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2014-2015学年江西省某校高三（上）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每题5分，共50分）1. 设集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x2−4x>0, x∈R}，则A∩(∁R B)=()A [1, 2]B [0, 2]C [1, 4]D [0, 4]2. 设z=1−i（i是虚数单位），则2z+z2等于（）A −1−iB −1+iC 1−iD 1+i3. 以q为公比的等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“q>1”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 若点M(x, y)为平面区域{x−2y+1≥0x+y+1≥0x≤0上的一个动点，则x+2y的最大值是（）A −1B −12C 0D 15. 如图所给的程序运行结果为S＝35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A k＝7B k≤6C k<6D k>66. 已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A 1x2+1>1y2+1B ln(x2+1)>ln(y2+1)C sinx>sinyD x3>y37. 函数f(x)={1,xπ,x，下列结论不正确的（）A 此函数为偶函数B 此函数是周期函数C 此函数既有最大值也有最小值D 方程f[f(x)]＝1的解为x＝18. 不等式x2+2x<ab +16ba对任意a，b∈(0, +∞)恒成立，则实数x的取值范围是()A (−2, 0)B (−∞, −2)∪(0, +∞)C (−4, 2)D (−∞, −4)∪(2, +∞)9. 设函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，(A≠0, ω>0, −π2<φ<π2)的图象关于直线x=2π3对称，它的周期是π，则（）A f(x)的图象过点(0,12) B f(x)在[π12,2π3]上是减函数 C f(x)的一个对称中心是(5π12,0) D f(x)的最大值是A10. 设函数f(x)＝xsinx+cosx的图象在点（t, f(t)）处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为（）A B C D二、填空题（5小题，每题5分，共25分）11. 平面向量a →与b →的夹角为120∘，a →=(2, 0)，|b →|=1，则|a →−2b →|=________．12. 已知等差数列{a n }的公差d >0，若a 1+a 2+...+a 2015=2015a m (m ∈N +)，则m =________．13. 已知矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，在矩形ABCD 内随机取一点M ，则BM <BC 的概率为________．14. 已知√2+23=2√23，√3+38=3√38，√4+415=4√415，…，若√6+at =6√at ，（a ，t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a +t =________．15. 下列命题：①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②已知线性回归方程为y =3+2x ，当变量x 增加1个单位，其预报值平均增加2个单位；③某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e ，平均值为x ¯，众数为m o ，则m e =m o <x ¯；④设a 、b ∈R ，若a +b ≠6，则a ≠3或b ≠3；⑤不等式|x|+|x −1|<a 的解集为φ，则a <1．其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都写上）．三、解答题：（6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（1）求参加测试的总人数及分数在[80, 90)之间的人数；（2）若要从分数在[80, 100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，恰有一份分数在[90, 100)之间的概率．17. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，S 1，2S 2，3S 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n −a n }是首项为−6，公差为2的等差数列，求数列{b n }的前n 项和． 18. 已知函数f(x)=2cos x2(√3cos x2−sin x2)． （I ）设x ∈[−π2, π2]，求f(x)的值域；（II ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =1，f(C)=√3+1，且△ABC 的面积为√32，求边a 和b 的长．19. 已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2√Sn =a n +1，数列{b n }满足b n =14S n −1为数列{b n }}的前n 项和， （1） 求a n ，S n ；（2）是否存在最大的整数t ，使得对任意的正整数n 均有T n >t 36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．20. 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．(Ⅰ)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．21. 若f(x)={x 2−a(lnx −1),0<x <ex 2+a(lnx −1),x ≥e 其中a ∈R（1）当a ＝−2时，求函数y(x)在区间[e, e 2]上的最大值；（2）当a >0，时，若x ∈[1, +∞)，f(x)≥32a 恒成立，求a 的取值范围．2014-2015学年江西省某校高三（上）第三次联考数学试卷（文科）答案1. B2. C3. B4. D5. D6. D7. D8. C9. C 10. B 11. 2√3 12. 1008 13. π814. 41 15. ②④ 16. 解：（1）成绩在[50, 60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90, 100]内同样有2人．由2n =10×0.008，解得n =25．成绩在[80, 90)之间的人数为25−(2+7+10+2)=4人∴ 参加测试人数n =25，分数在[80, 90)的人数为4人（2）设“在[80, 100]内的学生中任选两人，恰有一人分数在[90, 100]内”为事件M ， 将[80, 90)内的4人编号为a ，b ，c ，d ；[90, 100]内的2人编号为A ，B在[80, 100]内的任取两人的基本事件为：ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，bc ，bd ，bA ，bB ，cd ，cA ，cB ，dA ，dB ，AB 共15个．其中，恰有一人成绩在[90, 100]内的基本事件有aA ，aB ，bA ，bB ，cA ，cB ，dA ，dB 共8个．∴ 所求的概率得P(M)=815．17. 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵ S 1，2S 2，3S 3成等差数列， ∴ 4S 2=S 1+3S 3， ∵ a 1=2，∴ 4(2+2q)=2+6(1+q +q 2)，即3q 2−q =0，解得q =0（舍去）或q =13．∴ a n =2⋅(13)n−1；（2）由题意得b n −a n =2n −8，所以b n =2⋅(13)n−1+2n −8．设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =2[2−(13)n ]1−13+n(−6+2n−8)2=n 2−n +3−(13)n−1．18. 解：(I)f(x)=2√3cos 2x2−2sin x 2cos x2 =√3(1+cosx)−sinx =2cos(x +π6)+√3．x ∈[−π2，π2]时，值域为[−1+√3，2+√3]． （II ）因为C ∈(0, π)，由（1）知C =π6．因为△ABC 的面积为√32，所以√32=12absin π6，于是ab =2√3．①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b ．