7.3 直线、平面垂直的判定与性质-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质【考纲要求】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2. 掌握公理、判定定理和性质定理.【知识清单】知识点1．直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥a l ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α知识点2．平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α 知识点3．线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点梳理】考点一：直线与平面垂直的判定与性质【典例1】（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E、F分别是AB和PC的中点．(1)求证：AB⊥平面P AD；(2)求证：EF//平面P AD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）∵侧棱P A垂直于底面，∴P A⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，这样，AB垂直于平面P AD内的两条相交直线，∴AB⊥平面P AD．（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，∴FG∥PD，FG∥面P AD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面P AD．故平面EFG ∥平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ．【典例2】（2019·甘肃高三期末（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，AB =，11B C =，1B C ⊥平面ABC .（1）证明：AC ⊥平面11BCC B ； （2）求点C 到平面11ABB A 的距离.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：因为1B C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1B C AC ⊥.因为1AC BC ==，AB ，所以AC BC ⊥， 又1BC B C ⋂，所以AC ⊥平面11BCC B . （2）设点C 到平面11ABB A 的距离为h ，因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AC ⊥，1B C BC ⊥.则1AB ，1BB AB =，所以1ABB ∆是等边三角形，故12ABB S ∆==111122C ABB A C ABB B ABC V V V ---==111233ABC B C S ∆=⨯⨯⨯=，11111123323C ABB A ABB A V S h h h -=⋅=⨯⨯⋅=.所以h【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 【变式探究】1. （2019·河南南阳中学高三开学考试（文））如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，AB CD AD AB ⊥，， 且24 3.AD CD AB PA PD PC ======，(1)若O 为AC 的中点，证明:PO ⊥平面.ABCD (2)求点C 到平面PAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】(1)证明：因为AB CD AD AB ⊥，，AD CD AC ∴⊥=，,又3PA PC ==，O 为AC 的中点PO AC ∴⊥，1PO ==连接OD ，在Rt ACD ∆中，O 为AC 的中点12OD AC ∴== ∵222OD OP PD +=，PO OD ∴⊥又ODAC O =∴PO ⊥平面ABCD(2)解：设点C 到平面PAB 的距离为h ，则12442ABC S ∆=⨯⨯=，PB ==在PAB ∆中，32PA AB PB ==，， ∴9452cos 2323PAB +-∠==⨯⨯.∴1322PAB S ∆=⨯⨯=由C PAB P ABC V V --=44PO =⨯=，解得h =2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =,060BAD ∠=，面PAD ⊥面ABCD ,PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面POB ；(2)若E 是PC 的中点，求三棱锥P EDB -的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】(1)证：因为O 为等边PAD ∆中边AD 的中点， 所以AD PO ⊥,又因为在菱形ABCD 中，060BAD ∠=， 所以ABD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以AD BO ⊥,而PO BO O =,所以AD ⊥平面POB .(2)解：由(1)知AD PO ⊥，面PAD ⊥面ABCD ,所以PO ⊥底面ABCD ，因为等边PAD ∆的边长为2，所以PO , 易知BCD ∆为边长为2的等边三角形，所以三棱锥P BCD -的体积为：21213P BCD V -==, 因为E 是PC 的中点，所以1122P EDB P BCD V V --==， 所以三棱锥P EDB -的体积为12．考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质【典例3】（2020·全国高考真题（文））如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π==2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 603AC r ==在等腰直角三角形APC 中，22AP AC ==在Rt PAO 中，PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333248P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯⨯⨯=△.【典例4】（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =．（1）证明：平面1AA B ⊥平面11AAC C ； （2）求三棱锥111B A BC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】（1）证明：∵1A B ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1A B AC ⊥．又∵AB AC ⊥，∵1AB A B B ⋂=， ∴AC ⊥平面1A AB ． 又∵AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1AA B ⊥平面11AAC C ．