2012年全国高中数学联赛试题

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为________ 解：设3()3, [3,3]g x x x x =-∈-，2()333(1)(1)g x x x x '=-=-+；∵(1)2g -=，(1)2g =-，(3)18g =，(3)18g -=-，∴根据()g x 的单调性结合绝对值的性质知：3()3f x x x =-的最大值为18． （点评：用好特殊点，脱掉绝对值号．）2．在ABC ∆中，已知12AC BC ⋅= ，4AC BA ⋅=-，则AC =________ 解：16AC BC AC BA ⋅-⋅= ，16AC AC ⋅= ，所以4AC =．（点评：向量求模，必求其平方．）3．从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为________ 解：考虑取出三数从小到大成数列：当1d =时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组； 当2d =时，有3，5，7；4，6，8两组；所以，一共有6种情形；从6个元素中随机选取3个不同的元素共有：3620C =种情形；故概率为：632010P ==． （点评：有序分类，逐一列出，不会失解．）4．已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________解：由2(4)40b i b ai ++++=，即2(44)()0b b b a i ++++=；得2244020a b b b a b =⎧++=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩a bi ⇒+=． （点评：复数相等原理、向量线性表出、多项式恒等属同类型问题，注意对应项的系数相等．）5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A B 、两点；若FAB ∆的面积为________ 解：由题可设斜率为 (0)k k >，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由对称知：1y 与2y 是互为相反数；DCBA将y kx =代入:C 223120x y --=； 得：22(13)12k x -=，221213x k =-，22221213k k x k =-；由1211442S y y y =⨯⨯-==2112y =；∴22121213k k =-，2213k k =-；∴214k =，而0k >，∴12k =． （点评：圆锥曲线问题总是有点运算的，要有耐心，还要注意用好几何性质．） 6．已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________解：两边取对数得：2lg (lg )0k a =≥，∴1k ≥，即k 的取值范围是[1, )+∞． （点评：两边取对数，是个冷方法．）7．在四面体ABCD 中，5AB AC AD D B ====，3BC =，4CD =；该四面体的体积为________解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A 点在底面上的射影为三角形的外心；∴由直角三角形知它是为BD中点，故113432V =⋅⋅⋅=． （点评：注意用好平面几何的性质．）8．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b +=，227a b +=，3315a b +=，4435a b +=，则n n a b +=________解：设公差为d ，公比为q ，则11112113113 (1)7 (2)215 (3)335 (4)a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩； （4）减（3）得：321120d b q b q +-=； （3）减（2）得：2118d b q b q +-=； 上述两式相减：32111212 (5)b q b q b q -+=；（1）+（4）得：31112338a d b q b +++=，（2）+（3）得：21112322a d b q b q +++=； 两式相减得，32111116b q b b q b q +--=（6）； 从而(5)(6)，可得：314q q =+；∴3q =， 112, 2,1a d b ===； ∴12, 3n n n a n b -==，123n n n a b n -+=+．（点评：递推数列相加、相减是常规方法，相除则要细心观察．）9．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种． 解：将7个数分成3类：（1）3k 的数为：27，48，75，有3个； （2）31k -的数为47，71，有2个； （3）31k +的数为37，55，有2个；要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数， 第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有33A 种，每一类位置各有22A 种排法，故共有233233144A A =（）种排法． （点评：用特例进行分析，找到数与数之间的规律．）10．三角形的周长为31，三边, , a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________解：∵31, a b c a b c Z +++=∈、、，∴11c ≥；又∵a b c +>，∴15c ≤；∴c 的所有可能取值为：11，12，13，14，15；当11c =时，(, )a b 的取值为（9，11）（10，10），有2组； 当12c =时，(, )a b 的取值为（7，12）（8，11）（9，10），有3组；当13c =时，(, )a b 的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9），有5组； 当14c =时，(, )a b 的取值为(3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9），有6组； 当15c =时，(, )a b 的取值为（1，15）（2，14）（3，13）┅（8，8）有8组 故满足要求的三元(, , )a b c 的个数为24． （点评：处理不定方程的常规方法是缩小范围．）二、解答题（本大题共4小题，每小题20分） 11．在ABC ∆中，角, , A B C 对应的边分别为, , a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=；（2）22sin cos cos 2C A Ba bc +=+．证法一：（余弦定理法）（1）22222222cos cos 222a b c a c b a b C c B b c a ab ac a+-+-+=+==；（2）222222cos cos 22a c b b c a A B ac bc a b a b+-+-++=++ 22322322222()2ab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc+-++---+==+而222222212sin1cos 2222a c b CC ab a b c ac c c c abc+-----+===，∴等式成立． 证法二：（正弦定理法）（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：2sin , 2sin b R B c R C ==，∴cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin()2sin b C c B R B C R C B R B C R A a +=+=+== （2）由（1）可知：cos cos b C c B a +=，同理有：cos cos a C c A b +=；∴cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+； 即2(cos cos )()(1cos )()2sin 2C c B A a b C a b +=+-=+⋅； ∴22sin cos cos 2CA Ba bc +=+．（点评：三角恒等式的证明，通常是“由繁向简”，十分复杂的“作差得0”．） 12．已知, a b 为实数，2a >，函数()|ln | (0)af x x b x x=-+>；若(1)1f e =+，(2)ln 212e f =-+；（1）求实数, a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数, c d 满足c d >，1cd =，求证：()()f c f d <． 解：（1）由题意可得：(1)1(2)ln 2ln 2122f a b e a ef b ⎧=+=+⎪⎨=-+=-+⎪⎩； ∵1a >，∴ln 2ln 222a a-=-，∴122a e b +=+，∴, 1a e b ==．（2）()ln 1af x x x=-+； 设()ln a g x x x =-(0)x >；21()0eg x x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上递增； ∵()0g e =，∴0x e <<时，()0g x <；∴()ln 1ef x x x=-+，()f x 在(0, )e 上递减；当x e >，()0g x >，()ln 1ef x x x=-+在(,)e +∞上递增，即()f x 的减区间为(0, )e ，增区间为(,)e +∞．（3）1, 1d c c =>，()ln 1e f c c c=-+；11()()ln 1f d f ce c c ==-+ln 1ln 1ln 1c c c ce c c e e=++>++>++ln 1()cc f c e>-+=； ∴命题成立．（点评：注意同一道题中各小题关系，前面的可用作后面的结论．）13．如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM 上有一动点B ，1AB =，1OB >，线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点，求线段CD 长的取值范围．M BDOA证明：如图，设AO B θ∠=，∵OA OB =，∴O BA θ∠=，∴2BAO πθ∠=-，∵OA OC =，∴2OCA πθ∠=-，∴3BOC πθ∠=-， ∵D 为OB 的中点，∴cos cos OD OA θθ==；∴2222cos CD OC OD OCOD COD =+-∠21cos 2cos cos(3)θθπθ=+--21cos 2cos cos3θθθ=++231cos 2cos (4cos 3cos )θθθθ=++-4222578cos 5cos 18(cos )1632θθθ=-+=-+又3BOC AOB πθθ∠=-<∠=，2OCA OBA πθθ∠=->∠=； 得3πθθ-<，2πθθ-<；∴43ππθ<<，∴211cos (, )42θ∈，∴271[,)322CD ∈；∴CD ∈． （点评：用解三角形的知识处理平面几何题，是高中平面几何一大特色．）14．设是, , , a b c d 正整数，, a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根；证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形． 证明：由题设可知，a b d cab cd+=-⎧⎨=⎩，由于,,,a b c d 是正整数，考虑, , a b a c b c +++三个数： 易知：()()2()a b a c a b c b c +++=++>+，()()2()a b b c b a c a c +++=++>+， ()()2()a c b c c a b a b +++=++>+，即, , a b a c b c +++中任两个数之和大于第三个数，且为正整数， 2222222222222()()22()22()22()c a b c a b c c a b a b c c d c a b cd a b ab a b +++=++++=+++-=++=++=+又111()()(())()222S a c b c ab c a b c ab cd ab =++=+++=+=；故存在边长为,a c b c a b +++，（均为正整数）的直角三角形（a b +为斜边）符合题设要求． （点评：探索性问题求解时要大胆地猜测，这也是创造性思维的特点．）。

