乘除法的速算与巧算

一、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5×2=1025×4=100125×8=1000例1计算①123×4×25②125×2×8×25×5×4解：①式=123×（4×25）=123×100＝12300②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100×10=10000002.分解因数，凑整先乘。

例2计算①24×25②56×125③125×5×32×5解：①式=6×（4×25）=6×100=600②式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=1000003.应用乘法分配律。

例3计算①175×34＋175×66②67×12+67×35＋67×52+6解：①式=175×（34+66）=175×100=17500②式=67×（12＋35＋52＋1）＝67×100＝6700（原式中最后一项67可看成67×1）例4计算①123×101②123×99解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123＝12300＋123=12423②式=123×（100-1）=12300-123=121774.几种特殊因数的巧算。

第2讲：乘除法巧算速算本讲，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。

这些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便。

对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化。

实际进行乘法、除法以及乘除法混合运算时，可利用以下性质进行巧算：①乘法交换律：A×B=B×A②乘法结合律：A×B×C=A×(B×C)③乘法分配律：(A+B)×C=A×C+B×C由此可以推出：A×B+A×C=A×(B+C)(A-B) ×C =A×C-B×C④除法的性质：A÷B÷C=A÷C÷B=A÷（B×C）利用乘法、除法的这些性质，先凑整得10、100、1000……会使计算更简便。

例1：计算236×37×27分析：在乘除法的计算过程中，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数。

例如，可以将27变为“3×9”，将37乘3得111，这是一个特殊的数，这样就便于计算了。

解：原式=236×（37×3×9）=236×（111×9） =236×999=236×（1000－1） =236000－236 =235764随堂小练：计算下面各题：（1）132×37×27 （2）315×77×13例2：计算333×334＋999×222分析：表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算。

本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．二、乘除法巧算与速算（1）凑整：2×5；4×25；8×125……；知识点拨教案目标整数乘除法速算与巧算（2）构造整数：99999......9101k =-k 个；（3）乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯； （4）提取公因数：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+； 注意：除法算式中公因数只能用为除数。

小学数学速算与巧算方法在小学数学中，速算与巧算方法可以帮助学生们快速计算数学题目，提高他们的计算效率。

下面介绍一些常用的小学数学速算与巧算方法。

一、快速乘法1.垂直互补法：假设解题的数字是27和83相乘，我们可以将相乘的数字列成如下形式：2 7×83---------16 21 (7×3=21)+ 56 (2×8=16)---------2241这种方法适用于两位数相乘的情况。

2.分解法：当有一个较大的数和一个较小的数相乘时，我们可以将较大的数分解成更容易计算的部分，然后再相乘。

例如，我们要计算37×4，可以将37分解为30+7，然后将这两个数分别与4相乘，最后再将两个结果相加：(30×4)+(7×4)=120+28=1483.十倍法：当需要计算一个数的十倍时，可以直接在这个数的末位加一个零。

例如，计算23的十倍，就是230。

二、快速除法1.分解法：当需要计算一个数除以一个较大的数时，我们可以将这个数分解成更容易计算的部分，然后再进行计算。

例如，计算125÷5，可以将125分解为100+20+5，然后分别将这三个数除以5：(100÷5)+(20÷5)+(5÷5)=20+4+1=252.迭加法：当需要计算一个数除以2、3、4等数字时，可以使用迭加法。

例如，计算108÷4，可以从最大的4开始迭加，找到一个最大的数x，使得x×4≤108，然后再计算108-x×4的值，这个值就是我们要的结果。

在这种情况下，4×25=100，所以108-100=8，所以108÷4=25余8三、快速加减法1.补零法：当需要进行两个数的加减运算时，我们可以选择将其中一个数补零，使得两个数的位数相同，然后再进行计算。

例如，计算27+8，我们可以将8补零成80，然后进行计算：27+80=1072.数形结合法：当需要进行一系列连加或连乘的运算时，我们可以将这些数进行排列组合，形成一种数形结合的形式，从而简化计算过程。

乘除法中的速算与巧算知识储备整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。

要达到“凑整”的目的，就要将一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简便化。

1、乘法的运算定律乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a＋b)×c=ac＋bc2、除法的运算性质（1）a÷b=(a×c)÷(b×c) (c≠0)（2）a÷b=(a÷c)÷(b÷c) (c≠0)（3）a÷b÷c=a÷(b×c)（4）a÷(b÷c)=a÷b×c3、乘除分配性质（1）（a＋b）×c=a×c＋b×c（2）（a－b）×c=a×c－b×c（3）（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c（4）（a－b）÷c=a÷c－b÷c注意：除数不能为零。