（2）111111111111111332B A BC B A B C A B C V V S A B --==⋅=⨯⨯⨯=△． 【规律方法】 1.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 2．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 【变式探究】1.在四边形ABCD 中，//,,45AD BC ADAB BCD，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC 【答案】D 【解析】在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆为等腰直角三角形，故45ABD ADB ∠=∠=︒， 所以45DBC ∠=︒，故CD BD ⊥，折起后仍然满足CD BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD BD =， 所以CD ⊥平面ABD ，因AB 平面ABD ，所以CD AB ⊥.又因为AB AD ⊥，AD CD D =，所以AB ⊥平面ADC ，因AB平面ABC ，所以平面ADC ⊥平面ABC .2．（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，BD 是线段AC 的中垂线，BD 与AC 交于点O ，8AC =，2PD =，3OD =，5OB =．（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）求点B 到平面PAC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥． 又因为BD AC ⊥，BDPD D =，所以AC ⊥平面PBD ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PBD ⊥平面PAC ． （2）因为8AC =，2PD =，3OD =，5OB =，所以由勾股定理得5AD CD ===，AP CP ==所以182PACS =⨯=△11852022ABC S AC OB =⋅=⨯⨯=△． 设点B 到平面PAC 的距离为h ．由B PAC P ABC V V --=，得1133PAC ABC S h S PD ⋅=⋅△△， 即1141320233h ⨯⨯=⨯⨯， 解得101313h =． 【总结提升】在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用【典例5】（2020·安徽省舒城中学月考（文））设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α；③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】由,m n 是空间两条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面． 在①中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误；在②中，设,,n n l l ααβ⊂⋂=⊥，因为αβ⊥，所以n β⊥，又m β⊥，所以//m n ，又m α⊄，n ⊂α，所以//m α，故②正确；在③中，若,,//m n m ααβ⊥⊥，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，设,m n γγα⊂⋂=，因为//m α，所以//m n ，又m l ⊥，所以n l ⊥， 又因为,,l n αβαβα⊥⋂⊂＝，所以n β⊥，所以m β⊥，故④正确． 故选：C ．【典例6】（2020·临猗县临晋中学月考（文））如图，在三棱锥P －ABC 中，P A －AB －P A －BC －AB －BC －P A －AB －BC －2－D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：P A ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；(3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13【解析】（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .（III ）因为PA 平面BDE ，平面PAC ⋂平面BDE DE =， 所以PA DE .因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【规律方法】1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．4.垂直关系的转化：【变式探究】1.（2019·四川高考模拟（理））如图所示，在RtΔABC中，AB=4，AC=3，BC=5，在BC边上任取一点D，并将ΔABD沿直线AD折起，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后B、C两点间距离的最小值为__________．【答案】√13【解析】如图所示，设∠BAD=θ，则∠CAD=π2−θ,过点C作CE⊥AD于E，过B作BF⊥AD交AD的延长线于点F，所以BF=4sinθ,CE=3sin(π2−θ)=3cosθ,AF=4cosθ,AE=3cos(π2−θ)=3sinθ，所以EF=4cosθ−3sinθ，所以|BC|=√CE2+EF2+BF2=√(3cosθ)2+(4cosθ−3sinθ)2+(4sinθ)2 =√9cos2θ+16cos2θ+9sin2θ−24sinθcosθ+16sin2θ=√25−24sinθcosθ=√25−12sin2θ，当sin2θ=1时，|BC|min=√13.2.（2019·云南高三月考（文））如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点，证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求四棱锥A 1﹣PBCD 的体积． 【答案】（1）详见解析（2）12【解析】（1）证明：令1A B 的中点为F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC , 所以PD 是ABC △的中位线，所以//PD BC ,12PD BC =. 因为E 是1AC 的中点,且F 为1A B 的中点,所以EF 是1A BC 的中位线,所以//EF BC ，且12EF BC =，于是有PDEF ,所以四边形PDEF 为平行四边形,所以//DE PF , 又DE ⊄平面1PBA ，PF ⊂平面1PBA 所以有//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE AC ⊥. 又因为E 是1AC 的中点，所以1A D DC DA ==， 即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.因为在ABC △中,90B ∠=︒，//PD BC ，PDA 沿PD 翻折至1PDA ，且平面1PDA ⊥平面PDA ， 利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，所以111131·13322A PBCD PBCD V S A P -==⨯⨯=四棱锥四边形. 