高等数学 多元函数微分学的应用习题课

（完整版）高等数学（同济版）多元函数微分学练习题册.doc第八章多元函数微分法及其应用第一作一、填空：1. 函数 z ln(1 2 )y x23x y 的定义域为x12. 函数 f (x, y, z) arccosz的定义域为y 2x 23. 设 f ( x, y) x 2 y 2 , (x) cos x, ( x) sin x, 则f [ (x), (x)].sin xy .4. lim xx 0二、（）： 1. 函数1的所有断点是 :sin x sin y(A) x=y=2n π（ n=1,2,3,?）；(B) x=y=n π (n=1,2,3, ?) ； (C) x=y=m π (m=0, ±1，± 2，? )；(D) x=n π ,y=m π (n=0, ± 1，± 2，?，m=0,± 1,± 2,? )。

答：（）sin 2( x 2 y 2 , x 2y 22. 函数 f (x, y)x 2 y 2在点（ 0， 0）：2 ,x 2 y 2（ A ）无定；（B ）无极限；（ C ）有极限但不；（ D ）。

答：（）三、求 lim2xy 4 .x 0 xyya四、明极限 limx 2 y 22 不存在。

2 2xx y ( x y)y 0第二节作业一、填空题：1 sin( x2 y), xy 01. 设 f ( x, y)xy ,则 f x (0,1) .x 2 ,xy2. 设 f (x, y)x ( y 1) arcsinx, 则 f x ( x,1).y二、选择题（单选）：设 z 2x y 2 , 则 z y 等于 :( A) y 2 x y 2 ln 4; (B) (x y 2 ) 2 y ln 4; (C ) 2 y( x y 2 ) e x y 2 ;(D ) 2 y 4 x y 2 .答：（）三、试解下列各题：1. 设 z ln tan x , 求 z, z .2. 设 z arctan y, 求2z .y x yxx y四、验证 rx 2 y 2 z 2 满足2r2r2r 2 .x 2 y 2 z 2r第三节作业一、填空题：1. 函数 zy 当x 2, y时的全增量z全微分值x 1, x 0.1, y0.2dz.y2. 设z e x , 则dz.二、选择题（单选）：1. 函数 z=f(x,y) 在点 P 0（ x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（ A ）充分条件；（ B ）充要条件；（ C ）必要条件；（ D ）无关条件。

第八章 多元函数微分学习题8－13*. :证明下列极限不存在332)0,0(),(lim)1(y x yx y x -→ 证：时，有趋向于为任意常数，沿直线当)0,0()1(),(≠=k k kx y y x,1)1(im ),(lim 3333kxy 0x kx y 0x k kx k kx y x f -=-==→=→ .lim 332)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率y x y x k y x -→yx xyy x +→)0,0(),(lim)2( 证：时，有趋向于为任意非零实常数沿曲线当)0,0()(-),(2k x kx y y x =,1k im ),(lim 223x-kx y 0x x-kx y 0x 22k x x kx y x f -=-==→=→ .lim)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率yx xyk y x +→4. :求下列极限 11xy lim)1()3,1(),(-+→xy y x解：；原式31-13131=+⨯⨯= xyxy y x 42lim)2()0,0(),(+-→解：；）（原式41-42lim)0,0(),(=++-=→xy xy xyy x )1sin 1sin (lim )3()0,0(),(xy y x y x +→解：量仍为无穷小量）；（利用无穷小量乘有界原式0= 2233)0,0(),(*lim)4(y x y x y x ++→ 解：，则，令θρθρsin cos ==y x.0)s cos (lim s cos lim 330233330=+=+=→→θρθρρθρθρρρin in 原式习题8－22. .5,4,2,4)(4122轴的倾角）处切线对于在点（求曲线x y y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=+= 解：轴的）处的切线对于即表示在点（）处，，在点（x z x z x x 5,4,2,15,4,221==.4,1tan .1πθθ轴的倾角为故所求切线对于，则有设相应的倾角为斜率为x =4. ，证明：设222z y x r ++=.2)2(;11222222222r zr y r x r z r y r x r =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂）（）（））（（证：，，，）（rzz