4、两数之和乘以这两数之差的积等于这两个数的平方差。

(a＋b)×(a－b)=a2－b25、乘法凑整法：这是利用特殊数的乘积特性进行速算，如5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，625×8＝5000，625×16＝10000等等。

大家要记住这些结果。

思维引导例1、计算：（1）999＋999×999 （2）1111×9999（3）125×25×32 （4）576×422＋576＋577×576跟踪练习：计算：（1）9999＋9999×9999 （2）140×299（3）808×125 （4）461＋5×4610＋461×49例2、计算：34×172－17×71×2－34跟踪练习：计算：42×68＋61×2×34－3×68例3、用简便方法计算：8700÷25÷4跟踪练习：9600÷25÷4例4、用简便方法计算：625÷25跟踪练习：42800÷25例5、简算：29×31跟踪练习：简算：68×72例6、计算：11111×11111跟踪练习：计算：22222×22222例7、计算：63×275÷7÷11跟踪练习：计算：123×456÷789÷456×789÷123例8、计算：1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）跟踪练习：计算：15÷（9÷11）÷（11÷34）÷（34÷63）例9、计算：99999×22222＋33333×33334跟踪练习：计算：9999×7778＋3333×6666例10、计算：98989898×÷÷跟踪练习：计算：199999998×2200220022÷18÷100010001例11、计算：19981999×19991998－19981998×跟踪练习：计算：1997×1999－1996×2000例12、末尾有几个零？跟踪练习：计算：能力对接1、 将相应的序号填入括号中。

整数乘除法速算与巧算本节课主要学习乘、除法的速算与巧算.要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法Z 间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题.—、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的儿个乘数结合在i起，最后再与前而的数相乘，使得运算简便。

例如:4x25 = 100, 8x125 = 1000, 5x20 = 10012345679x9 = 111111111 (去8 数,重点记忆)7x11x13 = 1001 (三个常用质数的乘积,重点记忆)理论依据：乘法交换率：axb=bxa乘法结合率：(axb) xc=ax(bxc)乘法分配率：(a+b) xc=axc+bxc积不变规律:axb=(axc) x(b-rc)=(a-j-c) x(bxc)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变.即：« Z? = («X «) 4- (/? x /?) = (a 十m)十(b 十m)加H 0 , n 工0(2)在连除时,可以交换除数的位置,商不变.即：a+b + c = awb⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位證(即带着符号搬家). 例如：axb-i-c = a-i-cxb = b-i-cxa⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“X”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变.即ax(bxc) = axbxc ax(b 壬c) = axb + c②括号前是时，去括号后,括号内的“X”变为“凸“*变为“X”.即a -J- (b X c) = Q 十b 十C6/ 4- (/? 4- c) = 6/ -5- /? x c添加括号情形：加括号吋，括号前是“X”吋，原符号不变；括号前是“尹吋，原符号“X”变为“尹，“尹、, n,t axbxc = ax(bxc) axb^c = ax(b + c)变为“x”・即ci 十b 十c = a 十(bxc) a-i-bxc = a-i-(b -i-c)⑸两个数z积除以两个数z积，町以分别相除后再相乘.即(a X/?) * (c xd) = (a + c)x (b 十d) = (a 十d)x (b 十c)上而的三个性质都可以推广到多个数的情形.乘5、15、25、125【例1】下面这些题你会算吗？(1) 125 x (40 + 8) (2) (100-4)x 25【巩固】用简便方法计算下面各题.(1) 125x(80 + 4)(2) (100-8)x25【巩固】下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快!26x25【例21你知道下题怎样快速的计算吗？(1) 786x5 (2)124x 25(3) 96x125【巩固】计算：5x64x25x125x2009.【巩固】为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到 吗？19x25x64x125【巩固】计算：173x32x125x25.【巩固】计算：13x25x125x4x8= ____________【巩固】请快速计算下面各题.(1)2004x25(4) 75x25x8【巩固】运用乘法的运算律大显身手吧, (1)17x4x25 (2)125x19x8可以记录自己速算的时间啊.(3)125x72⑷ 25x125x16(2)125x792【巩固】456x2x125x25x5x4x8【巩固】请你简便计算.(1)536x5 (2)638x15 【巩固】计算：8x13x125= ____________【巩固】计算：125x16-111x9 = ________________【例 4】 计算：45000-(25x90)= _______________二，乘 9、99、999【例5］下面各题怎样算简便呢？(1)12x9(2)12x99【巩固】相信你能快速的计算下面各题，我们一起来做做吧.(1)23x9(2)33x99(3) 25 x 9999【巩固】计算：12345678987654321x9 =【例3】聪明的你也来试试吧！ (1)24x15⑵ 84x75 (3)39x75 ⑷ 56x625⑶ 32x25⑷ 68x75⑶ 12x999【巩固】算式12345678987654321 x 63值的各位数字之和为【巩固】我们快来做做吧？(1)123x9 (2)234x99 ⑶ 256x9999【巩固】怎样计算更简便呢？(1)45x9 ⑵ 457x99 ⑶ 762x999 ⑷ 34x98【巩固】2999 + 999x999 = ______________【巩固】99x37 + 4599 + 83 = ____________【巩固】请快速计算下面各题.(1)526x99 (2)99x99【巩固】计算：(1) 54 + 99x99 + 45(2) 999x222 + 333x334 ⑶1999 + 999x999【例6］小朋友，相信你一定能行噢.⑴ 62x97 (2)123x998 ⑶ 626x997 (4) 1234x9998 【例7］计算：333333x333333【巩固】计算：333333x999999.【巩固】若« = 1515^15x333^3,则整数。

