工程电磁场-倪光正-第1章电磁场的数学物理基础

车。 好在邻 村也有 人在读 高中， 所以我 爸爸每 次都和 邻村的 人搭伴 走。（ 那
个时候， 大学生 非常少 ，能考 上高中 就是很 了不起 的事情 ） 那天我 爸爸照 常
和邻村的 那个人 一起回 家。（ 那个人 叫金西 ，熟人 都叫他 西西） 那 时候都 深
秋了，天 黑的也 比较早 ，回家 的路还 没走一 半天就 黑了。 不过两 个人早 也习惯 了
理想化假设 电路模型(一种具体 的物理模型)
电路模型： •理想电路元件(R、L、C)
及其组合 •理想电压源、电流源(e,i)
分析问题
以u，i为基 本物理量
给定激励(e,i) 求响应(u,i)
电磁场分析：
实际电磁装置中的电磁 现象和过程
理想化假设 电磁场的物理模型
电磁场的物理模型：
• 连续媒质的场空间(,,
入关于电荷平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度 分布的方式来给定带电体的电荷量。
取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式：
▪ 体电荷密度（volume charge density）
r lim q r d q r C3/m V 0 V d V
▪ 面电荷密度（surface charge density）
1.1.3 媒质的电磁性能参数
反映媒质在电场作用下的极化性能——介电常数 (F/m)
反映媒质在电场作用下的导电性能——电导率 (1/m=S/m)
反映媒质在磁场作用下的磁化性能——磁导率 (H/m)
C
R
L
真空（自由空间）中电磁性能的特征参数
036 1 10-98.854 10-12 F /m
en
若矢量场 F ( r ) 分布于空间中，在
空间中存在任意曲面S，则定义：
面积元矢量 dS
F(r)dS S
为矢量 F ( r ) 沿有向曲面S的通量。
若S 为闭合曲面
sA(r)dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
关于矢量场通量的说明
1) 面元矢量 d S 定义：面积很小的有向曲面。 dSendS
(3)通过电磁场理论的逻辑推理，培养学生正确的思维方法 和严谨的科学态度。
二、引言
1. 什么是场？
● 物理概念上的描述：“在遍及一个被界定的或无限扩展的 空间内，存在着某种必须予以重视、研究的效应”。例如，温
度场T(x,y,z,t)、重力场F(x,y,z,t)，以及电场E(x,y,z,t)、 磁场B(x,y,z,t)等对应于相应物理效应客观存在的物理场；
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数 标量场梯度的大小表示标量场的最大变化率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
梯度的运算 直角坐标系：
grad
u
u x
ex
u y
散度的物理意义
矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)； 矢量场的散度是标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。
( divF(r)0正源) divF(r)0负源) ( divF(r)0无源）
讨论：在矢量场中，
若 divF(r)0，则该矢量场称为有散场，为通量源密度。
ey
u z
ez
哈密顿算符
( x
ex
y
ey
z
ez )u
u
例1.1 电位场的梯度
电位场的梯度
▪ 电位场的梯度与过该点 的等位线垂直；
▪ 数值等于该点的最大方 向导数；
▪ 指向电位增加的方向。
1.2.5 矢量场的散度
1. 矢量场的矢量线
形象地描述矢量场在空间的分布
矢量线的概念：矢量线是场空间中的有向曲线，矢量 线上任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同， 如下图所示：
，一边聊 天一边 往回走 。 那时候 就是市 区都没 有路灯 的，路 都是石 子路， 还
不是水泥路.农村全部都是泥路，不下 雨还好 一点， 下雨了 更难走 。
两个人一
边走一边 说着， 速度也 挺快， 出了市 区以后 ，走在 了农村 的泥路 上，路 两边都 是 一条条小
2. 本课程的理论体系——宏观电磁理论
量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的
关系。
微
观
3 矢量场的散度（Divergence）
散度的定义 在场空间 F ( r ) 中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积
为 V ，则定义场矢量 F ( r ) 在M点处的散度为：
divF(r)limsF(r)dS
V 0 V
即流出单位体积元封闭面的通量，体现了点M处的通量源密 度。
，标量场u 在M
0 处沿 l 方向增加；
u 0 l M0
，标量场 u 在M
0 处沿 l 方向减小；
u
0 l M0
，标量场u 在M
