(完整版)整数乘除法速算巧算教师版

整数四则运算知识点一、运算定律⑴加法交换律：a b b a+=+的等比数列求和⑵加法结合律：()()++=++a b c a b c⑶乘法交换律：a b b a⨯=⨯⑷乘法结合律：()()⨯⨯=⨯⨯a b c a b c⑸乘法分配律：()⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数）a b c a b a c⑹减法的性质：()--=-+a b c a b c⑺除法的性质：()÷⨯=÷÷a b c a b c+÷=÷+÷a b c a c b c()-÷=÷-÷()a b c a c b c上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响⑴在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都不变；⑵在“-”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都改变，其中“+”号变成“-”号，“-”号变成“+”号；⑶在“⨯”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；⑷在“÷”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都改变，其中“⨯”号变成“÷”号，“÷”号变成“⨯”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．简单分步【例 1】计算：315325335345÷+÷+÷+÷．【分析】原式313233345（）=+++÷130526=÷=【例 2】 计算：⑴ 36196419⨯+⨯⑵ 361964144⨯+⨯【分析】 ⑴原式3664191900=+⨯=（）⑵原式36196419125=⨯+⨯+（）36641964125190088125190080009900=+⨯+⨯=+⨯⨯=+=（）【例 3】 计算：234432483305+-⨯+÷=【分析】 234+432-32+66=666-32+66=634+66=700【例 4】 900000－9＝________×99999。

小学数学速算与巧算方法例解【转】速算与巧算在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。

速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。

一、“凑整”先算1.计算：（1）24+44+56（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.2.计算：（1）96+15（2）52+69解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算：（1）63+18+19（2）28+28+28解：（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.（2）28+28+28=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：加18减19的结果就等于减1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中间数是5=45 共9个数（2）计算：1+3+5+7+9=5×5 中间数是5=25 共有5个数（3）计算：2+4+6+8+10=6×5 中间数是6=30 共有5个数（4）计算：3+6+9+12+15=9×5 中间数是9=45 共有5个数（5）计算：4+8+12+16+20=12×5 中间数是12=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.（2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×4=20×4=80共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.（3）计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（2+20）×5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法（1）计算：23+20+19+22+18+21解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.（2）计算：102+100+99+101+98解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.加法中的巧算1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

哈喽!下面就来看看乘除法的巧算。

战场必备品：1、乘法运算定律：⑴乘法交换律：a×b＝b×a⑵乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)⑶乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c或(a－b)×c＝a×c－b×c2、除法运算性质：⑴a÷b÷c＝a÷(b×c)⑵a÷b×c＝a÷(b÷c)⑶(a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c或(a－b)÷c＝a÷c－b÷c3、积与商的不变规律⑴如果a×b＝c，那么(a×m)×(b÷m)＝c（m≠0）或(a÷m)×(b×m)＝c（m≠0）⑵如果a(b÷例1、⑴25×19×4⑵125×(47×8) ⑶6780÷3420×例2、⑴25×36 ⑵25×5×64×125例3、计算下面各题⑴374×83＋374×17 ⑵298×168－298×68 ⑶839×1011例4、计算下面各题⑴346×275÷468÷346×468 ⑵948÷(237÷35×4)例5、⑴3900÷25÷4 ⑵32000÷125例6、计算：9999×7778＋3333×例7、不算出结果，比较两个积的大小 A ＝98765×4322 B ＝98766×4321【方法小结】熟记乘法运算律，除法性质，观察算式特点，灵活运用例题所讲方法，计算题就是小菜一碟。

整数计算第一部分：知识介绍一、基本运算律及公式1．加法：加法交换律、加法结合律2．减法：在连减或者加减混合运算中，去括号、添括号的规则3．乘除法：1）乘法交换率、乘法结合率、乘法分配率（反过程是提取公因数）、积不变性质2）商不变性质3）在乘除混合运算中，去括号、添括号的规则二、加减法中的速算与巧算1、分组凑整法2、加补凑整法3、位值原理法4、“基准数”法三、乘除法中的速算与巧算1、乘法凑整：⨯⨯=2510⨯=，711131001⨯=，81251000⨯=，4251002、乘法其他速算方法：（详细例子见附录）20以内的两位数相乘、首同尾非十的两位数相乘、首同尾十的两位数相乘、首十尾同的两位数相乘、任意多位数数x 11、任意两位数x任意两位数。