r r y y r r x z y x x x r =∂∂=∂∂=++=∂∂222221 ;1222=∂∂+∂∂+∂∂）（）（）故（z r y r x r.11)1(1)2(22222r x r r r x rx r x r ⋅-=⋅-⋅+=∂∂,11,1122222222r z r r z r r y r r y r ⋅-=∂∂⋅-=∂∂ .2222222r zr y r x r =∂∂+∂∂+∂∂故7. .0zz 2)2(cos 22222=∂∂∂+∂∂-=t x tt x z ，证明：设 证：),2sin(2)2sin()2cos(4t x tx t x x z --=-⋅--=∂∂ ),2cos(22t x tx z-=∂∂∂ ),2sin()2())2sin(()2cos(22t x tt x t x t z -=-⋅--⋅-⋅=∂∂ ).2cos()1()2cos(22t x t x tz--=-⋅-=∂∂ .0z z 2222=∂∂∂+∂∂t x t故8. 的竞争对手，这两家公司公司是机床行业的两个公司和Y X 别为主要产品的供给函数分.41600;51000Y Y X X Q P Q P -=-=.250100个单位个单位和是公司现在的销售量分别公司和Y X 多少？公司当前的价格弹性是公司和）（Y X 1下降的销售量个单位，同时导致增加到降价后，使）假定（X Y Q X Q Y 3002 性是多少？公司产品的交叉价格弹个单位，试问到X 75 证：,100,5001==X X Q P X 公司）（ ,51||XXX X X X X Q P Q P dP dQ =⨯=η .110050051=⨯公司当前的价格弹性为故X,250,600==Y Y Q P Y 公司,51||Y YY Y YY Y Q P Q P dP dQ =⨯=η.6.025060041=⨯公司当前的价格弹性为故Y，时时，）（625,75;4003002====X X Y Y P Q P Q .7.0600400600-40010075100-75=++性为公司产品的交叉价格弹X习题8－41. .求下列函数的全导数.,4,3),arctan()2(3dtdzt y t x y x z 求而设==-= 解：dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= 22212)(113)(11t y x y x ⋅-+-+⋅-+=.)43(1123232t t t -+-= 2. ：具有一阶连续偏导数）数（其中求下列函数的一阶偏导f );,()4(zyy x f u =解：.,1,1222121f zy z u f z f y x y u f y x u '-=∂∂'+'-=∂∂'=∂∂ ).,,()5(xyz xy x f u =解：.,,332321f xy zu f xz f x y u f yz f y f x u '=∂∂'+'=∂∂'+'+'=∂∂ 3. .11,)(,)(222y zy z y x z x u f y x f y z =∂∂⋅+∂∂⋅-=验证为可导函数其中设解：,))(()(22)())((2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅-'⋅--=∂∂ ,))(()(2)(1)2()())(()(1222222222222222y x f y x f y y x f y y x f y x f y y x f y z --'+-=-⋅-'⋅---=∂∂代入左式，化简得2222222222222))(()(2)(1))(()(2y x f y x f y y x f y x f y x f xy --'+-+--'-=左式.)(1222右式==-=yzy x yf 5. 数：求下列函数的二阶偏导).ln()2(22y x y z ++=解：,)(22122222222y x y x y xy x x y x y x z +++=+⋅++=∂∂,)1)221(1222222y x yx yy x y y z +=++⋅++=∂∂,)()()2()(1322222222222222y x y x y y x y x y x y x y x z +++++-+++=∂∂,)(3222y x x y x z +-=∂∂∂ .)(32222y x y y z +-=∂∂习题8－53. .,,0)tan()cos()sin(yzx z yz xz xy ∂∂∂∂=++求设 解：.,,的函数为为独立变量，由题意知，y x z y x求导，得等式两边对x,0)(sec )()sin()cos(2=∂∂⋅⋅+∂∂⋅+⋅-xz y yz x z x z xz xy y 整理得;)(sec )sin()sin()cos(2yz y xz x xz z xy y x z --=∂∂ 求导，整理得同理，等式两边对y .)(sec )sin()(sec )cos(22yz y xy x yz z xy x y z -+=∂∂ 5. 