由余弦定理得1=a 2+b 2−2abcos π6=a 2+b 2−6，所以a 2+b 2=7． ②由①②可得{a =2b =√3或{a =√3b =2.．19. 解：（1）由2√S n =a n +1， 得S n =(a n +12)2， 当n =1时，a 1=S 1=(a 1+12)2， 解得a 1=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(a n +12)2−(a n−1+12)2， 整理，得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， ∵ 数列{a n }各项为正，∴ a n +a n−1>0， ∴ a n −a n−1−2=0，∴ 数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴ a n =a 1+(n −1)×2=2n −1， ∴ S n =n(a 1+a n )2=n[1+(2n−1)]2=n 2．（2）由（1）知b n =14n 2−1=12(12n−1−12n+1)，∴ T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n2n+1， ∴ 数列{T n }是增数列，∴ T 1是递增数列，故T 1=13是最小值，只需13>t 36，即t <12．∴ 存在t =11符合题意．20. （1）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， 则 P(A)=1−(13+512)=14．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是14．（2）设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a ，b ＝6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6, 6)，(6, 14)，(6, 22)，(6, 30)，(14, 6)，(14, 14)，(14, 22)，(14, 30)，(22, 6)，(22, 14)，(22, 22)，(22, 30)，(30, 6)，(30, 14)，(30, 22)，(30, 30)，共16种情形．其中，(6, 30)，(14, 22)，(22, 14)，(30, 6)这4种情形符合题意． 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P =416=14． 21. 当a ＝−2，x ∈[e, e 2]时，f(x)＝x 2−2lnx +2， ∵ f ′(x)=2x −2x ，∴ 当x ∈[e, e 2]时，f ′(x)>0，∴ 函数f(x)＝x2−2lnx+2在[e, e2]上单调递增，故f(x)max=f(e2)=(e2)2−21ne2+2＝e4−2①当x≥e时，f(x)＝x2+alnx−a，f′(x)=2x+ax，∵ a>0，∴ f′(x)>0，∴ f(x)在[e, +∞)上单调递增，故当x＝e时，f(x)min=f(e)=e2；②当1≤x≤e时，f(x)＝x2−alnx+a，f′(x)＝2x−ax =2x(x+√a2)(x−√a2)，(i)当√a2≤1，即0<a≤2时，f(x)在区间[1, e)上为增函数，当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1+a，且此时f(1)<f(e)＝e2；(ii)当1<√a2≤e，即2<a≤2e2时，f(x)在区间(1,√a2]上为减函数，在区间(√a2,e]上为增函数，故当x=√a2时，f(x)min=f(√a2)=3a2−a2ln a2，且此时f(√a2)<f(e)＝e2；(iii)当√a2>e，即a>2e2时，f(x)＝x2−alnx+a在区间[1, e]上为减函数，故当x＝e时，f(x)min=f(e)=e2．综上所述，函数y＝f(x)在[1, +∞)上的最小值为f(x)min={1+a,0<a≤23a 2−a2ln a2,2<a≤2e2 e2,a>2e2由{0<a≤21+a≥32a得0<a≤2；由{2<a≤2e23a2−a2ln a2≥3a2得无解；由{a>2e2e2≥3a2得无解；故所求a的取值范围是(0, 2]．。
2014年江西省重点中学十校联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知复数z =−12+√32i ，则z ¯+|z|＝（ ） A −12−√32i B −12+√32i C 12+√32i D 12−√32i 2. 已知sinα−cosα=13，则cos 2(π4−α)=( ) A 118B 19C √29D 17183. 已知a >0且a ≠1，则a b >1是(a −1)b >0的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4.对于实数a 和b ，定义运算a ∗b ，运算原理如图所示，则式子(14)−12∗lne 3的值为（ ）A 6B 7C 8D 95. 已知函数f(x)=x 2+f′(2)(lnx −x)，则f′(1)=( ) A 1 B 2 C 3 D 46. 数列{a n }满足a 1=3，a n −a n a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2014=( ) A −3 B 3 C −2 D 27. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，其中甲成绩的中位数为15，极差为12；乙成绩的众数为13，x 1¯，x 2¯分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s 1，s 2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A x 1¯>x 2¯，s 1<s 2 B x 1¯=x 2¯，s 1<s 2 C x 1¯=x 2¯，s 1=s 2 D x 1¯=x 2¯，s 1>s 2 8. 下列命题中的真命题是（ ）①若命题p:∃x <0，x ≥sinx ，命题q ：函数f(x)=x 2−2x 仅有两个零点，则命题￢p ∨q 为真命题；②若变量x ，y 的一组观测数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )均在直线y =2x +1上，则y 与x 的线性相关系数r =1；③若a ，b ∈[0, 1]，则使不等式a +b <12成立的概率是14．A ①②B ?ƒ①③C ‚②D ‚ƒ②③9. 已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直线y =12a 1x +m 与圆(x −2)2+y 2=1的两个交点关于直线x +y −d =0对称，则数列{1S n}的前10项和=( )A 910B 1011C 89D 210. 如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90∘，∠B =45∘，底边AB =5，高AD =3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，ENAD 于N ，设BM =x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知向量a →=(1, 2)，b →=(m, −4)，且a → // b →，则a →•(a →+b →)=________． 12. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为________．13. 已知f(x)=tanx +cos(x +m)为奇函数，且m 满足不等式m 2−9m(m−1)≤0，则实数m 的值为________．14. 已知离心率为2的双曲线x 2m +y 2n=1(m, n ∈R)的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn =________．15. 已知集合M ={x|y =ln(x −2)+√x −33, x ∈R}，N ={x||x −1|−|4−x|<a, x ∈R}，若M ∩N ≠⌀，则实数a 的取值范围是________．三．解答题：（本大题共6小题，共75分．其中16、17、18、19题12分，20题13分，21题14分）16. 已知f(x)=√3cos2x +2sin(3π2+x)sin(π−x)，x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程；(2)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A)=−√3，a =3，求BC 边上的高的最大值．17. 