3、在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b÷÷=÷÷两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即()()()()()()⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷a b c d a c b d a d b c四、计算的应用1、定义新运算：定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

2、平均数计算：平均数问题的数量关系式，总数量÷总份数=平均数, 平均速度=总路程÷总时间.解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数。

第二部分：例题精讲+--++--++-⋅⋅⋅--++--+=【例 1】巧算：20052004200320022001200019991998199719967654321【考点】分组凑整【解析】观察数字和符号的规律得，从第二个数开始每四个数分为一组，每组结果都为0，一直到最后四个数刚好是最后一组。

整数乘、除法的计算技巧主讲：黄冈小学数学高级教师秦传志一、知识点概述整数乘、除法的计算不仅要掌握四则运算法则，还要掌握整数的计算技巧。

计算技巧即应用运算定律和性质，或利用某些公式和其他方法，使计算简便迅速。

因此，在学习整数中要细心地观察和分析，找到简算的方法。

二、重点知识归纳及讲解（一）乘法的巧算1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

用字母表示：a×b＝b×a2、乘法结合律：三个数相乘，可以把前两个数结合起来先乘，也可以把后两个数结合起来先乘，积不变。

用字母表示：a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c)3、乘法分配律：两个加数的和与一个数相乘，可以用每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。

用字母表示：(a＋b)×c＝a×c＋b×c（二）除法的巧算1、商不变的性质：被除数和除数同乘以或同除以一个数（零除外），它们的商不变。

用字母表示：a÷b＝（a×n）÷（b×n）＝（a÷n）÷（b÷n)2、两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和（或差）。

用字母表示：(a＋b)÷c＝a÷c＋b÷c3、两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。

用字母表示：a÷b÷c＝a÷c÷b两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。

用字母表示：a×b÷c＝a÷c×b＝b÷c×a4、一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

用字母表示：a÷(b×c)＝a÷b÷c一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。

乘除法中旳速算与巧算知识储藏整数乘除法旳速算与巧算,一条最基本旳原则就是“凑整”。

要达到“凑整”旳目旳，就要将某些数分解、变形,再运用乘法旳互换律、结合律、分派律以及四则运算中旳某些规则，把某些数组合到一起，使复杂旳计算过程简便化。

1、乘法旳运算定律乘法互换律：a×ｂ=b×ａ乘法结合律：(a×ｂ)×c=a×(ｂ×c）乘法分派律:(a+b）×c=ac＋bc2、除法旳运算性质（1)a÷b＝(a×c)÷(b×c)ﻩ（ｃ≠0)（2）ａ÷ｂ=(a÷c)÷（ｂ÷c)(c≠0)（3）ａ÷b÷c=a÷（b×ｃ)（4)ａ÷(ｂ÷ｃ）＝a÷ｂ×c3、乘除分派性质(1）(a+ｂ)×c=a×c＋ｂ×c（２）(a-b）×c=a×ｃ－b×c(3）（ａ+b)÷c＝a÷c+b÷ｃ(4)(a-b)÷c=ａ÷ｃ－b÷c注意:除数不能为零。

4、两数之和乘以这两数之差旳积等于这两个数旳平方差。

（a＋b)×(a-ｂ)=ａ2－b25、乘法凑整法：这是运用特殊数旳乘积特性进行速算,如5×2=10,25×4=100，125×8＝１00０,625×8=50０0，６25×16＝１000０等等。

大伙要记住这些成果。

思维引导例1、计算：ﻩ(１）9９9＋999×999 (2)1111×9９9９（3)125×２5×3２ﻩ(4)５76×4２２+５7６＋5７7×５76跟踪练习:计算:(1)9９99＋9９9９×9９99ﻩ（２)1４0×２９9（３）80８×1２5ﻩﻩ (4）46１＋５×46１0＋461×49例2、计算：３４×1７2-17×７１×2－３4跟踪练习：计算：4２×6８+61×2×3４－3×68例3、用简便措施计算:8700÷２５÷4跟踪练习：96０0÷２5÷4例4、用简便措施计算:625÷25跟踪练习：４２80０÷2５例５、简算：２9×3１跟踪练习:简算:6８×7２例６、计算：11111×11111跟踪练习:计算：２22２２×２2222例７、计算:６3×2７５÷7÷11跟踪练习:计算：123×456÷７89÷45６×７8９÷123例8、计算:１÷(2÷３)÷（３÷４)÷（4÷5）÷（5÷6)跟踪练习:计算：15÷(９÷1１）÷(１１÷３４）÷（3４÷63)例9、计算：99999×22222+3333３×3３334跟踪练习:计算：9９９9×7778+33３3×66６6例1０、计算:9８９8９8９8×99９99９9９÷10101010÷1１111１１1跟踪练习：计算：×22÷１8÷例１1、计算:19９81９9９×1999199８-19９819９8×１９991999跟踪练习:计算:1９97×199９－199６×例１2、 末尾有几种零？跟踪练习:计算:能力对接1、 将相应旳序号填入括号中。

