3.2.1立体几何中的向量方法教学设计

立体几何中的向量方法教案向量方法是立体几何中的重要工具，通过引入向量的概念和定理，可以简化很多几何问题的求解过程，提高解题效率。

在立体几何中，向量方法可以用来解决线段、平面、立体体积等多个问题。

一、向量的基本概念1. 向量与点的关系：点A到点B的位移可以表示为向量AB，也可以表示为从原点O出发到点B的位移向量。

2. 向量的大小与方向：向量的大小表示为向量的模，一个向量可以有无数个方向，但是它们都具有相同的模。

3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量之和的大小等于平行四边形的对角线的大小。

4. 向量的减法：向量的减法可以通过取其相反向量后进行加法运算来实现。

二、向量的表示法1. 坐标表示法：向量可以通过坐标表示法来表示，一个向量AB可以表示为(ABx, ABy, ABz)，其中ABx为x轴上的位移，ABy为y轴上的位移，ABz为z轴上的位移。

2. 特殊向量表示法：单位向量是模为1的向量，零向量的大小为0，方向可以是任意的。

与坐标轴平行的向量分别称为与x轴平行的单位向量i，与y轴平行的单位向量j，与z轴平行的单位向量k。

3. 共线向量与平行向量：如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是共线向量；如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

三、向量的运算1. 数乘：将一个向量与一个实数相乘，结果是一个与原向量方向相同（反向相反）的向量，且大小为原向量的大小乘以这个实数。

2. 内积：内积也叫点乘，两个向量的内积表示为A·B，结果是一个实数，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的余弦值。

3. 外积：外积也叫叉乘，两个向量的外积表示为A×B，结果是一个向量，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量所在平面，遵循右手法则。

四、运用向量方法求解几何问题1. 线段的中点：设直线L上有两个点A和B，求直线L上距离点A和点B的距离相等的点P。

立体几何中的向量方法教案教案名称：立体几何中的向量方法教学目标：1. 理解向量的基本概念和性质；2. 掌握向量的加法、数量积、向量积的运算规则；3. 能够运用向量方法解决立体几何中的问题；4. 培养学生的空间想象力和几何推理能力。

教学重点：1. 向量的基本概念和性质；2. 向量的运算规则；3. 应用向量方法解决立体几何中的问题。

教学难点：1. 向量的数量积和向量积的几何意义；2. 运用向量方法解决复杂的立体几何问题。

教学准备：1. 教师准备：PPT、教案、实物模型；2. 学生准备：纸笔、计算器。

教学过程：Step 1：导入活动（5分钟）教师引导学生思考：在立体几何中，我们遇到过哪些问题？如何求解这些问题？通过几何方法还是代数方法？本节课我们将学习如何运用向量方法解决立体几何中的问题。

Step 2：向量的基本概念和性质（15分钟）1. 向量的定义：有大小和方向的量称为向量。

2. 向量的表示：以有向线段或坐标表示。

3. 向量的性质：平行向量、共线向量、零向量等。

Step 3：向量的加法和数量积（20分钟）1. 向量的加法：向量相加满足三角形法则。

2. 向量的数量积：定义、运算规则和几何意义。

Step 4：向量积（20分钟）1. 向量积的定义和性质；2. 向量积的计算方法；3. 向量积的几何意义。

Step 5：应用向量方法解决立体几何问题（30分钟）1. 利用向量求线段长度、夹角、平行四边形面积等问题；2. 利用向量方法求点、直线、平面的位置关系和距离等问题；3. 利用向量方法解决棱柱、棱锥等多面体的体积、表面积等问题。

Step 6：练习与讨论（15分钟）教师出示一些立体几何问题，学生结合向量方法进行解答，并进行讨论。

Step 7：总结与作业布置（10分钟）教师总结本节课的重点内容，并布置相关的作业练习。

教学课件：1. 向量的基本概念和性质；2. 向量的加法和数量积的运算规则；3. 向量积的定义和计算方法；4. 应用向量方法解决立体几何问题的例题。

立体几何中的向量方法（第二课时）备课人： 授课时间：【教学目标】１、知识与技能：1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系3．能够运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。

２、过程与方法：1.让学生经历将点、线、面的位置关系转化为空间向量的关系的过程，体会转化、化归 思想2.让学生经历将直线、平面的夹角及距离问题转化为直线的方向向量与平面的法向量 问题的过程，体会转化、化归思想3.让学生经历利用向量的坐标将几何问题代数化的过程； ３、情感、态度与价值观：通过空间向量在立体几何中的的应用，感受数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。