已知箱子里装有4张大小、形状都相同的卡片，标号分别为1，2，3，4． (I)从箱子中任取两张卡片，求两张卡片的标号之和不小于5的概率；(II)从箱子中任意取出一张卡片，记下它的标号m ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的标号n ，求使得幂函数f(x)=(m −n)2x m n图象关于y 轴对称的概率．18. 已知等比数列{a n }中，a 5+2a 4=a 2a 4，前2m(m ∈N ∗)项和是前2m 项中所有偶数项和的32倍．（1）求通项a n ；（2）已知{b n }满足b n =(n −λ)a n (n ∈N ∗)，若{b n }是递增数列，求实数λ的取值范围．19.如图，在四棱锥P −ABCD 中，E 为AD 上一点，面PAD ⊥面ABCD ，四边形BCDE 为矩形∠PAD =60∘，PB =2√3，PA =ED =2AE =2． （1）已知PF →=λPC →(λ∈R)，且PA // 面BEF ，求λ的值； （2）求证：CB ⊥面PEB ，并求点D 到面PBC 的距离． 20. 已知F 1，F 2为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点，△EFF 1的周长为8，且椭圆C 与圆x 2+y 2=3相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线x =4于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k′，求证k ⋅k′为定值．21. 已知函数f(x)=x 3−ax 2+2(a ∈R)，f′(x)为f(x)的导函数． （1）求函数f(x)的单调递减区间；（2）若对一切的实数x ，有f′(x)≥|x|−34成立，求a 的取值范围；（3）当a =0时，在曲线y =f(x)上是否存在两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，使得曲线在A ，B 两点处的切线均与直线x =2交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的最大值；若不存在，请说明理由．2014年江西省重点中学十校联考高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. D3. C4. D5. B6. A7. B8. A9. B 10. A 11. −5 12. 15+√2 13. ±π2 14. 1315. {a|a >−1}16. 解：(1)f(x)=√3cos2x +2sin(3π2+x)sin(π−x)=√3cos2x −2cosxsinx =√3cos2x −sin2x =2(√32cos2x −12sin2x)=2cos(2x +π6)， ∴ T =2π2=π，令2x +π6=kπ(k ∈Z)，即x =kπ2−π12(k ∈Z)，∴ 函数f(x)的对称轴方程为x =kπ2−π12(k ∈Z).(2)∵ f(x)=2cos(2x +π6)，∴ f(A)=2cos(2A +π6)=−√3， 即cos(2A +π6)=−√32. ∵ 0<A <π2， ∴ π6<2A +π6<7π6，∴ 2A +π6=5π6，∴ A =π3．设BC 边上的高为ℎ，则S △ABC =12bcsinA =12a ⋅ℎ， 即bc =2√3ℎ，ℎ=√36bc .∵ cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−92bc=12，∴ bc+9=b2+c2，∵ b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．∴ bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，∵ A=π3，∴ b=c=a=3，等号能成立．∴ 此时ℎ=3√32．∴ ℎ的最大值为3√32．17. 解：(1)从箱子中任取两张卡片的所有基本事件有：(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)共有6种，其中两张卡片的标号之和不小于5的基本事件有(1, 4)(2, 4)，(3, 4)，(2, 3)共4种，故两张卡片的标号之和不小于5的概率P=46=23；(2)从箱子中任取两张卡片的所有基本事件有：(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(3, 1)，(1, 4)，(4, 1)，(2, 3)，(3, 2)，(2, 4)，(4, 2)，(3, 4)，(4, 3)，(1, 1)，(2, 2)，(3, 3)，(4, 4)共16种，使得幂函数f(x)=(m−n)2x m n图象关于y轴对称的基本事件有：(2, 1)，(1, 4)，(4, 1)，(2, 3)，(4, 2)共5种，所以使得幂函数f(x)=(m−n)2x m n图象关于y轴对称的概率P=516．18. 解：（1）设公比为q，则∵ 前2m(m∈N∗)项和是前2m项中所有偶数项和的32倍，∴ a1(1−q2m)1−q =32⋅a1q[1−(q2)m]1−q2，∴ q=2，∵ 等比数列{a n}中，a5+2a4=a2a4，∴ a1q4+2a1q3=a1q⋅a1q3，∴ a1=2，∴ a n=2n；（2）b n=(n−λ)2n，则b n+1b n =2(n+1−λ)n−λ>1，∴ λ<n或λ>n+2，∴ λ≤1或λ≥3．19. （1）解：连接AC交BE于点M，连接FM，∵ PA // 面BEF ，FM =面PAC ∩面BEF ，∴ PA // FM ， ∵ EM // CD ，∴AM MC=AE ED =12，∵ PA // FM ，∴ PFFC =AMMC =12． ∵ PF →=λPC →(λ∈R)， ∴ λ=13；（2）∵ AP =2，AE =1，∠PAD =60∘，∴ PE =√3，∴ PE ⊥AD又面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABCD =AD ，∴ PE ⊥面ABCD ∴ PE ⊥CB又∴ BE ⊥CB ，且∴ PE ∩BE =E ，∴ CB ⊥面PEB ， 设点D 到面PBC 的距离为d ，由V D−PBC =V P−DBC ， 得13×12×2×2√3×d =13×12×2×3×√3，求得d =32．20. （1）解：∵ 过椭圆右焦点F 2斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点， △EFF 1的周长为8，且椭圆C 与圆x 2+y 2=3相切， ∴ 4a =8，解得a =2，∴ 方程组{x 2+y 2=3x 24+y 2b2=1只有一组解，即方程(b 2−4)x 2+12−4b 2=0只有一个实数根，∴ △=0−4(b 2−4)(12−4b 2)=0， 解得b 2=3或b 2=4（舍）， ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）证明：设过点F 2(1, 0)的直线l 方程为：y =k(x −1)， 设点E(x 1, y 1)，点F(x 2, y 2)…5分 将直线l 方程y =k(x −1)代入椭圆C:x 24+y 23=1，整理得：(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，…6分∵ 点F 2在椭圆内，∴ 直线l 和椭圆都相交，△>0恒成立， 且x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，…7分直线AE 的方程为：y =y 1x 1−2(x −2)，直线AF 的方程为：y =y 2x 2−2(x −2)，令x =3，得点M(4, 2y 1x 1−2)，N(4, y 2x 2−22)，∴ 点P 的坐标（4,(y 1x1−2+y 2x 2−2)），…9分直线PF 2的斜率为k′=(y 1x 1−2+y2x 2−2)−04−1=13(y 1x 1−2+y 2x 2−2)=13⋅y 2x 1+x 2y 1−2(y 1+y 2)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=13⋅2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，…11分将x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3代入上式得：k ′=13⋅2k⋅4k 2−124k 2+3−3k⋅8k 24k 2+3+4k 4k 2−124k 2+3−2⋅8k24k 2+3+4=−1k ，∴ k ⋅k ′=−1，，∴ k ⋅k′为定值．21. 解：（1）∵ f′(x)=3x 2−2ax =x(3x −2a)， ①a >0时，令f′(x)<0，解得：0<x <23a ，∴ f(x)在(0, 23a)递减，②a =0时，f′(x)=3x 2，无递减区间， ③a <0时，令f′(x)<0，解得：23a <x <0，∴ f(x)在(23a, 0)递减．