考点四： 平行、垂直的综合应用【典例7】（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥ 1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC又11BC ⊂平面11EBC F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF = 11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP ⋂平面11EB C F NP =∴//AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA ⋂平面ABC AM =，面1A NMA ⋂平面1111AB C A N = ∴//ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形 设ABC 边长是6m (0m >)可得：ON AP =，6NP AO AB m ===O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m∴16sin 603ON =⨯⨯︒=故：ON AP == //EF BC∴AP EPAM BM=3EP= 解得：EP m =在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =1B Q EP =且1//B Q EP∴四边形1B QPE 是平行四边形， ∴1//B E PQ由（1）11B C ⊥平面1A AMN故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ===sin10QN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：10.【典例8】（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析 【解析】（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．【总结提升】1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．2．证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决． 【变式探究】1. （2020·江苏省震泽中学期末）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为线段,PB PC 上的点（异于端点），平面PAB ⊥平面PBC .（1）若//BC 平面AMN ，求证：//BC MN ；（2）若M 为PB 的中点，求证：平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为//BC 平面AMN ，BC ⊂平面PBC ，平面AMN平面PBC MN =，由线面平行的性质可得//BC MN（2）因为M 为PB 的中点，且AP AB =，由等腰三角形的性质可得AM PB ⊥， 又因为平面PAB ⊥平面PBC ， 平面PAB ⋂平面PBC BC =，AM ⊂平面PAB ，由面面垂直的性质定理即可得：AM ⊥平面PBC ，又因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC2.如图(1)所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1—BCD ，如图(2)所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF . (2)求证：BD ⊥A 1F .(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？请说明理由． 【答案】【解析】(1)证明：∵D ，M 分别为AC ，FC 的中点， ∴DM ∥EF ，又∵EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF ， ∴DM ∥平面A 1EF .(2)证明：∵EF ⊥BD ，A 1E ⊥BD ，A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥A 1F .(3)直线A 1B 与直线CD 不能垂直．理由如下：∵平面BCD ⊥平面A 1BD ，平面BCD ∩平面A 1BD ＝BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面CBD ， ∴EF ⊥平面A 1BD ，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面MCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．。

第七篇 立体几何与空间向量 专题7.04 直线、平面垂直的判定及性质【考试要求】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示 符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba∩b ＝O a ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α【微点提醒】1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()【教材衍化】2.(必修2P66练习改编)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交3.(必修2P67练习2改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【真题体验】4.(2019·上海静安区质检)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC6.(2018·安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD.若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β【考点聚焦】考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.【规律方法】 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】(2019·青岛调研)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为312，求线段CE的长.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【规律方法】 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2018·泸州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD ＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面 △SAB 的面积.