PA ⋅ PB = 1 x - (x + 2) 0 0 x 02 2 PA ⋅ PB = PA PB cos 3π42 2 2 x x A D 0 0 x ⎝ 0 ⎭ 0一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）2012 年全国高中数学联合竞赛第一试 1. 设 P 是函数 y = x + 2(x > 0) 图像上的任意一点，过 P 分别向直线 y = x 和 y 轴作垂线，垂足分别为xA 、B ．则 PA ⋅ PB = ． 答案：-1．解法 1 设 P ⎛ x , x + 2 ⎫，则l: y - ⎛ x + 2 ⎫ = -(x - x ) ，即 y = -x + 2x + 2 ．⎝ 0 ⎭ PA 0 x ⎪ 0 0 x 上式与 y = x 联立解得点 A ⎛ x + 1 , x+ 1 ⎫ ．又点 B ⎛ 0, x + 2 ⎫ ，则 PA = ⎛ 1 , - 1 ⎫ ，PB = (-x ,0) ，0 x 0 x ⎪ 0 x x x ⎪⎝ 0 0 ⎭ 故 (-x ) = -1 ． ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 0 ⎭0 0⎛ 2 ⎫解法 2 如图 3，设 P x 0 , x 0 + ⎝⎪(x 0 > 0) ．则点P 到直线 x - y = 0 和 y x 0 ⎭ PA = = ， PB = x ． 0因为 O 、A 、P 、B 四点共圆，所以， ∠APB = π - ∠AOB = 3π ．4图 3 故= -1． 2. 设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足a cos B - b cos A = 3 c .则 tan A= ．5tan B答案：4．c 2 + a 2 - b 2b 2 +c 2 - a 2 3 2 23 2 解法 1由题设及余弦定理得a ⋅- b ⋅ = c ⇒ a - b = c ．tan A = sin A ⋅ cos B = a ⋅ 2cac 2 + a 2 - b 22ca 2bc 5 5=c + a - b = 故 tan B sin B ⋅ cos A b 2 + c 2 - a 2 b ⋅2bcc 2 + b 2 - a 24 C 解法 2 如图 4，过点 C 作CD ⊥ AB ，垂足为 D .则a cos B = DB ， b cos A = AD ．由题设得 DB - AD = 3c ．B5CD 图 4 又 DB + DA = c ，联立解得 AD = 1 c ， DB = 4c .故tan A = AD = DB = 4 ． 5 解法 3 由射影定理得a cos B + b cos A = c5 tan B CD ADDB 又 a cos B - b cos A = 3 c ，与上式联立解得a cos B = 4 c ， b cos A = 1c5 5 5故 tan A = sin A ⋅ cos B = a cos B = 4 tan B sin B ⋅ cos A b c os AMNABAF BF⎛ 2π ⎫ AB π AF + BF AB AF + BFMN AB AF + BF AF + BF MN AB⎫ 2 3. 设 x 、y 、z ∈[0,1] .则 M =的最大值是 ．答案： +1．解：不妨设0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1.则 M =⇒ M ≤ ( 2 + 2+1．当且仅当 x = 0 ， y = ， z = 1 时，上式等号同时成立．24. 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π. 3设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N .则的最大值是 ．答案：1．解法 1 设∠ABF = θ ⎛0 < θ < 2π ⎫ .则由正弦定理得 = = ． 3 ⎪ sin θ ⎝ ⎭ sin ⎝ 3- θ ⎪ ⎭ sin3 sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫3 ⎪ ⎛ π ⎫ 故 = ，即= ⎝ ⎭ = 2 c os θ - ⎪． sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫ sin π sin π ⎝ 3 ⎭ 3⎪ 3 3 ⎝ ⎭如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN =①2 则 = cos ⎛θ - π ⎫ ．故当θ = π 时，取得最大值 13 ⎪ 3 ⎝ ⎭解法 2 同解法 1 得式①在△AFB 中，由余弦定理得AB 2= AF 2+ BF 2- 2 AF BF cos π3= ( AF + BF )2- 3 AF BF⎛ ⎫2≥ ( AF + BF )2 - 3 ⎪⎝ 2 ⎭⎛ 2= 2 ⎪= MN . ⎝ ⎭当且仅当 AF = BF 时，上式等号成立．故 的最大值为 1．2 MN AB⎣⎨ 5. 设同底的两个正三棱锥 P - ABC 和Q - ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P - ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 ．答案：4．解：如图 6，联结 PQ .则 PQ ⊥平面 ABC ，垂足 H 为正△ABC 的中心，且 PQ 过球心 O ．联结 CH 并延长与 AB 交于点 M .则 M 为边 AB 的中点，且CM ⊥ AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥 P - ABC 、正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则∠PMH = 45°⇒ PH = MH = 1AH .2由∠PAQ = 90°， AH ⊥ PQ ⇒ AH 2 = PH ⋅ QH1 ⇒ AH 2= AH ⋅ QH2⇒ QH = 2 AH = 4MH .故 tan ∠QMH = QH= 4MH图 66. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 ．若对任意的 x ∈[a , a + 2]，不等式 f (x + a ) ≥ 2 f (x )恒成立，则实数 a 的取值范围是．⎧⎪x 2 , x ≥ 0;解：由题设知 f (x ) = 2⇒ 2 f (x ) = f ( 2x )⎪⎩-x , x < 0 故原不等式等价于 f (x + a ) ≥ f ( 2x )．由 f (x ) 在 R 上是增函数知x + a ≥ 2x ⇒ a ≥ ( 2 -1)x ⇒ a ≥ ( 2 -1)(a + 2) ⇒ a ≥ 2. 即 a 的取值范围为 ⎡ 2, +∞)7. 满足 1 < sin π < 1的所有正整数 n 的和是．