（2）∵ f′(x)=3x 2−2ax ， ∴ 3x 2−2ax ≥|x|−34，①x ≥0时，3x 2−(2a +1)x +34≥0，△=(2a +1)2−4×3×34≤0，解得：−2≤a ≤1， ②x <0时，3x 2−(2a −1)x +34≥0， △=(2a −1)2−4×3×34≤0，解得：−1≤a ≤2，综上，a 的范围是：{a|−1≤a ≤1}．（3）设线与与直线x =2有公共点为P(2, t)， a =0时，f(x)=x 3+2，f′(x)=3x 2，在曲线y =f(x)上存在两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)(x 1≠x 2)， 使得曲线在A ，B 两点处的切线均与直线x =2交于同一点，f ′(x 1)=3x 12，∴ 以A 为切点的切线方程为y −x 13−2=3x 12(x −x 1)，∵ 点P(2, t)在切线上，∴ t −x 13−2=3x 12(2−x 1)，即2x 13−6x 12+t −2=0，同理2x 23−6x 22+t −2=0， 设g(x)=2x 3−6x 2+t −2，则原问题等价于函数g(x)至少有两个不同的零点，∵ g′(x)=6x2−12x=6(x−2)x，当x<0或x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)递减，∴ g(x)在x=0处取得极大值g(0)=t−2，在x=2处取得极小值g(2)=t−10，若要满足g(x)至少有两个不同的零点，则需满足{t−2≥0t−10≤0，解得2≤t≤10．∴ 在曲线y=f(x)上存在两点A(x1, y1)，B(x2, y2)(x1≠x2)，使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点，交点纵坐标的最大值为10．。
2014—2015学年度第一学期南昌市期末终结性测试卷高二数学(文科甲卷)参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13.12；14．24π-; 15．1;16.①。
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0. ………………………………………5分 ∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真命题．……………………7分 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真命题………………10分 18．解：由题意得21ln '()2'(1)xf x f x -=+ …………………………………………4分 令1x =得1ln1'(1)2'(1)1f f -=+即'(1)1f =- ……………………………………6分 所以ln ()2x f x x x =-得ln 1()22e f e e e e e =-=-，(1)2f =- …………………10分 由1()(1)220f e f e e-=-+<得()(1)f e f < ………………………………………12分19．解：211()31,(2)13,2f x x f ''=+=（）所以………………………………………3分613(2)13320y x x y +=---=所以所求的切线方程为即………………………6分 32000002,16),()31,x x x f x x '+-=+（）设切点为（…………………………………7分 ()()3200001631()y x x x x x -+-=+-所以切线方程为 ……………………………9分()()3200001631x x x x -+-=-+因为切线过原点，所以，300216,-2x x =-=所以所以，…………………………………………………………11分 (2)13,13226f y x '-==--所以所以所求的切线方程为，切点为（，）………12分 20．解：依题意：命题p: {|15}{|1}x x x x a ≤≤≤≤辿，即5a > ………………4分 命题q:6sin 66a π<<，即36a << …………………………………………………8分因为非p 且q 是真命题。
赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、如果一个几何体的三视图都是等腰三角形，那么这个几何体可能是（ ） A ．圆锥 B ．正四棱锥 C ．正三棱锥 D ．正三棱台2、若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．相交或平行 C ．相交、平行和异面 D ．平行或异面3、设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的虚轴长为2，焦距为方程为（ ）A．y = B ．2y x =± C．y x= D ．12y x =± 4、用α表示一个平面，m 表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m （ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面5、一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（ ） A ．9，5 B ．8，6 C ．10，4 D ．7，76、某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 的值为31，则a 等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 7、如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（ ）A ．真命题B ．假命题C ．与所给的命题有关D ．无法判断8、已知a ，b 是实数，则“0a >，且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9、如图，在矩形CD AB 中，4AB =，C 2B =，随机向矩形内丢一粒豆子（豆子的体积忽略不计），则豆子落入圆内的概率为（ ）A ．14B ．12C ．8πD ．4π10、已知线性回归方程的系数b 的估计值是1.23，5y =，4x =，则线性回归方程是（ ）A ． 1.234y x =+B ．0.94 1.23y x =+C ． 1.230.08y x =+D ．0.08 1.23y x =+11、垂直于直线2610x y -+=，且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程是（ ） A ．320x y ++= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y --=12、已知C ∆AB 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在C B 边上，则C ∆AB 的周长为（ ）A． B ．6 C ．12 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、函数2sin y x x =+的单调递增区间为 ．14、某校举行2015年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ，方差为 ． 15、若曲线()2ln f x ax x=+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．16、将双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的实轴、虚轴互换，所得双曲线方程为22221x y ba -=（0a >，0b >），我们称这两双曲线是互为共轭的双曲线，若两共轭双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）已知命题:p 46x -≤，命题:q 22210x x a -+-≥（0a >），若p ⌝是q的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18、（本小题满分12分）某超市在2015年元旦期间举行抽奖活动，规则是：从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．()1求中三等奖的概率；()2求中奖的概率．19、（本小题满分12分）某汽车制造厂为了检测A，B两种轮胎的性能，分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面记录的是每个轮胎行驶的最远路程数（单位：100km）：轮胎A：96，112，97，108，100，103，86，98；轮胎B：108，101，94，105，96，93，97，106．()1分别计算A，B两种轮胎行驶最远路程的平均数、极差；()2比较A，B两种轮胎的性能，估计哪一种较为稳定．∆AB为正三角形，AE和CD都垂直于20、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，C平面C AB ，且2AE =AB =，CD 1=，F 为BE 的中点．