偏微分方程数值解教学大纲

《偏微分⽅程》课程⼤纲《偏微分⽅程》课程⼤纲⼀、课程简介教学⽬标：“偏微分⽅程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分⽀和⾃然科学与⼯程技术中的⼴泛应⽤是众所周知的。

本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对⼏类典型⽅程数学结构、求解⽅法、解的性质以及物理意义进⾏详细阐述，为学⽣⽇后的学习和⼯作打下坚实的基础，提供强有⼒的⼯具，并为进⼀步了解和应⽤现代偏微分⽅程的有关内容提供重要帮助。

主要内容：1. 了解⼏类典型⽅程及其定解条件的物理背景2．掌握⽅程的分类及其化简⽅法3. 熟练掌握各类⽅程的求解⽅法（包括具有普适性的⽅法，如分离变量法,Fourier变换法和Green函数法等，以及针对某类⽅程的特定⽅法，如特征线法）4. 会⽤⼀些基本⽅法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质⼆、教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)第⼀章引论主要内容：1、偏微分⽅程简介a)偏微分⽅程的历史、现状和⽤途b)什么是偏微分⽅程？介绍有关偏微分⽅程基本概念和研究内容c)例⼦：简单⽽多样的例⼦帮助学⽣初步了解偏微分⽅程2、⼆阶线性偏微分⽅程的分类和特征理论a)两个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的标准形式与典型例⼦，混合型⽅程b)多个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程⽅程的分类及其例⼦c)⼆阶线性⽅程的特征理论*3、四类典型⽅程的数学模型：包括波动⽅程、热传导⽅程、调和⽅程、和⼀阶⽅程4、其他预备知识：线性⽅程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*重点与难点：通过化标准型将⼆阶⽅程进⾏分类、特征的概念（这是偏微分⽅程中最基本也是最重要的概念）、各类⽅程及其定解条件的物理意义第⼆章波动⽅程主要内容：1、弦振动⽅程Cauchy问题的存在性：D’Alembert求解公式，传播波，依赖区域、决定区域和影响区域，特征线法（⾏波法）的其他应⽤和例⼦，Duhamel齐次化原理及其物理解释2、弦振动⽅程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例⼦，⾮齐次⽅程的情形，⾮齐次边界条件的情形，⾼维波动⽅程分离变量法的例⼦3、⾼维波动⽅程Cauchy问题的求解：三维波动⽅程的球平均法，⼆维波动⽅程的降维法4、波的传播与衰减：依赖区域、决定区域和影响区域，Huygens原理与波的弥散，波动⽅程解的长时间性态5、能量不等式与唯⼀性和稳定性：初边值问题解的唯⼀性和稳定性，Cauchy问题解的唯⼀性和稳定性重点与难点：针对于波动⽅程：特征线与特征锥、特征线⽅法、波的有限传播速度；适⽤于各种⽅程的普遍⽅法：能量积分⽅法、分离变量法第三章热传导⽅程主要内容：1、求解初边值问题的分离变量法：⼀维情形，⾼维的例⼦2、Cauchy问题解的存在性：Fourier变换及其基本性质，⽤Fourier变换法求解Cauchy 问题及解的存在性讨论，Fourier变换法的其他应⽤3、极值原理与唯⼀性和稳定性：有界区域的极值原理，⽆界区域的极值原理，初边值问题解的唯⼀性和稳定性，Cauchy问题解的唯⼀性和稳定性4、解的渐近性态：初边值问题解的渐近性态，Cauchy问题解的渐近性态重点与难点：Fourier变换⽅法、极值原理、关注与波动⽅程的区别第四章调和⽅程主要内容：1、调和函数的基本性质：Green公式，Neumann问题解的⾃由度与可解性条件，调和⽅程的基本解，变分原理、基本积分公式，平均值定理，极值原理、边值问题解的唯⼀性和稳定性2、Green函数：定义和性质，⽤静电源像法求⼀些特殊区域的Green函数，⼀般单连通区域的Green函数，⽤Green函数法求解调和⽅程与Poisson⽅程3、调和函数的进⼀步性质―――Harnack定理，可去奇点定律，解析性定理、强极值原理、Neumann边值问题解的唯⼀性。