4 n 3解：由正弦函数的凸性，知当 x ∈(0, π )6 时， 3x < sin x < x ． π 故sin π < π < 1 ， sin π > 3 ⨯ π = 1 ， sin π < π < 1 ， sin π3 π 1 ．> ⨯ = 13 13 4 12 π 12 4 10 10 39 π 9 3因此，满足 1 < sin π < 1的正整数 n 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33．4 n 3⎨8. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 A 种密码.那么，第七周也使用 A 种密码的概率是 （用最简分数表示）． 解：用 P k 表示第 k 周用 A 种密码本的概率.则第 k 周未用 A 种密码的概率为1 - P k ．故P = 1(1 - P )(k ∈ N ) k +1 3 k +⇒ P - 1 = - 1 (P - 1)k +14 3 k 4 ⇒ P - 1 = 3 (- 1)k -1k⇒ P k⇒ P 7 4 4 3 = 3 (- 1)k -1 + 14 3 4= 61 . 243二、解答题（共 56 分）9. （16 分）已知函数 f (x ) = a s in x - 1 cos 2x + a - 3 + 1，其中，a ∈ ，且a ≠ 0 ． 2 a 2（1）若对任意 x ∈ ，都有 F (x ) < 0 ，求 a 的取值范围．（2）若a ≥ 2 ，且存在 x ∈ ，使 f (x ) ≤ 0 ，求 a 的取值范围．解：（1） f (x ) = sin 2 x + a sin x + a - 3 . 令t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1) .则 g (t ) = t 2 + at + a - 3a a⎧g (-1) = 1 - 3 ≤ 0, 由题设知⎪ a 3 ⎪g (1) = 1 + 2a - ≤ 0． ⎩⎪ a解得 a 的取值范围为(0,1]．（2）因为a ≥ 2 ，所以， - a≤ -1 ．2故 g (t ) min= g (-1) = 1 - 3 ． a从而， f (x ) min= 1 - 3 ． a 由题设知1 - 3≤ 0 ．a解得0 < a ≤ 3 ．故 a 的取值范围是[2,3]．⎩10. （20 分）已知数列{a n } 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n 都有(a + a + …+ a )2 = a 3 + a 3 + …+ a 3．12n12n（1）当n = 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n } ，使得a 2013 = -2012 ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）当n = 1时， a 2 = a 3 ．由a ≠ 0 ，得a = 1．1111当 n = 2 时， (1+ a )2= 1+ a 3．由a ≠ 0 ，得a = 2 或-1 ．2222当 n = 3时， (1+ a + a )2= 1+ a 3 + a 3．若a = 2 ，得a = 3 或-2 ；若a = -1，得a = 1 ．23232323综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3 或 1，2， -2 或 1， -1 ，1． （2）令 S = a + a + …+ a .则 S 2 = a 3 + a 3 + …+ a 3 (n ∈ N ) ． n1 2 n n 1 2 n +故(S + a)2= a 3 + a 3 + …+ a3.两式相减并结合a≠ 0 ，得2S = a 2- a ．nn +112n +1n +1nn +1n +1当 n = 1时，由（1）知a 1 = 1； 当 n ≥ 2 时， 2a = 2(S - S ) = (a 2 - a)- (a2 - a )，nnn -1即(a n +1 + a n )(a n +1 - a n -1) =0 ．所以， a n +1 = -a n 或a n + 1 ．又 a 1 = 1， a 2013 = -2012 ，则n +1n +1nn⎧⎪n ,1 ≤ n ≤ 2012; a n = ⎨⎪(-1)n2012, n ≥ 2013. 11. （20 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4，且 OB = OD = 6 .（1）证明： OA OC 为定值；（2）当点 A 在半圆 M : (x - 2)2 + y 2 = 4(2 ≤ x ≤ 4) 上运动时，求点 C 的轨迹.解：（1）由 AB = AD = CB = CD ， OB = OD ，知 O 、A 、C 图 7，联结 BD.则 BD 垂直平分线段 AC ．设垂足为 K ， OA OC= ( OK - AK )(OK + AK )故 = OK 2- AK 2= (OB 2- BK2)- ( A B 2- BK 2)= OB 2 - AB 2= 20(定值).（2）设C (x , y ) ， A (2 + 2cos α, 2sin α ) ，其中， α = ∠xMA ⎛ - π ≤ α ≤ π ⎫．2 2 ⎪ ⎝ ⎭则∠xOC = α． 2又 OA 2 = (2 + 2cos α )2 + (2sin α )2 = 8(1 + cos α ) = 16cos 2 α ， 2所以， OA = 4 cos α．2由（1）的结论得 OC cos α= 5 ．2则 x = OC cos α= 5 ．2故 y = OC sin α = 5 t an α∈[-5,5] ．2 2因此，点 C 的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5) ， (5, -5) ．⎨ ++ 加试一、（40 分）如图 2，在锐角△ABC 中，AB > AC ，M 、N 是边 BC 上不同的两点，使得∠BAM = ∠CAN .设△ABC 和△AMN 的外心分别为O 1 、O 2 .证明： O 1 、O 2 、A 三点共线.图2证明：如图 8，联结 AO 1 、 AO 2 ，过点 A 作 AO 1 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P .则 AP 是 O 1 的切线.故∠B = ∠PAC .因为∠BAM = ∠CAN ，所以， ∠AMP = ∠B + ∠BAM = ∠PAC + ∠CAN = ∠PAN ． 从而，AP 是△AMN 外接圆 O 2 的切线.故 AP ⊥ AO 2 ． 因此， O 1 、O 2 、A 三点共线．二、（40 分）试证明：集合 A = {2, 22 ,…, 2n ,…}满足图 8（1）对每个a ∈ A 及b ∈ N + ，若b < 2a -1，则b (b +1) 一定不是 2a 的倍数；（2）对每个a ∈ A （ A 表示 A 在N + 中的补集），且a ≠ 1，必存在b ∈ N + ，b < 2a -1，使b (b +1) 是 2a 的倍数．解：（1）对任意a ∈ A ，设a = 2k (k ∈ N ) .