有理数的意义

第一节有理数的意义月 日 姓 名【知识要点】1．有理数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0)1( （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上右边的数大于左边的数. 3．相反数（1）代数意义：像3与-3这样只有符号不同的两个数，把其中一个叫做另一个的相反数，0的相反数是0.(2)几何意义:在数轴上原点的两旁,并且到原点的距离相等.(3)求一个数的相反数就是在这个数前添一个负号,如a 的相反数是-a . (4)a 与b 互为相反数等价于0=+b a4.绝对值：数轴上,一个数a 所对应的点与原点的距离为该数的绝对值,记作a .任何一个数的绝对值都是非负数，即0≥a ．【典型例题】例1.把下列各数填入它所属的集合.-1、 -2、 0、 +3.4、 32-、 311、 5%、 。

．30-、 -（-4）自然数集：{ }负整数集：{ } 分数集： { } 正数集： { } 整数集： { } 有理数集：{ }例2．用数轴把下列各数表示出来，并用“〈”连接下列各数 -,43 1， 1.7， ,35- -0.04， ,54- 0.01, ,43 0例3．有一座三层楼房不幸起火，一位消防员搭梯子爬往三楼去抢救物品，当他爬到梯子正中间一级时，二楼的窗口喷出火来，他就往下退了三级，等到火过去了，他又爬上了七级；这时顶层有两块砖掉下来，他又退了二级；幸好没有打着他，他又爬上八级，这时他距离最高一层还有一级，问这个梯子有几级？例4．如图在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，求与点C 所表示的最接近的整数.例5．①已知()0342322=++-b b a ，则=a ,=b .②若1999-a 与2000+b 的互为相反数，则()3b a += ．例6. 已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式.)1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab思考：三个互不相等的有理数，既可以表示为1,,a b a +的形式，也可以表示为0,,bb a的形式，试求20082008ab +的值。

有理数单元教学目标1了解有理数的意义。

会用正数与负数表示相反意义的量，会按要求把给出的有理数归类。

2了解数轴、相反数、绝对值的概念。

会画数轴，会用数轴上的点表示整数或分数（以刻度尺为工具），会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。

3掌握有理数大小比较的法则。

会用不等号连接两上或两个以上不同的有理数。

单元教学重点1有理数（特别是负数）和绝对值的意义。

2数形结合的思想方法。

单元教学策略有理数是根据学生熟悉的实际需要，对小学学过的数的进一步护展。

对于本单元的学习，学生已有一定的知识基础和生活体验。

教学时教师应注意避免多讲，要从学生已有的知识和熟知的实例出发，引导学生认真阅读、思考、讨论，形成新的认知结构。

同时还要注意为后面的学习做好准备。

教学手段和方法1引导学生把学过的知识和熟悉的事例与新的学习内容联系起来2指导学生阅读、讨论、练习、总结。

3使用投影仪。

第1、2课时正数与负数一、学习目标1了解正数与负数是由于实际需要而产生的，会初步应用正负数表示实际生活中的有关量。

2了解有理数的概念，会判断一个数是正数还是负数，是整数还是分数。

二、教学过程师：同学们先回顾一下我们在小学学过哪些数（小学六年级就接触了负数）填空1在数物体时，物体的个数用 ___________________________ 示；一个物体也没有，就用_________________________ 示。

2测量和计算有时得不到整数的结果，就要用 ______________________________ 示。

3北京冬季里的一天，白天最高气温比0C高10C，记作10C ;夜晚最低气温比0C低5C，记作_______________________________________ 。

在中国地形图上，珠穆朗玛峰处标着8848,表示不打珠穆朗玛峰比海平面高8848米；叶鲁番盆地处标着-155，表示叶鲁番盆地比海平面低21 2 8848、-155,21师：在黑板上写出11、2、3、0、-5、21、1.5、-1、1.5、2请同学们认真观察教师写出的数，以四个小组为单位，讨论下面的问题1哪些数是我们在小学已经学过的？自然数包括0吗？2哪些数我们还没有学过？试说明它们都是在实际需要中产生的。

