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<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
圆与抛物线准线相切公式
在抛物线和圆的关系中，当圆以抛物线的焦点弦为直径，并且该圆与抛物线的准线相切时，存在一些特定的公式和性质。
假设抛物线的方程为y² = 2px（其中p > 0），焦点弦的端点为A和B，其中点为M，且M到准线的距离为d。
1.根据抛物线的定义，P到准线的距离d1等于PF，Q到准线的距离d2等于QF。
而M作为PQ的中点，其到准线的距离d是梯形的中位线，所以d = (PF + QF) / 2 = PQ / 2。
2.这意味着圆心M到准线的距离等于半径PQ / 2。
因此，以焦点弦PQ为直径的圆与抛物线的准线是相切的。
3.进一步的，如果抛物线的准线是x = -p/2，那么圆心到准线的距离等于半径。
例如，如果圆心坐标是(3,0)，半
径是4，那么3 + p/2 = 4，从而得出p = 2。
这些公式和性质提供了在抛物线和圆之间建立关系的
方法，尤其是在确定圆与抛物线准线相切的情况下。
关于圆、抛物线、三角形的一个相关性质文［１］介绍了关于圆、椭圆、三角形的一个有趣性质，受文［１］［2］［3］的启发，笔者获得了关于圆、抛物线、三角形的一个类似性质．定理过抛物线x2=2py（p＞0）上的点a向圆x2+（y-4p）2=（2p）2引两条切线ab、ac，交抛物线于b、c，则直线bc也是此圆的切线．证明如图１，设a、b、c的坐标依次为（xi，yi）（i=1，2，3），其中xi2=2pyi．则直线ab的方程为：（x2-x1）（y-y1）-（y2-y1）（x-x1）=0，而x1≠x2（因为a与b不相同），故上式可化简为：（x1+x2）x-2py-x1x2=0.又直线ab与圆x2+（y-4p）2=（2p）2相切，故：■=2p，平方整理得：（4p2-x12）x22-8p2x1x2+4p2x12-48p4=0.考虑到直线bc与点a的关联性，我们将上式整理为：4px1·x2-（4p2-x12）y2+24p3-2px12=0. （1）同理，由直线ac与已知圆相切得：4px1·x3-（4p2-x12）y3+24p3-2px12=0. （2）（1）（2）表明点b、c的坐标满足如下的直线方程：4px1·x-（4p2-x12）y+24p3-2px12=0. （3）由于两点决定一条直线，故方程（3）即为直线bc的方程．于是，圆心（0，4p）到直线bc的距离：d=■=■=2p.所以，直线bc也是圆的切线．证毕．在定理中用■、■分别替换两个方程中的x、y，并注意到此类变换不会改变直线和曲线的位置关系，可得：推论过抛物线x2=■y（a、b为不等正数）上的点向椭圆■+■=1引两条切线ab、ac，交抛物线于b、c，则bc也是此椭圆的线．困惑文［１］及本文所涉及的椭圆、抛物线的性质，在双曲线中是否也有类似结论呢？望同行赐教．参考文献：［１］张勇赴.关于圆、椭圆、三角形的一个相关性质．数学通讯，2006（23）．［2］夏长海，邢友宝．圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广．数学通讯，2007（11）．［3］梁开华．解数学题的分步进行．数学通报，2007（10）．（作者单位湖北省谷城县职教中心）。
抛物线与圆的关系
抛物线与圆是数学中常见的几何形状，它们之间存在一些有趣的关系。
1. 抛物线与圆的相交
首先，抛物线和圆可以相交或不相交，这取决于它们的位置和形状。
当抛物线与圆相交时，它们在某个点上有公共的切线。
这个切线的切点就是抛物线和圆的交点。
2. 切线与法线
对于一个给定的抛物线和圆的交点，我们可以通过构造切线和法线来研究它们的关系。
切线是通过交点且与抛物线或圆的曲线相切的直线，而法线是与切线垂直的线。
3. 切线数量
抛物线和圆的交点数量取决于它们的位置和形状。
当抛物线完
全包含在圆内部时，抛物线与圆有两个交点，且有两条切线。
当抛
物线与圆相切于一点时，有一条切线。
而当抛物线与圆不相交时，
没有交点和切线。
4. 交点的对称性
当抛物线与圆的交点存在时，它们通常具有一种对称性。
具体
来说，对于某个交点，如果我们将其关于圆心镜像，得到的点也是
交点。
这是由于抛物线和圆具有对称性的特点。
5. 曲率
最后，我们可以比较抛物线和圆的曲率。
曲率是曲线在某一点
上的弯曲程度。
在抛物线的顶点处，曲率比在其他地方更大。
而在
圆的任意一点，曲率都相等且始终为其半径的倒数。
综上所述，抛物线和圆之间存在一些有趣的关系。
它们的位置、形状、切线和交点数量都会影响它们之间的关系。
通过研究这些关系，我们可以更深入地理解这两个几何形状的性质和相互关系。
抛物线到圆的最短距离公式抛物线到圆的最短距离公式是一个非常有用的数学公式，它可以帮助我们计算出抛物线与圆之间的最短距离。
在本文中，我们将详细介绍这个公式的含义、应用和计算方法。
让我们来了解一下什么是抛物线和圆。
抛物线是一种二次曲线，它的形状像一个开口朝上或朝下的弧形。
圆是一种特殊的椭圆，它的所有点到圆心的距离都相等。
当我们需要计算抛物线与圆之间的最短距离时，可以使用以下公式：d = |a * x^2 + b * x + c - r|其中，d表示抛物线与圆之间的最短距离，a、b、c分别是抛物线的系数，x是抛物线上的点的横坐标，r是圆的半径。
这个公式的计算方法比较简单，我们只需要将抛物线的系数、点的横坐标和圆的半径代入公式中，就可以得到抛物线与圆之间的最短距离。
例如，假设我们有一个抛物线y = x^2和一个圆x^2 + y^2 = 1，我们需要计算抛物线与圆之间的最短距离。
首先，我们需要将抛物线的系数代入公式中，得到d = |x^2 - r|。
然后，我们需要找到抛物线上与圆相交的点，这个点的横坐标可以通过将圆的方程代入抛物线的方程中解得。
最后，将这个点的横坐标代入公式中，就可以得到抛物线与圆之间的最短距离。
抛物线到圆的最短距离公式在实际应用中非常有用。