则2a = 2k +1． 若 b 是任意一个小于2a -1的正整数，则b +1 ≤ 2a -1 ．由于 b 与b +1中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2 的幂的次数最多为 k 、因此， b (b +1) 一定不是 2a 的倍数．（2）若a ∈ A ，且a ≠ 1，设a = 2k m ，其中， k ∈ N ，m 为大于 1 的奇数． 则 2a = 2k +1 m ． 下面给出三种证明方法．方法 1 令b = mx ， b +1 = 2k +1 y ．消去 b 得2k +1 y - mx = 1.由(2k +1 , m )= 1，知方程必有整数解⎧⎪x = x + 2k +1t ,⎨ 0⎪⎩ y = y 0 + mt , 其中， t ∈ Z ， (x 0 , y 0 ) 为方程的特解． 记最小的正整数解为(x ', y ') .则 x ' < 2k +1 ．故b = mx ' < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a 的倍数．方法 2 注意到， (2k +1 , m )= 1，由中国剩余定理，知同余方程组⎧⎪x ≡ 0(mod 2k +1 ), ⎪⎩x ≡ m -1(mod m )在区间(0, 2k +1 m ) 上有解 x = b ，即存在b < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a的倍数． 方法 3 由(2, m ) = 1 ，总存在r (r ∈ N + , r ≤ m -1) ，使得2r ≡ 1(mod m )取t ∈ N ，使得tr > k +1 .则2tr≡ 1(mod m ) ． 存在b = (2tr -1)- q (2k +1 m )> 0(q ∈ N ) ， 使得0 < b < 2a -1.此时， m b ，2k +1 (b +1) .从而， b (b +1) 是 2a 的倍数．0 k⎛d ⎫3三、（50 分）设P，P1，…，Pn是平面上n +1 个点，其两两间的距离的最小值为d(d > 0) ．证明：P P P P …P P>d n0 1 0 2 0 n(3)证法1 不妨设PP1≤PP2≤…≤PPn．先证明：对任意正整数 k 都有 P P >.0 k3显然， P P ≥d ≥ 对k = 1, 2 ，…，8 均成立，只有当k = 8 时，上式右边取等号.0 k3所以，只需证明：当k ≥ 9 时，有 P P >即可．0 k3以点P (i = 0,1,…k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切；以点 P 为圆心、 PP +di 2 0 0 k2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1 个圆．则π⎛P Pd ⎫2+⎪2>(k +1)π ⎪ ⇒P0P k>d (1)．由k ≥ 9 ，易知>．⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ 2 2 3所以， P P >对k = 9 ，10，…，n 也成立．0 k3综上，对任意的正整数 k 都有 P P >．0 k3⎛d ⎫n故PP1PP2…PPn> ⎪⎝⎭．证法 2 所设同证法1．以P (i = 0,1,…, k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切．i设Q 是2Pi上任意一点．PQ ≤PPi+PiQ由=P P +1d0 i2≤P P +1P P =3P P ,0 k 2 0 k 2 0 k知以P 为圆心、3PP 为半径的圆覆盖上述k +1 个圆．0 2 0 k⎛3 ⎫2 ⎛d ⎫2则π2PPk⎪ > (k + 1)π 2 ⎪ ，即 P0P k>k = 1, 2,…, n)．⎝⎭⎝⎭四、（50 分）设S =1+1+…+1n 是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S-[S]}（n 2 n n n 中有无穷多项属于(a,b)，（[x]表示不超过实数x 的最大整数）．证法1（1）对任意n ∈N+，S =1 +1+1+…+12n 2 3 2n=1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+1)有 2 21 +1222n-1 +12n>1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+12 22 222n 2n= 1 +1+1+…+1>1n.2 2 2 212iN0 令 N =⎡ 1 ⎤+ 1 ， m = [S]+1.则1< N ，1< b - a ，S< m ≤ m + a ． 0⎢⎣b - a ⎥⎦N 0b - a 0N 0又令 N 1 = 22(m +1) .则 S N = S2( m +1)> m +1 ≥ m + b ．从而，存在n ∈ N + ， N 0 < n < N 1 ，使得m + a < S n < m + b ⇒ S n - [S n ]∈(a ,b ) ．否则，存在 N 0 < k ，使得 S k -1 ≤ m + a ， S k ≥ m + b ．于是 S - S ≥ b - a ，与 S - S = 1 < 1 < b - a 矛盾．k k -1 k k -1k N 0故一定存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,b ) ． （2）假设只有有限个正整数 n 1 ， n 2 ，…， n k ，使得 S n - ⎡S n ⎤ ∈(a ,b )(1 ≤ j ≤ k ) ．j ⎣ j ⎦令c = min {S n j - ⎡S n j⎤}则a < c < b ．1≤ j ≤k⎣ ⎦ 故不存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,c ) 与（1）的结论矛盾．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ． 综上，原命题成立．证法 2 由证法 1，知当 n 充分大时， S n 可以大于任何一个正数．令 N = ⎡ 1 ⎤+ 1 .则 N > 1 ．⎢⎣b - a ⎥⎦b - a当 k > N 时， S - S= 1 < 1 < b - a ．0 k k -1k N 0同证法 1 可证，对于任何大于 S 0m + a < S n < m + b ．的正整数 m ，总存在n > N 0 ，使得 S n - m ∈(a ,b ) ，即令m i = ⎡S N ⎤ + i (i = 1, 2,…).则m i > S N .⎣ 0 ⎦ 0故一定存在n i > N 0 ，使得m i + a < S n < m i + b ．从而， a < S n - m i = S n - ⎡S n ⎤ < b ．i i ⎣ i ⎦这样的 i 有无穷多个．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．N。

