2020届湖南省怀化市高三下学期4月第一次模拟考试文科数学试题(word无答案)

A ． 1a a(x + c )2 的图象如图所示，则下列结论成立的是2020 届高三年级第二学期第一次模拟考试数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答卷前,考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若 a, b ∈ R ， i 为虚数单位，且 (a + i)i = b + i ，则A ． a = 1,b = 1B ． a = -1,b = 1C ． a = -1,b = -1D ． a = 1,b = -12．设集合 S = {x | x 2 + 2 x = 0, x ∈ R } ， T = {x | x 2 - 2 x = 0, x ∈ R } ，则 S I T =A ． {0}B ． {0,2}C ． {-2,0}D ． {-2,0,2}⎧ 2x + 1, x < 13．已知函数 f ( x ) = ⎨⎩ x 2 + ax, x ≥ 1，若 f ( f (0)) = 4a ，则实数 a =4 B ．C ．2D ．9254．命题 p ：数列 { }既是等差数列又是等比数列，命题 q ：数列 { }是常数列，则 p 是 q 的 n nA ．充分不必要条件C ．充分必要条件 B ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．函数 f (x )= - x + bA ． b < 0 ， c > 0B ． b > 0 ， c > 0C ． b > 0 ， c < 0D ． b < 0 ， c < 06．在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．高三级数学（文科）答卷 第1页（共 6 页）7．若 sin α + cos α = ，则 tan α =8．设实数 x ,⎧-1≤x +y- - y ≤ 1 ．．．2若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩小于 139 分钟的运动员人数为A ．4B ．2C ．5D ．31sin α - cos α 2A ． -3B ． -2C ． 2D ． 3⎩ ，则 x + 2 y 的最大值和最小值分别为A ．1， -1B ． 2 ， -2C ．1， -2D ． 2 ， -19．在平行四边形 ABCD 中， AB ＝(1,2), AD = (-4,2) ，则该四边形的面积为A ． 5B ． 2 5C ．5D ．1010．如图，四棱锥 S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥ 底面 ABCD ，则下列结论中不正确的是A ． AC ⊥ SBB ． AD ⊥ SCC ．平面 SAC ⊥ 平面 SBDD ． BD ⊥ SASDA BC11．已知双曲线 x 2 y 2 -a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左顶点与抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2, -1) ，则双曲线的焦距为A ． 2 3B ． 2 5C ． 4 3D ． 4 512．已知∆ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a, b , c ，且b = 2 ，b 2 + c 2－a 2＝bc ，若BC 边上的中线 AD = 7 ，则 ∆ABC 的外接圆面积为A ． 4πB ． 7πC ．12πD ．16π二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．曲线 y = x(3ln x + 1) 在点 (1,1) 处的切线方程为_________________．高三级数学（文科）答卷 第2页（共 6 页）14．已知函数 y = sin(2x + ϕ ) ( ϕ < π )的一条对称轴为 x = ，则 ϕ 的值是．， a = 2 ，则 a =_________．（2）从 2011 年开始到 2019 年该地区清明节当天降雨量（单位： m m ）如下表：（其中降雨． ．0 ．．．．．．经研究表明：从 2011 年开始至 2020 年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量 y 与年份 t 成π2315．数列{a }满足 ann +1 = 1 1 - a n8 116．已知抛物线 y 2 = 4 x 上有三点 A ，B ，C ，直线 AB ，BC ，AC 的斜率分别为 3 ，6 ，-2 ，则 ∆ABC 的重心坐标为_________.三、解答题：共 70 分。

2020年湖南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2. 考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4. 本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年高三第一次模拟考试 文科数学命题人：溆浦一中 朱良满 审题人：张理科、向重新、梁庄贵、陈秀伟、滕华Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1. 若{}3210，，，=A ，{}A x x y y B ∈==，2|，则A B =A ．{}20，B ． {}3210，，，C ．{}6420，，，D ． {}643210，，，，， 2．设R x ∈，则“1>x ”是“12>x ”的A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 若31cos =α，)02(，πα−∈，则αtan 等于 A. 42− B. 42C. 22−D. 224. 执行下面的程序框图，如果输入的∈t [－1,3]，则输出的s 属于A. [－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－3,3]5. 若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1+=n n S n ，则51a 等于A ．56B ．65C ．130D ．306. 已知向量125||25a a b a b =⋅=−=（，）, ，，则||b 等于 A ．5 B ．52 C ．5 D ．257. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 若2a b c +=, 35c b =, 则角A 的值为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 8.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是A ．41B ．83C ．85 D ．439. 将函数1)4(cos 2)(2−+=πx x g 的图象向右平移4π个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数)(x f 的图象，则下列说法正确的是A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．当R x ∈时，函数)(x f 为奇函数开始输入t s =4t-t 2s=3t输出s 结束是否t <1？C ．π=x 是函数)(x f 的一条对称轴D ．函数)(x f 在区间2π5π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为23−10. 关于函数x x x f ln 1)(−−=，下列说法正确的是A ．)(x f 在),1(+∞e单调递增 B ．)(x f 有极小值为0，无极大值 C ．)(x f 的值域为),1(+∞− D ．)(x f y =的图象关于直线1=x 对称11．已知圆C ：08622=+−+x y x 和两点)0,(t A −，)0,(t B )0(>t ，若圆C 上存在点P ，使得0=⋅BP AP ，则实数t 的取值范围是A. )3,1(B. )4,2(C. ]3,1[D. ]4,2[ 12. 若函数)(x f 在定义域R 上可导，且x x f cos )(<'，则关于x 的不等式)6sin(3)3()(ππ−+−≥x x f x f 的解集为A ．]3(π，−∞ B ．]6(π，−∞ C ．)3[∞+，π D ．)6[∞+，π第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 13.设实数0>x ，若2)(i x +是纯虚数（其中i 为虚数单位），则x = ．14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+−≤−−，，，001201x y x y x 则y x z +−=2的最小值为 ．15. 若椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为1F ，点P 在椭圆上，点O 为坐标原点，且△1OPF 为正三角形，则椭圆的离心率为_________．16.已知正方体1111D C B A ABCD −的棱长为1，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线D A 1、B A 1、B C 1、D C 1相交于点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 面积的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．（本题满分12分）为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查. 现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示． (Ⅰ)求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字）；(Ⅱ)为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人全部来自高中年级的概率是多少？18．（本题满分12分）在等比数列{}n a 中，24=a ，55=a ．(Ⅰ)求数列{}n a lg 前8项的和；(Ⅱ)若等差数列{}n b 满足84422=+=⋅b a b a ，求数列{}n b 的通项公式．19．（本题满分12分）已知四棱锥ABCD P −中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 120=∠BAD ，点E ，F 分别为BC 和PA 的中点．(Ⅰ)求证：直线BF ∥平面PED ； (Ⅱ)求证：平面BCF ⊥平面PAE ．20．（本题满分12分）若抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为，O 是坐标原点，M 为抛物线上的一点，向量FM 与x 轴正方向的夹角为，且△OFM 的面积为3．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若抛物线C 的准线与x 轴交于点A ，点N 在抛物线C 上，求当NFNA取得最大值时，直线AN 的方程．F6021．