课后作业1．如果规定支出120元记作－120元，那么收入200元记作。

2．一种零件的长在图纸上标出为：20±0.01（单位：mm），表示这种零件的长应是20mm，加工要求最大不超过，最小不大于。

3．非负数为和，非正数为和4．在有理数中，是整数而不是正数的是，是负数而不是分数的是．5.下列说法中错误的是（）A 正整数、负整数、零统称为整数B 正分数、负分数统称为分数C 没有最大的有理数D π是有理数6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店在书店东边100米处，小明从书店沿街向东行40米，又向东行－60米，此时小明的位置在（）A 玩具店B 玩具店东－60米C 文具店D 文具店西40米7．在小于正数的整数中，最大的整数是（）A －1B 0C 1D 不存在8．零是（）A 最小的整数B 最小的正数 C最小的有理数 D 偶数9．下列说法中，正确的是（）A 存在最小的有理数B 存在最大的负有理数C存在最小的正有理数 D 存在最大的负整数10．在下列的说法中，正确的是（）A 带“＋”号的数是正数 B.带“－”号的数是负数C自然数都大于零 D.负数一定小于正数二、解答题1．7筐苹果，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，－1，－2，+1，+3，－4，－3．这七筐苹果实际各重多少千克？2．判断正确或错误，分别用“√”或“×”填在各题后面的括号内：（1）零是自然数：（）（2）零是正数；（）（3）零是非负数；（）（4）零是整数；（）（5）零是偶数．（）想一想：正整数中有没有最小的数？ ____ 正整数中有没有最大的数？______ _负整数中有没有最小的数？负整数中有没有最大的数？正数中有没有最大的数？正数中有没有最小的数？负数中有没有最大的数？负数中有没有最小的数？_________________。

有理数剖析1.什么是有理数有理数是整数和分数的统称，除了无限不循环小数以外的数都统称有理数。

它可分为整数和分数，也可分为正有理数，零，负有理数。

有理数是整数和分数的集合，但是一切有理数又都可以化成分数的形式，因为整数也可看做是分母为一的分数。

有理数的小数部分是有限或者无限循环的数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

2.有理数例子以下都是有理数：(1)自然数：数0,1,2,3,……叫做自然数.(2)正整数：+1,+2,+3,……叫做正整数.(3）整数：正整数、0、负整数统称为整数.(4）分数：正分数、负分数统称为分数.(5）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数.如-3,-1,1,5等.所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数.(6）偶数：能被2整除的整数叫做偶数.如-2,2,4,8等.所有的偶数都可用2n表示,n为整数.(7）质数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等.2是最小的质数.(8）合数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等.4是最小的合数.一个合数至少有3个因数.如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.有理数集是实数集的子集,即Q?R.相关的内容见数系的扩张.有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算（0作除数除外）,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0,使 0+a=a+0=a；④乘法的交换律 ab=ba；⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac.0a=0 一个数乘0还等于0.此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是（rational number）,而（rational）通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为（ratio）,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数,π也是其中一个无理数）.。

第一讲 有理数的意义一、 情境引入：有理数最初叫数，古希腊毕达哥拉斯学派主张万物皆数的理论，却也知道勾股定理（直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性）。

可是有人发现当三角形两条直角边都是1时候，斜边不能表示，结果引发了一次恐慌。

学派为了消除恐慌，把发现这个秘密的人投海喂鱼。

可是纸包不住火，无理数最终仍是不可抗拒地随着数学的进步应运而生了。

为了和无理数区别，所以把整数和分数（这里的分数包括小数）统称为有理数，而无穷不循二、课程标准一、借助生活中的实例理解负数，有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数的普遍性；二、会判断一个数是正数仍是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系；3、在负数概念的形成进程中，养成观察，归纳与归纳的能力。

三、知识精讲知识点1：数的形成进程（1）由记数，排序，产生数（2）由表示“没有”、“空位”产生数；（3）由分派，测量产生数（4）问题：生活中如何表示两个具有相反意义的量呢？知识点2：具有相反意义的量（重点）12 3......，，01123，观察下面给出的每一对数量，指出各对数量有什么一路特点？（1）零上和零下 （2）收入元和支出元（3）增加和减少 （4）水位上升和降低归纳总结：像这样别离由具有相反意义的词表示的两个数量，就是具有相反意义的量。