2012年全国高中数学联赛试题考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

把答案填在试卷相应题号的横上。

1. 设P 是函数y =x +2x (x >0)的图像上任意一点，过点P 分别向直线y =x 和y 轴作垂线，垂足分别为A ,B ，则PA �����⃗⋅PB �����⃗的值是______________。

2. 设△ABA 的内角A ,B ,A 的对边分别为a ,b ,c ，且满足a cos B −b cos A =35c ，则tan A tan B 的值是_________________。

3. 设x ,y ,z ∈[0,1]，则M =�|x −y |+�|y −z |+�|z −x |的最大值是____________。

4. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MM ||AB |的最大值是___________。

5. 设同底的两个正三棱锥P −ABA 和Q −ABA 内接于同一个球。

若正三棱锥P −ABA 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABA 的侧面与底面所成角的正切值是_____________。

6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2。

若对任意的x ∈[a ,a +2]，不等式f (x +a )≥2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_______________。

7. 满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是________________。

8. 某情报站有A ,B ,A ,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是______________。

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是 ．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。

2012年高中数学竞赛试题2012年北京市高中数学初赛（高一） (2)2012年北京市高中数学复赛（高一） (4)2012年湖北省高中数学预赛（高一） (5)2012年湖北省高中数学预赛（高二） (6)2012年福建省高中数学预赛（高一） (7)2012年河南省高中数学预赛（高一） (9)2012年江苏高中数学竞赛（初赛） (11)2012年上海市高中数学竞赛（新知杯） (12)2012年四川省高中数学预赛 (13)2012年陕西省高中数学预赛 (15)2012年河北省高中数学预赛 (17)2012年甘肃省高中数学预赛 (19)2012年安徽省高中数学预赛 (20)2012年山东省高中数学预赛 (21)2012年浙江省高中数学预赛 (23)2012年北京市高中数学初赛（高一）一、 选择题（满分36分=6×6分）1． f (x )=�2+x ,x >05, x =02x , x <0,则f (−2)+f (0)+f (1)+f (3)的值为（A ）8 （B ）11 （C ）1314（D ）15122． 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax 2+bx +c 的不同的两个根，则a ,b ,c 之间的关系是（A ）b 2=a 2−4ac （B ）b 2=a 2+4ac （C ）b 2=a 2−2ac （D ）b 2=a 2+2ac3． 定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2−2x ，则f (x )在x ∈[−4,−2]上的最小值为（A ）−19（B ）−13（C ）13（D ）194． 定义在正整数集Z +上的函数f ，对于每一个n ∈Z +和无理数π=3.14159265358⋯满足f (x )=�k 2的末位数字，（的小数点后第n 位数字k ≠0时）3. 若函数的值域记为M ，则（A ）1∉M （B ）5∉M （C ）6∉M （D ）9∉M 5． 如图，在△ABC 中，∠A =30°,∠C =90°，以C 为圆心，CB 为半径作圆交AB 边于M ，交AC 边于N ，P 为CM 与BN 的交点.若AA =1，则S △CCC −S △BCC 等于（A ）18（B ）√38（C ）14（D ）√346． 定义在(−1,1)上的函数f (x )满足f (x )−f (y )=f (x−y1−xy )，且当x ∈(−1,0)时，f (x )>0.若P =f �14�+f �15�,Q =f �16�,R =f (0)；则P ,Q ,R 的大小关系为（A ）R >P >Q （B ）R >Q >P （C ）P >R >Q （D ）Q >P >R 二、 填空题（满分64分=8×8分） 1. 求log 2sin π3+log 2tan π6+log 2cos π4的值.2. 已知f (x )是四次多项式，且满足f (i )=1i,i =1,2,3,4,5，求f (6)的值.3. 若[x ]表示不超过x 的最大整数，求满足方程[n lg2]+[n lg5]=2012的自然数n 的值.4. 如图，半径为1的两个等圆相交，在两圆的公共部分作一内接正方形ABCD .如果圆心距O 1O 等于1，试求正方形ABCD 的面积.5.求1272−7×2012+1×20122+⋯+52−5×2012+1×20122+7232−3×2012+1×20122+5212−1×2012+1×20122+322011220112−2011×2012+1×20122的值.以1为半径画弧，如图所示，交点为M,N,L,K，求阴影部分的面积.7.已知二次函数f(x)满足f(−10)=9,f(−6)=7,f(2)=−9，求f(100)的值.8.上底BC=2，下底AD=3的梯形ABCD的对角线相交于点O，彼此外切于点O的两个圆分别切直线AD于点A和点D，交BC分别于点K,L，求AA2+DD2的值.一、填空题（本题共5个小题，每小题8分，满分40分）1.函数y=x4−13x2+36(x−3)(x+2)的图像与平行于x轴的直线y=c恰有一个交点，则c能取到的所有值的乘积等于________.2.如图，锐角△ABC内接于半径为R的⊙O，H是△ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OO⊥AO,BC=10,OA=6，则OM=___________.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，如果△ACB恰是直角三角形，那么判别式Δ的值是______.4.如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=2,BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC的面积的最大值为___________.5.和为111的两个自然数x和y，使得等式√x cccπy2x+�y cinπx2y=0成立，满足这个条件的一组自然数(x,y)是_____________.二、（本题满分15分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4以B为中心，将△ABC 顺时针旋转，使点A落在CB延长线上的点A1处，此时点C落在点C1的位置.连接AA1,CC1相交于OCC1交AB于D，AA1交BC1于E，求四边形BDOE的面积.三、（本题满分15分）（1）如果整数a、b和c满足关系式a2+b2=2c2−2，求证：144|abc.（2）试写出不定方程a2+b2=2c2−2的一组正整数解，并对这组正整数解验证144|abc.四、（本题满分15分）在边长都是正整数的三角形中，周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种数量多？说明理由.五、（本题满分15分）在锐角△ABC中，O是外心，I是内心，连接AI，BI和CI的直线交△ABC的外接圆分别于点A1，B1和C1.求证：S△ABCS△A1B1C1=2r R.（其中R是外接圆的半径，r是内切圆的半径）一、填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.）1．已知集合A={x|x≤a},B={x|x>b},a,b∈A，且A∩B∩A={1}，则a+ b=___________．2．已知正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a2,a4,a5成等差数列，则a1+a4+a7a3+a6+a9=_________．3．函数f(x)=�x+1x2+4x+7的值域为__________．4．已知3sin2α+2sin2β=1，3(sinα+cosα)2−2(sinβ+cosβ)2=1，则cos2(α+β)=_________．5．已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n+1=�a n, a n为偶数3a n+1, a n为奇数如果a1+a2+a3=29，则a1=_________．6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a+c=2b，且C=2A，则sin A=___________．�����⃗=pAB�����⃗+qAC�����⃗，则p q的7．在△ABC中，AB=BC=2,AC=3．设O是△ABC的内心，若AO值为___________．8．设x1,x2,x3是方程x3−x+1=0的三个根，则x15+x25+x35的值为____________．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列{a n}满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1且a1=1,a2=8，求{a n}的通项公式．10．已知正实数a,b满足a2+b2=1，且a3+b3+1=m(a+b+1)3，求m的最小值．11．设f(x)=log a(x−2a)+log a(x−3a)，其中a>0且a≠1．若在区间[a+3,a+4]上f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．一、 填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.） 1． 函数f (x )=�x+1x +4x+7的值域为__________．2． 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3(sin α+cos α)2−2(sin β+cos β)2=1，则cos 2(α+β)=_________．3． 已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n+1=�a n2, a n 为偶数3a n +1, a n 为奇数如果a 1+a 2+a 3=29，则a 1=_________．