【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．【教学过程】一、复习引入前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。

这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。

为此，首先简单回顾一下用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（化为向量问题）；2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）；3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）。

二、新课讲解1.空间两点之间的距离教学过程：例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 学情预设：请学生根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式2a a = 或 222z y x a ++= (其中 ()z y x a ,,= ） 将两点距离问题转化为求向量模长问题，进而求解思考： （1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么由这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1 B1 D1 A BCD图1（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）学情预设：（1）是与本题类似的问题，学生很容易给出答案，（2）是本例的逆向问题，学生可拓展本题的思路，给出答案，（3）是比本例更复杂的问题，给学生一定的思考时间，由教师适时点拨，引导学生将求两个平行平面的距离，归结为求两点间的距离 2.点面距 【教学过程】P 是平面α外的一个点，PO ⊥平面α，垂足为O ，则点P 到平面α的距离就是线段PO 的长度。

立体几何中的向量方法【教学目标】1. 向量运算在几何证明与计算中的应用；2. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。

【导入新课】 复习引入1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a ba b⋅⋅，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题。

新授课阶段例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥。

证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －。

∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =。

∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D间的距离。

解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥。

由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD )＝22222cos120b a b b +++＝22a b +。

3.1.2立体几何中的向量方法(第一课时)教学设计1．共线向量定理2．共面向量定理1、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点A 和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和一个定方向,能确定一个平面在空间的位置吗？三 形成概念，学习新知1 点的位置向量2 直线的向量方程3平面的法向量给定一点A 和一个向量→n ，那么过点A ，以向量→n 为法向量的平面是完全确定的 几点注意：（1）法向量一定是非零向量；（2）一个平面的所有法向量都互相平行；（3）向量 →n 是平面的法向量，向量→m 是与平面平行或在平面内，则有0=⋅→→m n ． 例1 ),1,2,2(=→AB )3,5,4(=→AC ,求平面ABC 的法向量4平面法向量的求法（1）设出平面的法向量),,(z y x n =→（2）找出（求出）平面内两个不共线向量的坐标，),,(111z y x a =→，),,(222z y x b =→ （3）根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0b n a n（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量变式训练 已知平面α经过三点)0,2,3(),1,0,2(),3,2,1(--C B A ,5空间中平行关系的向量表示设直线m l , 的方向向量分别是→a ，→b ，平面 α,β的法向量分别是→→v u ,线线平行线面平行面面平行6空间中垂直关系的向量表示设直线m l , 的方向向量分别是→a ，→b ，平面 α,β的法向量分别是→→v u ,线线垂直线面垂直面面垂直例2.四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2,E是PC 的中点，求证：PA//平面EDB例3四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2, E 是PC 的中点，作 PB EF ⊥交PB 于点F 求证：PB ⊥平面EFD四巩固练习练习1.设→a ，→b 分别是直线21,l l 的方向向量，根据下列条件判断直线21,l l 的位置关系（1）);6,3,6(),2,1,2(--=--=→→b a（2）);2,3,2(),2,2,1(-=-=→→b a （3）);3,0,0(),1,0,0(-==→→b a2.设→→v u ,分别是平面 α,β的法向量，根据下列条件判断平面 α,β的位置关系：（1）);4,4,6(),5,2,2(-=-=→→v u（2）);4,2,-2(),-2,2,1(-==→→v u（3）);4-,1,-3(),5,-3,2(==→→v u五课堂小结:用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算的结果翻译成相应的几何意义六备用练习证明定理1 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行2 一条直线和平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面垂直。

立体几何中的向量方法教案第一章：向量基础知识回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（箭头表示法和平面向量表示法）。