偏微分方程教学大纲一、课程概述偏微分方程是数学领域中一个重要的分支，它在物理学、工程学、生物学等众多领域都有着广泛的应用。

本课程旨在为学生提供偏微分方程的基本理论和方法，培养学生解决实际问题的能力。

二、课程目标1、使学生掌握偏微分方程的基本概念、基本理论和基本方法。

2、培养学生运用数学工具分析和解决实际问题中涉及偏微分方程的能力。

3、提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

三、课程内容（一）偏微分方程的基本概念1、偏导数和全微分2、偏微分方程的定义和分类3、典型的偏微分方程模型（如波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等）（二）一阶偏微分方程1、一阶线性偏微分方程的一般形式和求解方法2、特征线法3、柯西问题（三）二阶线性偏微分方程的分类与标准型1、二阶线性偏微分方程的一般形式2、判别式及其分类3、化标准型的方法（四）波动方程1、波动方程的导出2、达朗贝尔公式3、初值问题和混合问题的求解（五）热传导方程1、热传导方程的导出2、初值问题的求解（分离变量法、傅里叶变换法）（六）拉普拉斯方程1、拉普拉斯方程的边值问题2、格林函数法（七）特殊函数与偏微分方程1、贝塞尔函数2、勒让德多项式（八）偏微分方程的数值解法1、有限差分法2、有限元法四、教学方法1、课堂讲授：讲解偏微分方程的基本概念、理论和方法，通过例题加深学生对知识的理解。

2、讨论课：组织学生对一些难点和重点问题进行讨论，培养学生的思维能力和创新能力。

3、作业：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

4、实验课：通过数值实验，让学生了解偏微分方程的数值解法，提高学生的实践能力。

五、教学资源1、教材：选用国内外经典的偏微分方程教材，如《偏微分方程》（＿____著）等。

2、参考书籍：推荐相关的参考书籍，如《＿____》、《＿____》等，供学生自主学习和拓展知识。

3、在线资源：提供相关的在线课程、学术论文等资源，方便学生深入学习和研究。

六、考核方式1、平时成绩：包括作业、考勤、课堂表现等，占总成绩的____%。

中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述：本课程介绍数值求解偏微分方程的基本方法及相关的理论基础。

本课程针对数学类专业高年级（三年级）本科生开设。

课程基本内容包括：有限差分方法、差分格式的稳定性、收敛性分析；变分原理，Galerkin有限元方法等。

通过对模型问题的基本数值方法进行分析，阐明构造数值方法的基本思想和技巧。

通过本课程学习，使学生了解并掌握数值求解偏微分方程的基本思想、基本概念和基本理论（数值格式的相容性、稳定性、收敛性及误差估计等），能够运用算法语言对所学数值方法编制程序在计算机上运行实施并对数值结果进行分析。

培养学生理论联系实际，解决实际问题的能力和兴趣。

2.设计思路：偏微分方程是应用数学的核心内容，在其他科学、技术领域具有广泛深入的应用。

掌握偏微分方程的基础理论及求解方法是数学类专业本科生培养的基本要求。

本课程是在数学物理方程课程基础上开设的延展应用型课程，是一门数值分析理论与实践应用高度融合的专业课。

课程引导学生通过数值方法探讨和理解应用数学工具解决实际- 6 -问题的途径及理论分析框架。

学习本课程需要学生掌握了“数学分析”、“数学物理方程”、“数值分析”及“泛函分析”的核心基本内容。

课程内容安排分为有限差分方法和有限元方法两个单元模块，这是目前应用最广泛、理论发展最完善的两类数值方法，两者既有关联又有本质区别，能够体现偏微分方程数值解法的基本特征。

首先介绍有限差分方法。

有限差分方法是近似求解偏微分方程的应用最广泛的数值方法，以对连续的“导数（微分）”进行离散的“差分”近似为基本出发点，利用Fourier 分析及数值分析的基本理论，讨论椭圆、抛物、双曲等三类典型偏微分方程近似求解方法及近似方法的数学理论分析。