4． 设集合S ={1,2,3,⋯,12}，A ={a 1,a 2,a 3}是S 的子集，且满足a 1<a 2<a 3,a 3−a 2≤5那么满足条件的子集A 的个数为_______． 5． 过原点O 的直线l 与椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)交于M ,A 两点，P 是椭圆C 上异于M ,A的任一点．若直线PM ,PA 的斜率之积为−13，则椭圆C 的离心率为____．6． 在△ABC 中，AB =BC =2,AC =3．设O 是△ABC 的内心，若AO�����⃗=pAB �����⃗+qAC �����⃗，则p q的值为___________．7． 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AC =1,B 1C =√2,AB 1=p ，则长方体的体积最大时，p 为_______．8． 设[x ]表示不超过x 的最大整数，则∑�2012+2k 2�=2012k=0_____．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列{a n }满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1 且a 1=1,a 2=8，求{a n }的通项公式．10．已知正实数a ,b 满足a 2+b 2=1，且a 3+b 3+1=m (a +b +1)3，求m 的取值范围． 11．已知点E (m ,n )为抛物线y 2=2px (p >0)内一定点，过E 作斜率分别为k 1,k 2的两条直线交抛物线于A ,B ,C ,D ，且M ,A 分别是线段AB ,CD 的中点． （1）当n =0且k 1⋅k 2=−1时,求△EMA 的面积的最小值; （2）若k 1+k 2=λ(λ≠0,λ为常数),证明：直线MA 过定点．一．选择题（每小题6分，共36分）1.已知集合A={x|1≤x≤4},B={y|y=log2x,x∈A}，则A⋂B=(A) [0,2] (B) [0,1] (C) [1,2] (D) [2,4]2.已知直线x=2,x=4与函数lcl4x的图像交于A、B两点，与函数y=ln x的图像交于C、D两点，则直线AB与CD(A) 相交，且交点在第一象限(B) 相交，且交点在第二象限(C) 相交，且交点在第四象限(D) 相交，且交点在坐标原点3.已知集合A，如果存在实数x0，使得对任意整数a，都存在x∈A，使得0<|x−x0|<a，则称x0为集合A的“聚点”.给出下列四个集合：①�n n+1�n∈Z,n≥0�②{x│x∈R,且x≠0}③�1n�n∈Z,n≠0�④Z. 其中以0为“聚点”的集合有(A) ②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②④4.已知四面体ABCD四个顶点的坐标分别为A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1)、D(0,0,0)，则直线DC与平面ABC所成角的正弦值为(A) 13 (B) √33 (C) 23 (D) √635.已知x,y是两个不相等的正数，且满足条件x3−y3=x2−y2，则[9xy]的最大值为（符号[x]表示不超过x的最大整数）(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 16.函数f(x)=√2x−6+√18−3x的最大值为(A) √2√√ (D)√二．填空题（每小题6分，共36分）7.已知过点A(3,−2)的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1:x−2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距为__________.8.若关于x的不等式2x+3x−k⋅6x≥0在区间[1,2]上有解，则k的最大值为___________.9.在三棱锥D-ABC中，已知AB=BC=AD=√BD=AC=2,BC⊥AD，则三棱锥D-ABC外接球的表面积为______.10.三个半径都是2的圆，其圆心分别为A(1,1),B(3,6),C(7,12)，直线l斜率为k，且过点(1,1).若⊙A、⊙B、⊙C位于直线l某一侧的部分的面积和等于位于直线l另一侧的部分的面积和.则k=__________.11.已知函数f(x)=�2x−1 x≤0f(x−1)x>0，则方程f(x)=x在区间(0,10)内所有实根的和为________.12.符号[x]表示不超过x的最大整数，符号{x}表示x的小数部分即{x}=x−[x].若实数x 满足[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2012，则{x}的最小值为_______.三．解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13.已知f(x)=x2+2px−2在区间[−2,0]上的最小值为l(p).（1）求l(p)的表达式；（2）当l(p)=−3时，求f(x)在区间[−2,0]上的最大值.14.已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=m，点A(4,6),B(c,t)，（1）若3c−4t=−12，且直线AB被圆C截得的弦长为4，求m的值；（2）若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ(λ>1)，求m的值.15.对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1,a2,⋯,a n，若不等式(1a1)λ+(1a2)λ+⋯+(1a n)λ<2恒成立.求整数λ的最小值.O的割线，C、D为割线与圆O的交点.过C作直线交AB于点E、交AD于点F，且CE=EE.求证：CE∥PA17.在直角坐标平面xOy内有2012个点，记这2012个点组成的点集P中任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合.证明：在点集P中，存在E、G两点，使得以EG为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形EFGH内（不包括边界）至少含有点集P中的402个点.2012年河南省高中数学预赛（高一）一． 填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）1. 已知非空集合A ⊆{1,2,⋯,2012}，且满足：当a ∈A 时，有2013−a ∈A ，则符合题意的集合A 共有_____.2. 已知P (a ,b )关于直线l 的对称点为P (b +1,a −1)，则圆C :x 2+y 2−6x −2y =0关于直线l 对称的圆C 的标准方程为_________.3. 已知分段函数f (x )=�3−x ,x ≤0f (x −1),x >0，若f (x )=x +a 有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围是_________.4. 设a ,b 分别是方程log 513x +x −2012=0和513x +x −2012=0的根，则a +b =_______.5. 已知四面体A −BCD 中，AB =CD =2√BC =AD =√AC =BD =√，则该四面体的体积是_____.6. 定义A ∗B =�C (A )−C (B ),C (A )≥C (B )C (B )−C (A ),C (A )<C (B )，已知A ={1,2}，B ={x ||x 2+ax +1|=0}其中C (A )表示集合A 中的元素的个数，若A ∗B =1，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么C (S )=________.7. 已知正三棱锥P −ABC 的侧棱长为√3+1，底面边长为√2，Q 是侧棱PA 的中点，一条折线从点A 出发，绕侧面一周到点Q ，则这条折线长度的最小值是_______.8. 已知函数y =f (x )的定义域是D ，如对于任意的x 1,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称f (x )函数在D 上为非减函数，设函数y =f (x )在[0,1]上为非减函数，满足条件：①f (0)=0;②f �x3�=12f (x )③f (1−x )=1−f (x ),则f �13�+f �12012�=_________. 9. （选做题）（必修3）在6个产品中有4个正品和2个次品，现每次取出一个作检查（检查完后不放回），直到2个次品都找到为止，则恰好经过4次检查将2个次品全部找到的概率是_______. （必修4）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点，设向量AC�����⃗=λDE �����⃗+μAP �����⃗(λ,μ∈R )，则λ+μ的最小值是________. 10. 已知m ∈A ，且函数f (x )=2x −m √10−x −m +10存在整数零点，则符合题意的一切m 的取值构成的集合是____________.二． （本题满分20分）如图所示，AD 和AA 是⊙C 的两条切线，其中D ,A 为切点.在AA 的延长线上取一点M ，△AMD 的外接圆与⊙C 的另一交点为P ，MD 和⊙C 的另一交点为R ，延长PR 交MA 于T .过A 作AQ ⊥MD 于Q ，连接QP . 证明：（1）△MTR ∼△PTM （2）∠MPQ =2∠AMD .三．（本题满分20分）如图所示，已知单位正方体ABCD−EEEO的棱长AD和BC上分别有动点Q,P.若直线Array PQ和BD交于点A，直线EQ和平面BDE交于点M，BE的中点是S，设AQ=x(0≤x≤1),MA=y.（1）求证：D,M,S三点共线；（2）求y的最小值关于x的解析式.四．（本题满分20分）（必修3）函数f(x)=log2(4+√16−x2).（1）求函数的值域；（2）若在区间[−4,1]上随机取一个数a，求方程f2(x)+af(x)+1=0有实数根的概率.（必修4）已知对于任意的x∈�0,π2�,sin x<x恒成立，利用此结论证明：（1）存在唯一的实数对(c,d)，其中c,d∈�0,π2�，使sin(cos c)= c,cos(sin d)=d成立；（2）在（1）的条件下证明：c<d.五．（本题满分20分）函数sgn(x)=�1, x>00, x=0−1,x<0，f(x)=x3+x−log2(√x2+1−x).（1）求证：函数f(x)是定义在R上的奇函数；（2）对于任意实数a,b(a+b≠0)，求sgn�f(a)+f(b)a3+b3�的值.2012年江苏高中数学竞赛（初赛）一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1.当x∈[−3,3]时，函数f(x)=|x3−3x|的最大值为______.2.在△ABC中，已知AC�����⃗⋅BC�����⃗=12,AC�����⃗⋅BA�����⃗=−4，则AC=_______.3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率是________.4.