乘除法速算与技巧一、特殊类型的两位数相乘1、首同尾和10的两位数相乘。

一首数加1后，头×头与尾×尾连写就是所求的乘积。

如果出现尾×尾小于10，那么就在其前面添一个“0”。

例如：87×83＝ =7221 如：41×49= =2009练习: 11×19= 27×23= 54×56= 92×98=2、尾同首和10的两位数相乘。

尾同首和10的两位数相乘，速算方法：（头×头＋尾）与尾×尾连写就是结果。

例如：23×83＝ =1909练习:34×74= 69×49= 19×99= 17×97=3、同数与和10数相乘。

同数指个位数与十位数相同的一个两位数的简称。

如99、77等。

和10数是指个位数与十位数加起来等于10的一个两位数。

如64、73等。

口诀：找出和10数，在和10数的首位数加1后，头×头与尾×尾连写。

如：28×33＝ = 924口算练习：82×77= 64×33= 46×55= 73×22=19×88= 91×88= 99×46=（二）10－20之间的两位数相乘。

口诀：尾×尾，写在后；尾＋尾，写中间；头×头，写前边；满＋要进位，按照这个口诀计算，要从后位算起，向前位数进位。

例：13×12＝ = 156 17×19= ＝323。

口算练习：12×17= 14×13= 16×15= 13×12=（三）、两位数的平方。

口诀：尾×尾，写在后 2×头×尾，写在中头×头，写在前满＋要进位。

例：12平方＝ =144 36平方＝ =1296练习：232= 253= 286= 298=（四）任意两个两位数相乘。

新⼈教版⼩学奥数系列1-1-1-2整数乘除法速算巧算新⼈教版⼩学奥数系列1-1-1-2整数乘除法速算巧算姓名:________ 班级:________ 成绩:________⼩朋友，带上你⼀段时间的学习成果，⼀起来做个⾃我检测吧，相信你⼀定是最棒的!⼀、按要求解答。

(共63题；共564分)1. （10分）脱式计算，能简便的⽤简便⽅法计算。

①89×4+11×4②125÷（25×3-50）③65×101④1400÷25÷4⑤51+264+49-64⑥78-5.99-2.012. （10分）下⾯各题怎样简便就怎样计算。

（1）98×101－98（2）88×125（3）421－175－25（4）2000÷125÷83. （5分）脱式计算。

①42×76+24×42②720÷36-645÷43③560-912÷24×5④810÷[630÷（120-50）]⑤623÷89×（407-168）4. （20分）（4.5×11.1×4.8）÷（33.3×0.8×0.9）5. （20分）怎样简便就怎样计算①58×72+28×58②3000÷125÷8③486－137－63④432÷54＋17×54⑤99×78+78⑥125×246. （5分）简算(请写出简算过程)25×16×125=7. （5分）下⾯各题，怎样算简便就怎样算。

