七年级数学下册实际问题与二元一次方程组
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】实际问题与二元一次方程组(一)(基础)知识讲解责编:杜少波【学习目标】1.以含有多个未知数的实际问题为背景,经历“分析数量关系,设未知数,列方程组,解方程组和检验结果”的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型;2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分,配套,工程等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系(一) 1.和差倍分问题:增长量=原有量×增长率 较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量. 2.产品配套问题:解这类问题的基本等量关系是:加工总量成比例.3.工程问题:工作量=工作效率×工作时间,各部分劳动量之和=总量.4.利润问题:商品利润=商品售价-商品进价,=100% 利润利润率进价.要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题,是把“未知”转换成“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的等量关系.一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:①方程两边表示的是同类量:②同类量的单位要统一;③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤: 设:用两个字母表示问题中的两个未知数;列:列出方程组(分析题意,找出两个等量关系,根据等量关系列出方程组); 解:解方程组,求出未知数的值;验:检验求得的值是否正确和符合实际情形; 答:写出答案. 要点诠释:(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去; (2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、和差倍分问题1.(2016•长春二模)电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式,网购已悄然进入千家万户.李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯,已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元.请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元?【思路点拨】设茶壶的单价为x 元,茶杯的单价为y 元,根据题意可得,1个茶壶和10个茶杯共花去220元,茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元,据此列方程组求解. 【答案与解析】解:设茶壶的单价为x 元,茶杯的单价为y 元,由题意得,,解得:.答:茶壶的单价为70元,茶杯的单价为15元.【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组求解.举一反三: 【变式】(2015•茂名模拟)根据如图提供的信息,可知一个热水瓶的价格是( )A .7元B .35元C .45元D .50元 【答案】C .解:设水壶单价为x 元,杯子单价为y 元, 则有 ,解得.答:一个热水瓶的价格是45元. 类型二、配套问题2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出:衣身、衣袖所用布料的和为132米;第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意:别把2倍的关系写反了).【答案与解析】解:设用x 米布料做衣身,用y 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.根据题意,列方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=+y x y x 25223132解方程组得⎩⎨⎧==7260y x答:用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.【总结升华】生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.【:实际问题与二元一次方程组(一)409143 例2】 举一反三:【变式】某家具厂生产一种方桌,设计时13m 的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有103m 的木材,怎样分配桌面和桌腿使用的木材,才能使桌面和桌腿刚好配套,并指出可生产多少张方桌?(提示:一张方桌有一个桌面,4条桌腿). 【答案】解:设有3xm 的木材生产桌面,3ym 的木材生产桌腿,由题意得,10300504x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩ , 64x y =⎧∴⎨=⎩.∴方桌有50x =300(张).答:有63m 的木材生产桌面,43m 的木材生产桌腿,可生产出300张方桌. 类型三、工程问题3.一批机器零件共840个,如果甲先做4天,乙加入合做,那么再做8天才能完成;如果乙先做4天,甲加入合做,那么再做9天才能完成,问:两人每天各做多少个零件? 【思路点拨】本例由分析知,有两个相等关系:(1)甲4天的工作量+甲乙合做8天的工作量=工作总量;(2)乙4天的工作量+甲、乙合做9天的工作量=工作总量,根据这两个相等关系可列方程求解. 【答案与解析】解:设甲每天做x 个机器零件,乙每天做y 个机器零件.根据题意,得(48)88409(49)840x y x y ++=⎧⎨++=⎩,解之,得5030x y =⎧⎨=⎩.答:甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个.【总结升华】解答这类问题的基本关系式是:工作量=工作效率×工作时间.工程问题一般分为两类:一类是一般的工程问题,一类是工作总量为1的工程问题. 类型四、利润问题4. (2015•曲靖)某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价和销售价如表所示: 类别/单价 成本价 销售价(元/箱) 甲 24 36 乙 33 48(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元? 【思路点拨】(1)设商场购进甲种矿泉水x 箱,购进乙种矿泉水y 箱,根据投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱,列出方程组解答即可; (2)总利润=甲的利润+乙的利润. 【答案与解析】 解:(1)设商场购进甲种矿泉水x 箱,购进乙种矿泉水y 箱,由题意得,解得:.答:商场购进甲种矿泉水300箱,购进乙种矿泉水200箱. (2)300×(36﹣24)+200×(48﹣33) =3600+3000 =6600(元).答:该商场共获得利润6600元.【总结升华】本题考查了二元一次方程组的实际应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解. 【:实际问题与二元一次方程组(一)409143 例6】举一反三:【变式】王师傅下岗后开了一家小商店,上周他购进甲乙两种商品共50件,甲种商品的进价是每件35元,利润率是20%,乙种商品的进价是每件20元,利润率是15%,共获利278元,你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗? 