()1求证：DF//平面C AB ； ()2求证：平面D BE ⊥平面ABE ．21、（本小题满分12分）已知函数()223x f x e x x=+-（e 为自然对数的底数）．()1求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；()2当1x ≥时，若关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22、（本小题满分12分）如图，F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，()4,2A 为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且FPA +P 的最小值为8．()1求抛物线的方程；()2如果过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且32MN ≥，求直线l 的倾斜角的取值范围．赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试 高二数学（文科）试题参考答案 一、选择题1～5. CCCCB ； 6～10. AACCC 11～12. AD 二、填空题13.(,)-∞+∞； 14.85,1.6； 15.(,0)-∞； 16.1 三、解答题 17.解：p ⌝即46x ->，解得10x >或2x <-，记{}102A x x x =|><-或22:210q x x a -+-≥，解得1x a ≥+或1x a ≤-，记{}11B x x a x a =|≥+≤-或p q ⌝⇒即A 是B 的真子集所以1211011a a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得03a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,318.解：（1）从四个小球任选两个共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)六种结果 两个小球号码之和等于3的取法有两种：(0,3)，(1,2)所以两个小球号码之和等于3的概率12163P ==（2）两个小球号码之和等于的取法有一种(0,1)；两个小球号码之和等于2的取法有一种(0,2)，故中奖的概率为222163P =-=19.解：（1）轮胎A 的平均最远路程为1(9611298)1008A x =+++=L 轮胎B 的平均最远路程为1(108101106)1008B x =+++=L轮胎A 的平均最远路程的极差为1128626-= 轮胎B 的平均最远路程的极差为1089315-=（2）轮胎A 的最远路程的方差为22221(4122)55.258A s =+++=L轮胎B的最远路程的方差为22221(816)29.58Bs=+++=L由于22B As s<，所以B种轮胎的性能较为稳定.20.证明：（1）取AB的中点G，连接,CG FG 因为F为BE的中点，所以GF∥AE，且12 GF AE=又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC所以CD∥AE，且12 CD AE=所以GF∥CD且GF CD=所以四边形CDFG为平行四边形所以DF∥CG，又DF⊄平面ABC，CG⊆平面ABC所以DF∥平面ABC（2）由（1）知四边形CDFG为平行四边形，所以CG∥DF 又AE⊥平面ABC，AE⊆平面ABE所以平面ABE⊥平面ABC，交线为AB又ABC∆为正三角形，G为AB的中点所以CG AB⊥，所以CG⊥平面ABE又CG∥DF，所以DF⊥平面ABE而DF⊆平面DBE，所以平面DBE⊥平面ABE21.解：（1）因为2()e23xf x x x=+-，所以()e43xf x x'=+-则(1)e1f'=+，又(1)e1f=-，所以曲线()f x在点(1,(1))f处的切线方程(e1)20x y+--=HG EDCBFA（2）由()f x ax ≥，得2e 23x ax x x ≤+-，因为1x ≥，所以2e 23x x x a x +-≤ 令2e 23()x x x g x x +-=，则22(1)e 2()x x x g x x -+'=，因为1x ≥，所以()0g x '>所以函数()g x 在区间[)1,+∞内是增函数，所以函数()g x 的最小值为(1)e 1g =-故实数a 的取值范围为(],e 1-∞-22.解：（1）设P 点到抛物线的准线为2px =-的距离为d由抛物线的定义知d PF=，所以min min ()()482pPA PF PA d +=+=+=即8p =，所以抛物线的方程为216y x = （2）由（1）得(4,0)F ，易知当直线的斜率不存在时不合题意，设其斜率为k 则直线的方程为(4)y k x =-，显然0k ≠将直线的方程代入抛物线方程整理得：2222(816)160k x k k -++= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122816k x x k ++=，1216x x ====2216(1)32k k +=≥所以2111k k ≤⇒-≤≤所以直线的倾斜角的取值范围是[)(]1,00,1-U ，倾斜角的范围是30,,44ππ⎛⎤⎡⎫π ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U。
江西省宜春市上2014-2015学年高二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（10×5分=50分）1．设集合，则( )A．a⊂A B．a∉A C．{a}∈A D．{a}⊆A考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：通过比较与 2的大小，判断出a与集合A的关系即可．解答：解：∵||=＜2∴a∈A，{a}⊆A．故选D．点评：本题考查元素与集合的关系：通过判断元素是否满足集合的公共属性．2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )A．p∨q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）考点：复合命题．专题：简易逻辑．分析：命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少一个发生”．解答：解：设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示￢p与￢q至少一个发生，即￢p与￢q至少一个发生，表示为（￢）p∨（￢q）．故选：D点评：本题考查用简单命题表示复合命题的非命题，属于基础题3．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．解答：解：由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上必是增函数且最小值为﹣5，故选A．点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．4．已知函数f（x）的定义域是（0，1），那么f（2x）的定义域是( )A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，0）D．（ 0，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；整体思想．分析：根据函数f（x）的定义域是（0，1），而2x相当于f（x）中的x，因此得到0＜2x＜1，利用指数函数的单调性即可求得结果．解答：解：∵函数f（x）的定义域是（0，1），∴0＜2x＜1，解得x＜0，故选C．点评：此题主要考查了函数的定义域和指数函数的单调性，体现了整体代换的思想，是一道基础题．5．设f（log2x）=2x（x＞0），则f（2）的值是( )A．128 B．16 C．8 D．256考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据题意令log2x=2，求出对应的函数的自变量的值，再代入函数解析式求解．解答：解：由题意，令log2x=2，解得x=4，则f（log2x）=2x=24=16，故选B．点评：本题考查了对数的运算和求函数的值，对于复合函数需要根据解析式求出原函数对应的自变量的值，再代入解析式求函数的值．6．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是( )A．m=﹣2 B．m=﹣1 C．m=﹣2或m=﹣1 D．﹣3≤m≤﹣1考点：幂函数的性质．分析：根据函数为幂函数，可知函数的系数为1，从而可求m的取值，再根据具体的幂函数，验证是否符合图象不过原点，且关于原点对称即可．解答：解：由题意，m2+3m+3=1∴m2+3m+2=0∴m=﹣1或m=﹣2当m=﹣1时，幂函数为y=x﹣4，图象不过原点，且关于y轴对称，不合题意；当m=﹣2时，幂函数为y=x﹣3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；故选A．