所确定的）（都是由方程设0,,),(),,(),,(====z y x F y x z z z x y y z y x x.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x 证明有连续偏导数的函数，解：的函数，则方程为为独立变量，，视）（方程中z y x z y z y x F ,,0,,= .-,0xy y x F F y xF y x F y =∂∂=+∂∂⋅从而求导得两边对.-,-zx y z F F x z F F z y=∂∂=∂∂同理可求.1)(-)(---=⋅⋅=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x 故7. .2yx zxyz e z∂∂∂=，求设 解：求导，得等式两边对x ;xye yzx z x z xy yz x z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（1） 求导，得等式两边对y;xye xz y z y z xy xz y z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（2） 求导得式对y )1()];())([()(122x yz e yz xy e y z y z xy e y x z z z z -∂∂⋅--∂∂+-=∂∂∂ 得代入)2(.12-322）（-=∂∂∂z y x y x z习题8－62. .)2()(22的极值求函数y y x ex,y f x++=解：).1(2)1422(222+=+++=y e f y y x e f x y x x ，.1-2101014222），，求得驻点（解方程组⎩⎨⎧=+=+++y y y x 再求出二阶偏导.2)44(2)4844(2222x yy x xy x xx e f y e f y y x e f =+=+++=，，,004.2,0,21-2122>>--===A e B AC e C B e A ，因）处，，在驻点（ .2-1-21),(e y x f ）处取得极小值，在点（所以函数3. .442222上的最大值和最小值在闭区域求函数≤+-=y x y x z 解：0,2,2.4422令其等于时，求出所有的驻点当y z x z y x y x -==<+.0,0）得驻点（.4422的点求出所有可能取得最值时，由拉格朗日乘数法当=+y x ),44(),,(2222-++-=y x y x y x L λλ设拉格朗日函数⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-==+=0440*******y x L y y L x x L y x λλλ令 .0,2;1,0=±=±==y x y x 解得.41-，最大值为值为的点的函数值，得最小比较所有可能取得最值4. ，和售价分别为同时在两个市场销售，某厂家生产的一种产品 21P P ;5.0-10 ,2.0-24 221121P Q P Q Q Q ==，需求函数分别为和销售量分别为 市场的售价，问厂家如何确定两个总成本函数为 )(403421Q Q C ++= 大？最大利润为多能使得获得的总利润最 解：，则设利润函数为L，13945.02.030322221212211---+=-+=P P P P C Q P Q P L ，，，联立解得，令其为，又30800-304.0-32212121====P P P L P L P P .此为唯一驻点 .336308021时取得为，定存在，故又由题意知最大利润一==P P .最大利润7. .角形求有最大周长的直角三的一切直角三角形中，从斜边长为l 解：,,,222l y x C l y x y x ++==+，周长则设另两边长分别为.222下的极值问题在约束条件题目即为求l y x l y x C =+++=设拉格朗日函数),(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=,0,021,021222l y x F y F x F y x λλλ令周长一定存在，，为唯一驻点，且最大解方程组得l y x 22== .22时有最大周长故当l y x == 7. 