（本题满分12分）已知函数2)(ax e x f x −=，其中常数R a ∈．(Ⅰ)当),0(+∞∈x 时，不等式0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若1=a ，且),0[+∞∈x 时，求证：144)(2−+>x x x f ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为：⎩⎨⎧+=+−=ααsin 3,cos 4y x （α为参数），2C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ββsin 3,cos 8y x （β为参数）．(Ⅰ)化1C 、2C 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(Ⅱ)若直线l 的极坐标方程为：7cos sin 2=−θρθρ，曲线1C 上的点P 对应的参数2πα=，曲线2C 上的点Q 对应的参数0=β，求PQ 的中点M 到直线l 的距离．23. (本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数3)(−+−=x a x x f ．(Ⅰ)若3<a ，且不等式5)(<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−2723|x x ，求a 的值； (Ⅱ)如果对任意R x ∈，4)(≥x f ，求a 的取值范围．2020年高三第二次模拟考试（文科数学）答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DACADCCDCBDB二、填空题（每小题5分，共20分）13.114．－115．13-16.21三、解答题（必做题第17题至第21题每小题12分，选做题第22题、23题每小题10分，共70分）17.（1）该地近视的学生人数为3200×0.1+3000×0.3+2000×0.5=2220（人），………2分该地中小学生总人数为3200+3000+2000=8200（人），………3分故该地中小学生的平均近视率为2200÷8200≈0.27，即平均近视率约为27％..………6分(2)由题意得，参与问卷调查的5名中学生中有2名初中生，3名高中生.………7分设2名初中生为1a 、2a ，3名高中生为1b 、2b 、2b ，则从这5人中随机选取2人的情况为：),(21a a 、),(11b a 、),(21b a 、),(31b a 、),(12b a 、),(22b a 、),(32b a 、),(21b b 、),(31b b 、),(32b b ，………9分共计10种情况，………10分其中全部来自高中年级的情况有3种，………11分故2人全部来自高中年级的概率是103..……………12分18.（1）由题意得公比25=q ，………1分故4)25(2-⨯=n n a ，………2分所以25lg )4(2lg lg -+=n a n ，………3分故数列{}n a lg 的前八项的和为4)5lg 2(lg 425lg 2)43(82lg 8=+=+-⨯+.……………6分（2）由（1）得2582=a ，………7分故由822=⋅b a 知252=b ，………8分.又844=+b a ，所以64=b .………9分故数列{}n b 的公差219-=d ，………10分所以44219)219)(2(25+-=--+=n n b n ……………12分19.解：（1）取线段PD 中点M ，连结线段FM 和EM .…………1分在△PAD 中，FMAD 21.………2分点E 为BC 中点，故BEAD 21，所以FM BE ，………3分所以四边形BEMF 为平行四边形，………4分所以EM //BF ，又⊄BF 平面PED ，………5分所以直线BF ∥平面PED .……………6分（2）连结AC ，由底面ABCD 是菱形，且 120=∠BAD ，故ABC ∆为等边三角形.…7分又点E 为BC 中点，故BC AE ⊥.………8分因为⊥PA 平面ABCD ，所以BC PA ⊥.………9分由A PA AE = 知⊥BC 平面PAE ，………10分因为⊂BC 平面BCF ，………11分所以平面BCF ⊥平面PAE .…………12分20.（1）法一、抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设)(00y x M ，，则20px MF +=，………1分过点M 作x 轴的垂线，垂足为K ，则20px FK -=.………2分在Rt △MFK 中,60=∠MFK ，故KF MF 2=，即)2(2200p x p x -=+，即230p x =，………3分所以202032p px y ==，故p y 30=.………4分由33221210=⋅⋅=⋅=∆p py OF S MOF ，所以2=p ，………5分所以抛物线C 的方程为x y 42=.…………………6分法二、抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设)(00y x M ，，则20px MF +=，………1分又因为FM 与x 轴正方向的夹角为60，所以)2(2360sin 00px MF y +==，……2分所以3)2(832100=+=⋅=∆px p y OF S MOF ，所以082p x p =-，………3分00343()22p y x p=+=，………4分代入2002y px =得24882()2pp p p =-，解之得2p =或p =，………5分又当p =时，FM 与x 轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p =，所以抛物线C 的方程为x y 42=.…………………6分（2）过N 作NQ 与准线垂直，垂足为Q ，………7分则NAFANQ NQ NA NF NA ∠=∠==cos 1cos 1，………8分则当NFNA 取得最大值时，NAF ∠必须取得最大值，此时直线AN 与抛物线相切，…9分设切线方程为)1(+=x k y 与x y 42=联立，消去y 得0)42(2222=+-+k x k x k ，…10分所以016162=+-=∆k ，得1±=k ．………11分则直线方程为1+=x y 或1--=x y ．……………12分21.（1）由题意知当),0(+∞∈x 时，不等式0)(2>-=ax e x f x恒成立，即2xe a x<恒成立.……………1分设)0()(2>=x x e x h x ，则3)2()(x e x x h x-='.……………2分当)20(，∈x 时，0)(<'x h ，函数)(x h 单调递减；……………3分当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x h ，函数)(x h 单调递增，……………4分所以)(x h 的最小值为4)2(2e h =，故实数a 的取值范围为)4(2e ，-∞.……………5分（2）由题意得，要证144)(2-+>x x x f 成立，即证14422-+>-x x x e x成立，即证014422>+--x x e x 成立．……………6分设1442)(2+--=x x e x g x，其中),0[+∞∈x ，则44)(--='x e x g x.……………7分2ln 20<≤x ，所以函数)(x h 在)2ln 2(∞+，上单调递增；在)2ln 20[，上单调递减.……………8分设曲线)(x h y =与x 轴的交点为)0(，m ，因为03)0(<-=h ，012)2(2<-=e h ，016)3(3>-=e h ，所以32<<m ，且44+=m e m ．…………9分故当)0[m x ，∈时，0)(<'x g ；当)(∞+∈，m x 时，0)(>'x g ，……………10分所以)()(m g x g ≥222181442m m m e m -=+--=，……………11分由于32<<m ，所以0)9(2)(2>-≥m x g ，即144)(2-+>x x x f .……………12分22.（1）曲线()()22221:431,C x y C++-=，……………1分曲线2221,:1649x y C =+=，……………2分其中曲线1C 为圆心是()4,3-，半径是1的圆；……………3分曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.……5分（2）曲线1C 中，当2πα=时，点P 的坐标为)44(，-，……………6分同理点Q 的坐标为)08(，，……………7分故线段PQ 的中点M 的坐标为)22(，．……………8分又直线l 的普通方程为072=+-y x ，……………9分故点M 直线l 的距离为5)2(1722222=-++⨯-=d .……………10分23.（1）因为3<a ，故⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-≤++-=.3323332)(x a x x a a a x a x x f ，，，，，……………2分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅=++-⋅-5327253)23(2a a ，……………4分所以1-=a ；……………5分（2）对任意R x ∈，当3<a 时，由（1）知43≥-a ，即1-≤a ；……………6分当3=a 时，432≥-x 不恒成立；……………7分当3>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-≤++-=.3233332)(a x a x a x a x a x x f ，，，，，……………8分要使4)(≥x f 恒成立，则43≥-a ，即7≥a .……………9分综上可得1-≤a 或7≥a .……………10分。

2020年湖南省怀化市高考数学模拟试卷（文科）（一）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知集合A={（x，y）|y=|x|}，N={（x，y）|y=1}，若A⊆（M∩N），则集合A的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 83.已知数列{a n}满足a n+12＝a n a n+2（n∈N*），若a3＝1，a7＝4a3，则a4a5a6＝（）A. ±8B. ﹣8C. 8D. 164.已知圆锥曲线的离心率为，则cosθ=（）A. B. C. D.5.某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是（）A. 月收入的极差为60B. 7月份的利润最大C. 这12个月利润的中位数与众数均为30D. 这一年的总利润超过400万元6.已知命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“”；命题p：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，则下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. ￢qC. p∨（￢q）D. （￢p）∧q7.《九章算术》勾股章有一问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？其意思是：现有正方形水池边长为1丈（一丈等于十尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度是多少？现从静止的芦苇上任取一点，则该点取自水面以下的概率为（）A. B. C. D.8.