微积分(下)期中试卷

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。

北京语言大学网络教育学院《微积分（上、下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。

请监考老师负责监督。

2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。

3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。

4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。

一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、设函数()f x 的定义域是[]0,4，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列nn n)211(lim +∞→的极限为（ ）。

[A] e 4 [B] e 2 [C]e[D] e 33、函数y = ）。

[A] ()21,,y x x =+∈-∞+∞[B] [)21,0,y x x =+∈+∞[C] (]21,,0y x x =+∈-∞[D] 不存在4、1arctany x=， 则dy =（ ）。

[A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25][A] 21dx x + [B] 21dxx -+ [C] 221x dx x +[D]()221dxx x +5、xx xx sin cos 1lim0⋅-→=（ ）6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。

[A][B]1x ； [C] 不存在[D]7、函数4334+-=x x y 的二阶导数是（ ）。

[A] 2x [B] 21218x x - [C] 3249x x -[D] x 128、21lim 1xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）9、已知()03f x '=-，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆（ ）10、函数1()()2x xf x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠[C](){},0x y x y +>[D](){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞12、幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域是（ ）[A] -1 [B] 0[C] 1/2[D] 不存在[A] 2e -[B] e[C]2e [D] 1[A] 12 [B] -12[C]3[D] -3[A] 1[B] -1[C]0[D] 不存在[A] []1,1- [B] [)1,1- [C] (]1,1-[D] ()1,1-13、设)(x f 为],[b a 上的连续函数，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(的值（ ）14、若f x ax nn n ()==∞∑0，则a n =（ ）15、设(,)f x y 为连续函数，且(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =和1x =围成的区域。

北京语言大学网络教育学院《微积分（下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。

请监考老师负责监督。

2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。

3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。

4. 本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。

一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、级数1nn u∞=∑的部分和数列n S 有界是该级数收敛的（ ）。

[A] 必要条件 [B] 充分条件[C] 充分必要条件 [D] 既不是充分条件也不是必要条件2、级数1nn u∞=∑收敛，则下面级数可能不成立的是（ ）。

[A]1nn u∞=∑收敛 [B]1nn ku∞=∑收敛()0k ≠[C]()2121n n n uu ∞-=+∑收敛[D] lim 0n n u →∞=3、点()00,x y 使(),0x f x y '=且(),0y f x y '=成立，则（ ）。

[A] ()00,x y 是(),f x y 的极值点 [B] ()00,x y 是(),f x y 的最小值点 [C] ()00,x y 是(),f x y 的最大值点 [D] ()00,x y 可能是(),f x y 的极值点4、已知函数()22,f x y x y x y +-=-，则()(),,f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ ）。

[A] 22x y +[B] x y +[C] 22x y -[D] x y -5、设函数2sin 2z x y =，则zx∂∂等于（ ）。

[A] 2sin 2x y [B] 22cos 2x y [C] sin 2x y[D] 2cos 2x y6、级数24n n =+∞∑的和是（ ）。

一、选择题1.若()()F x f x '=，C 是任意常数，则下列等式中错误的是（ C ）A.()()F x C f x C '+=+B.()()F x C f x C '+=+C.()()f x C dx F x C +=+⎰ D.()()()b a f x dx F b F a =-⎰2.10=⎰( A ) A.6π B.3π C.2π D.π 3.302x ax e dx +∞-=⎰，则a =（ C ）A.1B.12C.13D.16 4.00x y →→= ( B ) A .0 B .12C .1D .1- 5.已知()22,f x y x y x y +-=+，则()1sin ,cos f θθ'=( )A.2sin θB.2cos θC.sin 2θD.1注：题目有误，由题意得到()()221,,2f x y x y =+故有：()1sin ,cos sin .f θθθ'= 二、填空题1.101dx x =+⎰22π- 2.220sin lim x x x tdt x→=⎰ 12- 3.由2,y x =0x =和1y =所围图形围绕x 轴旋转得到的旋转体体积为45π4.z = 的定义域为(){},1x y x y +>5. 设y z x =，则dz =1ln y y yx dx x xdy -+ 三、解答题1.计算22143x dx x x +-+⎰. 解：()()22212415434313x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+--⎰⎰⎰ 2251153ln 43ln 43ln 23121x x x dx x x C x x x -⎛⎫=-++-=-+++ ⎪---⎝⎭⎰ 或者用待定系数法： 设()()22121,431313x x A B x x x x x x ++==+-+----对应解出：37,.22A B =-= 故有：221317137ln 1ln 343212322x dx dx dx x x C x x x x +=-+=--+-+-+--⎰⎰⎰ 2. 计算()2xt x f x e dt -=⎰在[)0,+∞上的单调区间。