已知a为实数，方程x2+(4+i)x+4+ai=0的一个实数根是b（i是虚数单位），则|a+bi|的值为_______.5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x212−y24=1的右焦点为E，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若△EAB的面积为8√3，则直线l的斜率为_______.6.设a为正实数，k=a lga,则k的取值范围是_______.7.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=DB=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为_________.8.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+ b4=35,，则a n+b n=______(n∈A∗)9.将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使任意4个数的和为3的倍数，则这样的排法有__________种.10.三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a≤b≤c，则满足条件的三元数组的个数为___________.二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明：（1）b cos C+c cos B=a;（2）cos A+cos Ba+b=2sin2C2c.12．已知a,b为实数，a>2函数f(x)=�ln x−a x�+b(xe2−ln2+1.（1）求实数a,b；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若实数c,d满足c>d,cd=1，求证：f(c)<f(d).13．如图，半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.14．设a,b,c,d是正整数，a,b是方程x2−(d−c)x+cd=0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.2012年上海市高中数学竞赛（新知杯）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1E 1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2E 2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ． 2．已知正整数a 1,a 2,⋯,a 10满足：a ja i>32,1≤i <j ≤10，则a 10的最小可能值是 ．3．若tan α+tan β+tan γ=176，cot α+cot β+cot γ=−45，cot αcot β+cot βcot γ+cot γcot α=−175，则tan (α+β+γ)= ．4．已知关于x 的方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 ．5．如图，△AEE 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知∠AEE =90°，AE =a ,EE =b ,a >b ，则x = ．6．方程2m ⋅3n −3n+1+2m =13的非负整数解(m ,n )= ．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{a n }定义如下：a 1=1,a 2=2,a n+2=2(n+1)n+2a n+1−nn+2a n,n=1,2,⋯.若a m >2+20112012，则正整数m 的最小值为 ．二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =x ,BC =1，对角线AC 与BD 的夹角∠BOC =45°，记直线AB 与CD 的距离为ℎ(x )．求ℎ(x )的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数a >1，求函数f (x )=(a+sinx )(4+sinx )1+sinx的最小值．11．（本题满分16分）正实数x ,y ,z 满足9xyz +xy +yz +zx =4；求证：（1）xy +yz +zx ≥43；（2）x +y +z ≥2．12．（本题满分16分）给定整数n (≥3)，记f (n )为集合{1,2,⋯,2n −1}的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：①1∈A ,2n −1∈A ；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求f (3)的值；（2）求证：f (100)≤108．112012年四川省高中数学预赛一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、设集合S ={x |x 2−5x −6<0}，T ={x ||x +2|≤3}，则S ∩T = A 、{x |−5≤x <−1} B 、{x |−5≤x <5} C 、{x│−1≤x ≤1} D 、{x |1≤x <5}2、正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D 所成的角是A 、π6B 、π4C 、π3D 、π23、已知f (x )=x 2−2x +3,l (x )=kx −1，则“|k |≤2”是“f (x )≥l (x )在R 上恒成立”的 A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件4、设正三角形△1的面积为S 1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S 2，如此下去作一系列的正三角形△3,△4,⋯，其面积相应为S 3,S 4,⋯，设S 1=1,T n =S 1+S 2+⋯+S n ，则lim n→+∞T n =A 、65B 、43C 、32D 、25、设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，顶点为O ,M 是抛物线上的动点，则|MM ||MM |的最大值为A 、√33 B 、2√33 C 、43D 、√3 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A 、rB 、2rC 、√12r 3D 、√15r 3二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则ED �����⃗⋅DE�����⃗的值是 ． 8、(x 2+x −1x )6的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答） 9、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =(a n +1)24，则S 20的值为 ．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．11、已知锐角A ,B 满足tan(A +B )=2tan A ，则tan B 的最大值是 ．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde��������，满足条件“a <b >c <d >e ”的概率是 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）A13、设函数f(x)=sin x+√3cos x+1，（I）求函数f(x)在�0,π2�上的最大值与最小值；（II）若实数a,b,c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意x∈R恒成立，求bcosc a的值．14、已知a,b,c∈R+，满足abc(a+b+c)=1，（I）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（II）当S取最小值时，求c的最大值．15、直线y=kx+1与双曲线x2−y2=1的左支交于A、B两点，直线l经过点(−2,0)和AB 的中点，求直线l在y轴的截距b的取值范围．16、设函数f n(x)=x n(1−x)2在�12,1�上的最大值为a n(n=1,2,3,⋯)．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求证：对任何正整数n(n≥2)，都有a n≤1(n+2)2成立；（III）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n<716成立．2012年陕西省高中数学预赛第一试一、填空题（每小题8分，共80分）1.已知集合M={1,3,5,7,9}，若非空集合A满足:A中各元素都加4后构成M的一个子集，A中各元素都减4后也构成M的一个子集，则A=__________.2.已知两条直线l1:y=2,l2:y=4，设函数y=3x的图像与l1,l2分别交于点A,B，函数y=5x的图像与l1,l2分别交于点C,D，则直线AB与CD的交点坐标是_____.3.对于正整数n，若n=p∗q(p≥q,p、q∈A+)，当p−q最小时，我们称p∗q为n的“最佳分解”，并规定f(n)=q p.例如，12的分解有12×1,6×2,4×3，其中4×3为12的最佳分解，则f(12)=34，关于f(n)，有下列四个判断：①f(4)=0;②f(7)=17;③f(24)=38;④f(2012)=4503其中，所有正确判断的序号是________.�����⃗=a+b,AC�����⃗=a−b，若a= 4.已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°,且AB(cosθ,sinθ)(θ∈R)，则△ABC的面积等于______.5.在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O.设M是线段AO上一点，且满足6.如图，Rt△ABC的三个顶点都在给定的抛物线x2=2py(p>0)上，且斜边AB∥x轴，则斜边上的高|CD|=_____.7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、−140为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元.8.设p,q是两个不同的质数，则p q−1+q p−1被p⋅q除的余数是________.9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且对任意的x∈R，都有f′(x)<12.则不等式f(log2x)>log2x+12的解集为____.10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为_________m.