①188+69+12+231②8×49×125③537+402④32×18+32×32⑤369-128-72⑥203×268. （5分）计算下⾯各题，能简便运算的就简算。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：三年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第13讲-乘除巧算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①熟练运用运算律进行简便运算②建立简算意识，培养数感，提高心算和运算速度.授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯=（去8数，重点记忆）711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率：a×b=b×a乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：()()()()0a b a n b n a m b m m÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a b c a c b b c a⨯÷=÷⨯=÷⨯知识梳理⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．考点一：乘5、15、25、125 例1、下面这些题你会算吗？ (1)125(408)⨯+(2)(1004)25-⨯【解析】(1)125(408)125401258500010006000⨯+=⨯+⨯=+=(2)(1004)251002542525001002400-⨯=⨯-⨯=-=例2、你知道下题怎样快速的计算吗？ 786 5 ⨯【解析】7865786(52)2786023930⨯=⨯⨯÷=÷=或 786539325393103930⨯=⨯⨯=⨯=例3、聪明的你也来试试吧！(1)2415 ⨯ (2)8475⨯ (3)3975 ⨯ (4)56625 ⨯ 【解析】 (1)2415(24242)10(2412)10360⨯=+÷⨯=+⨯=(2)8475(214)(253)(213)(425)631006300⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=典例分析P(Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1.为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到吗？192564125⨯⨯⨯ 【解析】把64分成482⨯⨯，用乘法结合律便可速算．原式2541258192=⨯⨯⨯⨯⨯（）（）（） 1001000383800000=⨯⨯=2..下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！2625⨯【解析】26不能被4整除，但26可以拆成642⨯+，这样2625⨯，可转化为6425⨯⨯再加上225⨯，这样就可速算了．原式64225=⨯+⨯（）642522560050650=⨯⨯+⨯=+=3. 计算：564251252009⨯⨯⨯⨯． 【解析】把64拆成248⨯⨯，然后配方．原式5248251252009=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）522541258200910100100020092009000000=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=（）（）（） 4.请快速计算下面各题．(1)200425⨯ ⑵125792⨯【解析】(1)200425(20004)2520002542550100⨯=+⨯=⨯+⨯=(2)125792125(8008)1258001258100010010001000(1001)99000⨯=⨯-=⨯-⨯=⨯-=⨯-=5.计算：813125⨯⨯=【解析】根据乘法凑整原则81312581251310001313000⨯⨯=⨯⨯=⨯= 6.计算：125161119⨯-⨯=____________． 【解析】根据乘法凑整原则整理为实战演练⨯⨯⨯⨯32【解析】这道题中被除数以11仔细观察，可以发现被除数中有=⨯，5252所以，这道题的计算就十分简单了．原式11222105259627832474=⨯÷⨯⨯÷⨯⨯÷⨯⨯÷⨯⨯（）（）（）（）122174112=⨯⨯⨯⨯⨯= 10.计算：45691117366685⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）【解析】原式49611517366685=⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）（）（）3666853666851=⨯⨯÷⨯⨯=（）1（2008年，学而思杯）计算：123456789876543219⨯=【解析】原式()21111111119=⨯999999999111111111=⨯111111111000000000111111111=-111111110888888889= (Summary-Embedded)——归纳总结S乘除法中的简便运算，要熟练地运用乘法的运算定律与除法的运算性质。

整数乘除法的速算乘除法速算与技巧一、特殊类型的两位数相乘1、首同尾和10的两位数相乘。

一首数加1后，头×头与尾×尾连写就是所求的乘积。

如果出现尾×尾小于10，那么就在其前面添一个“0”。

例如：87×83＝ =7221 如：41×49= =2009练习: 11×19= 27×23= 54×56= 92×98=2、尾同首和10的两位数相乘。

尾同首和10的两位数相乘，速算方法：（头×头＋尾）与尾×尾连写就是结果。

例如：23×83＝=1909练习:34×74= 69×49= 19×99= 17×97=3、同数与和10数相乘。

同数指个位数与十位数相同的一个两位数的简称。

如99、77等。

和10数是指个位数与十位数加起来等于10的一个两位数。

如64、73等。

口诀：找出和10数，在和10数的首位数加1后，头×头与尾×尾连写。

如：28×33＝ = 924口算练习：82×77= 64×33= 46×55= 73×22=19×88= 91×88= 99×46=（二）10－20之间的两位数相乘。

口诀：尾×尾，写在后；尾＋尾，写中间；头×头，写前边；满＋要进位，按照这个口诀计算，要从后位算起，向前位数进位。

例：13×12＝= 156 17×19= ＝323。

口算练习：12×17= 14×13= 16×15= 13×12=（三）、两位数的平方。

口诀：尾×尾，写在后2×头×尾，写在中头×头，写在前满＋要进位。

例：12平方＝ =144 36平方＝ =1296 练习：232= 253= 286= 298=（四）任意两个两位数相乘。

整数加减法速算与巧算教案目标本知点属于算板的部分，度并不大。

要求学生熟加减法运算和运算律，并在算中运用凑整的技巧。

知识点拨一、基本运算律及公式一、加法加法交律：两个数相加，交加数的位置，他的和不。

即：其中 a， b 各表示任意一数．例如，7＋ 8＝8＋ 7＝ 15.a＋ b＝b＋ a：多个数相加，任意交相加的次序，其和不．加法合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他的和不。

