量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#15up @

第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m M r p -==∙μ （1）总动量 21p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121M P m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） m p +=21μ，m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’） 总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m uR p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p m Mp p -⨯++⨯= )2)(1(⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。

总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m pP u m p m m u m m p P u m p m m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m m μ2222M P += （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、和的算术表示式r i ∇-= R i ∇-= ，p r P R L ⨯+⨯=解： ()()211221121r r m m Mi p m p m M ∇-∇-=-=（1） 其中 1111z y x r ∂∂+∂∂+∂∂=∇， 而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111， 同理，y Y M m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZ M m z ∂∂+∂∂=∂∂11； （利用上题（17）（18）式。

第六章：中心力场[1]质量分别为 m 1,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标及相对座R标r为：R =212211m m r m r m ++ (1)r 12r r r-= (2)试求总动量21p p P+=及总角动量21l l L +=在R ,r表象中的算符表示。

1. [解] （a ）合动量算符21p p P+=。

根据假设可以解出1r ，2r令21m m m +≡ ： r m m R r121-= （３）r m m R r212+= （４）设各个矢量的分量是),,(1111z y x r ，),(22,22z y x r ,),,(z y x r和),,(Z Y X R 。

为了计算动量的变换式先求对1x ， 2x 等的偏导数：xX m m x x x X x X x ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111 （5）xX m m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2222 （6） 关于1y ∂∂，2y ∂∂，1z ∂∂，2z ∂∂ 可以写出与（5）（6）类似的式子，因而： )()(212^1^^2^1^x x i p p p p P x x x x ∂∂+∂∂=+=+==Xi x X m m x X m m i ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )(21 RiZ i k Y i j X i i P ∇=∂∂+∂∂+∂∂= ^(b)总角动量)(2211^2^1^∇⨯+∇⨯=+=r r il l Lx x r r iL )(2211^∇⨯+∇⨯==)()(2222111y z z y i z z y i ∂∂-∂∂+-∂∂ 利用（3），（4），（5），（6）： ))({(12^zZ m m y m m Y i L x ∂∂-∂∂-=))((12y Y m m z m m Z ∂∂-∂∂-- ))((21zZ m m y m m Y ∂∂+∂∂++ )})((21yY m m z m m Z ∂∂+∂∂+- =)()({1y Z z Y Y Z Z Y m m i ∂∂-∂∂-∂∂-∂∂ )()(221y z z y m m Y z Z y m m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-)()(2yZ z Y Y Z Z Y m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+)}()(2221yz z y m m Y z Z y m m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+=)}(){(yz z y Y Z Z Yi∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ =x r R r iR i )(∇⨯+∇⨯因而 r R r iR i L ∇⨯+∇⨯=^[2]证明r r r ∂∂+=∇1],[212，∇=∇],[212r（证明）第一式ψ)(2122∇-∇r r =))((21222222222ψz y x zy x ++∂∂+∂∂+∂∂ )(21222222222zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂++-ψψψ但xz y x z y x x z y x x∂∂+++++=++∂∂ψψψ222222222)( 22222222()(z y x x x z y x x ++∂∂=++∂∂ψψ+)222xzy x ∂∂++ψ =232222222)())((z y x x x xz y x ++-+∂∂++ψψψ+2222223222)(xz y x z y x x x∂∂+++++∂∂ψψ即2222222222x z y x z y x x ∂∂++-++∂∂ψψ=232222222)(2z y x x zy x x x++-+++∂∂ψψψ同样写出关于y,z 的式子，相加得：22222222{21)(21zy x zz y y x xr r ++∂∂+∂∂+∂∂=∇-∇ψψψψ+}3222zy x ++-ψψ=r z r z y r y x r x ψψψψ+∂∂+∂∂+∂∂ =ψ)1(rr +∂∂ 因ψ是任意函数，因而第一式得证。

第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。

证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。

波长。

解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。

的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。