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【规律方法】 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.【规律方法】 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【规律方法】1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG .(2)求二面角P －AD －C 的正切值.(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.【反思与感悟】1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.3.转化思想：三种垂直关系之间的转化【易错防范】1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.【核心素养提升】【直观想象、逻辑推理】——立体几何中的动态问题1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(理科还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分 【例2】 (2018·石家庄一模)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是()【例3】如图，在棱长为2的正四面体A－BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝ 3.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于________(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积).【例4】已知ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为()A.43B.163C.49πD.83π【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n2.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m ⊂α，则m ⊥βB.若m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC.若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α3.(2019·泉州模拟)在下列四个正方体ABCD －A1B1C1D1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG 不垂直的是( )4.(2019·济南一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥nB.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n5.(2018·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部二、填空题6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____________.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.三、解答题9. (2019·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF12.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A.2B.3C.4D.513.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.14.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图②所示的几何体.(1)求证：AB⊥平面ADC；(2)若AD＝1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面ADE的距离.【新高考创新预测】15.(多选题)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法正确的是()A.当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形B.当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形C.当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形D.当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形。

直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．三、考点解析考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定例、如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用例、如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.跟踪训练1．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.求证：BM∥平面P AD.3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH.求证：P A∥GH.考点二平面与平面平行的判定与性质例、如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.变式练习：1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.课后作业1．已知直线额a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为()A．平行B．相交C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46.如图，平面α∥平面β，△P AB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．8．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△P AC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．9.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：10．如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P­ABM的体积．提高训练1.如图，四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD 上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AB；(2)求四面体N­BCM的体积．2.如图所示，几何体E­ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.。

