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第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考, 解析般体现在几何、函数与导数解答题中,难度较大.思忍II述〔应用点拔I詈■■■■■:■■■■■■■■■■■■■臆■題1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列｛勺｝的前斤项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决, 这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.'(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题结论适合原问题.(6)构造法：“构造” 一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集通过解决全集C7及补集［泌获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一分类讨论思想的应用［应用1］由性质、定理、公式的限制引起的分类■ 【例1一1】(1)设数列｛如的前〃项和为S/已知2S 尸3+,则数列仏｝的通项热点聚焦丨分类突破♦•••••• • ••••• ♦•・••••••••♦••••■ •••••• •••••••••(2)已知实数aHO ，函数沧尸 2x~\~a, x<l,—x —2a ，％三若 则 的值为解析⑴由2S“ = 3" + 3得：当〃 =1 时，2S] = 3】+ 3 = 2°],解得％二 3 ；当心2时，a n= S n— S n-1- |[(3n+ 3) — (3n_ 1+ 3)] = 3n^1,由于”=1 时，如=3 不适合上式，〔3, n—\,•••数列｛给｝的通项公式为给=3 , n 刁2.(2)当a>0 时，1—a<l, l+a>l,这时/(I—a) = 2(1—a)~ha = 2—a,—(1 +a) —2a =—1 —3ci.3由得2 — a= — l—3a,解得ci=—Q,不合题意，舍去；当avO 时，1—a>l 91+G V1,这时—a)——(1—a) — 2a =— 1—a,夬1+a) = 2(l+d)+a = 2 + 3a.由f(l—a)=f(l3+a)得一1 —a = 2 +3a, 解得a——才3综上可知，a的值为一才⑶川=1, 3合木⑴3"匕心2⑵—习探究提高由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前〃项和公式、函数的单调性等.［应用2］由数学运算要求引起的分类【例1-2】（1）不等式Ixl + I2x+3I$2的解集是（）A.（―°°, —|）U（1，+°°）（5 }B.（一_1）吨，+,(5C・一°°, —o U ［―1, +°°)f5 )D. (一®+°°J⑵已知mGR，则函数» = (4-3m)x2-2^ + m在区间［0,1］上的最大值为_3解析(1)原不等式可转化为f <_2， —x — (2x+3)三2, 解得兀£ —扌或一1 WxWO 或x>0, 故原不等式的解集为 .，-|]u[-l, +-).—寸 WxWO,—兀+ (2x+3)三2兀＞0, x+ (2兀+3)三2.4 4⑵①当4一3加=0,即加=3时，函数夕=一2兀+亍4它在［0, 1］±是减函数，所以y m ax=»=5-4②当4一3加即加Hg时，y是二次函数.4 — 1当4—3加>0,即加V3时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x=4ZT3m>0,它在［0, 1］上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).几0)=加，几1) = 2 —2加，、/4 2 4 当 — 又 m<^, 时，y max = /n.4 2当加V2 — 2m ，又 加Vj 即 加V3时，『max = 2(l —m).当4 — 3加V0,即加〉扌时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程兀=孑土所以函数y 在[0, 1]±是减函数，于是ymax=f(0)=加.2-2m, m<|,>2 m,<0, 由①、②可知，这个函数的最大值为VmaxT2—2m, m<|,答案(1)C (2)y maxm,探究提高由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根的被开方数为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解, 三角函数的定义域等,根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合.［应用3］由参数变化引起的分类【例 1 — 3］已知函数/S) = lnx+a(l—A：).(1)讨论/匕)的单调性；r ,二.(2)当有最大值，且最大值大于2a—2时，求°的取值范围.解(iy(x)的定义域为(0, +oo), /(X)=；-6Z.若aWO,贝lJf(x)>0,所以兀x)在(0, +oo)上单调递增.(1) 仃) ( 1 若t/>0,则当o,—时,/(%)>0；当+oo 时,/(%)<0,所以沧)在0,-\ Clj \Cl丿\ CI 上单调递增，在上单调递减.综上，知当dWO时，幷X)在(0, +°°)上单调递增；(il 「1 )当°>0时，兀X)在0,-上单调递增，在-，上单调递减.