点评：本题以幂函数性质为载体，考查幂函数的解析式的求解．函数为幂函数，可知函数的系数为1是解题的关键．7．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则( ) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c考点：对数值大小的比较．专题：数形结合．分析：比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．解答：解：分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知：∴a＜b＜c．故选A．点评：本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法．8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是( )A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．9．函数的图象不可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：函数的图象是一个随着a值变化的图，讨论a值的不同取值从而得到不同的图象，从这个方向观察四个图象．解答：解：当a＜0时，如取a=﹣1，则f（x）=，其定义域为：x≠±1，它是奇函数，图象是A．故A正确；当a＞0时，如取a=1，则f（x）=，其定义域为：R，它是奇函数，图象是B．故B 正确；当a=0时，则f（x）=，其定义域为：x≠0，它是奇函数，图象是C，C正确；故选D．点评：由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响图象的形状，这是本题的关键．10．对于函数f（x）=﹣3x2+k，当实数k属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]( )A．[﹣2，0）B．[﹣2，﹣）C．（﹣，+∞）D．（﹣，0）考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=﹣3x2+k的图象开口向下，对称轴为y轴，若存在实数对a，b（a＜b＜0），此时函数单调递增，由题意得﹣3a2+k=a，﹣3b2+k=b，所以方程3t2+t﹣k=0有两个不等的负根a，b，进而可求实数k的区间．解答：解：由题意，函数f（x）=﹣3x2+k的图象开口向下，对称轴为y轴，函数图象在y 轴右侧递减，左侧递增，若存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]，则满足，即﹣3a2+k=a且﹣3b2+k=b．∴方程3t2+t﹣k=0有两个不等的负根a，b∴，∴，即．故选D．点评：本题主要考查函数的定义域与值域的关系，考查方程根的讨论，解题的关键是将问题转化为方程3t2+t﹣k=0有两个不等的负根a，b，利用根与系数之间的关系确定条件即可．二、填空题（5×5分=25分）11．“∃a∈R，使函数f（x）=x2﹣ax是偶函数”的否定是∀a∈R，使函数f（x）=x2﹣ax 不是偶函数．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃a∈R，使函数f（x）=x2﹣ax是偶函数”的否定是：∀a∈R，使函数f（x）=x2﹣ax不是偶函数．故答案为：∀a∈R，使函数f（x）=x2﹣ax不是偶函数．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．12．集合M={x||x2﹣2x|+a=0}有8个子集，则实数a的值为﹣1．考点：函数的零点；子集与真子集．专题：集合思想；函数的性质及应用．分析：根据集合M有8个子集，可以判断出集合M中共有3个元素，即|x2﹣2x|+a=0有3个根，转化为y=|x2﹣2x|与y=﹣a的图象有三个交点，画出图象即可解得a的值．解答：解：∵集合M={x||x2﹣2x|+a=0}有8个子集，根据集合中有n个元素，则集合有2n个子集，∴2n=8，解得，n=3，∴集合M={x||x2﹣2x|+a=0}中有3个元素，即|x2﹣2x|+a=0有3个根，∴函数y=|x2﹣2x|与y=﹣a的图象有三个交点，作出y=|x2﹣2x|与y=﹣a的图象如右图所示，∴实数a的值a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了集合的子集个数以及函数的零点．如果集合中有n个元素，则集合有2n 个子集．对于方程的根问题，可以运用数形结合的思想转化为两个图象的交点的问题进行解决．属于中档题．13．若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，）恒成立，则a的取值范围是a≥﹣．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，这是解决恒成立问题的常用解法．解答：解：x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，）成立，⇔a≥对于一切x∈（0，）成立，⇔a≥﹣x﹣对于一切x∈（0，）成立，∵y=﹣x﹣在区间（0，〕上是增函数∴﹣x﹣＜﹣2=﹣，∴a≥﹣．故答案为：a≥﹣点评：本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集．要求学生掌握不等式恒成立时所取的条件．14．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围（﹣，﹣2）∪（2，）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：解法一：不等式即 ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解答：解：解法一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，∴不等式即 ln（x2﹣4）+＜2．令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即 x2﹣4＜1，即x2＜5．由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．点评：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．15．函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f[f（5）]=．考点：函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：由已知中函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，我们可确定函数f（x）是以4为周期的周期函数，进而根据周期函数的性质，从内到外依次去掉括号，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，∴f（x+4）=f[（x+2）+2]===f（x），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（1）=﹣5∴f[f（5）]=f[f（1）]=f（﹣5）=f（3）==故答案为：点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值，其中根据已知中函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，判断出函数f（x）是以4为周期的周期函数，是解答本题的关键．三、解答题16．已知函数f（x）=2（log2x）2﹣2a（log2x）+b，当x=时有最小值﹣8，（1）求a，b的值；（2）当x∈[，8]时，求f（x）的最值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质建立条件关系即可求a，b的值；（2）求出当x∈[，8]时，t的取值范围，根据一元二次函数的单调性的性质即可求f（x）的最值．解答：解：（I）令t=log2x，则t∈R，得y=2t2﹣2at+b，当x=时有最小值﹣8，即此时t=log2=﹣1，当t=时，函数有最小值，解得a=﹣2，此时函数的最小值为b﹣=b﹣2=﹣8，解得b=﹣6，即a=﹣2，b=﹣6．（II）∵x∈[，8]时，t=log2x∈[﹣2，3]，∴当t=﹣1时，函数f（x）取得最小值为﹣8，当t=3时，函数f（x）取得最大值为24．点评：本题主要考查复合函数单调性和最值的求解，利用换元法，结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．17．已知定义在R上函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．