第5节直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲i.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.口归敦材，夯寳基础知识梳理1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线I与平面a内的任意直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.2.平面与平面垂直(1) 平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.［常用结论与微点提醒］1. 垂直关系的转化判定判定判定I线线曜頁普堰血匝巫器面画垂宜f 性踰性険性质2. 直线与平面垂直的五个结论(1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)(1) 直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则1丄口()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ()(4) 若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a丄3( )解析(1)直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则有I丄a或I与a斜交或I? a或I // a,故⑴错误.(2) 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.（4）若平面a内的一条直线垂直于平面B内的所有直线，则aL B,故（4）错误. 答案（1）X ⑵X ⑶X ⑷X2. （必修2P56A组7T改编）下列命题中错误的是（）A .如果平面a丄平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面BB. 如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BC. 如果平面a丄平面Y平面肚平面Y aG A l，那么I丄平面丫D. 如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析对于D,若平面a丄平面B,则平面a内的直线可能不垂直于平面B,即与平面B的关系还可以是斜交、平行或在平面B内，其他选项易知均是正确的. 答案D3. （2016浙江卷）已知互相垂直的平面a, B交于直线I,若直线m , n满足m// a, n LB,则（）A. m/ IB. m / nC. n丄I D . m丄n解析因为an片I，所以I? B ,又n丄B,所以n丄I,故选C.答案C4. （2017全国川卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E L DC1 B . A1E L BDC. A1E L BC1 D . A1E L AC解析如图，由题设知，A1B1丄平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，从而A1B1L BC1,又B1C L BC1,且A1B1G BQ= B1,所以BC1 丄平面A1B1CD,又A1E? 平面A1B1CD，所以A1E L BC1.答案C5. （2017浙江名校协作体联考）已知矩形ABCD, AB= 1, BC= 2.将厶ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A •存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D. 对任意位置，三对直线“ AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析若AB丄CD，BC丄CD，则可得CD丄平面ACB，因此有CD丄AC.因为AB=1，BC= AD= 2，CD= 1，所以AC= 1，所以存在某个位置，使得AB丄CD. 答案B 6. (必修2P67练习2改编)在三棱锥P —ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0，(1)若PA= PB= PC,则点0 是厶ABC 的________ 心.⑵若PA丄PB，PB丄PC，PC丄PA，则点0是厶ABC的______ 心.解析(1)如图1,连接OA, OB，OC，0P，在Rt A POA、Rt△ POB 和Rt△ POC 中，PA= PC= PB，所以OA= OB = OC，即卩O ABC的外心.(2)如图2，T PC丄PA，PB丄PC，PA A PB= P，••• PC丄平面FAB，AB?平面PAB，••• PC丄AB,又AB丄PO，PO A PC= P，••• AB 丄平面PGC，又CG?平面PGC，二AB丄CG，即CG ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为△ ABC边AC，BC上的高，即O ABC的垂心.答案(1)外⑵垂图1I考点突破丨分类讲练■、以例求试考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄底面ABCD,AB丄AD, AC 丄CD,/ ABC= 60° PA=AB= BC, E 是PC 的中点.证明：（1）CD 丄AE;（2）PD丄平面ABE.证明（1）在四棱锥P —ABCD中，v PA 丄底面ABCD , CD?平面ABCD,：PA 丄CD,又••• AC丄CD, 且FA P AC = A,••• CD丄平面PAC.而AE?平面PAC,••• CD 丄AE.（2）由PA=AB= BC ,Z ABC = 60° 可得AC = PA.v E是PC的中点，二AE丄PC.由（1）知AE丄CD , 且PC P CD = C,••• AE丄平面PCD.而PD?平面PCD,：AE 丄PD.v PA丄底面ABCD , AB?平面ABCD ,:PA丄AB.又v AB丄AD ,且PA P AD = A ,:AB丄平面PAD ,而PD?平面PAD ,:AB丄PD.又v AB P AE= A, : PD 丄平面ABE.规律方法（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a// b , a丄a b± a ）；③面面平行的性质（a丄a, all B ? a X p ）；④面面垂直的性质（a丄B, aA a, I丄a, I? B ?l丄a ）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】如图所示，已知AB为圆0的直径，点D为线段AB上一点，且AD 1=3DB，点 C 为圆0 上一点，且BC= 3AC，PD 丄平面ABC, PD= DB.求证：PA X CD.证明因为AB为圆0的直径，所以AC X CB.在Rt A ABC 中，由3AC = BC 得，/ ABC= 30°设AD = 1,由3AD = DB 得，DB = 3，BC = 2 3.由余弦定理得CD2= DB2+ BC2—2DB BCcos 30= 3, 所以CD2+ DB2= BC2,即CD 丄AB.因为PD丄平面ABC, CD?