆+=1上的点到直线4x﹣5y+40=0的最小距离为．【分析】设椭圆+=1上的点P（5cosα，3sinα），0≤α＜2π，由点到直线距离公式和三角函数性质能求出椭圆+=1上的点到直线4x﹣5y+40=0的最小距离．【解答】解：设椭圆+=1上的点P（5cosα，3sinα），0≤α＜2π，则P到直线4x﹣5y+40=0的距离：d==，∴当sin（α+θ）=﹣1时，椭圆+=1上的点到直线4x﹣5y+40=0的最小距离为．故答案为：．【点评】本题考查点到直线的距离的最小值的求法，是中档题，注意椭圆的参数方程的合理运用．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．（10分）（2015秋•孝义市期末）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆心（a，b），半径r．利用圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），可得解得即可．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆心（a，b），半径r．∵圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），∴解得．故圆C的标准方程为．【点评】本题考查了圆的标准方程，属于基础题．18．（12分）（2015秋•孝义市期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDC的体积．【分析】（Ⅰ）通过证BD⊥AC，BD⊥PA，得出BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD内，推出平面PBD⊥平面PAD．（Ⅱ）直接利用V=S△BDC•PA，求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD内，所以平面PBD⊥平面PAD．…（6分）（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，所以PA是底面BCD上的高，所以：．…（12分）【点评】本题考查空间想象能力，直线与平面垂直，平面与平面垂直，几何体的体积的计算，属于中档题．19．（12分）（2015秋•孝义市期末）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）讨论点C的轨迹的形状．【分析】（Ⅰ）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），则由题知，即为点C的轨迹方程．…（4分）（Ⅱ）当m＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线；当m＜﹣1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；当m=﹣1时，点C的轨迹为圆心为（0，0），半径为5的圆；当﹣1＜m＜0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆．…（12分）【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．20．（12分）（2015秋•孝义市期末）已知p：指数函数y=（1﹣a）x是R上的增函数，q：不等式ax2+2x+1＞0在R上恒成立．若p是真，q是假，求实数a的取值范围．【分析】分别求出p和q为真时a的取值范围，结合p是真，q是假，可得答案．【解答】解：p为真时，1﹣a＞1即a＜0．…（2分）q：不等式ax2+2x﹣1＜0在R上恒成立，当a=0时，不符合题意；当a＞0时，∵ax2+2x﹣1＞0在R上恒成立，∴△=4﹣4a＜0，∴a＞1．q真时a＞1．…（8分）又q是假，∴a≤1．综上，p是真，q是假时，实数a的取值范围为（﹣∞，0）．…（12分）【点评】本题以的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．21．（12分）（2015秋•孝义市期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．【分析】（Ⅰ）以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面EBD．（Ⅱ）求出平面EBD的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣P 的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），…（2分）∴，．…（4分）设平面EBD的法向量为，则，取x=1，得，∴，∴∥平面EBD．∴PA∥平面EBD．…（6分）解：（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，∴AC⊥BD，AC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴平面PBD的法向量为．…（9分）设二面角E﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞===，∴二面角E﹣BD﹣P的平面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．22．（12分）（2015秋•孝义市期末）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，点M为椭圆上的一个动点，△MF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P为椭圆上一点，PF1与y轴相交于Q，且=2．若PF1与椭圆相交于另一点R，求△PRF2的面积．【分析】（Ⅰ）由已知条件：，，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由=2，知Q为F1P的中点，设Q（0，y），则P（1，2y），由此利用韦达定理、弦长公式能求出△PRF2的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，点M为椭圆上的一个动点，△MF1F2面积的最大值为．∴由已知条件：，．解得a=2，．∴椭圆C的方程为+=1．…（4分）（Ⅱ）由=2，知Q为F1P的中点，∴设Q（0，y），则P（1，2y），又P满足椭圆的方程，代入求得y=．∴直线PF方程为y=（x+1）．由得7x2+6x﹣13=0，…（8分）设P（x1，y1），R（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴，∴．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．。
2017-2018年度第一学期高二年级期末考试试题理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，则.故选B.2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：根据不等式同向正数可乘性可得；但，不妨取，故“”是“”的必要不充分条件。
故A正确。
考点：充分必要条件。
3. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图可知矩形的面积为.原图形的面积是,则，解得.故选B.4. 表示两个不同的平面，表示既不在内也不在内的直线，存在以下三种情况：①；②；③.若以其中两个为条件，另一个为结论构成命题，则其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C...........................5. 在中，，，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.6. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，且，直线与直线平行，则（）A. -4B. 0C. -2D. 2【答案】C【解析】∵l的斜率为−1,因为，所以的斜率为1，∴.由∥得,，得b=−2，所以，a+b=−2.故选C.7. 设实数满足不等式组，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式的可行域，如图所示：可以看作阴影部分内的点(x,y)与定点P(-4,0)连线的斜率，由图可知，AP的斜率最大，，x轴上的点与P连线斜率最小为0，所以.故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.8. 曲线与曲线有相同的（）A. 长轴长B. 短轴长C. 离心率D. 焦距【答案】D【解析】曲线为椭圆，有中；曲线，即由，知，且焦点在x轴上，且椭圆的，即有两椭圆的焦距相同.故选D.9. 已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，即在直线的两侧，所以，解得：或.故选A.10. 