【例1】将下列具有相反意义的量有线连接起来向南走米 失球个进球个 亏损元高于海平面 运出吨粮食盈利元 向北走运进吨粮食 低于海平面方式点拨：先找出叙述的是不是是同一事物，再看其是不是具有相反意义知识点3：正数、、负数的意义（难点）归纳总结：对“”的理解：零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界数，但它是整数；零的意义不仅是表示“没有”，而且表示一个肯定的量，例如不是没有温度，而是表示在标准大气压下纯水结成冰的一个肯定的温度。

【例2】填空（1）若是收入元记作元，那么支出元记作 ，元表示 ；（2）腕表的指针顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作 ， 表示 ；3C ︒3C ︒8005005kg 2kg 0.5m 1.3m 625500960m 200100030m 500300m 000C ︒5050+5080-90︒90-︒60︒0︒（3）海边的一段堤岸高出海平面，周围的一建筑物高出海平面，海里一潜艇在海平下，现以海边堤岸高度为标准，将其记为，那么周围建筑物的高度应表示为 ，潜艇的高度应表示为 。

有理数的意义、数轴、绝对值第一部分：有理数1、正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。

“—”用正数和负数表示相反意义的量Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。

Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。

在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。

2、对“0”的理解：0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。

它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。

3、有理数的概念：整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。

4、有理数的分类：例1：（1）如果把收入50元记做50元，那么下列各数分别表示什么意义？20元 2.5元 -80元 0元（2）如果6摄氏度用6C︒表示，那么零下4摄氏度如何表示？例2：把13121271 2.80734%0.67247--、、、、、、、、、、、、、、-、、分别填在表示正数和负数的圈内。

正数负数巩固练习：1、如果规定向南走为正，那么﹣100米表示向________走100米。

2、某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）：由上表知，星期一收盘时，每股价格是元，星期四收盘时，每股价格是元。

3、下列说法正确的是（）A.一个有理数不是正数就是负数B.一个有理数不是正数就是分数C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数）D.以上说法都正确4、把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }；（4）非负整数集：{ }5、下列判断正确的是( )A.所有的整数都是正数B.正整数，负整数统称为整数C.分数一定是有理数D.有理数包括小数和整数6、某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）Ａ.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃第二部分：数轴的再认识与相反数1、数轴的再认识（1）数轴的三要素：原点、正方向、长度单位。