平面ABC,所以PD丄CD，由PD A AB= D得，CD丄平面PAB,又PA?平面PAB,所以PA X CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】（2017江苏卷）如图，在三棱锥A—BCD中，AB X AD, BC丄BD,平面ABD X 平面BCD,点E, F（E与A, D不重合）分别在棱AD, BD上，且EF X AD.求证：（1）EF //平面ABC;(2)AD 丄AC.证明(1)在平面ABD内，AB X AD, EF丄AD , 贝U AB // EF.••• AB?平面ABC, EF?平面ABC,••• EF//平面ABC.(2)v BC丄BD，平面ABD G平面BCD = BD，平面ABD丄平面BCD, BC?平面BCD，二BC丄平面ABD.••• AD?平面ABD，二BC 丄AD.又AB丄AD，BC，AB?平面ABC，BC G AB= B，••• AD丄平面ABC，又因为AC?平面ABC,：AD丄AC.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2017 山东卷)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C i-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，0为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E丄平面ABCD.(1)证明：A1O //平面B1CD1；⑵设M是0D的中点，证明：平面A1EM丄平面B1CD1. 证明(1)取B1D1的中点01，连接CO1, A1O1，由于ABCD —A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1 // 0C，A1O1 = 0C，因此四边形A10C01为平行四边形，所以A1O// 01C，又01C?平面B1CD1，A10?平面B1CD1，所以A10 //平面B1CD1.(2)因为AC丄BD , E, M分别为AD和OD的中点，所以EM丄BD,又A I E丄平面ABCD, BD?平面ABCD,所以A i E丄BD,因为B i D i // BD，所以EM丄B i D i, A i E丄B i D i,又A I E, EM?平面A i EM , A i E A EM = E,所以B i D i丄平面A i EM ,又B i D i?平面B i CD i,所以平面A i EM丄平面B i CD i.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度i多面体中平行与垂直关系的证明【例3-U 如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，D, E分别为AB, BC的中点, 点F 在侧棱B i B上，且B i D丄A i F, A i C i丄A i B i.求证：(1) 直线DE //平面A i C i F;⑵平面B i DE丄平面A i C i F.证明(i)在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i C i / AC.在厶ABC中，因为D, E分别为AB, BC的中点，所以DE // AC,于是DE// A i C i.又因为DE?平面A i C i F, A i C i?平面A i C i F,所以直线DE //平面A i C i F.(2) 在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i A丄平面A i B i C i.因为A i C i?平面A i B i C i，所以A i A丄A i C i.又因为A i C i丄A i B i, A i A?平面ABB i A i, A i B i?平面ABB i A i, A i A A A i B i= A i, 所以A i C i 丄平面ABB i A i.因为B i D?平面ABB i A i,所以A i C i丄B i D.又因为B i D 丄A i F, A1C1?平面A i C i F, A i F?平面A i C i F, A1C1 A A i F = A i,所以B i D丄平面A iC i F.因为直线B i D?平面B i DE，所以平面B i DE丄平面A i C i F.规律方法(i)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度2平行垂直中探索性问题【例3-2】如图所示，平面ABCD丄平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC= CE，点F为CE的中点.(i)证明：AE//平面BDF.⑵点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使得PM丄BE?若存在, 确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(i)证明图①连接AC交BD于0,连接0F，如图①.•••四边形ABCD是矩形，二0为AC的中点，又F为EC的中点, •••0F ACE的中位线，••• OF / AE, 又OF?平面BDF, AE?平面BDF ,••• AE//平面BDF.⑵解当P为AE中点时，有PM丄BE,证明如下：取BE 中点H , 中占I 八、、，••• PH // AB ,又 AB // CD ，二 PH // CD ,： P , H , •••平面 ABCD 丄平面 BCE ，平面 ABCD A 平面 CD 丄 BC.••• CD 丄平面 BCE , 又 BE?平面 BCE ,••• CD 丄 BE ,v BC = CE , H 为 BE 的中点，二 CH 丄BE ,又 CD A CH = C ,： BE 丄平面 DPHC ，又 PM?平面 DPHC , ••• BE 丄 PM ，即 PM 丄 BE.规律方法 （1）求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给 出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件， 再证明充分性.（2）涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索 点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练3】（2018嘉兴七校联考）在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形，AB // CD , AC = . 3, AB = 2BC = 2, AC 丄FB.⑴求证：AC 丄平面FBC.⑵求四面体FBCD 的体积.⑶线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ?若存在，请说明其位置，并加 以证明；若不存在，请说明理由.⑴证明在厶ABC 中，因为 AC = 3, AB = 2, BC = 1,所以 AC 2 + BC 2= AB 2,••• P 为AE 的中点，H 为BE 的C ,D 四点共面.BCE = BC , CD?平面 ABCD ,所以AC丄BC.又因为AC丄FB, BC G FB = B,所以AC丄平面FBC.⑵解因为AC丄平面FBC , FC?