数字信号处理教程答案

数字信号处理教程 课后习题及答案目录第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z 变换第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构第六章 无限长单位冲激响应（IIR ）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应（FIR ）数字滤波器的设计方法 第八章 数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。

分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（ ③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n如此题所示，因而要分段求解。

2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图()∑∑∑+-=+-=--+===-=-+≥nN n m mnn nN n m mn n m nn m m n h m x n y N n n 111N -00)()()( , 1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠--=--=---+++--,)(,100111n n N N n N n n N n n nN n y ∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(:解0)()1(0=<n y n n 时当, 1)2(00部分重叠时当-+≤≤N n n n ()∑∑∑==--===-=nn m mnn n n m mn n m nn m m n h m x n y 0)()()(αββααβ()()βαβαβαβααβαβαβ≠--=--=-+-++-,10111n n n n n n n n ())(,1)(00βαα=-+=-n n n y n n)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。

3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)()(*)()( )1( 5n R n h n x n y ==解：}1,2,3,3,2,1{)(*)()( )2(==n h n x n y )2(5.0)(5.0*)2()( )3(323-=-=-n R n R n n y n n δ)(5.0)( )1(2)( )4(n u n h n u n x n n =--=n mm m n n y n ---∞=-⋅==≥∑23125.0)( 01当nm nm m n n y n 23425.0)( 1⋅==-≤∑-∞=-当aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解)6()( )( )n 13sin()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列， ①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。

周期为是周期的解：14, 31473/2/2 )873cos()()( 0∴==-=ππωπππn A n x a。

是周期的，周期是6 136313/2/2 )313sin()()(0∴===ππωππn A n x b 是非周期的。

是无理数∴=--=-+-==- 12 /2 6sin 6cos )6sin()6cos()()(0)6(T nj n n j n e n x c n j πωππππ5. 设系统差分方程为: )()1()(n x n ay n y +-=其中)(n x 为输入,)(n y 为输出。

当边界条件选为)1()2(0)0()1(=-=y y试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等），则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0及n < 0）。

)2()1()2(0)1()0()1(0))()1()()()()(0)0((1) :11111111111=+==+=>+-===x ay y x ay y n i n x n ay n y n n x a y 处递推，向按，设，时解δ┇3111211111111111111111)]2()2([1)3()]1()1([1)2( )]0()0([1)1( )]1()1([1)( )1()()1( 0)0,0)(0)()1()(----=---=--=---=--=-=-+-+=++=+<≥=∴=+-=a x y ay a x y ay ax y ay n x n y an y n x n ay n y n ii n n y n x n ay n y 因而则变换处递推，将原方程加以向 ┇)1()(),))]1()1([1)(1111---=-=+-+=n u a n y ii i a n x n y a n y nn可知：综上ax ay y x ay y n x n ay n y n i n n x b =+==+=+-=>-=)2()1()2(1)1()0()1()()1()(0))1()()(222222222按，处递推向设δ ┇)]1()1([1)2(0)]0()0([1)1()]1()1([1)( )(0)1,)()()1()(2222222222121222=---=-=-=-+-+=<≥=∴=+-=--x y ay x y ay n x n y an y n y n ii n a n y a n x n ay n y n n 按变换后的，处递推向┇变系统。

条件下，系统不是移不以在　不是移一位的关系，所与是移一位的关系，但与结果可知，由　可得：综上２0)0( )()( )()()(,)()1()()),0)]1()1([1)(1212222=-==+-+=-y n y n y n x n x b a n u a n y ii i n x n y an y n2333333333)3()2()3()2()1()2(1)1()0()1(0))1()()()a x ay y a x ay y x ay y n i n n n x c =+==+==+=>-+=处递推向设δδ ┇23331333131333)]1()1([1)2()]0()0([1)1(0)1,)()()1()(-----=---=--=-=-<≥=∴=+-=a x y ay a x y ay n ii n a n y a n x n ay n y n n 处递推向┇条件下是线性系统。

所给系统在可得：综上0)0()()( )1()1()()),1 , )]1()1([1)(2113333=∴+=----=-≤-=+-+=-y n y n y n u a n u an y ii i n a n x n y an y nn n6.试判断:是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性，)]([)]([)]()([22112211n x T a n x T a n x a n x a T +=+移不变性：输入与输出的移位应相同T[x(n-m)]=y(n-m)。

∑-∞==nm m x n y )()()1( 解：()[]()∑-∞===nm m x n x T n y 111)(()()[]()m x n x T n y nm ∑-∞===222()()()()[]∑-∞=+=+nm n bx m ax n by n ay 2121()()[]()()[]∑-∞=+=+nm n bx n ax n bx n ax T 2121()()[]()()n by n ay n bx n ax T 2121+=+系统是线性系统∴ ()[]2)( )2(n x n y =解：()[]()[]2111)(n x n x T n y ==()()[]()[]2222n x n x T n y ==()()()[]()[]212121n bx n ax n by n ay +=+()()[]()()[]()[]()[]()()()()[]()()n by n ay n bx n ax T n x n abx n bx n ax n bx n ax n bx n ax T 2121212221221212 +≠+++=+=+即系统不是线性系统∴()[]()[]()()[]()[]()系统是移不变的即∴-=--=--=-m n y m n x T m n x m n y m n x m n x T 227. 试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=792sin )()3( ππn x n y 解：()())792sin()()792sin()(2121ππππ+++=+n bx n ax n by n ay ()()[][]()()[]()()n by n ay n bx n ax T n bx n ax n bx n ax T 21212121)792sin()()( +=+++=+即有ππ()[]()()()()()()[]()系统是移不变的即∴-=-+-=-+-=-m n y m x T m n x m n y m n x m n x T 792sin 792sin ππππ()()792sin )(11ππ+=n x n y ()()792sin )(22ππ+=n x n y)(0nn k )]([(4))()]([)3()()]([(2) )()()]([)1(0n x en x T n n x n x T k x n x T n x n g n x T =-===∑=分析：注意：T [x(n)] = g(n) x(n) 这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y （n ）移位m 则x （n ）和g(n)均要移位m 。