【答案】解:设王师傅分别购进甲、乙两种商品x 件和y 件,则503520%2015%278x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩ 解得:3218x y =⎧⎨=⎩答:王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件.初中奥数题试题一一、选择题(每题1分,共10分)1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么 ( )A.a,b都是0 B.a,b之一是0C.a,b互为相反数 D.a,b互为倒数2.下面的说法中正确的是 ( )A.单项式与单项式的和是单项式B.单项式与单项式的和是多项式C.多项式与多项式的和是多项式D.整式与整式的和是整式3.下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B.没有最小的正有理数C.没有最大的负整数 D.没有最大的非负数4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么 ( )A.a,b同号 B.a,b异号 C.a>0 D.b>05.大于-π并且不是自然数的整数有 ( )A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个6.有四种说法:甲.正数的平方不一定大于它本身;乙.正数的立方不一定大于它本身;丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身。
七年级数学(下)第八章《实际问题与二元一次方程组》练习题一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知甲、乙两数之和是42,甲数的3倍等于乙数的4倍,求甲、乙两数.若设甲数为x,乙数为y,由题意得方程组A.4243x yx y+=⎧⎨=⎩B.4234x yx y+=⎧⎨=⎩C.421134x yx y-=⎧⎪⎨=⎪⎩D.4243y xx y+=⎧⎨=⎩【答案】B【解析】设甲数为x,乙数为y,由题意得:4234x yx y+=⎧⎨=⎩,故选B.2.小强到体育用品商店购买羽毛球球拍和乒乓球球拍,已知购买1副羽毛球球拍和1副乒乓球球拍共需50元,小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍.若设每副羽毛球拍为x元,每副乒乓球拍为y元,根据题意,下面所列方程组正确的是A.5010()320x yx y+=⎧⎨+=⎩B.50610320x yx y+=⎧⎨+=⎩C.506320x yx y+=⎧⎨+=⎩D.50106320x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】B【解析】每幅羽毛球拍为x元,每幅乒乓球拍为y元,由题意得,50610320x yx y+=⎧⎨+=⎩,故选B.3.甲、乙两人练习跑步,若乙先跑10米,则甲跑5秒就可以追上乙;如果乙先跑2秒,甲跑4秒就可以追上乙.设甲的速度为x米/秒,乙的速度为y米/秒,根据题意,下列选项中所列方程组正确的是A.5510424x yx y y-=⎧⎨=+⎩B.5510424x yx y-=⎧⎨-=⎩C.5510424x yx x y-=⎧⎨-=⎩D.5105424x yx y+=⎧⎨-=⎩【答案】A4.哥哥与弟弟的年龄和是18岁,弟弟对哥哥说“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是18岁”.如果现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,下列方程组正确的是A.1818x yy x x=-⎧⎨-=-⎩B.1818y xx y y-=⎧⎨-=+⎩C.1818x yy x y+=⎧⎨-=+⎩D.1818y xy y x=-⎧⎨-=-⎩【答案】D【解析】设现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,由题意得1818y xy y x=-⎧⎨-=-⎩.故选D.5.如图,10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形,设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米,则依题意列方程正确的是A.2753x yy x+=⎧⎨=⎩B.2753x yx y+=⎧⎨=⎩C.2753x yy x+=⎧⎨=⎩D.2753x yx y+=⎧⎨=⎩【答案】B【解析】根据图示可得:长方形的长可以表示为x+2y,长又是75厘米,故x+2y=75,长方形的宽可以表示为2x,或x+3y,故2x=3y+x,整理得x=3y,联立两个方程可得2753x yx y+=⎧⎨=⎩,故选B.6.某校七年级一班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元,捐款情况如表:捐款/元 1 2 3 4人数 6 ▅▅7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚,若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可列方程组A .272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B .2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C .273266x y y x +=⎧⎨+=⎩D .2732100x y y x +=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】根据九(2)班共有40名同学,可列方程x +y +6+7=40,即x +y =27; 根据共捐款100元,可列方程2x +3y +6+4×7=100,即2x +3y =66, 故可列方程组为:272366x y x y +=⎧⎨+=⎩,故选A .二、填空题:请将答案填在题中横线上.7.学生问老师:“您今年多大?”老师风趣地说:“我像你这么大时,你才出生;你到我这么大时,我已经37岁了.”老师今年__________岁. 【答案】25【解析】设学生现在年龄是x 岁,老师现在年龄是y 岁,根据题意列方程组得:137y x x x y x -=-⎧⎨-=-⎩,解得1325x y =⎧⎨=⎩.即老师今年25岁.故答案为:25. 8.如图所示,点O 在直线AB 上,OC 为射线,∠1比∠2的3倍少20°,则∠1的度数为__________.【答案】130°【解析】根据题意,得1218013220∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩,解得∠1=130°,∠2=50°,故答案为:130°.9.根据下图给出的信息,则每件T 恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为__________.【答案】20元和2元【解析】设每件T 恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x 元和y 元,根据题意可列方程组2244326x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得202xy=⎧⎨=⎩,所以每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为20元和2元.故答案为:20元和2元.10.某宾馆有单人间和双人间两种房间,入住3个单人间和6个双人间共需1020元,入住1个单人间和5个双人间共需700元,则入住单人间和双人间各5个共需__________元.