北 京 交 通 大 学2006 -2007 学年第二学期《微积分B 》期中考试评分标准（考试时间110分钟）一、填空题（每空2分，共20分） 1．函数),(y x f z =的几何图形是 空间曲面 2．设y x sin u =，求=∂∂xusiny ；=∂∂yuxcosx3．点集 {}{}10|,E ≤+<=y x y x 的边界点为 {0,0} ⋃{{x,y}| x +y =1 } 4．设2-x yu =e, 则=∂∂∂yx u 2yxe y x x 2)1(22--5．设()z x z y x f y -=,,, 则()=1,2,1df 2dx - dz 6．220112limx y xy x y→→-+= 17．()2x z =+1-y yarcsinarcsin 的定义域是22{(,)|02,-}=<≤≤≤D x y y y x y8．设L 为椭圆xy22431+=，其周长记为a ，则⎰=+Lds y x )43(22 12a9．设22(2,)yz x f x x=，f 具有一阶连续偏导数，则=∂∂xz2xf+2x 2f 1 -y 2f 210．曲线：22,,6t z t y t x ===，在t =1点处的切线方程为：111136-=-=-z y x以上填空的内容如果错了，但有部分对的结果，可以考虑给1分。

二、计算下列各题 (每题6分，共18分 )1. 设),(y x z 是由方程 1sin 1=--xyz xyz 所确定的隐函数，求)1,0(x z 。

解：两边对x 求导: ()0)xy(yz cosxyz 2=--∂∂+∂∂+⋅xy z yx zxz 2分由方程有z (0,1) =-1 1分()()()0)xy(yz cosxyz 1,021,0=--∂∂+∂∂+⋅xy z yxzx z 1分)1,0(x z =2 2分2．设()()()()(),,,,,22200000xy x y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，求(),fx y 在点(),00处的偏导数.解：由定义，有 ()000h)0,0(0,0)0,0( 0=-=-+=→→hf h f f LimLimh h x 3分()000h)0,0(0,0)0,0( 0=-=-+=→→hf h f f LimLimh h y 3分3．设z =22),(y xxy y x f -=-，f 具有一阶连续偏导数, 求y x z z f f ,,,21解：可以解出 ),(y x f =y1y 1x 2-+)( 2分()xy -11)y ,( 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∴x y y x xy x f()()yz x z x y y x f x y x y f y x 2,2,12,11y -x 22221-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4分三、计算下列各积分（要求画出积分区域）（每题6分，共30分）1.⎰⎰Dxyd σ, 其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域。

杭州商学院2008/2009学年第二学期期中考试试卷课程名称： 微积分(下) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、=⎰∞+-0d e x x x .2、=+⎰-222d sin 1cos ππx xxx .3、=⎰→xt t xx 020d cos lim.4、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则⎰>+xx t a t f t)0( d )(1等于 。