例如，在工程设计中，我们经常需要计算物体之间的距离，而抛物线与圆之间的最短距离公式可以帮助我们快速准确地计算出这个距离。
此外，在数学研究中，抛物线到圆的最短距离公式也有着广泛的应用，可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。
抛物线到圆的最短距离公式是一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们计算出抛物线与圆之间的最短距离。
在实际应用中，我们可以根据这个公式快速准确地计算出物体之间的距离，从而为工程设计和数学研究提供有力的支持。
圆与抛物线相切问题圆与抛物线相切是一个经典的几何问题，涉及到圆和抛物线的性质以及它们相切的条件。
首先，我们来看一下圆和抛物线的基本性质。
圆是一个闭合的曲线，所有点到圆心的距离都相等。
圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径。
抛物线是一种二次曲线，其图像呈现出类似抛物体运动的形状。
抛物线的一般方程是y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数且a不等于0。
抛物线开口的方向取决于a的正负。
当圆与抛物线相切时，它们满足以下几个条件：1. 相切点处的切线相切于圆和抛物线，且切线垂直于相切点处的切线。
2. 相切点处的切线是圆和抛物线的公共切线。
为了找到圆与抛物线的相切点，我们需要解决一个联立方程组。
假设圆的方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，抛物线的方程是y =ax² + bx + c。
我们可以通过联立这两个方程组成的方程组，解出相切点的坐标。
另外，我们还可以利用切线的性质来解决这个问题。
在相切点处，圆和抛物线的切线斜率相等。
我们可以求出圆和抛物线在相切点处的切线方程，然后比较它们的斜率是否相等来判断它们是否相切。
总之，圆与抛物线相切是一个涉及到几何、代数和微积分知识的问题，需要综合运用这些知识来解决。
通过分析圆和抛物线的性质，以及切线的性质，我们可以找到它们相切的条件和相切点的坐标。
希望这个回答能够帮助你更好地理解圆与抛物线相切的问题。
抛物线与圆【例1】抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ,(0,3)C -， ⑴求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⑶平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以M N 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．【例2】已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx-4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点。
⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B 是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠P O A O B A =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
【例1】解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2，得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴12=-ab ．将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是322--=x x y ．（2）A C 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线A C 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-． （3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为1x =，∴ 212=+x x ． .(2)由（1）、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)整理得： 42-=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042=--r r ，解得，21711+=r ， 21712-=r （舍去），当0<y 时，042=-+r r ，解得，21711+-=r ， 21712--=r （舍去）．所以圆的半径是2171+或2171+-．【例2】解：（1）解法一：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线c bx ax y ++=2经过O 、A 两点04160=+=∴b a c ，a b 4-=∴ 解法二：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为（4，0）∵抛物线y axbx c =++2经过O 、A 两点 ∴抛物线的对称轴为直线x =2∴=-=x b a22（2）解：由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y ax ax =-24∴点D 的坐标为（24，-a ）①当a >0时， 如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA⌒，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA⌒，显然OnA ⌒所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D 