【答案】1100故答案为:1100.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.油漆厂用白铁皮做圆柱形油漆小桶,一张铁皮可做侧面32个,或底面160个,现有铁皮140张,用多少张做侧面,多少张做底面,可以正好制成配套的油漆小桶?【解析】设x张做侧面,y张做底面,根据现有铁皮140张,根据题意可得,1401321602x yx y+=⎧⎪⎨=⨯⎪⎩,解得10040xy=⎧⎨=⎩,答:100张做侧面,40张做底面.12.某电器商场销售A、B两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元,商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B 型号计算器,可获利润120元.求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格﹣进货价格)【解析】设A种型号计算器的销售价格是x元,B种型号计算器的销售价格是y元,由题意得,5(30)(40)766(30)3(40)120x yx y-+-=⎧⎨-+-=⎩,解得4256 xy=⎧⎨=⎩,答:A种型号计算器的销售价格是42元,B种型号计算器的销售价格是56元.13.目前节能灯在城市已基本普及,今年云南省面向县级及农村地区推广,为相应号召,某商场计划用3800元购进节能灯120只,这两种节能灯的进价、售价如下表:(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只?(2)全部售完120只节能灯后,该商场获利润多少元?答:全部售完120只节能灯后,该商场获利润1000元.14.仔细观察下图,认真阅读对话:根据以上对话内容,可知小明买5元邮票多少张?【解析】设小明买2元邮票x张,1元邮票2x张,5元邮票y张,则根据题意得21822535x x yx x y++=⎧⎨++=⎩,解得53xy=⎧⎨=⎩.答:小明买5元邮票3张.。
实际问题与二元一次方程组
1、灾后重建,某村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥,已知男村民一人挑两包,女村民两人抬一包,共购回15包。
这次采购排男村民和女村民各多少人?
2、在早餐店里,王伯伯买5个馒头,3个包子,老板少拿2元,只要50元。
李太太买了11个馒头,5个包子,老板给予售价的九折优惠,只要90元。
求馒头和包子各多少钱?
3、张翔从学校出发骑自行车去县城,中途因道路施工步行一段路,1.5h后到达县城。
他骑车的平均速度是15km/h,步行的平均速度是5km/h,路程全长20km。
他骑车与步行各用多少时间?
4、小方、小程两人相距6km,两人同时出发相向而行,1h相遇;同时出发同向而行,小方3h可追上小程。
两人的平均速度各是多少?
5、从甲地到乙地有一段上坡与一段平路。
如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km。
下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min。
甲地到乙地全程是多少?
6、甲、乙两人在400m的环形跑道上练习赛跑。
如果两人同时同地反向跑,经过25秒第一次相遇;如果两人同时同地同向跑,经过250秒甲第一次追上乙,求甲、乙的平均速度。
7、甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2min 相遇一次;如果同向而行,每隔6min相遇一次。
已知甲比乙跑得快,甲、乙二人每分各跑多少圈?
8、某人沿公路匀速前进,每隔4分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,每隔6分钟就有一辆公共汽车从背后超过他。
假定汽车速度不变,而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200米,求某人前进的速度和公共汽车的速度,那么汽车每隔几分钟开出一辆?
9、一辆汽车从A 地驶往B 地,前3
1路段为普通公路,其余路段为高速公路。
已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ,在高速公路上行驶的速度为100km/h ,汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2h 。
请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解答过程。
10、为打造古运河风光带,现有一段长为180米的河道整治任务有A ,B 两个工程队先后接力完成。
A 工程队每天整治12米,B 工程队每天整治8米,共用时20天。
(1)根据题意,甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组:
甲:⎩⎨⎧=+=+y x y x 1812 乙:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+18
12y x y x 根据甲、乙两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x,y 表示的意义,然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组:
甲:x 表示‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗,y 表示‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗; 乙:x 表示‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗,y 表示‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗;
(2)求A ,B 两工程队分别整治河道多少米?(写出完整的解答过程)
11、某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑,其中A 型每台6000元,B 型每台4000元、C 型每台2500元。
某中学现有资金100500元,计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑。
请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择,并说明理由。
12、某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只。
现计划用132m这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
13、某人步行了5小时,先沿着平路走,然后上山,最后又沿原路返回。
假如他在平路上每小时走4里(注:1里=500米),上山每小时走3里,下山的速度是6里/时,则他从出发到返回原地的平均速度是__________里/时。
14、一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住,某旅行团20人准备同时租用这三种客房,已知这三种客房共7间,如果每个房间都住满,租房方案有()。
A、4种
B、3种
C、2种
D、1种
15、要用20张白卡纸做包装盒,每张白卡纸可以做盒身2个或者做盒底盖3个,如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒,要求把这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套。
请你设计一种方法:如果不许剪开白卡纸,能不能找到符合题意的分法?如果许剪开白卡纸,怎样才能既符合题意又能充分地利用白卡纸?。