即： a＋ b＋ c＝（ a＋ b）＋ c＝ a＋（ b＋ c）其中 a， b， c 各表示任意一数．例如，5＋ 6＋8＝（ 5＋6）＋ 8＝5＋ (6＋ 8).：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不。

二、减法在减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么算要数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－ b－ c＝ a－ c－ b， a－ b＋ c＝ a＋c－ b，其中 a， b，c 各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋” “－”，“－” “＋”．如： a＋（ b－ c）＝ a＋ b－ca－（ b＋ c）＝ a－ b－ ca－（ b－ c）＝ a－ b＋ c在加、减法混合运算中，添括号：如果添加的括号前面是如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号如： a ＋ b－ c＝ a＋（ b－ c）“＋”，那么括号内的数的原运算符号不；“＋” “－”，“－” “＋”。

a－ b＋c＝ a－（ b－ c）a－ b－c＝ a－（ b＋ c）二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、分凑整法．把几个互“ 数”的减数先加起来，再从被减数中减去，尾数的减数．“ 数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千或先减去那些与被减数有相同⋯⋯ ，就把其中的一个数叫做1 / 12另一个数的“ 数”．2、加凑整法．有些算式中直接凑整不明，可“借数”或“拆数”凑整．3、数原理法．先把加在一起整十、整百、整千⋯⋯的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比接近于某一整数的数相加，个整数“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例题精讲模块一：分组凑整【例 1 】算：（1）117＋229＋333＋471＋528＋622（2）（ 1350＋ 249＋ 468）＋（ 251＋ 332＋ 1650）（3） 756－ 248－ 352（4） 894－ 89－ 111－ 95－105－ 94【考点】分凑整【度】 1 星【型】算【解析】在个例中，主要学生掌握加、减法分凑整的方法。

本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．二、乘除法巧算与速算（1）凑整：2×5；4×25；8×125……；知识点拨教案目标整数乘除法速算与巧算（2）构造整数：99999......9101k =-k 个；（3）乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯； （4）提取公因数：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+； 注意：除法算式中公因数只能用为除数。

知识要点二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠ ⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)乘除法速算与巧算两人和倍乘5、15、25、125【例 1】 下面这些题你会算吗？（1）125(408)⨯+ （2）(1004)25-⨯ （3）(1008)25-⨯【分析】 （1）125(408)125401258500010006000⨯+=⨯+⨯=+=（2）(1004)251002542525001002400-⨯=⨯-⨯=-= （3）(1008)251002582525002002300-⨯=⨯-⨯=-=【例 2】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！2625⨯【分析】 26不能被4整除，但26可以拆成642⨯+，这样2625⨯，可转化为6425⨯⨯再加上225⨯，这样就可速算了． 原式64225=⨯+⨯（）642522560050650=⨯⨯+⨯=+=【例 3】 你知道下题怎样快速的计算吗？⑴786 5 ⨯ ⑵12425⨯ ⑶96125 ⨯ ⑷75258⨯⨯ 【分析】 我们刚刚学过了乘 5，25，125的速算法,大显身手练一下吧!⑴7865786(52)2786023930⨯=⨯⨯÷=÷=或 786539325393103930⨯=⨯⨯=⨯= ⑵12425124(254)41240043100⨯=⨯⨯÷=÷=或1242531425311003100⨯=⨯⨯=⨯=⑶9612596(1258)896000812000 ⨯=⨯⨯÷=÷=或 9612512812512100012000⨯=⨯⨯=⨯= ⑷7525825475210015015000⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=【例 4】 计算：813125⨯⨯= 【分析】 根据乘法凑整原则81312581251310001313000⨯⨯=⨯⨯=⨯=去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．【例 5】 为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到吗？192564125⨯⨯⨯ 【分析】 把64分成482⨯⨯，用乘法结合律便可速算．原式2541258192=⨯⨯⨯⨯⨯（）（）（）1001000383800000=⨯⨯=【例 6】 计算：1733212525⨯⨯⨯． 【分析】 原式1734812525=⨯⨯⨯⨯（）173425812517300000=⨯⨯⨯⨯=（）（）【例 7】 请快速计算下面各题． ⑴200425⨯ ⑵125792⨯ 【分析】 ⑴200425(20004)2520002542550100⨯=+⨯=⨯+⨯=⑵125792125(8008)1258001258100010010001000(1001)99000⨯=⨯-=⨯-⨯=⨯-=⨯-=【例 8】 456212525548⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】 原式456252541258=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）（）（）456101001000=⨯⨯⨯ 456000000=【例 9】 聪明的你也来试试吧！⑴2415 ⨯ ⑵8475⨯ ⑶3975 ⨯ ⑷56625 ⨯【分析】 ⑴2415(24242)10(2412)10360⨯=+÷⨯=+⨯=⑵8475(214)(253)(213)(425)631006300⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⑶3975 (401)7540751753000752925⨯=-⨯=⨯-⨯=-=⑷56625(78)(1255)(75)(8125)35100035000⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=【例 10】 请你简便计算．⑴5365⨯ ⑵63815⨯ ⑶3225⨯ ⑷6875⨯【分析】 ⑴5365536(52)2536022680⨯=⨯⨯÷=÷=⑵63815(6386382)109570⨯=+÷⨯= ⑶322532(254)432004800⨯=⨯⨯÷=÷=⑷6875174253173(425)5100⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=【例 11】 计算：125161119⨯-⨯=____________． 【分析】 根据乘法凑整原则整理为125161119⨯-⨯ ()=125829992000100012000100011001⨯⨯-=--=-+=【例 12】 计算：()450002590÷⨯＝【分析】()450002590÷⨯()=450005045=450005045=100050=20÷⨯÷÷÷乘9、99、999【例 13】 下面各题怎样算简便呢？⑴129⨯ ⑵1299⨯ ⑶12999⨯【分析】 ⑴利用公式，可以得出结果：12912012108⨯=-=；⑵12991200121188⨯=-=，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”．的补数是88去11112=118812× 99⑶12999120001211988⨯=-=，此题可用小技巧：“去1添补,中间隔9”法. 注意：只适用于“两位数乘999”．中间隔的补数是88去1是12=1198812×【例 14】 计算：123456789876543219⨯=【分析】 原式()21111111119=⨯ 999999999111111111=⨯111111111000000000111111111=- 111111110888888889=【例 15】 算式1234567898765432163⨯值的各位数字之和为 。