设实数a，b满足log b2＜log a2＜0，则a a，a b，b a的大小关系是（）A. b a＞a b＞a aB. b a＞a a＞a bC. a a＞b a＞a bD. a a＞a b＞b a9.某四棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则当x∈[0，π]时，不等式g（x）＜1的解集为（）A. B. C. D.11.在正方体中,过AB作一垂直于BA的平面交平面于直线l,动点M在l上,则直线BM与所成角的余弦值的最大值是( )A. B. C. D. 112.对于函数：y=f（x）与y=g（x），若存在x0，使f（x0）=g（-x0），则称M（x0，f（x0）），N（-x o，g（-x o））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点“.已知函数f（x）=m（x+1），（x∈R），g（x）是定义在R上的函数，且满足g（x）+g（2-x）=0，当x＞1时，g（x）=x2-4x+5，若函数f（x）与g（x）的图象恰好存在五对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A. （，0）B. （，-1）C. （-∞，）D. （0，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为l20°，|-2|=2||=2，则||=______．14.已知的展开式的系数和为16，则展开式中的常数项为______．15.已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，直线l：y=3x-2截C所得弦AB的中点的横坐标为，则C的短轴长为______．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中B为钝角，，点P在线段AC上，且2AP=PC，BP=2，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}满足a1＝1，（n≥2，且n∈N*），设b n＝log2a n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；（3）求{b n}的通项公式，并求其前n项和S n．18.在五边形ABCDE中，CD∥BE，AB=AE=，BA⊥AE，BC⊥CD，BE=2BC=2CD，现将AABE沿着BE折起，使得点A到达点P的位置，且使平面PBE⊥平面BCDE，记线段PE的中点为M．（1）求证：MD∥平面PBC；（2）求三棱锥M-PCD的体积．19.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更近一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某镇团委对春节期间该镇燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：x1115172022y45678（）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明；（若＞，则可认为y与x有较强的线性相关关系，r精确到0.01）（2）试用最小二乘法求出y关于工的线性回归方程（系数用分数表示），并预测：当x=25时，y的值；（精确到个位）（3）若在春节所在的那个月内，雾霾的天数y落在区间（y-2x，y+2s）的右侧（其中s为标准差），则认为雾霾将对该镇人们的生产、生活造成较大的影响，镇政府将根据该结果出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，否则将暂不采取相应措施．现巳知2019年2月该镇雾霾天数为9，问：该镇是否需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例，试说明理由．附：参考数据：x i y i=537，x=1519，≈27.2，s=≈1.4．参考公式：回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=y-x，相关系数r=．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于两点，且线段的中点的横坐标为2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过抛物线C上非顶点的任一点M作抛物线的切线l'与直线y=-1交于点N，问：在y轴上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0）．（1）试讨论f（x）的单调性与极值；（2）当f（x）＞0时，设函数g（x）=x2-3x+3+x lnx，若∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，+∞），使不等式g（x1）+f（x2）≥4成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（）．（1）求直线l的普通方程与圆C在直角坐标系下的标准方程；（2）设圆C与直线l交于两点，若P点的直角坐标为（1，0），求PA2+PB2的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|-2|x-3|．（1）解不等式f（x）＜6；（2）已知a，b，c都是正数，记f（x）的最大值为t，若a+b+2c=t，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵=．∴复数z的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：∵集合A={（x，y）|y=|x|}，N={（x，y）|y=1}，∴M∩N=={（-1，1），（1，1）}，∵A⊆（M∩N），∴集合A的个数为22=4．故选：C．推导出M∩N=={（-1，1），（1，1）}，再由A⊆（M∩N），能求出集合A的个数．本题考查满足条件的集合A的求法，考查交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：C解析：解：∵数列{a n}满足a n+12=a n a n+2（n∈N*），∴{a n}是等比数列，∴a3，a5，a7同号，∵a3=1，a7=4a3，∴=2，∴a4a5a6==8．故选：C．由数列{a n}满足a n+12=a n a n+2（n∈N*），得到{a n}是等比数列，推导出=2，a4a5a6=，由此能求出结果．本题考查等比数列的三项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：A解析：解：圆锥曲线的离心率为＞1，所以曲线是双曲线，可得：，解得cosθ=．故选：A．判断曲线是双曲线，利用离心率列出方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：D解析：解：由图可知月收入的极差为90-30=60，故A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30.7月份的利润最高，故B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故C正确，D错误．故选：D．根据所给的折线图逐项分析即可．本题考查了统计图的识别和应用，属于基础题．6.答案：D解析：解：命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“∀x∈R，＜0或x+1=0”；则命题p是假命题，命题p：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，为真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：D．根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AE=x尺，则水深AC=（x-1）尺，由池宽B′E=10尺，得CE=5尺，在RT△ACE中，由勾股定理，得52+（x-1）2=x2，解得x=13．即水深12尺，芦苇长13尺，∴所求的概率为P=．故选：B．由题意画出图形，设芦苇长AB=AE=x尺，则水深AC=（x-1）尺，求解三角形求得x值，再由测度比是长度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．先判断0＜a＜b＜1，再利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵实数a，b满足log b2＜log a2＜0，∴0＜a＜b＜1，∴y=a x在R上是单调递减函数，故a a＞a b，∵y=x a在（0，+∞）上单调递增，∴b a＞a a，则a a，a b，b a的大小关系为b a＞a a＞.故选B．9.答案：B解析：【分析】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，属于中档题．由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，可将三视图还原成为四棱锥P—ABCD，其中PD=1，底面ABCD是边长为1的正方形，且PD⊥底面ABCD，显然该四棱锥可补形成棱长为1的正方体，故其外接球半径，所以所求外接球的表面积．故选：B．10.答案：C解析：【解答】解：由图象可知A=2，周期T=，∴T=π，则ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），图象过点（）带入可得2sin（2×+φ）=2，∵-π＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x-），f（x）的图象向左平移个单位，y=2sin[2（）-]=2sin（2x-），∴函数g（x）=2sin（2x-），不等式g（x）＜1，即sin（2x-），当x∈[0，π]时，则2x-∈[，]，结合正弦函数图象可得：≤2x-或＜2x-，解得0或＜x≤π，故选：C．【分析】由图象可知A，根据周期求出ω，将（）代入求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于一般题．11.答案：A解析：解：设该正方体的棱长为1，如图，易知与B1C垂直且过AB的平面即为平面ABC1D1，故直线l即为直线AD1，又CD1∥A1B，则直线CD1与直线BM所成角即为∠A1BM（或其补角），连接A1M，显然当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，当点M为AD1的中点时，A1M最小，其值为，此时sin A1BM===，即cos∠A1BM=，故选：A．先作出异面直线直线BM与CD1所成角，再结合图象得当A1M最小时，sin∠A1BM取最小值，此时cos∠A1BM取最大值，运算即可得解．本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查对新定义函数的图象和性质理解和应用，导数定义的运用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于较难题．利用函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”的定义，函数的对称性和函数的导数解得函数切线方程的切点，由对称和数形结合可得m的范围.