也关于x 轴对称∵点O 在⊙D'上，且OD 与⊙D'相切 ∴点O 为切点∴D'O ⊥OD ∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45°∴△ADO 为等腰直角三角形∴=OD 22∴点D 的纵坐标为-2242124-=-==∴-=-∴a b a a ， ∴抛物线的解析式为x x y 2212-=②当a <0时，同理可得：22=OD 抛物线的解析式为x x y 2212+-=综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =-1222或x x y 2212+-=（3）解答：抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得OBA POA ∠∠34=设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①当点P 在抛物线y x x =-1222上时（如图2） ∵点B 是⊙D 的优弧上的一点 ∴==︒∠∠O B A A D O 1245︒==∴6034OBA POA ∠∠ 过点P 作PE ⊥x 轴于点 Exy xy OEEP POE 360tan tan =∴︒=∴=∴∠ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x x y xy 22132解得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+=+=003463242211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()346324++， ②当点P 在抛物线y x x =-+1222上时（如图3） 同理可得，y x =3 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==xx y xy 22132解得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=003463242211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()346324+--， 综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为 ()346324++，或()346324+--，。
抛物线和圆的关系
抛物线和圆有着密切的关系。
实际上，抛物线可以看作是一个圆锥的切割。
当一个平面与一个圆锥相交时，如果该平面的倾斜角与圆锥轴线相等，那么截得的曲线就是一个抛物线。
因此，抛物线的形状也具有圆锥的特点。
另外，抛物线和圆也有着相似之处。
当一个圆的直径和一条切线垂直时，切点到圆心的距离和切线长度相等。
同样地，当一条切线与抛物线相交时，交点到抛物线焦点的距离和切线长度也相等。
这个性质被称为抛物线的切线性质，与圆的切线性质相似。
在物理学中，抛物线也经常用于描述物体的运动轨迹。
例如，投掷物体时，如果不考虑阻力和重力等影响，运动轨迹就是一个抛物线。
而圆则可以用于描述周期性的运动，例如地球绕着太阳的运动等。
因此，抛物线和圆的关系不仅仅局限于几何形状，还包括数学、物理等多个领域。
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专题：抛物线与圆综合探究题例1、抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ,(0,3)C -， ⑴求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⑶平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2，得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴12=-ab．将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是322--=x x y ．（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-． （3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为1x =，∴212=+x x ． .(2)由（1）、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)整理得： 42-=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042=--r r ，解得，21711+=r ， 21712-=r （舍去），当0<y 时，042=-+r r ，解得，21711+-=r ， 21712--=r （舍去）．所以圆的半径是2171+或2171+-．例2、已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx-4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点。
⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B 是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠P O A O B A =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为（4，0）∵抛物线c bx ax y ++=2经过O 、A 两点04160=+=∴b a c ，a b 4-=∴（2）解：由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y ax ax =-24∴点D 的坐标为（24，-a ） ①当a >0时， 如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA ⌒，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA ⌒，显然OnA⌒所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D 也关于x 轴对称∵点O 在⊙D'上，且OD 与⊙D'相切 ∴点O 为切点∴D'O ⊥OD ∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45°∴△ADO 为等腰直角三角形∴=OD 22∴点D 的纵坐标为-2242124-=-==∴-=-∴a b a a ， ∴抛物线的解析式为x x y 2212-= ②当a <0时， 同理可得：22=OD 抛物线的解析式为x x y 2212+-= 综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =-1222或x x y 2212+-=（3）解答：抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得OBA POA ∠∠34= 设点P的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①当点P 在抛物线y x x =-1222上时（如图2） ∵点B 是⊙D 的优弧上的一点 ∴==︒∠∠O B A A D O 1245 ︒==∴6034OBA POA ∠∠ 过点P 作PE ⊥x 轴于点 Exy xyOEEP POE 360tan tan =∴︒=∴=∴∠ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x x y x y 22132得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+=+=03463242211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()346324++， ②当点P 在抛物线y x x =-+1222上时（如图3） 同理可得，y x =3 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==xx y xy 22132解得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=003463242211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()346324+--， 综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为 ()346324++，或()346324+--，例3、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，。
⑴求圆心的坐标；⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y的图象上，求抛物线的解析式；⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上；⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。
解：（1）∵⊙C经过原点O，∴AB为⊙C的直径。
∴C为AB的中点。
过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝12OBOH＝12OA＝1。
∴圆心C的坐标为（1，。
（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。
∵抛物线的顶点在直线y上，∴顶点坐标为（1，）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得420ca b ca b c⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩解得abc⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为233y x x=-。
（3）∵OA＝2，OB＝4AB==.即⊙C的半径r＝2。
∴D（3，，E（－1233y x x=-检验，知点D、E均在抛物线上（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。
∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。
例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。
⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；⑵若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由抛物线的顶点是M （1，4），设解析式为2y a x 1 4 a 0＝（－）＋（＜）又抛物线经过点N （2，3），所以23a 214＝（－）＋ 解得a ＝－1 所以所求抛物线的解析式为y＝22x 14x 2x 3.－（－）＋＝－＋＋令y ＝0，得2x 2x 30－＋＋＝，解得：12x 1 x 3.＝－，＝得A（－1，0） B （3，0） ；令x ＝0，得y ＝3，所以 C （0，3）.（2）直线y=kx+t 经过C 、M 两点，所以t 3k t 4⎧⎨⎩＝＋＝即k ＝1，t ＝3 直线解析式为y＝x ＋3. 令y ＝0，得x ＝－3，故D （－3，0） CD＝连接AN ，过N 做x 轴的垂线，垂足为F. 设过A 、N 两点的直线的解析式为y ＝mx ＋n ， 则m n 02m n 3⎧⎨⎩－＋＝＋＝解得m＝1，n ＝1 所以过A 、N 两点的直线的解析式为y ＝x ＋1 所以DC ∥AN. 在Rt △ANF 中，AN ＝3，NF ＝3，所以AN＝所以DC ＝AN 。