品的广告，根据统计资纸两种方式做销售某商某公司可通过电台及报 （万元）用（万元）及报纸广告费用（万元）与电台广告费料，销售收入21x x R验公式：之间的关系有如下的经 222121211028321415x x x x x x R ---++= ；况下，求最优广告策略）在广告费用不限的情（1 .5.12告策略万元，求相应的最优广）若提供的广告费用为（解：）利润函数（1 22212121211028311315)(x x x x x x x x R L ---++=+-=.25.175.003102-8-0138-4-21212121（万元）（万元），解得，，令==⎩⎨⎧=+==+=x x x x L x x L x x.2084222212212-=∂∂=-=∂∂∂=-=∂∂=x LC x x L B x L A ，，又 .25.1,75.000162）为极大值点，故点（，<>=-A B AC时的最优广告策略为：，它为最大值点，即此由问题的实际意义可知 .25.175.0万元作报纸广告万元作电台广告，用用 做拉格朗日函数)2(),5.1(),(),,(212121-++=x x x x L x x F λλ),5.1(10283113152122212121-++---++=x x x x x x x x λ,05.10208310481321211221⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=x x F x x F x x F x x λλλ令.5.15.1,021，可使利润最大万元全部用于报纸广告，即广告费用解得==x x 10. .022之间的最短距离和直线求抛物线=--=y x x y解：的距离的求抛物线上的点到直线由题意，问题可转化为02=--y x .最小值的距离为）到直线任意点（02,=--y x y x.2|2|)1(1|2|2--=-+--=y x y x d.|2|2下的最值在约束条件先求函数x y y x =--设拉格朗日函数，)()2()(|2|22x y y x x y y x L -+---=-+--=λλ ，下，（注：在约束条件))2(|2|2---=--=y x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==--=,0,01,0212x y L L x L y x λλλ令最短距离，为唯一驻点，故所求，解方程组得4121==y x.8272|24121|=--=d 11.的有最大体积试求内接于椭球面)0,0,0(1222222>>>=++c b a cz b y a x.的长方体解：），则按题意，我们，设其一个顶点为（此长方体的中心为原点z y x ,, ).0,0,0(18222222>>>=++=z y x cz b y a x xyz V 下的极值在约束条件应考虑函数设拉格朗日函数),1(222222-++++=cz b y a x xyz F λ,01020222222222⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==⋅+==⋅+=c z b y a x F byxz F a xyz F yx λλλ令体的长、宽、高分别为故具有最大体积的长方解得,3,3,3c z b y a x ===.33832,32,32abc V c z b y a x ====，且最大体积12. 这椭圆截成一椭圆，求原点到被平面求抛物面122=+++=z y x y x z.的最长与最短距离解：作拉格朗日函数)1()(22222-+++--+++=z y x y x z z y x L μλ ,022=+-=μλx x L x 令 (1),022=+-=μλy y L y (2) ,02=++=μλz L z (3).01,022=-++==--=z y x L y x z L μλ，得由或，故有）（）得（（）由（01.10)-12-1=====-μλλλy x y x ，得和代入将，不合题意，故舍去22221.21-x z z y x y x z y x z ==+++===，得到两，，得得；消去32231122122 =±-===+=+z y x x x z z x ），于是，，（）和，，（个点3223-123-13-223123121+--+-+-M M .35-9359，最短距离为求得最长距离为+总习题八1. 填入下列三者中选择一个正确的充分必要和必要、充分在""""""空格内：.),(),(),(.),(),(),()1(件在该点可微分的必要条连续是在点条件充分在该点连续的可微分是在点y x f y x y x f y x f y x y x f.),(),(),()2(条件必要在该点可微分的存在是及的偏导数在点y x f y zx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(条件充分存在的的及偏导数可微分是函数在该点的在点yzx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(),()3(条件充分在该点可微分的存在且连续是在点及的偏导数y x f y x y zx z y x f z ∂∂∂∂=.),()4(22条件充分内相等的混合偏导数在内连续是这两个二阶在区域及的两个二阶混合偏导数D D x y z y x z y x f z ∂∂∂∂∂∂=4. ).,(),(1),(),(222x x f x x x f x x f y x f y x ，求，有一阶连续偏导数，且设== 解：，求导得，，等式两端对由0211),(22=⋅+⋅=x f f x x x f x x .21-),(21-2-2-22=====x x f x x x f f x f y x x x ，即代入将8. ）处连续且在点（证明设0,0),(,0,00,)(),(2222232222y x f y x y x y x y x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=.