有限元方法是20世纪中期发展起来的基于变分原理的数值方法，具有更直接的物理背景含义，因而受到力学、工程等应用领域广泛的关注和应用。

《偏微分方程数值解》教学大纲
一．课程的性质、教育目标及任务：
偏微分方程数值解法在数值分析中占有重要地位，在各个科技领域的应用日渐广泛。

通过本课程的学习，使学生能了解偏微分方程数值解的最基础的知识和方法，确切地理解基本概念，掌握和正确使用两类主要方法。

二．教学内容及基本要求：
（1）弄清有限差分法的基本概念和各种差分格式。

（2）掌握双曲型，抛物型、椭圆型方程的差分方法。

（3）理解数理方程的变分原理，掌握变分问题的近似计算法。

（4）掌握有限元离散方法的原理及应用。

三．作业、辅导答疑等教学环节要求：
1．作业量：每章5--6大题，共30--40题。

2．辅导答疑：1/3总课时。

四．学时分配及说明：。

偏微分方程数值解讲义教学设计1. 课程简介本课程是针对大学数学及计算机专业的高年级本科生或研究生开设的，旨在介绍偏微分方程数值解方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

本课程的学习目标是掌握偏微分方程数值解的基础理论和常用方法，以及了解数值解的数学原理和应用场景，并能够扩展应用所学知识解决相关实际问题。

2. 教学内容2.1 引言•偏微分方程的概念、分类和基本理论；•数值解的概念和分类，数值解的误差理论。

2.2 有限差分法•一维抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限差分格式；•非线性偏微分方程的数值求解；•高维问题的数值求解。

2.3 有限元法•一维线性抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限元求解方法；•二维和三维问题的有限元求解方法；•有限元法的加权残差方法和变分原理。

2.4 谱方法•调和方程的分离变量方法和Fourier级数解法；•Laplace方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法；•泊松方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法。

3. 教学手段3.1 讲课本课程采用讲课和练习相结合的方式，通过讲解理论知识和数值计算实例，并基于MATLAB或Python等数值计算软件进行演示。

3.2 练习结合课程中的实例，进行数值计算作业和课程项目的设计，以提高学生的理论知识和计算能力。

4. 教材教材推荐：•Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods by G. D. Smith •Finite Element Method: A Practical Course by C. S.Chen5. 教学评估学生的教学成绩考核由以下三部分组成：•期中考试（占成绩的30%）；•期末考试（占成绩的50%）；•课程设计作业（占成绩的20%）。

6. 教学进度内容讲课时间引言2课时有限差分法（一）6课时有限差分法（二）6课时有限差分法（三）4课时有限元法（一）6课时有限元法（二）6课时有限元法（三）4课时谱方法6课时课程设计作业4课时或更多7. 总结本文介绍了一个偏微分方程数值解讲义的教学设计，包括课程简介、教学内容、教学手段、教材、教学评估和教学进度等方面的内容。

偏微分方程数值解法第二版教学设计课程介绍偏微分方程数值解法是应用数学中一门重要的课程，主要介绍偏微分方程的基本理论和数值解法。

本课程是第二版，主要更新了课程内容和案例实现，使学生更好地掌握偏微分方程的数值解法。

本课程适用于应用数学和工科相关专业的本科生。

教学目标1.掌握偏微分方程基本理论；2.熟练掌握偏微分方程的数值解法；3.能够应用偏微分方程数值解法解决实际问题；4.增强数学建模思维和实验能力。

教学内容本课程主要包括以下内容：偏微分方程基本理论•一维波动方程的数值解法•热传导方程的数值解法•Laplace方程的数值解法•解法的稳定性和收敛性分析偏微分方程数值解法•有限差分法•有限元法•边界元法•数值方法的误差分析应用案例实现•物理学问题数值解法•工程问题数值解法•生物学和环境学问题数值解法教学方法本课程采用翻转课堂的教学方法，即先让学生通过在线学习平台学习相应的理论基础和数值方法，然后通过课堂讨论、小组合作和案例实现活动来加深理解。

评价方式评分组成为平时成绩和期末成绩。

平时成绩包括在线学习平台作业和课堂表现等，占比30%；期末成绩包括期末论文和考试，占比70%。

参考教材1.Numerical Solution of Partial Differential Equations by theFinite Element Method, Claes Johnson, Dover Publications, 2009.2.Numerical Methods for PDEs: Finite Difference and FiniteVolume Methods, Sandip Mazumder, Springer, 2016.3.A First Course in Finite Elements, Jacob Fish, TedBelytschko, John Wiley & Sons, 2007.总结偏微分方程数值解法是应用数学和工科专业中重要的课程之一。