平面FBC，所以AC丄FC. 因为CD丄FC, AC A CD = C,所以FC丄平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB= DC = 1,所以FC = 1.所以△ BCD的面积为S^43.1 U3所以四面体FBCD的体积为V F—BCD = 3S FC = 12.⑶解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA//平面FDM.证明如下:连接CE，与DF交于点N,取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EA // MN.因为MN?平面FDM , EA?平面FDM ,所以EA//平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA//平面FDM成立.I课乍业分层训练■，提升能力基础巩固题组一、选择题1. （2018绍兴检测）已知平面辽平面B,且aA b, a? a ,贝a丄b”是“ a丄0'的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析平面a丄平面0且aA 0= b, a? a ,若a丄b,则a丄0充分性成立；平面a丄平面B,因为aA b,所以b? B,若a丄B,则a丄b,必要性成立，所以“a丄b”是“ a丄B的充要条件，故选C.答案C2. （2015浙江卷）设a, B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，且I? a , m?B （）A .若I丄B,贝U aXB B .若a丄B,则I丄mC.若I // B,贝U all B D .若all B,则I // m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，I与m可能平行；C选项中，a与B可能相交；D选项中，I与m可能异面.答案A3.若平面a, B满足a丄B, aA B= I ,P€ a , P?I，则下列命题中是假命题的为（）A .过点P垂直于平面a的直线平行于平面BB. 过点P垂直于直线I的直线在平面a内C. 过点P垂直于平面B的直线在平面a内D. 过点P且在平面a内垂直于I的直线必垂直于平面B解析由于过点P垂直于平面a的直线必平行于平面B内垂直于交线的直线，因此也平行于平面B,因此A正确.过点P垂直于直线I的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C , D正确.答案B4. 如图,在正四面体P-ABC中,D , E , F分别是AB , BC , CA的中点,下面四个结论不成立的是（）A. BC//平面PDFB. DF丄平面FAEC. 平面PDF丄平面PAED.平面PDE丄平面ABC 解析因为BC// DF, DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC //平面PDF ,故选项A正确.在正四面体中，AE丄BC, PE丄BC, AE G PE= E,••• BC丄平面PAE, DF // BC,贝U DF丄平面PAE, 又DF?平面PDF，从而平面PDF丄平面PAE.因此选项B, C均正确.答案D5. （2017丽水调研）设l是直线，a, B是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A .若I // a, I // B,贝u all PB .若I // a, I 丄B,贝U a丄B C.若a丄B, I丄a,则I // P D .若a丄P I // a,则I丄P解析A中，all P或a与P相交，不正确.B中，过直线I作平面Y设aG尸I ；贝U I'//1 ,由I丄B知I'丄B从而a丄B B正确.C中，I //p或I? p , C不正确.D 中，I与P的位置关系不确定.答案B6. 如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把厶ABD和厶ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD丄AC;②厶BAC是等边三角形；③三棱锥D —ABC是正三棱锥；④平面ADC丄平面ABC.其中正确的是（）A. ①②④ B .①②③C.②③④ D .①③④解析由题意知,BD丄平面ADC ,且AC?平面ADC ,故BD丄AC ,①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD丄平面ACD ,所以AB = AC= BC , △ BAC是等边三角形,②正确；易知DA = DB = DC ,又由②知③正确；由①知④错.答案B二、填空题7. _______________________________________________________________ 如图，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,则图中直角三角形的个数为 _____________ .解析T PA丄平面ABC, AB, AC, BC?平面ABC,••• PA丄AB, PA丄AC, PA丄BC,则厶PAB, △ PAC为直角三角形.由BC丄AC, 且AC n PA= A, ••• BC丄平面PAC,从而BC丄PC,因此△ ABC, △ PBC也是直角三角形.答案48. （2018杭州质检）设a, B是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m l a, m? B ,贝U a± B；②若m // a , a丄B，贝U m± B其中真命题是__________ 填序号）.解析由面面垂直的判定定理可知①是真命题；若m// a, a丄B,则m, B的位置关系不确定，可能平行、相交或m? B，则②是假命题.答案①9. 如图所示，在四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________ 寸，平面MBD丄平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）.解析由题意可知，BD丄PC.•••当DM丄PC（或BM丄PC）时，有PC丄平面MBD.又PC?平面PCD, •平面MBD丄平面PCD.答案DM丄PC（或BM丄PC等）10. （2016全国U卷改编）a, B是两个平面，m, n是两条直线.⑴如果m l a, n// a,那么m, n的位置关系是 ____________ ;(2)如果m/ n, all B,那么m与a所成的角和n与B所成的角的大小关系是解析(1)由线面平行的性质定理知存在直线I? a , n// I, m l a，所以m l l, 所以m l n.⑵因为m// n,所以m与a所成的角和n与a所成的角相等.因为all B,所以n 与a所成的角和n与B所成的角相等，所以m与a所成的角和n与B所成的角相等.答案(1)垂直(2)相等三、解答题11. 如图，在三棱锥P —ABC中，平面FAB丄平面ABC, PA丄PB, M , N分别为AB, PA的中点.(1) 求证：PB//平面MNC;(2) 若AC= BC,求证：PA丄平面MNC.证明(1)因为M , N分别为AB, PA的中点，所以MN // PB.又因为MN?平面MNC, PB?平面MNC，所以PB//平面MNC.(2)因为FA X PB, MN // PB,所以FA X MN.