除水印。
20159年高考理科数学试卷全国1卷
1.设复数z 满足
11z
z
+-=i ,则|z|=( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )2 2.o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) (A )32-
(B )32 (C )12- (D )12
3.设命题p :2
,2n
n N n ?∈>,则p ?为( )
(A )2
,2n
n N n ?∈> (B )2,2n
n N n ?∈≤
(C )2,2n
n N n ?∈≤ (D )2,=2n
n N n ?∈
4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312
5.已知M (00,x y )是双曲线C :2
212
x y -=上的一点,12,F F 是C 上的两个焦点,若120MF MF ?
,则0y 的取值范围是( )
(A )(-
33,33) (B )(-36,3
6) (C )(223-
,223) (D )(233-,23
3
)
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛
7.设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r
,则( )
(A )1433AD AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r (B )1433
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
(C )4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D )4133
AD AB AC =-u u u u u u u r
u u u r u u u r
8.函数()f x =cos()x ω?+
的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( )
(A )13(,),44k k k Z ππ-
+∈ (B )13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C )13(,),44k k k Z -
+∈ (D )13
(2,2),44
k k k Z -+∈
9.执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )
(A )5 (B )6 (C )7 (D )8 10.2
5
()x x y ++的展开式中,5
2
x y 的系数为( )
(A )10 (B )20 (C )30 (D )60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( )
(A )1 (B )2 (C )4 (D )8
12.设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()
f x 0,则a 的取值范围是( ) (A )[-32e ,1) (B )[-32e ,34) (C )[32e ,34) (D )[3
2e
,1)
13.若函数f (x )=2ln()x x a x ++为偶函数,则a=
14.一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.
15.若,x y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥??
-≤??+-≤?
,则y x 的最大值为.
除水印。
16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.
17.(本小题满分12分)
n
S为数列{
n
a}的前n项和.已知
n
a>0
,2
n n
a a
+=43
n
S+.
(Ⅰ)求{
n
a}的通项公式;
(Ⅱ)设
1
1
n
n n
b
a a
+
= ,求数列{
n
b}的前n项和.
18.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥
平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)
对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费
i
x和
年销售量
i
y(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计
量的值.
x
r
y
u r
w
u r
8
2
1
()
i
i
x x
=
-
∑82
1
()
i
i
w w
=
-
∑8
1
()()
i i
i
x x y y
=
--
∑8
1
()()
i i
i
w w y y
=
--
∑
46.656.3 6.8289.8 1.61469108.8
表中
i i
w x
=,w
u r
=
1
8
8
1
i
i
w
=
∑
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(ⅰ)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费x 为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ,……,(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
20.(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=2
4
x 与直线y kx a =+(a >
0)交与M,N 两点,
(Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=31
,()ln 4
x ax g x x ++
=-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;
(Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{
()min (),()(0)h x f x g x x => ,
讨论h (x )零点的个数. 22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,AB 是的直径,AC 是的切线,BC 交
于E.
(Ⅰ)若D 为AC 的中点,证明:DE 是的切线;
(Ⅱ)若3OA CE =
,求∠ACB 的大小.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
除水印。
在直角坐标系xOy 中,直线1C :
x =-2,圆2C :()()22
121x y -+-=,以坐标原点
为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求
2C MN ?的面积.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数
=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;
(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.
【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由
11z i z +=-得,11i z i
-+=
+=(1)(1)
(1)(1)i i i i -+-+-=i ,故|z|=1,故选A. 考点:本题主要考查复数的运算和复数的模等.
2.【答案】D
【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1
2
,故选D. 考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】C
【解析】p ?:2,2n
n N n ?∈≤,故选C. 考点:本题主要考查特称命题的否定 4.【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为223
30.60.40.6C ?+=0.648,
故选A.
考点:本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A
【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -,22
0012
x y -=,所以12MF MF ?u u u u r u u u u r = 0000(3,)(3,)x y x y ---?-- =2220
003310x y y +-=-<,解得033
33
y -<<,A.
考点:双曲线的标准方程;向量数量积坐标表示;一元二次不等式解法. 6.【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ,则
12384r ??==16
3
r =
,所以米堆的体积为211163()5433????=
3209,故堆放的米约为320
9
÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 7.【答案】A
【解析】由题知11()33
AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
=
1433
AB AC -+u u u
r u u u r ,故选A. 考点:平面向量的线性运算 8.【答案】D
【解析】由五点作图知,1
+42
53+42
πω?π
ω??=???
?=??,解得=ωπ,=4π?,所以()cos()4f x x ππ=+,令22,4
k x k k Z π
ππππ<+<+∈,解得124k -
<x <3
24
k +,k Z ∈,故单调减区间为(124k -
,3
24
k +),k Z ∈,故选D. 考点:三角函数图像与性质
9.【答案】C
【解析】执行第1次,t=0.01,S=1,n=0,m=1
=0.5,S=S-m=0.5,m
m ==0.25,n=1,S=0.5>
输出10.
除水印。
何得到该项,再利用排列组知识求解. 11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为
221
42222
r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B.
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 12.【答案】D
【解析】设()g x =(21)x
e x -,y ax a =-,由题知存在唯一的整数0x ,使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.