第2讲；乘除法巧篦速算本讲，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。

这些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便。

对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化。

实际进行乘法、除法以及乘除法混合运算时，可利用以下性质进行巧算：①乘法交换律：A X B=B X A②乘法结合律： A X B X C=A X (B X C)③乘法分配律：(A+B) X C=A X C+BX C 由此可以推出： A X B+A X C=A X (B+C)(A-B) X C=A X C-B X C④除法的性质：A恋用=A+( B X C)利用乘法、除法的这些性质，先凑整得10、100、1000……会使计算更简便。

例1:计算236 X 37 X 27分析：在乘除法的计算过程中，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数。

例如，可以将27变为“ 3 X 9”，将37乘3得111，这是一个特殊的数，这样就便于计算了。

解：原式=236X( 37X 3X 9)=236 X( 111 X 9) =236 X 999=236 X( 1000 - 1) =236000 —236 =235764随堂小练：计算下面各题：(1) 132 X 37X 27 (2) 315X 77X 13例2:计算333 X 334 + 999 X 222分析：表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算。

解：原式=333 X 334 + 333 X( 3 X 222)=333 X( 334 + 666)=333X1000=333000随堂小练：计算下面各题：(1) 9999 X 2222+ 3333 X 3334 (2) 37 X 18 + 27 X 42例 3:计算 20012001 X 2002 — 20022002 X 2001分析：仔细观察每一个数，找出它们的共同特点， 20102010可分解成201010001 这是四位数的复写如10001 X abcd=abcdabcd ，三位数的复写 1001 X abc=abcabc ,二位数的复写 101 X ab=abab 。

一、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5×2=1025×4=100125×8=1000例1计算①123×4×25②125×2×8×25×5×4解：①式=123×（4×25）=123×100＝12300②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100×10=10000002.分解因数，凑整先乘。

例2计算①24×25②56×125③125×5×32×5解：①式=6×（4×25）=6×100=600②式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=1000003.应用乘法分配律。

例3计算①175×34＋175×66②67×12+67×35＋67×52+6解：①式=175×（34+66）=175×100=17500②式=67×（12＋35＋52＋1）＝67×100＝6700（原式中最后一项67可看成67×1）例4计算①123×101②123×99解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123＝12300＋123=12423②式=123×（100-1）=12300-123=121774.几种特殊因数的巧算。