【解答】解：设y=h（x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，则h（x）=f（-x）=m（1-x）=-m（x-1），由g（x）+g（2-x）=0，知g（x）的图象关于点（1，0）对称，且g（1）=0．当x＞1时，g（x）=x2-4x+5，若函数f(x)与g（x）的图象恰好存在五对“隐对称点”，由题意知函数h（x）与g（x）的图象恰有5个交点，h(x)和g（x）的图象如下图所示：设直线y=-m（x-1）与曲线y=g（x）（x＞1）的切点为（x0，y0），则-m=g′（x0）=2x0-4，∴切线方程为y-y0=（2x0-4）（x-x0），即y-x02+4x0-5=（2x0-4）（x-x0），因为点（1，0）在切线上，∴-x02+4x0-5=（2x0-4）（1-x0），解得x0=1+，或x0=1-（舍去），此时-m=2（1+）-4=2-2，因为f（-x），g（x）的图象均关于点（1，0）对称，且f（-1）=0，结合图象可知，实数-m＞2-2，即m＜2-2，故选C．13.答案：解析：解：向量，的夹角为l20°，|-2|=2||=2，∴=4，||=1．∴-4+4=4，即1-4•1•||•cos120°+4=4，求得||=，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求得||．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．14.答案：-12解析：解：已知的展开式的系数和为2n=16，∴n=4，则展开式中的通项公式为T r+1=•34-r•（-1）r•x3-r，令r=3，可得常数项为-12，故答案为：-12．由题意利用二项式系数的性质求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：10解析：解：椭圆C的一个焦点F恰为圆F：的圆心，所以c=5，椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为，可得中点的纵坐标：=，所以中点M（，-）．设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，相减可得：，又y1+y2=-1，x1+x2=1，==3，又a2-b2=50，联立解得a2=75，b2=25．∴则C的短轴长为：10．故答案为：10．椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为，可得中点M（，-）．设椭圆标准方程为：（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用平方差法及其a2-b2=50，联立解得a2，b2．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16.答案：解析：解：由b-a sin A=b cos2A，可得：sin B-sin2A=sin B（1-2sin2A），可得：sin2A=2sin B sin2A，可得：sin B=，由B为钝角，可得B=，由2AP=PC，可得2=，∴2-2=-，即3=2+，两边平方可得92=42+2+4，即36=42+2+4||||cos∠ABC=42+2-2||||≥2-2||||=2||||，∴||||≤18，当且仅当2||=||时取等号，∴S△ABC=BA•BC•sin∠ABC≤=．故答案为：．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B，由B为钝角，可得B=，由题意2=，可得3=2+，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求||||≤18，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：（1）因为a1=1，2a n2-a n-1a n-6a n-12=0，a n＞0，可得（2a n+3a n-1）（a n-2a n-1）=0，则a n=2a n-1，所以数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，又a n>0,可得a n=2n-1；所以b n=log2a n=n-1，所以b1=0，b2=1，b3=2；（2）数列{b n}为等差数列，理由：b n+1-b n=n-（n-1）=1，则数列{b n}为首项为0，公差为1的等差数列；（3）b n=log2a n=log22n-1=n-1，前n项和为S n=n（0+n-1）=．解析：本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．（1）运用因式分解和等比数列的定义，可得a n，由对数的运算性质可得所求值；（2）运用等差数列的定义，即可得到结论；（3）由对数的运算性质可得b n，再由等差数列的求和公式，可得所求和．18.答案：解：（1）证明：如图，取PB中点N，连接MN，CN，则MN为△PBE的中位线，∴MN∥BE，且MN=，又CD∥BE，BE=2CD，∴MN∥CD，且MN=CD，∴四边形CDMN为平行四边形，∴MD∥CN，∵MD⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴MD∥平面PBC；（2）∵M为PE的中点，∴点P、E到平面MCD的距离相等，∴V M-PCD=V P-MCD=V E-MCD=V M-CDE，取BE的中点O，连接PO，则由PB=PE，得OP⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，∴OP⊥平面BCDE，即OP的长为点P到平面CDE的距离，由AB=AE=，AB⊥AE，得BE=2，∴OP=，∴点M到平面CDE的距离d=，又，∴=，故三棱锥M-PCD的体积为．解析：（1）取PB中点N，去证MN，CD平行且相等，得到CDMN为平行四边形，进而得到MD，NC平行，得证；（2）把求M-PCD的体积转化为求M-ECD的体积，先取BE中点O，证得PO⊥平面BCDE，以下的求解不难．此题考查了线面平行的证明，转化法求三棱锥的体积，难道适中．19.答案：解：（1）由题意，计算=×（11+15+17+20+22）=17，=×（4+5+6+7+8）=6，所以相关系数r==≈0.99＞0.75，所以可以认为y与x有较强的线性关系；（2）由（1）知，计算===，=-=6-×17=-，所以y关于x的线性回归方程为=x-；当x=25时，=×25-≈9（天）；（3）由题意知s=≈1.4，所以（-2s，+2s）=（3.2，8.8）；且9＞8.8，所以该镇需要出台限制节假日燃放烟花爆竹的条例．解析：（1）由题意计算、，求出相关系数r，即可得出y与x有较强的线性关系；（2）计算回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算x=25时的值；（3）由题意知s的值，再求出（-2s，+2s），即可得出结论．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关系数的计算问题，是中档题．20.答案：解：（1）设A，B两点坐标为（x A，y A），（x B，y B），AB的中点横坐标为x0=2，即x A2=2py A，x A2=2py A，两式相减得（x A+x B）（x A-x B）=2p（y A-y B），所以k AB====1，所以p=2，即抛物线的方程为x2=4y．（2）设M（x0，y0），则x02=2py0，由y=，求导y′=，所以直线l′的方程为y-y0=（x-x0），令y=-1，得x=，则N（，-1），假设存在点P，使得，即，设P（0，t），因此，即，所以t=1，即存在定点P（0，1），使得．解析：（1）利用点差法即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）利用导数求得M的切线方程斜率及切线方程，求得N点坐标，根据向量的坐标运算，求得P 点坐标．本题考查抛物线方程的求法，点差法的应用，考查直线的点斜式方程，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0），x∈（0，+∞）．f′（x）=-a（ln x+2）．①当a＜0时，可得：x∈（0，），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（，+∞），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递增．∴x=时，函数f（x）取得极小值，f（）=1+．②当a＞0时，可得：x∈（0，），f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x∈（，+∞），f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=时，函数f（x）取得极大值，f（）=1+．（2）由题意可知：g（x）min-4≥[-f（x）]max=-f（x）min．由（1）可知：a＞0时，-f（x）min=-f（）=-1-．由g（x）=x2-3x+3+x lnx，x∈（0，+∞）．g′（x）=2x-2+ln x．则g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．又g′（1）=0，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=1．∴-3≥-1-，解得a≥2e2．∴实数a的取值范围是[2e2，+∞）．解析：（1）函数f（x）=1-ax lnx-ax（a≠0），x∈（0，+∞）．f′（x）=-a（ln x+2）．对a分类讨论即可得出单调性．（2）由题意可知：g（x）min-4≥[-f（x）]max=-f（x）min．由（1）可知：a＞0时，-f（x）min=-f（）．由g（x）=x2-3x+3+x lnx，x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性即可得出极小值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-1=0．由ρ=2cos（），得ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，∴x2+y2-2x+2y=0，即圆C在直角坐标系下的标准方程为（x-1）2+（y+1）2=2；（2）点P（1，0）在直线l上且在圆C内，将直线l的参数方程代入x2+y2-2x+2y=0，得．设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-1．∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=，|PA||PB|=|t1t2|=1．∴PA2+PB2=（|PA|+|PB|）2-2|PA||PB|=6-2=4．解析：（1）直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，把ρ=2cos（）右边展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入x2+y2-2x+2y=0，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|2x+1|-2|x-3|=．∵f（x）＜6，∴或，∴，∴不等式的解集为；（2）由（1）知，当x≥3时，f（x）的最大值为t=7，∴a+b+2c=t=7．