< Ct_ _Cl )⑵由⑴知，当aWO时，几劝在(0, +°°)上无最大值；1 仃) 1 ( 1)当a>0时，几劝在x=-处取得最大值，最大值为/ - =ln -+J1—- =-\na-\-a—l. Cl\CIJ Cl \ Cl)⑴因此/ —>2a — 2 等价于In a~\~a—IVO.令g(a)=ln a~\~a—1,则g@)在(0, + °°)_Jb 丿单调递增，g(l) = O・于是，当0VaV 1 时，g(d)VO；当a>l 时，g(a)>0・因此，Q的取值范围是(0, 1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题, 如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想［应用1］换元法【例2—1】已知实数°, b, c满足Q +Z?+ C =O,+ Z?2 + c2 = 1,贝【Jo的最大值是解析令b = x , c = y ,贝狀 + y = - a , x2 + y2 = 1 - a2.此时直线兀+y = —a与x2+y2— 1 ~a有交点,贝（J圆心到直线的距离寸1 解得/£彳，所以"的最大值为3.咎案坐探允提咼换兀法是一种变重代换,也是一种特殊的转化与化归方法,是用一种变数形式去取代另一种变数形式,是将生疏（或复杂）的式子（或数）,用熟悉（或简单）的式子（或字母）进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.［应用2］特殊与一般的转化【例2-2］过抛物线丁 =俶2@>0）的焦点尸作一直线交抛物线于p, Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为°, q,贝寸+*等于（）1 4A. 2a B茲 C. 4a D.~解析抛物线y=ax\a>0）的标准方程为x2=^y（a>0）.（］\ 1 1 1焦点片6 詁取过焦点F的直线垂直于y轴，则PF\ = \QF\=^所以#+厂4仏答案C探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化, 可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.［应用3］常量与变量的转化【例2 —3】对任意的lmlC2,函数/（兀）=加齐一2%+ 1 —加恒为负,贝吹的取值范围为解析对任意的lmlC2 ,有加界・2x + 1 - m < Of旦成立,即I加IW2时,(%2 - l)m - 2% + 1 < 0恒成立・设gO) = (%2 - l)m・2x + 1 ,则原问题转化为gO) < 0恒成立(加丘[-2,2]).2x2+2x—3>0,VxV迥乂，即实数兀的取值范2x2—2x—探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的•［应用4］正与反的相互转化( \【例2-4】若对于任意圧［1, 2］,函数在区间(/, 3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________ .解析gG) = 3” + (加+4)兀一2,若g(x)在区间(笃3)上总为单调函数，则①0(兀)20 在(f, 3)上恒成立，或②gG)W0在(/, 3)上恒成立.2 _ 2由①得3“ + (加+4)x—2三0，即加+4三—一3x在兀W⑺ 3)上怛成立，•：加+4三；一X T 3"亘成立，则771 + 4^-1,2 一即加三一5；由②得加+4W——3兀在兀丘(九3)上怛成立，X2 37则加+4W§—9，艮卩mW—了・37 •••函数g(x)在区间⑺3)上总不为单调函数的加的取值范围为一y</n<-5. - (37 )答案 [' _5探究提高否定性命题,常要利用正反的相互转化，先从正面求解,再取正面答案的补集即可,—般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少, 从反面考虑较简单,因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.曲纳总结思维升华 1•分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学 问题的操作过程：明确讨论的对象和动机f 确定分类的标准f 逐类进行讨论f 归 纳综合结论f 检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做 到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有： ⑴集合：注意集合中空集讨论.--(2) 函数：对数函数或指数函数中的底数°, 一般应分°>1和OVaVl 的讨论；函数 y=ax 2-\~bx-\~c 有时候分a=O 和aHO 的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论. • •• ••••• •••••・• ・⑶数列：由S“求a“分”=1和斤＞1的讨论；等比数列中分公比g= 1和qHl的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b = 0和bHO的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. 总I(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.。