因此四边形CDAN 是平行四边形.（3）假设在x 轴上方存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，设P （1，u ） 其中u ＞0，则PA 是圆的半径且222PA u 2＝＋过P 做直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。
由第（2）小题易得：△MDE 为等腰直角三角形，故△PQM 也是等腰直角三角形， 由P （1，u ）得PE ＝u ， PM ＝|4-u|，PQ|4-u|由22PQ PA ＝得方程：2224u u 22（－）＝＋，解得u 4±＝－负值u＝4－－，符合题意的u＝4－＋P 存在，其坐标为（1，4－＋.例5、已知：如图，抛物线m x x y +-=332312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB＝90°， ⑴求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式； ⑶在条件⑵下，设P 为上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ²AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.解：⑴由抛物线可知，点C 的坐标为（0，m ），且m ＜0. 设A （x 1，0），B （x 2，0）.则有x 1²x 2＝3m 又OC 是Rt △ABC 的斜边上的高，∴△AOC ∽△COB ∴OB OC OC OA = ∴21x m m x -=--，即x 1²x 2＝－m 2 ∴－m 2＝3m ，解得 m ＝0 或m ＝－3 而m ＜0， 故只能取m ＝－3 这时，4)3(3133323122--=--=x x x y 故抛物线的顶点坐标为（3，－4）⑵解法一：由已知可得：M （3，0），A （－3，0），B （33，0），C （0,－3），D （0， 3） ∵抛物线的对称轴是x ＝3，也是⊙M 的对称轴，连结CE ∵DE 是⊙M 的直径，∴∠DCE ＝90°，∴直线x ＝3，垂直平分CE ，∴E 点的坐标为（23，－3） ∵33==OD OM OC OA ，∠AOC ＝∠DOM ＝90°，∴∠ACO ＝∠MDO ＝30°，∴AC ∥DE ∵AC ⊥CB ，∴CB ⊥DE 又FG ⊥DE ， ∴FG ∥CB 由B （33，0）、C （0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：y ＝x 33－3 可设直线FG 的解析式为y ＝x 33＋n ，把（23，－3）代入求得n ＝－5故直线FG 的解析式为y ＝x 33－5 ⑶解：存在常数k ＝12，满足AH ²AP ＝12 连结CP 由垂径定理可知⋂⋂=AC AD ，∴∠P ＝∠ACH （或利用∠P ＝∠ABC ＝∠ACO ）又∵∠CAH ＝∠PAC ，∴△ACH ∽△APC ∴ACAP AH AC = 即AC 2＝AH ²AP 在Rt △AOC 中，AC 2＝AO 2＋OC 2＝（3）2＋32＝12（或利用AC 2＝AO ²AB ＝3³43＝12∴AH ²AP ＝12例6、抛物线c bx ax y ++=2(0<a )交x 轴于点A (-1,0)、B （3,0）,交y 轴于点C ,顶点为D ,以BD 为直径的⊙M 恰好过点C . (1)求顶点D 的坐标 (用a 的代数式表示) ； (2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点P 使△PBD 为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由.解：（1）由题意：设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y ∴a x a a ax ax y 4)1(3222--=--= ∴点C （0，－3a ），D （1,－4a ）（2）过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，易证△DEC ∽△COB ∴OB CE OC DE =∴331aa -=-∴12=a ∵0<a ∴1-=a 故抛物线的解析式为：322++-=x x y（3）符合条件的点P 存在，共3个①若∠BPD ＝90°，P 点与C 点重合，则P 1（0，3）（P 1表示第一个P 点，下同）②若∠DBP ＝90°，过点P 2作P 2R ⊥x 轴于点R ，设点P 2)32,(2++-p p p 由△BP 2R ∽△DBH 得，BH RP DH BR 2=，即232432--=+-p p p ，解得23-=p 或3=p （舍去）故)49,23(2--P ③若∠BDP ＝90°，设DP 3的延长线交y 轴于点N ，可证△EDN ∽△HDB ，求得EN ＝21，∴N （0，27）求得DN 的解析式为2721+=x y 求抛物线与直线DN 的交点得P3（415,21） ，综上所述：符合条件的点P 为（0，3）、)49,23(--、（415,21）例7、已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于不同的两点A 和B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），其对称轴为x=1. ⑴求此抛物线的解析式； ⑵过A 、B 、C 三点作⊙O ′与y 轴的负半轴交于点D,求经过原点O 且与直线AD 垂直（垂足为E ）的直线OE 的方程； ⑶设⊙O ′与抛物线的另一个交点为P ，直线OE 与直线BC 的交点为Q ，直线x=m 与抛物线的交点为R ，直线x=m 与直线OE 的交点为S 。