∴==≥=，当且仅当a=b时取等号，∴．解析：（1）将f（x）写为分段函数的形式，根据f（x）＜6，然后分别解不等式即可；（2）由（1）可得a+b+2c=t=7，然后根据=利用基本不等式求出最小值即可得证．本题考查了解绝对值不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年湖南省怀化市煤矿附属学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合，则（）A． B． C．D．参考答案：B本题考查集合的基本运算,一元二次不等式.因为集合,,所以.选B.【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.2. 如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A.｜BM｜是定值B．点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE⊥A1 CD.存在某个位置，使MB//平面A1DE参考答案：C【知识点】平面与平面之间的位置关系．G3解析：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MNB，MN=A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN?NB?cos∠MNB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．【思路点拨】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN?NB?cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．3. 以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的线相切的圆的方程是A. B.C. D.参考答案：4. 在中，若，则面积的最大值为A． B． C．D．参考答案：C略5. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则a的取值范围是（）A. (0,+∞)B.C.(－∞,0)D. (0,1)参考答案：B【分析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于y ＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，作图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为y x，即所求a的取值范围为0，得解．【详解】设g（x）＝﹣f（﹣x），则y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于原点对称，方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，由图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），由f′（x），则y＝lnx的切线为y﹣lnx0（x﹣x0），又此直线过点（0，0），所以lnx0＝1，所以x0＝e，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为y x，即所求a的取值范围为0，故选：B．【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．6. 若的内角所对的边满足，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C7. 若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是( )A . B．C．D．参考答案：C对应的点的坐标是,故选C．8. ．“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C9. 如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．② C．③D．③④参考答案：C略10. 函数,若，则A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．参考答案：1512. 若实数满足约束条件则的所有取值的集合是．参考答案：由约束条件可知，满足条件的点为，所以z可以取得值为故答案为：13. 函数的反函数 .参考答案：略14. 函数的定义域是．参考答案：15. （文）方程的解是_______________参考答案：16. 对于函数，若有六个不同的单调区间，则的取值范围为 .参考答案：（2，3）17. 如图，在△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=2，且DA=DC，AC=2，则∠DCA=参考答案：【分析】设∠DCA=θ，DC=x，根据余弦定理和正弦定理可得cos2θ（2sin2θ﹣1）=0，再解得即可【解答】解：设∠DCA=θ，DC=x，在△ADC中，由余弦定理可得AC2=x2+x2﹣2x2cos（2π﹣2θ），即4=x2（1+cos2θ），∴x2=在△BCD中，∠DCA=π﹣B﹣∠BDC=﹣2θ，由正弦定理可得=，即x==，∴x2=，∴=，∴1+cos2θ=1+2sin2θcos2θ，∴cos2θ（2sin2θ﹣1）=0，∴cos2θ=0或2sin2θ﹣1=0，解得2θ=或2θ=或2θ=∴θ=或θ=或θ=，故答案为：或或三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年湖南省怀化市综合中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为（）A．B．C．D．参考答案：C2.A． B． C．D．参考答案：D3. 已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是( ) A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4参考答案：C【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．4. 已知是等差数列，且，则（）A．14 B.21 C. 28 D. 35参考答案：C略5. 若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则A．3 B．6 C．9 D．18参考答案：B6. 已知双曲线（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：A7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为( )A. B. C. D.参考答案：A【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的正切值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，,设异面直线与所成角为，则，，，异面直线与所成角正切值为，故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8. 若，则A. B．C．D．参考答案：D9. 已知集合，B={0,1,2}，则A∩B=（）A. {0}B. {0,1}C. {0,2}D. {0,1,2}参考答案：C试题分析：集合，所以，故选C.考点：交集的运算，容易题.10.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?U Q)＝()A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知角,构成公差为的等差数列.若，则=__________.参考答案：略12. 若变量x,y满足约束条件则Z=2x-y的最大值为（）A.2B.5C.1D.4参考答案：B略13. 在等比数列{a n}中，a n＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5= ．参考答案：5【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质化简已知等式左边的第一与第三项，再利用完全平方公式变形求出（a3+a5）2的值，根据等比数列的各项都为正数，开方即可求出a3+a5的值．【解答】解：在等比数列{a n} 中，a n＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，即a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，解得：a3+a5 =5．故答案为：5【点评】此题考查了等比数列的性质，以及完全平方公式的应用，根据等比数列的性质得出a32+2a3a5+a52=25是解本题的关键．14. 设半径为2的球面上四点，且满足=,=,=,则的最大值是_______________参考答案：略15. 设的二项展开式中含项的系数为，则_________.参考答案：16. 已知函数若在R上为增函数，则实数的取值范围是 __________．参考答案：略17. 在中，分别为角的对边，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

数 学(文史类）(试卷分值:150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A={0>12|-x x }，B={0 <12|2--x x x }。

若A B ⊆，则 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3< <21|x x B A I B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1< <21|x x B A I C. {}3< <1|x x B A -=YD. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21>|x x B A Y 2.高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙得分的个位数。

则下列结论正确的是 A.甲得分的中位数是78B. 甲得分的平均敢等于乙得分的平均数 C 乙得分的平均数和众数都是75 D.乙得分的方差大于甲得分的方差3.已知复数z 满足i i z 43)1(2-=-，其中i 是虚数单位，则=||zA.225 B.25 C. 25 D.454.从1,2,3.4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为 A.31 B. 41 C. 61 D.1215. 已知R n m ∈,，则“01=-nm”是“0=-n m ”成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知抛物线x y 42=焦点为F ，抛物线上一点P 满足4||=PF ，则△OPF 的面积为 A.1 B. 3 C.2 D. 327. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，广泛用于建筑，榫卯是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，榫卯结构中凸出的部分叫榫 (或叫榫头)。