考点：函数奇偶性的判断；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数是奇函数，建立方程关系即可求a+b的值；（Ⅱ）利用判别式法，将函数转化为一元二次方程，可求函数f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由f（x）为R上的奇函数，知f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），即f（0）=b=0，，由此解得a=0，b=0，故a+b=0．（Ⅱ）f（x）=，设y=，则等价为方程yx2﹣x+y=0有根，当y=0时，根为x=0符合；当y≠0时，则△=1﹣4y2≥0，于是≤y≤且y≠0；综上≤y≤，综上，值域为[，]．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数值域的求解，利用判别式法是解决本题的关键和技巧．18．已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=2x2+4x﹣2．（Ⅰ）求函数y=g（x）的解析式；（Ⅱ）当时，解不等式．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）设y=g（x）图象上任意一点P（x，y），根据函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，则求出P关于y轴的对称点P′，代入f（（x）即可得函数y=g（x）的解析式；（Ⅱ）将不等式“移项，通分”，然后化简等价转化为（x﹣1）（x+1）（k（x+1）﹣1）＞0，根据k的正负和根的大小进行分类讨论，分别求解不等式，即可得到但．解答：解：（Ⅰ）设函数y=g（x）图象上任意一点P（x，y），∴点P（x，y）关于y轴对称点为P′（﹣x，y），∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，∴P′（﹣x，y）一定在函数y=f（x）图象上，又∵f（x）=2x2+4x﹣2，则代入y=2x2+4x﹣2，可得y=2x2﹣4x﹣2，故函数y=g（x）的解析式为g（x）=2x2﹣4x﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x2+4x﹣2，g（x）=2x2﹣4x﹣2，∴不等式整理可得，不等式即为，即等价于（x﹣1）（x+1）（k（x+1）﹣1）＞0，①当k=0时，不等式即为（x﹣1）2＜0，解得x∈（﹣1，1）；②当时，不等式即为，解得；③当k＜0时，不等式即为，解得．综合①②③，可得当k=0时，解集为（﹣1，1），当时，解集为，当k＜0时，解集为．点评：本题考查了函数解析式的求解，分式不等式的解法，高次不等式的解法．本题解题的关键是如何进行合理的分类讨论．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．高次不等式一般选用“穿根法”进行求解，“穿根法”要注意先确定各因式的根，在数轴上按照从小到大标出来，确定各因式的系数为正值，根据“奇穿偶不穿”的原则，即可得到不等式的解集．属于中档题．19．已知p：关于x的方程2x+m﹣1=0有实数解；q：函数f（x）=|x﹣m|+1在（﹣∞，2）上为减函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：探究型．分析：先求出命题p，q为真时的等价条件，然后利用p或q为真，p且q为假，确定实数m 的取值范围．解答：解：若关于x的方程2x+m﹣1=0有实数解，则2x=1﹣m＞0，解得m＜1，即p：m＜1．若函数f（x）=|x﹣m|+1在（﹣∞，2）上为减函数．则m≥2，即q：m≥2．若p或q为真，p且q为假，则p，q一真一假．①若p真，q假，则m＜1．②若p假，q真，则m≥2．综上：m＜1或m≥2．点评：本题主要考查复合命题真假关系的应用，综合性性较强．20．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．（I）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x 成立．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（3）可由f（1+t）≤1，求得：﹣4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．解答：解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2．（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）2≤1，解得：﹣4≤t≤0．而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．∴（m+1﹣4）2≤m，∴1≤m≤9，∴m max=9．点评：本题考查二次函数的性质，难点在于（3）中m的确定，着重考查二次函数的性质与函数图象的平移，属于难题．21．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；（3）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数g（x）=x3+x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=1代入，可求得f（1）=e，f′（1）=4e，由点斜式可得方程；（2）求导数，分a=，，＜a＜0，三种情况讨论；（3）原问题等价于f（x）﹣g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，即y=m与y=（﹣x2+x﹣1）e x﹣x3﹣x2的图象有3个不同的交点，构造函数F（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣x3﹣x2，求导数可得极值点，数形结合可得答案．解答：解：∵f（x）=（ax2+x﹣1）e x，∴f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=（ax2+2ax+x）e x，（1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），化为一般式可得4ex﹣y﹣3e=0；（2）当a＜0时，f′（x）=（ax2+2ax+x）e x=[x（ax+2a+1）]e x，若a=，f′（x）=﹣x2e x≤0，函数f（x）在R上单调递减，若，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣2﹣，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；若＜a＜0，当x∈（﹣∞，0）和（﹣2﹣，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（0，﹣2﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；（3）若a=﹣1，f（x）=（﹣x2+x﹣1）e x，可得f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣x3﹣x2﹣m，原问题等价于f（x）﹣g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，即y=m与y=（﹣x2+x﹣1）e x﹣x3﹣x2的图象有3个不同的交点，构造函数F（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣x3﹣x2，则F′（x）=（﹣2x+1）e x+（﹣x2+x﹣1）e x﹣x2﹣x=（﹣x2﹣x）e x﹣x2﹣x=﹣x（x+1）（e x+1），令F′（x）=0，可解得x=0或﹣1，且当x∈（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（﹣1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，故函数F（x）在x=﹣1处取极小值F（﹣1）=，在x=0处取极大值F（0）=﹣1，要满足题意只需∈（，﹣1）即可．故实数m的取值范围为：（，﹣1）点评：本题考查函数与导数的综合应用，涉及根的个数的判断，属中档题．。