第二试一．（本题满分20分）在△ABC 中，已知AB =2,AC =1,且cos 2A +2sin 2B+C 2=1.（1）求角A 的大小和边BC 的长；（2）若点P 在△ABC 内运动（含边界），且点P 到三边距离之和为d .设点P 到边BC ,CA 的距离分别为x ,y ，试用x ,y 表示d ，并求d 的取值范围. 二．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，以点C (t ,2t )为圆心的圆经过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于点A ,B（不同于原点O ）.（1）求证：△AOB 的面积S 为定值；（2）设直线l :y =−2x +4与圆C 相交于不同的两点M ,A ，且|OM |=|OA |，求圆C 的标准方程.三．（本题满分20分） 如图，锐角△ABC 内接于圆O ，过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB ,AC 于点E ,E .设圆O 在B ,C 两点处的切线相交于点P ，求证：直线AP 平分线段EE . 四．（本题满分30分） 已知数列{a n }满足a 1=12,a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈A ∗)..（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =1+1a n (n ∈A ∗)，且对任意正整数n (n ≥2)，不等式∑1n+log3b kn k=1>m 24恒成立，求整数m 的最大值.五．（本题满分30分）对于任意的正整数n ，证明：13−2+132+22+133−23+⋯+13n +(−2)n<76.2012年河北省高中数学预赛一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 已知θ∈�5π4,3π2�，则√1−sin2θ−√1+sin2θ可化简为（ ）A ．2sin θ B. −2sin θ C. −2cos θ D. 2cos θ 2． 如果复数(a +2i )(1+i )的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 2√±2 D. ±2√3． 设A ,B 为两个互不相同的集合，命题p :x ∈A ∩B ， 命题q :x ∈A 或x ∈B ，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 4． 过椭圆x 22+y 2=1的右焦点E 2作倾斜角为45°弦AB ，则|AB |为（ ）A.2√63 B. 4√63 C. 4√23 D. 4√335． 函数f (x )=�1−5−xx ≥05x−1 x <0，则该函数为（ ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）A. 4+5π2B. 4+3π2C. 4+π2D. 4+π7. 某程序框图如右图所示，现将输出(x ,y )值依次记为：(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x n ,y n ),⋯若程序运行中输出的一个数组是 (x ,−10),则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{(x ,y )||x |≤1,|y |≤1}上恒有ax −2by ≤2，则动点P (a ,b )所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数f (x )=sin �2x −π6�−m 在�0,π2�上有两个零点，则m的取值范围为（ ）A. �12,1� B �12,1� C. �12,1) D. �12,1]10.已知a∈[−1,1]，则x2+(a−4)x+4−2a>0的解为（）A. x>3或x<2B. x>2或x<1C. x>3或x<1D. 1<x<3二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数f(x)=2cin x2−√3cccx的最小正周期为__________.12. 已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a1+a8+a15=___________.13. 向量a⃗=(1,cinθ),b�⃗=�cccθ,√3�,θ∈R，则�a⃗−b�⃗�的取值范围为 .14. 直三棱柱ABC−A1B1C1，底面△ABC是正三角形，P,E分别为BB1,CC1上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PD⊥PE.则直线AP,PE的夹角为________.15．设x,y为实数，则max5x2+4y2=10x(x2+y2)=___________.16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种.（用组合数符号表示）17. 设x,y,z为整数，且x+y+z=3,x3+y3+z3=3，则x2+y2+z2=______.三、解答题（本大题共3 小题，每小题17 分，共计51 分）18. 设a≤2，求y=(x−2)|x|在[a,2]上的最大值和最小值.19. 给定两个数列{x n},{y n}满足x0=y0=1，x n=x n−12+x n−1(n≥1)，y n=y n−121+2y n−1(n≥1).证明对于任意的自然数n，都存在自然数j n，使得y n=x j n.20. 已知椭圆x252+y242=1，过其左焦点E1作一条直线交椭圆于A,B两点，D(a,0)为E1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,A.若以MA为直径的圆恰好过E1，求a的值.四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计50 分）21.在锐角三角形ABC中，∠A=π3，设在其内部同时满足PA≤PB和PA≤PC的点P的全体形成的区域E的面积为三角形ABC面积的13.证明三角形ABC为等边三角形.22.设a,b,c∈R+，且√a+√b+√c=3.求证:a+b2+a+b+b+c2+b+c+c+a2+c+a≥32，并指明等号成立的条件.一． 填空题（本题满分56分，每小题7分） 1． 空间四点A ,B ,C ,D 两两间的距离均为1，点P 与点Q 分别在线段AB 与CD 上运动，则点P 与点Q 间的最小距离为______；2． 向量OA �����⃗=(1,0)，OB �����⃗=(1,1)，O 为坐标原点，动点P (x ,y )满足�0≤OP �����⃗⋅OA �����⃗≤10≤OP �����⃗⋅OB �����⃗≤2，则点Q (x +y ,y )构成的图形的面积为_________；3． 设有非空集合A ⊆{1,2,3,4,5,6,7}，且当a ∈A 时，必有8−a ∈A ，这样的集合A 的个数是________；4． 设f (x )=�x −|x |, x <0f (x −1),x >0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，若f (x )=kx +k (k >0)有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是____________；5． 11位数的手机号码，前七位数字时1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次，这样的手机号码有____________个；6． 若tan x 1⋅tan x 2⋅⋯⋅tan x n =1，则sin x 1⋅sin x 2⋅⋯⋅sin x 2012的最大值是_________； 7． 设函数f :R →R ，满足f (0)=1且对任意x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )−f (y )−x +2，则f (x )=__________；8． 实数x ,y ,z 满足x 2+y 2+z 2=1，则xy +yz 的最大值为____________.二． 解答题（本题满分64分，第9、10题每题14分，第11、12题每题18分） 9． 已知数列{a n }满足a n+1+a n −1a n+1−a n +1=n (n ∈A ∗)，且a 2=6.（1）求数列{a n }的通项公式;（2）设b n =a nn+c (n ∈A ∗)，c 为非零常数，若数列{b n }是等差数列，记c n =b n 2n,S n =c 1+c 2+⋯+c n ，求S n .10． M 是抛物线y 2=2px (p >0)的准线上任意点，过M 点作抛物线的切线，切点分别为A ,B （A 在x 轴上方）.（1）证明：直线AB 过定点；（2）设AB 的中点为P ，求|MP |的最小值.11． 设a ,b ,c 为正实数，且a +b +c =1，求证：(a 2+b 2+c 2)(ab+c +ba+c+ca+b)≥12.12． 某校数学兴趣小组有m 位同学组成，学校专门安排n 为老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m ,n 的值.一、填空题（每题8分，共64分）1. 设函数f (x )=arcsin (cos (x ))，则f (f (f (x )))的最小正周期为___________.2. 设实数x ,y 满足x 2−8x +y 2−6y +24=0，则x −2y 的最大值为__________.3. cosπ11−cos2π11+cos3π11−cos4π11+cos5π11=_________（用数字作答）. 4. 设两点C ，D 在以线段AB 为直径的半圆弧上，线段AC 和线段BD 相交于点E ，AB =10,AC =8,BD =5√2则△ABE的面积为___________.5. 设两个椭圆x 2t +2t−2+y 2t +t+2=1和x 22t −3t−5+y 2t +t−7=1有公共的焦点，则t =_________. 6. 如图，设正四棱锥P -ABCD 的体积为1，E ，F ，G ，H 分别是线段AB ，CD ，PB ，PC 的中点，则多面体BEG -CFH 的体积为__________.7. 不超过2012且与210的最大公约数是1 的正整数共有__________个.8. 设随机变量X ~A (1,2),Y ~A (3,4).若P (X <0)=P (Y >a )，则a =___________. 二、解答题（第9-10题每题25分，第11-12题每题18分，共86分） 9. 已知△ABC 的周长为1，并且cin 2A +cin 2B =4cinAcinB . （1）证明：△ABC 是直角三角形；（2）求△ABC 面积的最大值. 10. 设无穷数列{a n }满足a 1=1,a n =a n−1+1a n−1(n ≥2).证明：（1）当n ≥2时，a n ≥√2n ；（2）不存在实数C 使得a n <√2n +c 对所有n 都成立. 11. 设n =2m ,m 是正整数。