分偏导数存在，但不可微 解：）处连续，在（先证0,0),(y x f232222)0,0(),()0,0(),()(lim),(limy x y x y x f y x y x +=→→)sin ,cos (sin cos lim 32240θρθρρθθρρ===→y x ).0,0(0sin cos lim 220f ===→θθρρ.0,0),(）处连续在（故y x f）处偏导数存在，在（再证0,0),(y x f，）（），（），（000,00lim 00=--=→x f x f f x x.000,00lim 00=--=→y f y f f y y ）（），（），（）处不可微，在（最后证0,0),(y x f 22)0,0(),()0,0()0,0()0,0(),(limyx yf x f f y x f y x y x +---→22222)0,0(),()(lim y x y x y x +=→ )sin ,cos (sin cos lim 42240θρθρρθθρρ===→y x .sin cos lim 220θθρ→=.0,0),(）处不可微在（显然，极限不存在，故y x f12. .2),(222220-2y fx y y x f x f y x dt e y x f xyt ∂∂+∂∂∂-∂∂=⎰，求设解：，，x e yfy e x f y x y x ⋅=∂∂⋅=∂∂2222-- ，2222-22-22y x y x e y x e yx f-=∂∂∂ ，2222-32-222-)2-(y x y x e xy xy e y x f =⋅⋅=∂∂，22-3222-y x ye x yf =∂∂ .2-222-22222y x e yf x y y x f x f y x =∂∂+∂∂∂-∂∂代入所求式子得 13. .124522的面积试求椭圆=++y xy x解：原点的距离的最大值与在原点，故先求椭圆至由题意知，椭圆的中心 设乘数法最小值，利用拉格朗日.），（）（1245,,2222-++++=y xy x y x y x F λλ，令⎪⎩⎪⎨⎧=-++==++==++=012450)44(20)410(222y xy x F y x y F y x x F y x λλλ ，）（）（）（即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3124520)22(10)25(522y xy x y x y y x x λλ ）得，代入（）得（）（232-1xxy -=λ ，））（（02223222=-+=--y x y x y xy x .22x y y x -==，因而,30430112820)3(222222===++=x y y y y y x ，因而，解之得得代入将 .61301304,2221=+=+==y x y x f d ）（于是 ,54511885)3(222222===+--=y x x x x x y ，因而，解之得得代入将.15154,2222=+=+==y x y x f d ）（于是 .66611611611ππ=⋅⋅，故椭圆的面积为和短半轴的长分别为，即椭圆的长半轴与，最短距离为距离为因而椭圆至原点的最长15.底平所围圆锥体内所作出的和平面求在圆锥面33222=+=z y x z .面的最大长方体体积值面平行于xOy解：，且长方体的一，高为底面半径为由题设知直圆锥面的上32==H R 上，，四个顶点在直圆锥面和重合，两个边长为个面域直锥面的上底面y x 22面，则体底面的对角线作一截，过直圆锥的高和长方高为Z,,,,22y x CD EC R CB AC Z DG EF H DC +=======.)(22y x H R Z H +=-在约束条件问题转化为求函数xyz V 4=.0,0,0)(22）下的极值问题（>>>+=-z y x y x HR Z H设拉格朗日函数，])([22R Z H y x H xyz F --++=λ，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+==+==++==++=)4(0)()3(0)2(0)1(0222222R Z H y x H F R xy F y x Hy xz Fy y x Hx yz F z x λλλλ ，）可得又由（）得，代入（）得）、（由（RH z R y x y x λλλ21.321--=-===.313292-4,,H z R y x R z y x ====，，从而有）得代入（将λ时得到最大体积值，高分别为故当长方体的长、宽、322322.932132232244=⨯⨯⨯==xyz V。