圆与抛物线

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

圆与抛物线的交点求法
下面整理了三种圆与抛物线的交点求法：
1、圆的方程和抛物线方程形成方程组，解出配对（x，y）即为交点坐标。

2、在某些情况下，直接解方程组很难求解，可用参数方程解：圆的方程x^2+y^2=R^2，设x=Rcost，y=Rsint，代入抛物线方程，可解得t，若t为两个值即为两个交点，若为1个值即为1个交点，若无值即为无交点。

3、可先观察，看一下圆和抛物线的中心线是否重合（圆心是否通过抛物线的中心线，在作图的时候即可得到），若重合，即两个交点坐标（x1,y1）,(x2,y2)关于中心线对称。

例如关于x轴对称，即可得到y1=-y2,带入方程解得x即可得到坐标值。

因为对称，所以减少一个未知数，可大大简化计算。

抛物线与圆的关系
抛物线与圆是数学中常见的几何形状，它们之间存在一些有趣的关系。

1. 抛物线与圆的相交
首先，抛物线和圆可以相交或不相交，这取决于它们的位置和形状。

当抛物线与圆相交时，它们在某个点上有公共的切线。

这个切线的切点就是抛物线和圆的交点。

2. 切线与法线
对于一个给定的抛物线和圆的交点，我们可以通过构造切线和法线来研究它们的关系。

切线是通过交点且与抛物线或圆的曲线相切的直线，而法线是与切线垂直的线。

3. 切线数量
抛物线和圆的交点数量取决于它们的位置和形状。

当抛物线完
全包含在圆内部时，抛物线与圆有两个交点，且有两条切线。

当抛
物线与圆相切于一点时，有一条切线。

而当抛物线与圆不相交时，
没有交点和切线。

4. 交点的对称性
当抛物线与圆的交点存在时，它们通常具有一种对称性。

具体
来说，对于某个交点，如果我们将其关于圆心镜像，得到的点也是
交点。

这是由于抛物线和圆具有对称性的特点。

5. 曲率
最后，我们可以比较抛物线和圆的曲率。

曲率是曲线在某一点
上的弯曲程度。

在抛物线的顶点处，曲率比在其他地方更大。

而在
圆的任意一点，曲率都相等且始终为其半径的倒数。

综上所述，抛物线和圆之间存在一些有趣的关系。

它们的位置、形状、切线和交点数量都会影响它们之间的关系。

通过研究这些关系，我们可以更深入地理解这两个几何形状的性质和相互关系。

平面几何中的抛物线与双曲线方程与曲线性质及曲线与圆的位置关系在平面几何中，抛物线和双曲线是两个常见的曲线形式。

它们在数学和物理领域有着广泛的应用和重要性。

本文将分别介绍抛物线和双曲线的方程、曲线性质，以及曲线与圆的位置关系。

1. 抛物线的方程与曲线性质抛物线是一种特殊的曲线形式，其方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数且a≠0。

抛物线对应的图像呈现出一种对称的形状，通常被描述为开口向上或向下的弧线。

抛物线的性质如下：1) 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，表示为(Vx, Vy)。

通过完成平方形式或求导数的方法可以求得顶点的坐标。

2) 对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点且与抛物线垂直的一条直线。

对称轴的方程可以表示为x = Vx，其中Vx是顶点的x坐标。

3) 焦点与准线：抛物线还有两个特殊的点，分别是焦点和准线。

焦点与准线的位置与抛物线的方程有关，可以通过公式计算得出。

4) 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，可以通过抛物线的方程计算得出。

2. 双曲线的方程与曲线性质双曲线是另一种常见的曲线形式，其方程可以表示为x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a和b为正实数常数。

双曲线的性质如下：1) 中心与焦点：双曲线的中心是曲线的对称中心，表示为(Cx, Cy)。

双曲线还有两个焦点，与中心的位置关系可以通过方程计算得出。

2) 准线：准线是通过中心的水平或垂直直线，与双曲线的形状和方程密切相关。

3) 焦点距离与准线距离：与抛物线类似，双曲线也有焦点距离和准线距离的概念，可以通过方程计算得出。

3. 曲线与圆的位置关系曲线和圆的位置关系有以下几种情况：1) 曲线与圆相切：曲线与圆只有一个公共点，切点处切线既是曲线的切线，也是圆的切线。

2) 曲线在圆内：曲线在圆的内部运动，两者没有公共点。

3) 曲线在圆外：曲线在圆的外部运动，两者没有公共点。

圆与抛物线相切问题圆与抛物线相切是一个经典的几何问题，涉及到圆和抛物线的性质以及它们相切的条件。

首先，我们来看一下圆和抛物线的基本性质。

圆是一个闭合的曲线，所有点到圆心的距离都相等。

圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径。

抛物线是一种二次曲线，其图像呈现出类似抛物体运动的形状。

抛物线的一般方程是y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数且a不等于0。

抛物线开口的方向取决于a的正负。

当圆与抛物线相切时，它们满足以下几个条件：1. 相切点处的切线相切于圆和抛物线，且切线垂直于相切点处的切线。

2. 相切点处的切线是圆和抛物线的公共切线。

为了找到圆与抛物线的相切点，我们需要解决一个联立方程组。

假设圆的方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，抛物线的方程是y =ax² + bx + c。