通过实例讲解向量的长度和方向。

1.2 向量的运算向量的加法、减法和数乘运算规则。

利用图形和实例演示向量加法、减法和数乘的运算过程。

1.3 向量的坐标表示二维和三维空间中的向量坐标表示方法。

利用坐标轴上的点表示向量的起点和终点，推导向量的坐标表示。

第二章：向量在立体几何中的应用2.1 向量在空间解析几何中的应用利用向量表示空间中的点、直线和平面。

讲解如何利用向量求解空间中的距离、角度和夹角。

2.2 向量与空间几何图形的关系向量与线段、射线、直线的关系。

利用向量研究空间中点、线、面的位置关系和相互转化。

2.3 向量与空间角的计算利用向量计算空间中的角度和夹角。

讲解向量点积和向量叉积的概念，并应用于空间角的计算。

第三章：向量在立体几何中的线性方程组3.1 向量线性方程组的定义和性质介绍向量线性方程组的概念和基本性质。

讲解向量线性方程组的解的存在性和唯一性。

3.2 向量线性方程组的求解方法利用高斯消元法求解向量线性方程组。

利用矩阵和行列式的方法求解向量线性方程组。

3.3 向量线性方程组在立体几何中的应用利用向量线性方程组求解空间中的点、直线和平面的位置关系。

讲解向量线性方程组在立体几何问题中的应用实例。

第四章：向量在立体几何中的几何意义4.1 向量的模和长度向量的模和长度的定义及性质。

利用向量的模和长度研究立体几何图形的大小和形状。

4.2 向量的方向和角度向量的方向和角度的定义及性质。

利用向量的方向和角度研究立体几何图形的位置关系和角度大小。

4.3 向量的夹角和向量积向量的夹角的定义及性质。

利用向量积研究立体几何图形之间的相互关系和角度大小。

第五章：向量在立体几何中的综合应用5.1 向量在立体几何中的举例应用利用向量解决立体几何中的距离和角度问题。

利用向量求解空间中的点、直线和平面的位置关系。

3.2 立体几何中的向量方法（一）一、教学目标：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系。

二、教学重点、难点：重点：利用平面的法向量、直线的方向向量，判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。

难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。

三、教学过程：师：在第三章的第一节，我们学习了空间向量及其运算。

现在大家回忆一下学案上的三个问题。

生：填写学案上复习回顾的内容，温故知新。

1.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量；2.共线向量定理:对于空间中任意两个向量（ ），//的充要条件是存在实数。

3.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使。

师：提问三个同学。

师：前面，我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些立体几何问题，这节课，我们进一步学习立体几何中的向量方法（引出课题并板书）。

师：立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。

一、用向量表示空间中的点、直线和平面的位置师：在空间中，给定一个参照点O(基点)，你能确定空间中任意一个点P的相对位置吗？生：思考后回答。

师：O P OP OP P 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。

我们把向量称为点的位置向量。

师：在空间中，给定直线上的一个点A 和一个定方向（向量），你能确定这条直线在空间中的位置吗？生：思考后回答。

师：以及一个定方向确定。

一个定点上的位置可以由空间中任意一条直线A l l师：给定平面上的一个点O 和两个定方向（向量），你能确定这个平面在空间的位置吗？生：思考后回答。

师：空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。

师：给定平面上的一个点A 和平面的一个定方向（向量），你能确定这个平面在空间的位置吗？生：思考后回答。

立体几何中的向量方法教案教案标题：立体几何中的向量方法教案教案目标：1. 了解立体几何中的向量概念和基本性质。

2. 掌握运用向量方法解决立体几何问题的技巧和方法。

3. 培养学生的空间思维和几何推理能力。

教学重点：1. 向量的定义和性质。

2. 向量在立体几何中的应用。

3. 向量运算在解决立体几何问题中的作用。

教学难点：1. 运用向量方法解决立体几何问题。

2. 空间几何推理能力的培养。

教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算机、几何软件等。

2. 学生准备：教材、笔记本、几何工具等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些立体几何图形，引起学生的兴趣。

2. 提问：你们对立体几何中的向量有什么了解？二、知识讲解（15分钟）1. 向量的定义和性质：a. 向量的表示方法。

b. 向量的加法和减法。

c. 向量的数量积和向量积。

2. 向量在立体几何中的应用：a. 向量的方向和模长在立体几何中的意义。

b. 利用向量表示线段、向量共线和垂直关系。

c. 利用向量表示平面和平行关系。

三、示例分析（20分钟）1. 结合具体的立体几何问题，演示如何运用向量方法解决问题。

2. 引导学生参与讨论，分析解题思路和方法。

四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 针对难点问题进行讲解和解答。

五、拓展应用（10分钟）1. 提供一些立体几何的拓展问题，要求学生运用向量方法解决。

2. 引导学生思考如何将向量方法应用到实际问题中。

六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课所学的立体几何中的向量方法。

2. 学生分享对本节课的收获和感想。

教学延伸：1. 引导学生自主学习更多立体几何中的向量应用。

2. 布置作业，要求学生运用向量方法解决相关问题。

教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和问题解决能力。

2. 批改学生的练习题和作业，评价他们的掌握程度。

教学资源：1. 教材：立体几何教材。

2. 投影仪、计算机、几何软件等。