当曲线与直线有公共点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】曲线可化简为：，即表示以(0,1)为圆心，为半径的上半圆.如图所示：当直线与半圆相切时，，由图可知，，当直线经过点时，.所以.故选C.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系以及求最值问题.解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.11. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】D【解析】双曲线中，∵a=6，b=8，c=10，∴F1(−10,0)，F2(10,0)，∵|PF1|−|PF2|=2a=12，∴|MP|⩽|PF1|+|MF1|，|PN|⩾|PF2|+|NF2|，∴−|PN|⩽−|PF2|+|NF2|，所以，|PM|−|PN|⩽|PF1|+|MF1|−|PF2|+|NF2|=12+1+2=15，故选D.12. 如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点，这样，下列五个结论：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤平面. 正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】∵在折叠过程中,始终有，即SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.因此①正确，则②不正确，由等腰三角形的对称性质可得：SD⊥EF，GD⊥EF，SD∩GD=D，可得EF⊥平面GSD，因此④正确，易知与不垂直，所以平面不正确，因此③不正确，由于SG⊥平面EFG，只有SG⊥，所以与SD不垂直，故平面不正确，因此⑤不正确.综上，正确的为①④故选：B.点睛：证明线与线垂直时，一般可都可将问题转化为证明线与包含另一条直线的平面垂直，而要证明线与平面垂直，又可将问题转化为证明线与线垂直，这样证明线线垂直，使用线面垂直的性质定理，证明线面垂直可用判定定理.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“”的否定是__________．【答案】【解析】全称命题的否定为特称，所以命题“”的否定是：“”.故答案为：.14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为__________．【答案】3【解析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如图所示，易知：AB=1,BC=.所以该三棱锥最长棱的长度为3.故答案为：3.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．15. 过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为，若，则该球的体积为__________．【答案】【解析】由条件A−BCD是正四面体，△BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，球心O在正四面体中心如图所示，，CD的中点为E,为过点B,C,D截面圆圆心,则截面圆半径，正四面体A−BCD的高.∴截面BCD与球心的距离，在中,,解得.∴该球的体积为.故答案为：.16. 已知抛物线的焦点为，若点是该抛物线上的点，，线段的中点在抛物线的准线上的射影为，则的最大值为__________．【答案】【解析】设在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2−2ab，又∵，∴得到.所以,即|MN||AB|的最大值为.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知点及圆.（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.【答案】(1) 或；(2).【解析】试题分析：（1）直线与圆相交时，利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成直角三角形的三边勾股定理求解；（2）求弦的中点的轨迹方程，首先设出动点坐标D（x，y），利用弦的中点与圆心的连线垂直于仙所在的直线得到动点的轨迹方程试题解析：（1）解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2．设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0．由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝．k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0．又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0．（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），则CD⊥PD，即（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的相关问题18. 在中，分别为内角的对边，设.（1）若且，求角的大小；（2）若，且，求的大小.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由条件得，由正弦定理得，结合即可求解；（2）由条件可得，即，结合条件，利用余弦定理求解即可.试题解析：(1)由，得，∴，又由正弦定理，得，∵，∴，将其代入上式，得，整理得：，∴.∵角是三角形的内角，∴.(2)∵，∴，即，又由余弦定理，.19. 已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）记，，求的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）当时，由，当时，，化简求解即可；（2）易得，，利用裂项相消法求和即可.试题解析：（1）当时，由当时，所以（2）由（1）及，可知，所以，故.点晴：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 在四棱锥中，，且，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的投影为.（1）求证：是的中点；（2）证明：；（3）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】试题分析：（1），由底面，得，点为的外心，结合为是直角三角形即可证得；（2）由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点，底面，得，再分析条件可证得，从而得面，从而得证；（3）以点为原点，以所在射线为轴，轴，轴建系，利用两个面的法向量求解二面角的余弦即可.试题解析：（1）证明：∵和都是等边三角形，∴，又∵底面，∴，则点为的外心，又因为是直角三角形，∴点为中点.（2）证明：由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点，底面，∴，∵在中，，，∴，又且，∴，从而即，由，得面，∴.（3）以点为原点，以所在射线为轴，轴，轴建系如图，∵，则，,，，，，设面的法向量为，则，得，，取，得故.设面的法向量为，则，，取，则，故，于是，由图观察知为钝二面角，所以该二面角的余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由已知得，又，即可得方程；（2）设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即，由，消除整理得：，结合韦达定理可得，，讲条件带入求解即可.试题解析：（Ⅰ）由已知得，又，所以椭圆的方程为：；（Ⅱ）设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即（1）由，消除整理得：，由，得，而（2）（3）将（2）（3）代入（1）得：，即，又，原点到直线的距离，，把代入上式得，即的面积是为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）将曲线的图像向左平移1个单位，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线的图像，若曲线与轴的正半轴及轴的正半轴分别交于点，在曲线上任取一点，且点在第一象限，求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用及求曲线的普通方程即可；试题解析：（Ⅰ）由得，，所以（Ⅱ）由已知，曲线经过变换后所得方程的方程中为：.所以，设.则，所以.当时，四边形的面积取最大值.23. 已知函数，.（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：（1），得，进而得解；（2）由题意知，分别求值域即可.试题解析：（Ⅰ）由，得（Ⅱ）由题意知又所以或。