江西省宜丰中学2014-2015学年（上）高二第三次月考数学试卷（文）一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．) 1．若复数z 满足()543=-z i ，则z 的虚部为（ ）A.i 54-B.54-C. i 54D.54 2.函数)(x f y =在点（x 0，y 0）处的切线方程为12+=x y ，则xx x f x f x ∆∆--→∆)2()(lim 000等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．43．已知x 、y 的取值如下表所示：4．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ）.A.21B.31 C.41D.不确定 5．对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有二次命中目标的概率是 （ ） A ．0.41 B ．0.64 C ．0.74 D ．0.636. 已知双曲线1222=-y x 的焦点为21,F F ，点M 在双曲线上，且021=∙MF MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A ．34 B ．35 C ．3 D ．3327.2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ）A ．－21＜x ＜3B ．－21＜x ＜0C ．－3＜x ＜21D ．－1＜x ＜68. 若函数()f x 在R 上可导，且满足'()()f x xf x < ，则（ ） A ．2(1)(2)f f < B ．2(1)(2)f f > C ．2(1)(2)f f = D ．(1)(2)f f =9.由半椭圆12222=+by a x （x ≥0）与半椭圆12222=+c x b y （x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中222a b c =+，a >0b c >>．由右椭圆12222=+by a x （0x ≥）的焦点0F 和左椭圆12222=+c x b y （0x ≤）的焦点1F ，2F 确定的012F F F ∆叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆12222=+b y ax （0x ≥）的离心率的取值范围为（ ）A ．)1,31(B ．)1,32(C ．)1,33(D ．)33,0(10．已知函数()f x 的导函数图象如图所示,若ABC ∆为锐角三角形,则一定成立的是（ ）A ． (cos )(cos )f A fB < B ．(sin )(cos )f A f B <C ． (sin )(cos )f A f B >D ．(sin )(sin )f A f B > 二、填空题（每空5分，共25分）11经过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性1yO质，可以得到椭圆12222=+by a x 类似的性质为_______ __．12. 、设抛物线y 2=16x 上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF|= . 13如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________．14. 已知2()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 .15．(0)Z x =≠的最小值为 .三、解答题16．设函数3211()232f x x x x =+-，求()f x 的单调区间和极值；17．(1)根据表中数据，”； (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，18.已知集合Z ＝{(x ，y)|x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]} (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y≥0的概率．19．已知椭圆G ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)(0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．20．已知函数()1x af x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.21. 给定椭圆C ：22221(0)x y a b a+=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值并求该定值.参考答案DDBBA DDACC11. 经过椭圆12222=+by a x 上一点M （x 0，y 0）的切线方程为12020=+byy a xx12.13 13.32- 14. [)1,+∞ 15. 516. '2()2(2)(1)f x x x x x =+-=+-，当(2,1)x ∈-时，'()0f x <；当(,2)(1,)x ∈-∞-+∞时，'()0f x >； 故()f x 在(2,1)-单调减少，在(,2)(1,)-∞-+∞单调增加.()f x 的极大值10(2)3f -=，极小值7(1)6f =-17. 解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． (2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.18. (1)设“x ＋y≥0，x ，y ∈Z”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2；y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1. 则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x ＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.故x ，y ∈Z ，x ＋y≥0的概率为. (2)设“x ＋y≥0，x ，y ∈R”为事件B ，∵x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P(B)＝＝＝＝，故x ，y ∈R ，x ＋y≥0的概率为.19. 解：由已知得，=22c 6c a ．解得=23a 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为22=1124x y +． 设直线l 的方程为y ＝x ＋m ． 由22==1124y x m x y +⎧⎪⎨+⎪⎩，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0．①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)， 则1203==24x x m x +-，y 0＝x 0＋m ＝4m． 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ．所以PE 的斜率24==134mk ---+．解得m ＝2． 此时方程①为4x 2＋12x ＝0．解得x 1＝－3，x 2＝0．所以y 1＝－1，y 2＝2．所以|AB|＝32．此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为3222d ，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92． 20. 解:(Ⅰ)由()1x a f x xe =-+,得()1x af x e'=-.又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴,得()10f '=,即10ae-=,解得a e =. (Ⅱ)()1x a f x e'=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值.②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解.假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.21. 解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，准圆方程为224x y +=.（2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，.121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥.（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l ：x=1l ：x =1l 与准圆交于点1)1)-， 此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l ：x =12l l ，垂直.②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y xy =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值.。