5、设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 .6、当)0,2(),(→y x 时,函数22)tan(yxy z =的极限是 . 7、设yxy y x y x f arcsin)1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .8、2x y -=与x y =所围成的图形的面积为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、x y 2=在]2,0[上的平均值是（ ）. （A ）2ln 2 （B ）2ln 23（C ）2ln 23（D ）2ln 3 2、下列广义积分收敛的是（ ）. （A ） ⎰10 d xx （B ） ⎰212)(ln d x x x（C ） ⎰1d xx（D ） ⎰1d ln x xx3、)ln()1arcsin(1y x y z -+-=的定义域是（ ）.（A ） 1|1|0<-≤y 且 0>-y x （B ） 1|1|≤-y 且 0>-y x （C ） 0|1|≠-y 且 0>-y x（D ） 1|1|0≤-<y 且 0>-y x4、),(y x xy f z -=，则=∂∂+∂∂yz x z （ ）. （A ）yf x f ∂∂+∂∂ （B ）)()(y x fxy f -∂∂+∂∂ （C ）)()(xy fy x ∂∂+ （D ）05、二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处( ) .（A ）不连续，偏导数存在 （B ）连续，偏导数存在 （C ）连续，偏导数不存在（D ）不连续，偏导数不存在三、计算题(一)（每小题5分，共20分） 1、计算⎰--11d 45x xx .2、计算 ⎰-20d cos 1πx x .3、设,)ln(22y x z +=求.,yy xxz z '''' 4、),(y x f z =是由方程2)ln(=+--xyz y x z 所确定的隐函数，求z d .四、计算题(二)（每小题7分，共28分）1、计算⎰20d sin eπx x x.2、设⎰-=22d e)(x t t x f ，求⎰-'322d )(x x f x .3、设,sin ey x u x-= 求yx u ∂∂∂2在点)1,2(π的值.4、设)(xy f x u =，其中f 二阶可导，求22 ,x ux u ∂∂∂∂. 五、应用题（共16分）1、过曲线0,3≥=x x y 上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形D 的面积S 为43，（1）求点A 的坐标 （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积．（10分）2、生产某产品的边际收益为Q R 2.110-='，其中Q 为产量，求(1)总收益函数)(Q R ；(2)需求函数)(P Q 。

浙江财经学院2010~~~2011学年第二学期 《微积分下》课程期中考试试卷（（周一卷）年级、专业： 考试日期：2011年 4 月 日（共 大题）一．填空题（8⨯3分）1．若11(2)n nu ∞=+∑收敛(0)n u ≠，则lim n n u →∞= -1/2 。

2． 当α满足 0 <α <1 时，111(1)n n n α-∞=-∑绝对收敛。

3． 22cos x x x t dt →＝0cos 4lim 2/2cos lim cos lim42/302/1400202==⋅=→-→→⎰x x x xx xdt t x x x x 。

4. 22sin()x d x t dt dx -=⎰2202022)2sin(sin )(sin t du u dxd t x u duu dxd t t -=-=-=⎰⎰--。

5.2222x xdx x -+=+⎰3ln )]2[ln(222||202202222=+=+=+⎰⎰-x dx x x dx x x 6．6620sin cos sin cos 8x xdx x x π-=++⎰ 0 （令x=π/2-u ，则I=-I ） 。

7．当p 满足 1/3<p<2/3 时，广义积分1311p dx x-⎰收敛。

8. 3123ln 1xdx x =+⎰ 0 )(,t a nln arctan ln 1ln 233/133/12πβαβα=+===+⎰⎰⎰I du u x d x dx x xI dz z dz z z d z I -=-==--=⎰⎰⎰βαβααβππtan ln cot ln )2()2tan(ln二．解答题1..判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛（4⨯6分）1arctan (1) (ln10)nn nx ∞=∑ 111(2)(1)ln(1)n n n n ∞-=--+∑ n n nn v nx u 2)10(ln 12)10(ln arctan ||ππ=⋅≤=设)1ln()(+-=n n n f∑∑=nn v )10(ln 1是几何级数， )1(01111)(≥>+=+-='n n nn n f 公比1||,10ln 1<=q q ，∑∴n v 收敛 )(n f 单调递增，)(1||n f u n =递减 由比较判别法知：||∑nu收敛且)1ln(1lim ||lim +-=∞→∞→n n u n n n 所以，∑∑=nn nxu )10(ln arctan 绝对收敛。