第六章_群论与量子力学

群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。

哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。

（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。

但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。

（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。

群论在量子力学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的是某种集合上带有某种运算的结构。

在量子力学领域，群论扮演着至关重要的角色。

本文将介绍群论在量子力学中的应用，揭示其在这一领域中的重要性和深远影响。

一、对称性与群论1.1 群的定义群是一个集合G，配备有一个二元运算（通常用乘法表示），并满足以下条件：（1）封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；（2）结合律：对于任意的a、b和c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；（3）存在单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a；（4）存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^(-1)∈G，使得a*a^(-1)=a^(-1)*a=e。

1.2 对称群与守恒量在量子力学中，对称性与守恒量密切相关。

对称群指的是保持给定物理系统性质不变的所有操作的集合。

例如，对于一维无限深势阱中的粒子，其对称群为平移操作构成的无限循环群。

1.3 量子力学的对称变换量子力学中，对称变换是指将波函数进行某种变换后，系统的物理性质保持不变。

通过应用群论的概念，可以对对称性进行深入研究，从而探索守恒量和相应的算符。

二、群表示与物理量2.1 群表示的定义群表示是指将群中的元素映射到线性空间上的一个变换。

对于量子力学中的算符，常常用矩阵形式表示，称为线性算符表示。

2.2 群表示的重要性群表示在量子力学中有着广泛应用。

通过对称群的表示，可以得到守恒量的操作矩阵，从而进一步研究量子力学中的各种物理现象。

2.3 时空对称性与洛伦兹群时空对称性是指物理现象在时空坐标变换下具有不变性。

洛伦兹群是描述时空对称性的群，它包括平移、旋转和洛伦兹变换。

2.4 自旋与旋转群自旋是粒子的基本属性之一，与旋转群密切相关。

旋转群描述了自旋在角动量空间中的转动，通过群表示可以研究自旋的各种性质和行为。

三、群论与量子力学的实例3.1 氢原子与球面对称群氢原子是量子力学中研究的经典系统，其波函数具有球面对称性。

第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r H ρˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g ρρ1-=，()r f ρ为任意函数，有：故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r Hρρ（由()r f ρ为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρρ='，()()()r H r H r g H ρρϖˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρˆˆ= 即当哈密顿算符()r H ρˆ在函数变换算符gP 的作用下不变时，则()r H ρˆ与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hρˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g Hg G H ρρˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hρρˆˆ= 令r g r ρρ='，则'1r g r ρρ-=，代入得：()'ˆ1r gg H ρ-，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====----结合律和单位元显然存在。

【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。

群论在物理学中的应用—刘巍冰3.28目录1引言（补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容。

）2群论与量子力学的基本联系（写出群论应用于量子力学的理论基础）2.1薛定谔方程的群2.2本征函数与薛定谔方程的群（定理一、二、三）3氢原子能级偶然简并的群论解释4群论方法分析原子能级在晶体场中的分裂5简化薛定谔方程的求解过程（参考群论教材第五章第二节。

）6群论方法研究问题的特点6.1群论方法研究量子力学的关键问题6.2群论方法的优缺点7结束语批语：根据上面的目录重新设计和补充论文内容！群论在量子力学中的应用刘巍冰1引言群论在物理中具有广泛的应用。

（补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容） 2群论与量子力学的基本联系参考群论教材第五章第一节，写出群论应用于量子力学的理论基础！ 3氢原子能级偶然简并的群论解释在近代物理学原子物理及结构化学中都讨论到原子能级问题。

由健子力学的薛定格方程求解得到某一确定能级对于若干态矢量(或波函数)。

这种多个态天量处于一个能级现象称为“简并”。

它表明原子的哈蜜顿(Hamiltonia 二)具有某种对称性。

因原子核的库仑势具球对称性故一般多电子原子态矢量由三个量子数n 、1、m 描述(不计自旋)。

能级E(n 、1)与量子数n 、1有关简并度是2(1十l);但是、对于氢原子(或类氢原子)同样情况简并度却群论在近代物理中的应用高得多: 21)1(2∑-==+n e n l氢原子的简并度高于一般原子的现象、称为“偶然简并”。

传统量子力学除了说明二子数的意义之外。

无法解释偶然简并现象。

早年、Panli 及Fock(‘’等人曾预言、指出可能与某些更高的对称性有关。

随着群论的引入、方得到正确解释。

群论指出:多电子原子其哈密顿仅具球对称、属50(3)群;氢原子(及类氢原子)哈密顿除了几何对称性之外、还有更高的对称性(即内察对称性),属于50(4)群、故其简并高于一般多电子原子。

群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。

哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。

（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。

但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。

（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。

群论与量子力学外尔群论，作为数学的一个分支，在物理学中有广泛的应用，尤其是在量子力学中。

它为描述和分类物理系统的对称性提供了一种强大的数学工具。

外尔，德国数学家，物理学家，和天文学家，是群论在物理学中应用的先驱之一，尤其是他关于规范场论的工作，对现代理论物理学产生了深远的影响。

在量子力学中，波函数是一种用来描述粒子状态的数学函数。

然而，波函数的实际意义并不直观，因为它是一个复数函数，其数值没有直接的物理意义。

相反，波函数的模平方给出了粒子在特定状态下的概率。

因此，为了更好地理解和分类不同的量子系统，物理学家们开始寻找波函数的对称性。

群论在这个问题上发挥了关键作用。

群论提供了一种系统的方法来描述和分类对称性，这使得物理学家能够理解和分类各种不同的量子系统。

例如，当物理学家研究一种新的物质或现象时，他们可能会寻找描述该物质或现象的波函数的对称性。

通过将波函数表示为对称群的元素，他们可以更好地理解该物质或现象的性质和行为。

外尔对群论在物理学中的应用做出了重要的贡献。

他引入了规范场论的概念，这是一种描述物质和力在微观尺度上如何相互作用的理论框架。

规范场论在现代物理学中非常重要，尤其是在量子场论和粒子物理学中。

它不仅解释了许多已知的物理现象，而且为探索未知的物理现象提供了一种理论框架。

总的来说，群论在量子力学中发挥了重要的作用，而外尔的工作对群论在物理学中的应用产生了深远的影响。

通过将波函数表示为对称群的元素，物理学家可以更好地理解和分类不同的量子系统。

规范场论作为外尔的一个重要贡献，为探索物质和力的相互作用提供了一种重要的理论框架。

因此，无论是群论还是外尔的工作，都在推动我们对量子世界的理解上发挥了关键作用。

在未来，随着理论物理学的发展，群论和其他数学工具将继续在探索宇宙奥秘中发挥不可或缺的作用。