因为AC= BC, AM = BM，所以CM X AB.因为平面PAB X平面ABC,CM?平面ABC，平面PAB A平面ABC = AB.所以CM丄平面PAB.因为PA?平面PAB,所以CM丄PA.又MN A CM = M，所以PA丄平面MNC.12. (2016北京卷)如图，在四棱锥P —ABCD中，PC X平面ABCD, AB// DC, DC 丄AC.⑴求证：DC 丄平面FAC ;(2)求证：平面FAB 丄平面PAC ;⑶设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ,使得PA //平面CEF ?说明理由.(1)证明 因为PC 丄平面ABCD ,所以PC 丄DC.又因为AC 丄DC ,且PC n AC = C ,所以DC 丄平面PAC.(2)证明 因为AB / DC , DC 丄AC ,所以AB 丄AC.因为PC 丄平面ABCD ，所以PC 丄AB.又因为pe n AC = C ,所以AB 丄平面PAC.又AB?平面PAB ,所以平面PAB 丄平面PAC.⑶解 棱PB 上存在点F ,使得PA //平面CEF.理由如下：取PB 的中点F ，连接EF , CE , CF ,又因为E 为AB 的中点，所以 EF / PA.又因为PA?平面CEF ，且EF?平面CEF , 所以PA //平面CEF.能力提升题组13. (2018舟山调研)在三棱锥P - ABC 中，已知PA 丄底面ABC , AB 丄BC ,E, A. 当AE 丄PB 时，△ AEF 一定为直角三角形B. 当AF 丄PC 时，△ AEF 一定为直角三角形F 分别是线段PB , PC 上的动点，则下列说法错误的是(C •当EF //平面ABC 时，△ AEF —定为直角三角形D •当PC 丄平面AEF 时，△ AEF 一定为直角三角形解析 因为AP I 平面ABC , BC?平面ABC ，所以AP I BC ,又AB 丄BC ,且PA 和AB 是平面PAB 内两条相交直线，则 BC 丄平面PAB ,又AE?平面FAB ,所以 BC 丄AE ,当AE 丄PB 时，AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ,贝U AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，A 正确；当EF //平面ABC 时，EF 在平面PBC 内，平面PBC 与平面ABC 相交于BC ,则EF // BC ,则EF 丄AE , △ AEF 一定是直角三角形， C 正确；当PC 丄平面AEF 时，AE 丄PC ,又AE 丄BC , J 则AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ，所以AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证 明. 答案 B14. （2017诸暨调研）如图，在正方形ABCD 中，E , F 分别是BC , CD 的中点, 沿AE , AF , EF 把正方形折成一个四面体，使 B , C , D 三点重合，重合后的点 记为P , P 点在△ AEF 内的射影为O ,则下列说法正确的是（ ）解析 由题意可知PA , PE , PF 两两垂直,所以PA 丄平面PEF ,从而PA 丄EF ,而PO 丄平面AEF ，贝U PO 丄EF ，因为POP PA = P ,所以EF 丄平面PAO ,••• EF 丄AO ,同理可知 AE 丄FO , AF 丄EO ,•••O AEF 的垂心.A . O 是厶AEF 的垂心 C. O 是厶AEF 的外心B . O 是厶AEF 的内心D . O 是厶AEF 的重心答案A15. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC, PA= 2AB, 则下列结论中：①PB丄AE;②平面ABC丄平面PBC;③直线BC//平面PAE;④/ PDA=45°其中正确的有________ (把所有正确的序号都填上)•解析由PA丄平面ABC, AE?平面ABC, 得PA丄AE,又由正六边形的性质得AE丄AB, PA A AB = A,得AE丄平面FAB,又PB?平面FAB, A AE丄PB,①正确；又平面PAD丄平面ABC,二平面ABC丄平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC/ AD，又AD?平面PAD , BC?平面PAD , A BC//平面PAD , A直线BC//平面PAE也不成立，③错；在Rt △ PAD中，PA =AD= 2AB, A / PDA = 45° A④正确.答案①④16. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄CD , AD // BC,/ ADC=Z PAB= 90°BC = CD = 1AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM //平面PAB,并说明理由.⑵证明：平面PAB丄平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M €平面PAD),点M即为所求的一个点，理由如下:因为AD // BC, BC= 2AD.所以BC / AM , 且BC= AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM // AB.又AB?平面PAB.CM?平面PAB.所以CM //平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N ,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PA 丄AB , FA X CD.因为 AD // BC , BC = 1A D ,所以直线AB 与CD 相交，所以PA 丄平面ABCD.又BD?平面ABCD ,从而PA X BD.1因为 AD // BC , BC = 2AD ,M 为AD 的中点，连接BM ,所以 BC / MD , 且 BC = MD.所以四边形BCDM 是平行四边形，1所以BM = CD = 2AD ，所以BD 丄AB.又AB A AP = A ,所以BD 丄平面PAB.又BD?平面PBD ,所以平面PAB X 平面PBD.17. 如图，三棱台DEF — ABC 中，AB = 2DE , G , H 分别为AC ,BC 的中点. (1)求证：BD //平面FGH ;证明 (1)连接DG , CD ，设CD A GF = M ,连接MH.(2)若 CF 丄BC , AB X BC ,求证：平面 BCD 丄平面EGH.在三棱台DEF－ABC 中，AB= 2DE, G 为AC 中点，可得DF // GC,且DF = GC, 则四边形DFCG 为平行四边形．从而M 为CD 的中点，又H为BC的中点，所以HM / BD, 又HM?平面FGH , BD?平面FGH, 故BD //平面FGH.(2)连接HE，因为G, H分别为AC, BC的中点，所以GH // AB.由AB丄BC,得GH丄BC.又H为BC的中点，所以EF // HC , EF = HC , 因此四边形EFCH 是平行四边形,所以CF // HE.又CF丄BC,所以HE丄BC. 又HE, GH?平面EGH , HE A GH = H , 所以BC丄平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD丄平面EGH.。