因为()(21)x
g x e x '=+,所以当12x <-
时,()g x '<0,当1
2
x >-时,()g x '>0,所以当1
2
x =-时,max [()]g x =1
2-2e -,
当0x =时,(0)g =-1,(1)30g e =>,直线y ax a =-恒过(1,0)斜率且a ,故
(0)1a g ->=-,且1(1)3g e a a --=-≥--,解得
3
2e
≤a <1,故选D.
考点:本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
13. =ln(14.
15.【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,
y
x
是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A (1,3)与原点连线的斜率最大,故y
x
的最大值为3.
考点:线性规划解法
16.【答案】
【解析】如图所示,延长BA ,CD 交于E ,平移AD ,当A 与D 重合与E 点时,AB 最长,在△BCE 中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得
sin sin BC BE
E C
=
∠∠,即
o o
2sin 30sin 75BE
=
,解得BE AD ,当D 与C 重合时,AB 最短,此时与AB 交于F ,在△BCF 中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,
sin sin BF BC FCB BFC =∠∠,即o o
2
sin 30sin 75
BF =,解得AB 的取值
考点:正余弦定理;数形结合思想
17.
除水印。
当
2n ≥时,2211
n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ,即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,因为0n a >,所以1n n a a --=2,
所以数列{n a }是首项为3,公差为2的等差数列, 所以n a =21n +; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n b =1111
()(21)(23)22123n n n n =-++++,
所
以
数
列
{
n
b }
前
n
项
和
为
12n
b b b +++L =
1111111[()()()]235572123n n -+-++-++L =11
646
n -
+. 考点:数列前n 项和与第n 项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法
18.【答案】 【解析】 试题分析:(Ⅰ)连接BD ,设BD∩AC=G,连接EG ,FG ,EF ,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1易证EG ⊥AC ,通过计算可证EG ⊥FG ,根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ,由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ;(Ⅱ)以G 为坐标原点,分别以,GB GC u u u r u u u r
的方向
为x 由BE 又∵在Rt 在Rt ∴∵EG
(Ⅱ)如图,以G 为坐标原点,分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB u u u r
为单
位长度,建立空间直角坐标系G-xyz ,由(Ⅰ)可得A (0,
,0),E (
),
F (-1,0,2),C (0
0),∴AE u u u r =(1
),CF uuu r =(-1,
,2
) (10)
分
故cos ,||||
AE CF AE CF AE CF ?<>==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
所以直线AE 与CF
.
19.
w =为用.
除水印。
108.8
=6816
, ∴$c
y dw =-$=563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为$100.668y w =+,
∴y 关于x 的回归方程为$100.6y =+
(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当x =49时,年销售量y 的预报值
$
100.6y =+,
576.60.24966.32z
=?-=$. (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z 的预报值
0.2(100.620.12z
x x =+-=-+$,
=
13.6=6.82
,即46.24x =时,z
$取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时,年利润的预报值最大.……12分
考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识
20.【答案】0y a --=0y a ++=(Ⅱ)存在
【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求出M,N 的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用
∵y '
y a -故y y a -设P
将y
∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=
+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()
k a b a
+. 当b a =-时,有12k k +=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN ,所以(0,)P a -符合题意.
考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力
21..【答案】(Ⅰ)34a =
;(Ⅱ)当34a >-或54a <-时,()h x 由一个零点;当34
a =-或54a =-时,()h x 有两个零点;当53
44
a -<<-时,()h x 有三个零点.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应的a 值;(Ⅱ)根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数,若零点不容易求解,则对a 再分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ,则0()0f x =,0()0f x '=,
即3
00
10
4
3x ax ?++=????,解得13,x a ==. ∴(h 当x 是(h 故x 当x a ≥0
除水印。
(ⅱ)若30a -<<,则()f x 在(01)单调递增,
故当x ()f x 取的最小值,最小值为f 14.
①若f >0,即3
4-<a <0,()f x 在(0,1)无零点.
②若f =0,即3
4
a =-,则()f x 在(0,1)有唯一零点;
③若f <0,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5
(1)4
f a =+,所以当5344a -<<-时,()f x 在(0,1)有两个零点;当5
34
a -<≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点.…10分
综上,当34a >-
或54a <-时,()h x 由一个零点;当34a =-或5
4a =-时,()h x 有两个零点;当53
44
a -<<-时,()h x 有三个零点.
考点:利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想
22.
DE 得解出在Rt 连结∵∠ ∴2x
考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理 23.【答案】(Ⅰ)cos 2ρθ=-,2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=(Ⅱ)1
2
【解析】
试题分析:(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ,2C 的极坐标方程;(Ⅱ)
将将=
4
π
θ代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|,利用三角形面积公式即
可求出2C MN V
的面积. 试题解析:(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==,
∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为
22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分
=将,
除水印。
(Ⅱ)由题设可得,12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??
=+--≤≤??-++>?
,
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21
(
,0)3
a A -,(21,0)B a +,(,+1)C a a ,所以△ABC 的面积为22
(1)3
a +.
由题设得22
(1)3
a +>6,解得2a >.
所以a 的取值范围为(2,+∞).
考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法