我们可以通过联立这两个方程组成的方程组，解出相切点的坐标。

另外，我们还可以利用切线的性质来解决这个问题。

在相切点处，圆和抛物线的切线斜率相等。

我们可以求出圆和抛物线在相切点处的切线方程，然后比较它们的斜率是否相等来判断它们是否相切。

总之，圆与抛物线相切是一个涉及到几何、代数和微积分知识的问题，需要综合运用这些知识来解决。

通过分析圆和抛物线的性质，以及切线的性质，我们可以找到它们相切的条件和相切点的坐标。

希望这个回答能够帮助你更好地理解圆与抛物线相切的问题。

抛物线与圆【例1】抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ,(0,3)C -， ⑴求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⑶平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以M N 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．【例2】已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx-4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点。

⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B 是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠P O A O B A =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【例1】解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2，得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴12=-ab ．将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是322--=x x y ．（2）A C 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线A C 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-． （3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为1x =，∴ 212=+x x ． .(2)由（1）、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)整理得： 42-=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042=--r r ，解得，21711+=r ， 21712-=r （舍去），当0<y 时，042=-+r r ，解得，21711+-=r ， 21712--=r （舍去）．所以圆的半径是2171+或2171+-．【例2】解：（1）解法一：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线c bx ax y ++=2经过O 、A 两点04160=+=∴b a c ，a b 4-=∴ 解法二：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为（4，0）∵抛物线y axbx c =++2经过O 、A 两点 ∴抛物线的对称轴为直线x =2∴=-=x b a22（2）解：由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y ax ax =-24∴点D 的坐标为（24，-a ）①当a >0时， 如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA⌒，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA⌒，显然OnA ⌒所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D 也关于x 轴对称∵点O 在⊙D'上，且OD 与⊙D'相切 ∴点O 为切点∴D'O ⊥OD ∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45°∴△ADO 为等腰直角三角形∴=OD 22∴点D 的纵坐标为-2242124-=-==∴-=-∴a b a a ， ∴抛物线的解析式为x x y 2212-=②当a <0时，同理可得：22=OD 抛物线的解析式为x x y 2212+-=综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =-1222或x x y 2212+-=（3）解答：抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得OBA POA ∠∠34=设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①当点P 在抛物线y x x =-1222上时（如图2） ∵点B 是⊙D 的优弧上的一点 ∴==︒∠∠O B A A D O 1245︒==∴6034OBA POA ∠∠ 过点P 作PE ⊥x 轴于点 Exy xy OEEP POE 360tan tan =∴︒=∴=∴∠ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x x y xy 22132解得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+=+=003463242211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()346324++， ②当点P 在抛物线y x x =-+1222上时（如图3） 同理可得，y x =3 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==xx y xy 22132解得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=003463242211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()346324+--， 综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为 ()346324++，或()346324+--，。

抛物线和圆的关系
抛物线和圆有着密切的关系。

实际上，抛物线可以看作是一个圆锥的切割。

当一个平面与一个圆锥相交时，如果该平面的倾斜角与圆锥轴线相等，那么截得的曲线就是一个抛物线。

因此，抛物线的形状也具有圆锥的特点。

另外，抛物线和圆也有着相似之处。

当一个圆的直径和一条切线垂直时，切点到圆心的距离和切线长度相等。

同样地，当一条切线与抛物线相交时，交点到抛物线焦点的距离和切线长度也相等。

这个性质被称为抛物线的切线性质，与圆的切线性质相似。

在物理学中，抛物线也经常用于描述物体的运动轨迹。

例如，投掷物体时，如果不考虑阻力和重力等影响，运动轨迹就是一个抛物线。

而圆则可以用于描述周期性的运动，例如地球绕着太阳的运动等。

因此，抛物线和圆的关系不仅仅局限于几何形状，还包括数学、物理等多个领域。

- 1 -。

抛物线与圆专题讲解抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能（切线的性质与判定、切线长定理、圆与点、线、圆的位置关系等），求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。

在解答中常渗透6大数学思想：数形结合思想、分类思想、化归与转化思想、函数与方程思想、整体思想、建模思想。

你想快速进步请注意：独立思考，与他人合作，题后析题总结。

1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．2、已知：如图，抛物线m x x y +-=332312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°， ⑴求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式； ⑶在条件⑵下，设P 为上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.3、如图3已知抛物线2y ax bx c=++，经过点A(0，5)和点B（3 ，2）(1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若⊙Q的半径为r，点Q 在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值课后巩固：1、已知：如图，抛物线233y x x =--+x 轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C 点，经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧⋂OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E 的坐标； （2）求的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，已知点(B -，(0)A m，(0)m <<，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ． （1）求证：BF DO =；（2）设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过BF O ，，三点的抛物线的解析表达式；3、如图1，直线y ＝43x －1与抛物线y ＝－41x 2交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．图2图1。