0 处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
方向导数既与点M0有关，也与方向有关。 问题：
在哪个方向上变化率最大? 最大的变化率为多少？
梯度
梯度的定义 gradu(x,y,z)el u l m ax 式中：e l 为场量 u 最大变化率的方向上的单位矢量。
e =1.602 177 33×10-19 (单位：C) 确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量， 而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。
• 宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e 的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q 可任意连续取值。
• 类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引
0410-7 H /m
光速 c 1 3108 m/s
00
1.2 矢量分析 1.2.1 矢量代数
标量积：服从交换律和分配律
交换律：A·B=B·A 分配律：A·(B+C)=A·B+A·C
矢量积：服从分配律 分配律：A·(B+C)=A·B+A·C
1.2.4 标量场的梯度
方向导数的概念:
M0是标量场 u(M)中的一点，从该点出发引
1.1.1 源量
两类场源（电荷 q、电流 i ）
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。
源量q(r,t)和i(t)分别用来描述产生电磁场效应的两类场源。
1.电荷 q（Charge）
• 1907－1913年间，美国科学家密立根(iken)通过油滴实 验，精确测定电子电荷的量值为
一条射线L,M是射线上的动点。到点M0的距离 u (r )
l
为 l
M
u lim u(M ) u(M 0 )
l
l 0
l
M0
M0 l
方向导数的意义：描述标量场沿L方向对距离的变化率。
方向导数的计算公式
u u cos u cos u cos （直角坐标系）
l x
y
z
方向导数的特点：
u l
0
M0
闭合曲面的 外法线方向
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
0
若 0，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发
出矢量线的正通量源；
若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负通
量源；
若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无
通量源，或正、负通量源代数和为0。
闭合曲面的通量为一积分量，从宏观上建立了矢
● 数学意义上的描述：“给定区域内各点数值的集合，并由 此规定了该区域内某一特定量的特性”。
今天 给大伙 说一个 我爸爸 年轻时 候的事 情。 那一 年我爸 才十九 岁，还 是
高中生， 那时候 交通根 本就没 有公交 车，当 然也没 有出租 车，自 行车都 是奢侈 品
，主要还 是靠步 行的。 我 们这边 没有高 中，只 有小学 初中， 高中要 去市区 读
M dr
F (r )
r
r dr
o
矢量线
矢量线的作用 根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向 根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢 量的大小及变化趋势。
B
A
A点受到向下电场力 B点受到向下电场力 A点比B点受到的力大
越密矢量越大
2. 矢量场的通量（Flux）
问题：如何定量描述矢量场的大小？
F (x, y,z)
d S ：面元面积，为微分量，无限小 e n ：面元法线方向，垂直于面元平面。
en dS
2) s F d S s F e n d S s F c o s ( r ) d S
3) 面元法向 e n 的确定方法： 方向：1、开曲面上的面元 2、闭合面上的面元
确定绕行l的方向后， 沿绕行方向按右手 螺旋—拇指方向
(1)洛仑兹力： 运动电荷在磁场中所受到的力称为洛伦兹力
d Fd qv B
• dF洛仑兹力
定义 BdFmax
dqv
•
dFv
T, Wb/•mdF方 向，由
v决B定
(2)安培力公式
d FId l B
对于磁场问题，研究与分析的首要任务是在给定源量的作用 下求其磁场强度B(r,t)随空间和时间的变化规律。
麦克斯韦电磁场方程组是宏观电磁理论体系的基础。
静电：库仑定律 电路：欧姆定律 电流：安培定律 电磁场：电磁感应定律
3. 电磁场理论研究的现实意义
4.知识就是力量——“电磁理论及其应用技术”是当代 高层次电气信息类科学工作者和工程师必须具备的基 础知识和能力
●电磁物理概念和有关数学分析工具应用的最佳结合当代大学生知识、能力和素质培养的现实需要；
若 divF(r)0处处成立，则该矢量场称为无散场。