2020届湖南省怀化市高三下学期4月第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|30A x x x =-?，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|23}x x <≤C ．{|0}x x ≥D ．{|3}x x ≤【答案】A【解析】根据已知条件分别求出集合A 和集合B ，再结合集合的交集定义即可求出答案. 【详解】Q {}{}2|30|03A x x x x x =-?＃，{|lg(2)}{|20}{|2}B x y x x x x x ==-=->=<，{}|02A B x x ∴⋂=≤<，故选：A 【点睛】本题考查了不等式的解法，对数函数的定义域以及集合的交集运算，属于较易题. 2．已知i 是虚数单位，复数112i z i -=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据已知条件对算数112i z i -=-进行化简得到32z i =--，再根据算数的几何意义即可得到答案. 【详解】()111122i i i z i i i -⨯-=-=-⨯Q 2211123122i i i i i -+=-=-=---，∴复数112i z i -=-在复平面内对应的点的坐标为3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算以及算数的几何意义，考查了学生的运算能力，属于容易题. 3．对两个非零向量a →、b →，命题p ：向量a r与向量b r的夹角θ为锐角，命题q ：0a b ⋅>rr ，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据向量数量积的定义cos 0a b a b θ→→→→=⋅⋅>g 即cos 0θ>，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【详解】若向量a r与向量b r的夹角θ为锐角即cos 0θ>， 则cos 0a b a b θ→→→→=⋅⋅>g 成立，即充分性成立；若0a b ⋅>r r 即cos 0a b a b θ→→→→=⋅⋅>g ， 则cos 0θ>当0θ=时，cos 0θ>，但0θ=为锐角不成立，即必要性不成立； 故命题p 是命题q 的充分而不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查了向量数量积的定义以及充分条件、必要条件的判断，属于一般题.4．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2020项，则判断框内可填写的条件是（ ）A ．2018?n ≤B ．2019?n ≤C ．2017?n <D ．2019?n <【答案】B【解析】根据已知条件，执行程序框图，从1n =开始运行，当运行求出2020a 的值，然后对判断框进行判断即可. 【详解】由已知条件：1n n a a n +=+， 可得211a a =+，322a a =+，…122n n a a n --=+-， 11n n a a n -=+-.将以上的式子相加得到：11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L ，①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k N ≤∈时，则输出的1123S k =+++++L ，②综合①②可得若，若要想输出①式的结果，则2019k = 故选：B 【点睛】本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于一般题.5．若,x y 满足0{1x y x x y +≥≥-≥则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1y ≥-B ．2x ≥C ．220x y ++≥D ．210x y -+≥【答案】D【解析】【详解】试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A ，B 错；由线性规划易得的取值范围为，故不成立；在B 处取得最小，故【考点】线性规划 6．以下四个命题中：①函数关系是一种确定性关系；②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法； ③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A 、B 相互独立； ④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N σ，且(5)0.81P ξ≤=，则(31)0.31P ξ-≤<=.以上命题中，真命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】对四个命题一个一个进行判断. 【详解】①函数关系是一种确定性关系，所以①是正确的；②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法， 所以②是正确的；③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A 、B 相互独立，所以③是正确的； ④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N σ，由正态分布定义可知它的图像是关于1x =对称，因为(5)0.81P ξ≤=，则(5)(3)10.810.19P P ξξ>=<-=-=， 所以()11(31)(35)120.190.3122P P ξξ-≤<=-≤≤=-⨯=，所以④是正确的； 故选：D 【点睛】本题考查了对相关关系概念的理解、正态分布的对称性，属于一般题.7．数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （ ） A ．1213B ．41C ．1193D ．2419【答案】A【解析】因为1123n n n a a a +-=+，所以22335333212123,03,3a a q q q q S a a q a q q q =+>∴==++++=Q ，选A. 8．将函数2()2cos 14g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．当x ∈R 时，函数()f x 为奇函数 C ．x π=是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为【答案】C【解析】根据已知条件先用二倍角公式转化()g x ，再利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，求得()f x 的解析式，再利用余弦函数的图像和性质，判断各个选项是否正确. 【详解】将函数2()2cos 1cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度， 纵坐标不变，可得cos 2cos 242y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()cos f x x =， 则函数()f x 的最小正周期221T ππ==，故A 选项错误； 当x ∈R 时，函数()cos f x x =为偶函数，故B 选项错误； 函数()cos f x x =的对称轴为()x k k Z π=∈，故C 选项正确； 函数()cos f x x =在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，故D 选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律以及三角函数的性质和图像，属于一般题.9．关于函数()|1|ln f x x x =--，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 有极小值为0，无极大值C ．()f x 的值域为(1,)-+∞D ．()y f x =的图象关于直线1x =对称【答案】B【解析】先去绝对值得到分段函数，再利用分段函数的单调性来判断选项是否正确. 【详解】()()1ln ,1()1ln 1ln ,01x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨--<<⎪⎩Q ，∴当1x ≥时，1()10'=-≥f x x ，则()f x 单调递增； 当01x <<时，1()10f x x'=--<，则()f x 单调递减；即函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，故A 选项不正确； 当1x =时，函数()f x 有极小值(1)0f =，无极大值，故B 选项正确； 因为函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，则函数()f x 有最小值(1)0f =，即()f x 的值域为[0,)+∞，故C 选项不正确； 因为11113331211ln ln 2,1ln ln 2222222232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+=--=+≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象不关于直线1x =对称，故D 选项不正确；故选：B 【点睛】本题考查了利用导数来求函数的单调性以及极值和值域，属于一般题.10．已知圆22:680C x y x +-+=和两点(,0)A t -，(,0)(0)B t t >，若圆C 上存在点P ，使得0AP BP →→=g ，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(2,4)C ．[1,3]D ．[2,4]【答案】D【解析】由圆的方程可得到圆心坐标以及半径，设(),P a b 在圆C 上，运用向量的加减和数量积运算可得2222t a b OP →=+=，即实数t 的取值就是圆C 上的点到原点的距离的值，即可得到答案. 【详解】圆22:680C x y x +-+=得到()2231x y -+=即圆心()3,0C ，半径1r =，设(),P a b 在圆C 上，则(),AP a t b →=+，(),BP a t b →=-，2220AP BP a t b →→=-+=g 即2222t a b OP →=+=， 所以实数t 的取值就是圆C 上的P 点到原点的距离取值， 且3OC =，1r =，则4,2CO r OC r +=-=， 因此实数t 的取值范围为[]2,4 故选：D. 【点睛】本题考查了数量积的运算以及圆上的动点到定点的距离的最值的求法，属于一般题. 11．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18 B ．24C ．30D ．36【答案】C【解析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-=故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题. 12．