有理数的意义及运算有理数是数学中一个重要的概念，是在数轴上广泛应用的基本数类之一。

它们不只是简单的数字，还在我们生活的方方面面扮演着重要角色。

从日常的购物算账到工程设计，有理数都显得尤为重要。

有理数的定义是非常明确的。

一个数如果可以表示为两个整数之比（即在形式上为a/b，a和b是整数且b不为零），那么这个数就属于有理数的范畴。

比如，3（可以写成3/1）、-1/2、0都是有理数。

而平方根2、π等则不属于有理数，因为它们无法用整数字表示。

在我们的学习中，对有理数的理解不仅限于其定义。

还需掌握它们的性质和运算。

有理数的集合不仅包括正数和负数，还涵盖了零。

在数轴上，有理数通过分数和小数的方式表现出来，令其在实际问题中更易于使用。

有理数自身具备几个重要的性质。

有理数是稠密的，这意味着在任意两个有理数之间，总是可以找到另一个有理数。

例如，在1和2之间，有1.5、1.25等；在-1和0之间，有-0.5、-0.75等。

这一性质使得有理数能够精准地表示一些功能的变化，尤其在科学和工程中，需对数据进行细致分析时，这一优势极为显著。

在我们实际应用有理数时，运算是不可或缺的一环。

加法、减法、乘法和除法四种基本的数学运算是处理有理数的主要方式。

对于两个有理数进行加法运算，首先需要找到共同的分母，然后再合并分子。

而减法运算与加法类似，通常也是需要统一分母后再进行操作。

乘法和除法相对简单，直接将分子乘以分子，分母乘以分母。

值得注意的是，当进行除法运算时，除数不能为零，因为零在数学中是无法作为分母的。

运算过程中的简化同样重要。

比如，当我们有一项表达式，例如(3/4)+(1/2)，要想简化成一个更直接的形式，需要把1/2转换成相同的分母。

1/2可以写成2/4，如此一来，两者相加后的结果就是5/4。

类似地，在减法和乘法时，简化步骤能够提高计算速度并减少错误。

当面对负数时，计算的过程同样适用。

有理数的负数与正数在运算中同样可以灵活应用。

数学中各种数的意义数学是一门研究数量、结构、变化和空间的学科，涉及到各种数的概念和意义。

在数学中，不同种类的数具有不同的数学意义，本文将对整数、有理数、无理数、实数和复数这五种数的意义进行论述。

整数是最基本的数，它包括正整数、负整数和零。

整数的数学意义在于表示计数和排序。

正整数用于计算和表示物体的数量，例如1个苹果、2个橘子等；负整数用于表示欠债或亏损的数量，例如-3美元、-5公斤等；零则表示没有数量或不存在的数量。

整数在数学中广泛运用于代数运算、数论、组合数学等多个领域。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。

有理数的数学意义在于表示精确的比例关系，它用于测量、计算和表示分数数量。

有理数在分数运算、方程求解、概率统计等领域中发挥重要作用。

同时，有理数的运算规则和性质也是数学中的重要基础。

无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的十进制表示是无限不循环小数。

无理数的数学意义在于表示那些无法精确表示为有理数的量。

最著名的无理数是圆周率π和自然对数的底数e，它们在几何、分析和物理学中具有广泛的应用。

无理数的研究涉及到数学分析中的极限理论和数值计算方法。

实数是整数、有理数和无理数的总称，它包括所有可以在数轴上表示的数。

实数的数学意义在于表示连续和无缝的数量。

实数广泛运用于微积分、函数分析、数学物理等领域，它是现代数学的基础之一。

实数的特性包括有序性、完备性和稠密性，这些性质使得实数具有丰富的数学结构和性质。

复数是由实数和虚数部分组成的数，虚数部分以字母i表示。

复数的数学意义在于表示平面上的点或向量，它在代数、几何和电磁学等领域中广泛使用。

复数的运算规则和性质由复数代数定义，它们包括加法、减法、乘法和除法等运算。

复数具有特殊的性质，例如共轭、模长和辐角等，这些性质使得复数具有广泛的应用和研究价值。

综上所述，数学中的整数、有理数、无理数、实数和复数分别表示了数量、比例、近似、连续以及平面上的点或向量等概念。

第5章第1讲：有理数的意义在以前的学习中，我们已经学习了整数、分数、正数、负数等一些知识。

这节课我们再学习一个新的知识：有理数。

那么什么是有理数呢？有理数：整数和分数，统称有理数。

这是从分类上对有理数的定义，也就是说整数和分数这两类数共同组成了有理数，即：有理数分数整数所以，凡是属于整数和分数的数，都是有理数。

我们知道整数有正负之分，可以分为正整数、负整数和零。

同样分数也有正负之分，可分为正分数和负分数。

所以我们还可以对有理数按照正负进一步细分，主要有以下两种分法：有理数负分数正分数分数负整数正整数整数0这样，我们对有理数又进行了具体分类，在判断时就更加方便。

例题：将下列各数分别写在相应的横线上。

1，—3，0，21，43 ，213，52 ，6正整数：_________________________________；负整数：_________________________________；正分数：_________________________________；负分数：_________________________________；整数：___________________________________；分数：___________________________________；►习题：将下列各数分别写在相应的横线上。

1.352132.0,0,6961217,38 ，，，，，整数：_________________________________；分数：_________________________________；正数：_________________________________；负数：_________________________________；有理数：_______________________________；正整数负分数负整数正分数负有理数正有理数数有理数在有理数中，我们提到了正整数、正分数，它们都是正数；我们还提到了负整数、负分数，它们都是负数。