高三数学理科二轮复习 1-5-12等差数列、等比数列、数列的综合应用

高三数学数列的综合应用【本讲主要内容】数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）。

2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的。

3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等。

要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决。

【解题方法指导】例1. （2005年全国卷三）在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列 ，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k 。

解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可。

解：依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12= 10a d d =∴≠， ，得nd a n =所以，由已知得 ，，，，，，d k d k d k d d n 213是等比数列 由d ≠0，所以数列1，3，21k k ，，…，n k ，…也是等比数列 首项为1，公比为q=3，由此得91=k等比数列{n k }的首项91=k ，公比q=3，所以)21(33911 ，，==⨯=+-n k n n n即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+例2. （2005年上海卷）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n 项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n 项。

高考数学二轮复习 数列的综合应用一、知识点梳理1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和； 3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 二、例题选讲1．(★）1．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a------------------------------------------------------------------（ D ）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．（★）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为------------------（ A ）（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）193．（★）三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是---------------------------------------------（ C ）A.8B.8或－15C.± 8D.±154．（★) 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=------------------------------------------------------------------------------------------（A ）Ａ．2-Ｂ．0Ｃ．1Ｄ．25．（★★）在等差数列中，前n 项的和为S n ,若S m =2n,S n =2m,(m 、n ∈N 且m ≠n)，则公差d 的值为----------------------------------------------------------------------------------------（ A ）A.－mn n m )(4+ B.－)(4n m mn + C.－mnn m )(2+ D. －)(2n m mn +6．（★★)，则满足项之和为的前，数列·设n n n-n S n a a }{)21(6=1-是的最小正整数││n n 1001<4S -( B )（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）117．（★★) 正项等比数列｛a n ｝与等差数列｛b n ｝满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为---------------------------------------------------（ B ） （A ） 4a =4b（B ）4a ＜4b（C ）4a ＞4b （D ）不确定8．（★★）设函数1)(22+++-=x x n x x x f （∈x R ，且21-≠n x ，∈x N *），)(x f 的最小值为n a ，最大值为n b ，记)1)(1(n n n b a c --=，则数列}{n c ------ ------------------------------（ C ） （A ）是公差不为0的等差数列 （B ）是公比不为1的等比数列 （C ）是常数列 （D ）不是等差数列，也不是等比数列9．（★★★) 三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是-----------------------------------------------------------------（ D ）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形，但不是直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形10．（★★★）设)(x f 是定义在R 上恒不为0的函数，对任意R y x ∈,，都有)()().(y x f y f x f +=，若)(,211n f a a n ==（n 为常数），则数列}{n a 的前n 项和n S 的取值范围是---------------------------------------------------------------------------------------( D )A ．)2,21[ B ．]2,21[ C ．]1,21[ D ．)1,21[11．（★）等差数列{a n }的前10项中，项数为奇数的各项之和为125，项数为偶数的各项之和为15，则首项a 1＝_113_，公差d ＝__-22__．12．（★）正项等比数列{}n a 的首项512a -=，其前11项的几何平均数为52，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是52，则抽取一项的项数为_6 ．13．（★）设数列{}n a 满足1236,4,3a a a ===,且数列1{}()n n a a n N *+-∈是等差数列，求数列{}n a 的通项公式27182n n n a -+=（n ∈N *）.15．设()442xx f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求121111f f ++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…1011f +⎛⎫⎪⎝⎭的值为 5 .14．（★★）在等差数列}{n a 与等比数列{}n b 中，)3,2,1(0,0121211 =>=>=++n b a b a n n 则11++n n b a 与 的大小关系是11++≥n n b a ．15．（★★）等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且,.26,825324n S T a a a a nn ==+=-记如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，M T n ≤都成立，则M 的最小值是 2 。