若等边ABC V 边长为2，边BC 的高为AD ，将ABD △沿AD 折起，使二面角B ADC --的大小为23π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．26πC ．7πD ．8π【答案】C【解析】根据已知条件知三棱锥A BCD -中有AD BD ⊥，AD CD ⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，确定三棱柱的外接球的球心，再根据已知的边长大小即可求出外接球的半径，从而可求得外接球的表面积. 【详解】由题意可知：三棱锥A BCD -中有AD BD ⊥，AD CD ⊥，则 二面角B AD C --的平面角为BDC ∠即有23BDC π∠=， 三棱锥A BCD -的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，设底面BCD V 的外接圆圆心为E ，半径为r ， 三棱锥A BCD -的外接球球心为O ，半径为R ，则在等腰BCD V 中有：2sin BDr DBC=∠，且1BD CD ==，23BDC π∠=，解得：1r =即BCD V 的外接圆的半径1BE =，因为外接球为三棱柱的外接球，根据对称性可得122OE AD ==， 所以在Rt OBE V 中：22274OB OE BE =+=， 即274R =， 所以四面体ABCD 的外接球的表面积247S R ππ== 故选：C 【点睛】本题考查了学生的空间想象能力，以及外接球的表面积计算，属于较难题.二、填空题13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡应发役________人. 【答案】108【解析】根据分层抽样原理计算出抽样比例，从而求出答案. 【详解】根据分层抽样原理，抽样比例为30030018100748869122250075==++，∴北乡应发役1810010875⨯=（人）故答案为：108 【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题.14．若数列{}n a 的前n 项和221n s n n =+-，则19a a +=________.【答案】21【解析】因为已知了数列{}n a 的前n 项和221n s n n =+-，所以令1n =可得1a ，998a S S =-求得，再求19a a +的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和221n s n n =+-，所以令1n =解得12a =，又因为()()229989291828119a S S =-=+⨯--+⨯-=， 所以1921921a a +=+= 故答案为：21 【点睛】本题考查了已知数列的前n 项和求某一项的值，考查了学生的计算能力，属于较易题.15．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O为坐标原点，2POF V 为正三角形，则C 的离心率为__________．1【解析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因为2POF V 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==， 所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=o，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||PF .因为21||||2PF PF a +=，所以2c a =即1c a ==，所以1e =.1【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.三、双空题16．设函数21()x f x x+=，()x x g x e =，则函数()(0)x x g x x e =>的最大值为_______；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_________. 【答案】1e 121k e ≥- 【解析】利用函数的单调性求出函数()g x 的最大值；利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数()f x 的最小值为2，利用导数的单调性求出()g x 的最大值，再利用最值关系进行求解即可. 【详解】()()0xxg x x e =>Q ， ()21()x xx x x e x e x g x e e '⋅-⋅-'∴==，由()0g x '>可得01x <<，此时函数()g x 为增函数； 由()0g x '<可得1x >，此时函数()g x 为减函数；∴()g x 的最大值为1(1)g e=； 若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立， 则等价为()()121g x kf x k ≤+恒成立，211()2x f x x x x +==+≥=，当且仅当1x x =即1x =时等号成立，即()f x 的最小值为2，且()g x 的最大值为1(1)g e=，则 12()()g x f x 的最大值为1122e e=， 则由112k k e≥+， 得()211k e -≥，即121k e ≥- 故答案为：1e ；121k e ≥- 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最大值、基本不等式求函数的最小值，分离法求参数范围，属于较难题.四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a +b ． （1）求角C 的大小； （2）若△ABC，求ab 的最小值. 【答案】（1）C 23π=；（2）最小值为13【解析】（1）由正弦定理2a b c R sinA sinB sinC===，将2c cos B ＝2a +b 变形为2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C 的值；（2）由△ABC 的面积公式得出c 与a 、b 的关系为c =3ab ，将其代入余弦定理，并通过基本不等式进行变形，可求得ab 的最小值. 【详解】（1）由正弦定理可知：a b csinA sinB sinC===2R ， a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 的外接圆半径， 由2c cos B ＝2a +b ，则2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，可得：2sin B cos C +sin B ＝0， 由0＜B ＜π，sin B ≠0，cos C 12=-，0＜C ＜π，则C 23π=； （2）由S 12=ab sinC =ab =，则c ＝3ab ，又c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2+ab ，由a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，可得：2ab +ab ≤9a 2b 2，即ab 13≥， 则当a ＝b 时，ab 取得的最小值为13． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用是解题关键，属中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面CDP ，M 为线段PD 的中点，且2PA PD ==.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求平面PAC 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)533【解析】(1)连接BD 交AC 于O ，连接OM ，由三角形的中位线得//OM PB ，然后证明//PB 平面ACM ；(2)以P 为原点，以向量,PC PA →→所在直线为,x z 轴，过P 作PC 的垂线为y 轴建立空间直角坐标系（如图），求出相关点的坐标，求出平面MAC 的法向量，设平面PAC 与平面MAC 所成锐二面角为θ，利用向量的数量积求解即可. 【详解】(1)连接BD 交AC 于O ，连接OM ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点， 又因为M 为线段PD 的中点，所以//OM PB ， 因为OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ， 所以//PB 平面ACM ；(2) 以P 为原点，以向量,PC PA →→所在直线为,x z 轴， 过P 作PC 的垂线为y 轴建立空间直角坐标系（如图）则()()0,0,0,0,0,2P A ,因为2PA PD ==，所以22AD CD ==4,3AC PC == 则()23,0,0C ，在PCD V 中：22,2,3CD PD PC ===2326D ⎫⎪⎪⎝⎭，又因为M 为线段PD 的中点，所以36,033M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 设平面MAC 的法向量为()1,,n x y z →=，则11·0·0n AC n CM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 即2320536033x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令2x =，则52=y 23z =， 即(12,52,23n →=，又因为平面PAC 的法向量()20,1,0n →=， 设平面PAC 与平面MAC 所成锐二面角为θ，则1212522533cos 4501266n n n n θ→→→→====++⋅g ，所以平面PAC 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值为3333【点睛】本题考查了线面平行的证明以及利用空间向量的方法求面面角，考查了学生的运算能力，属于较难题.19．若抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，O 是坐标原点，M 为抛物线上的一点，向量FM u u u u r与x 轴正方向的夹角为60°，且OFM △的面积为3. （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 的准线与x 轴交于点A ，点N 在抛物线C 上，求当||||NA NF 取得最大值时，直线AN 的方程.【答案】(1) 24y x =；(2) 1y x =+或1y x =--【解析】(1)先设M 的坐标为(),M x y ，根据向量FM u u u u r与x 轴正方向的夹角为60°，可得出2MF p =，再利用三角形的面积公式可求得p 的值即可求出抛物线C 的方程； (2) 先设N 的坐标为(),N a b ，利用两点间的距离公式分别求出NA ，NF ，再利用基本不等式求出||||NA NF 取得最大值时N 点的坐标，即可求出直线AN 的方程. 【详解】(1))设M 的坐标为(),M x y ，(如图)因为向量FM u u u u r与x 轴正方向的夹角为60°,,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22p MF x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 根据抛物线定义得：2p MF x =+， 即222p p x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得：32p x =即2MF p =， 则211sin 2sin122232034OMF p S OF MF OFM p p ︒==⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V ， 解得：2p =即抛物线C 的方程为：24y x =；(2) 设N 的坐标为(),N a b ，()1,0A -，则NA NF ==因为点N 在抛物线C ：24y x =上，即有：24b a =，所以NA ===，NF ==，因此||||NA NF ==≤===当且仅当1a a=即1a =时等号成立， 此时()1,2N ±，()1,0A -， 所以直线AN 的方程为： 1y x =+或1y x =--【点睛】本题考查了抛物线定义、两点间距离公式以及利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.20．某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗.为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别23、p、1p -，且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的.（1）若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为0.9，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案，方案一：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元；方案二：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？ （2）记ξ为该基地得到三家公司购买合同的个数，若1(0)12P ξ==，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.【答案】(1)方案一：26770元；方案二：25400元；(2)分布列见解析；5()3E ξ= 【解析】(1)用购买银杏树苗的收入减去人工费用和运输费用； (2)先利用1(0)12P ξ==求出p 的值，再根据题意分别求出(1),(2),(3)P P P ξξξ===，再列出分布列并求出数学期望()E ξ.【详解】(1)方案一、每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后， 且每棵树苗当年的成活率都为0.9，基地需提供一年一次， 共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元， 则苗木基地的合同收益为：300903000.1908003000.10.190800160026770⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯--=（元）； 方案二、公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗， 后期的移栽培育工作由公司甲自行负责，则苗木基地的合同收益为：30090160025400⨯-=（元） (2)记ξ为该基地得到三家公司购买合同的个数， 且公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别23、p、1p -， 所以()()()()211(0)111113312P p p p p ξ⎛⎫==-⨯-⨯--=⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 解得：12p =， ξ可取值为0、1、2、3，则 1(0)12P ξ==，2111111114(1)32232232212P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2112111115(2)32232232212P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2112(3)32212P ξ==⨯⨯=，则随机变量ξ的分布列为数学期望1452205()012312121212123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯== 【点睛】本题考查了随机变量ξ的分布列以及数学期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.21．已知函数2()x f x e ax =-，()(ln )g x ax x x =-，其中常数a R ∈. （1）当(0,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若20,2e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且0x >，求证：()()f x g x >.【答案】(1) 24e a <；(2)证明见解析【解析】(1)先分离参数，再利用导数的单调性求函数的最值即可求出实数a 的取值范围； (2)利用分析法，再结合(1)的解答，再利用导数的单调性求函数的最值即可证明； 【详解】(1)由题意得：函数2(0)xf x e ax =->，(0,)x ∈+∞，即2xe a x<，令2()xe h x x =，则()3()2x e x xx h '=-，(0,)x ∈+∞， 所以当2x >时，()32()0x x x x e h '=>-，此时2()xe h x x =为增函数； 当02x <<时，()32()0x x xx e h '=<-，此时2()xe h x x =为减函数； 所以()h x 的最小值为2(2)4e h =即24e a <；(2)令2()()()(ln )ln x x F x f x g x e ax ax x x e ax x -=-=-=--⋅，若()()f x g x >即ln 0x e ax x ⋅>-，则两边同除以2x 得2ln x e a xx x>，令ln ()a xG x x=，即()()h x G x >成立， 因为ln ()a xG x x =，所以()21ln ()a x G x x-'=， 则ln ()a xG x x =在()0,e 上为增函数，在(),e +∞上为减函数， 所以ln ()a x G x x =的最大值为()aG e e=，又因为20,2e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()2a eG e e =≤，而()h x 的最小值为2(2)4e h =，所以()()h x G x >恒成立，即()()()0F x f x g x =->成立， 所以()()f x g x > 【点睛】本题考查了分离变量求参数的范围以及利用导数证明不等式，属于较难题.22．已知曲线1C 的参数方程为：4cos ,3sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），2C 的参数方程为：8cos ,3sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）. （1）化1C 、2C 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若直线l 的极坐标方程为：2sin cos 7ρθρθ-=，曲线1C 上的点P 对应的参数2πα=，曲线2C 上的点Q 对应的参数0β=，求PQ 的中点M 到直线l 的距离.【答案】(1) 1C ：()()22431x y ++-=；2C ：221649x y +=；1C 以圆心为()4,3-，半径为1的圆，2C 以坐标原点为中心，焦点在x 轴的椭圆；【解析】(1)直接利用参数方程组消去参数即可得到它们的普通方程；(2)根据已知条件分别求出P 、Q 两点坐标以及M 点坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为：4cos 3sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），即cos 4sin 3xyαα=--⎧⎨=-⎩，且22sin cos 1αα+=，则 1C ：()()22431x y ++-=；2C 的参数方程为：8cos 3sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数），即cos 8sin 3x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，且22sin cos 1ββ+=，则 2C ：221649x y +=；1C 以圆心为()4,3-，半径为1的圆， 2C 以坐标原点为中心，焦点在x 轴的椭圆；(2)曲线1C 上的点P 对应的参数2πα=，所以()4,4P -，曲线2C 上的点Q 对应的参数0β=， 所以()8,0Q ，所以PQ 的中点M 的坐标为(2,2)M ，因为直线l 的极坐标方程为：2sin cos 7ρθρθ-=， 即直线l 的普通方程为：270x y -+=， 所以PQ 的中点M 到直线l的距离d ==【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程以及点到直线的距离，考查了学生的计算能力，属于较易题.23．已知函数()|||3|f x x a x =-+-.（1）若3a <，且不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （2）如果对任意x ∈R ，()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】(1) 1a =-；(2) 7a ≥或1a ≤-【解析】(1)由含两个绝对值转化为分段函数，再根据已知条件即可求出a 的值；(2)对a 进行3,3,3a a a >=<三种情况进行讨论，即可得出a 的取值范围.【详解】(1)若3a <，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，因为不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以当72x =时，()2345f x x a a =--=-=， 解得：1a =-；(2)①当3a <时，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥，解得：1a ≤-；②当3a =时，()|||3|2|3|f x x a x x =-+-=-，则()f x 的最小值为0，不符合条件，舍去；③当3a >时，()()()23,()33,323,3x a x a f x x a x a x a x a x ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥，解得：7a ≥，综上：a 的取值范围7a ≥或1a ≤-【点睛】本题考查了含两个绝对值的不等式，求含两个绝对值的不等式的最值，属于一般题.。