本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。

例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆）711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论依据：乘法交换率：a×b=b×a乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则知识点拨教学目标小数乘除法速算巧算去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．一， 乘5、15、25、125【例 1】 计算：2.1257.532⨯⨯【巩固】 计算：0.1250.250.564⨯⨯⨯二，乘9、99、999三，乘11、111、101四，其它乘法五，除法【例 2】 已知1.08 1.2 2.310.8÷÷=÷□，其中□表示的数是 。

乘、除法的速算与巧算姓名：-----------1、乘法运算定律（3个）：☆乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

即：a × b = b × a☆乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。

即：(a × b) × c = a × (b × c)连乘的简便计算方法：看到25想到4是100；看到125想到8 是1000；125与80 是10000 等等。

④常用口算：2×5=10；4×25=100；8×125=1000；80×125=10000；625×16=10000；25×8=200；75×4=300；375×8=3000。

连乘的简便计算例题：25 × 56 × 4 99×125×8 25×125×4×8 125×32×25☆乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再把所得的积相加（或相减）。

即：(a ± b) × c = a × c ± b × c注：乘法分配律的逆用：a × c ± b × c = (a ± b) × c乘法分配律的理解：利用乘法的意义进行理解：a＋b个c等于a个c加上b个c，而不能单纯地依靠记忆，只有这样才能在运算中熟练运用，减少失误。

乘法分配律简算应用：①类型一：(a＋b)×c= a×c＋b×c (a－b)×c= a×c－b×c②类型二：a×c＋b×c=(a＋b)×c a×c－b×c=(a－b)×c③类型三： a×99＋a = a×(99＋1) a×b－a = a×(b－1)④类型四： a×99 a×102= a×(100－1) = a×(100＋2)= a×100－a×1 = a×100＋a×2乘法分配律简算举例：分解式： 25 × (40+4) 合并式：135×12－135×2特殊1： 99 × 256 + 256 特殊2：45 × 102特殊3： 99×26 特殊4：35×8 + 35×6－4×35★乘法结合律与乘法分配律的区别：乘法结合律的特征是几个数连乘。

小学数学五年级速算与巧算(乘法交换律分配率结合律)速算与巧算（二）知识要点】乘法运算律：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a±b)×c=a×c±b×c巧算中常用到的技巧是逆用乘法分配律：a×c±b×c=(a±b)×c以上的运算律是基础知识，但在实际计算中我们多用由它们引申出的运算性质来解题。

下面介绍一些，以便同学们在解题时应用。

1.乘除法运算的性质a÷b÷c=a÷c÷b=a÷(b×c)a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a=(a×b)÷c=a×(b÷c)a÷(b÷c)=a÷b×c=a×c÷ba÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)（其中n≠0）2.除法分配性质a＋b)÷c=a÷c＋b÷ca－b)÷c=a÷c－b÷c典型例题】例1结合律：125×32×25×9=(125×25)×(32×9)=×288=xxxxxxxx121×99÷(11×33)=(121×3)×(9÷11)=363×0.8182=297.2727例2分配律：156×28-156×15+87×156=156×(28-15+87)=156×100=34×36+77×36-36=(34+77)×36-36=111×36-36=3960125×888=开心暑假玩转数学：1.46×72×23÷46÷23÷72=12.287÷13－101÷13－82÷13=123.999×222+333×334=4.174×26+348×86+87×49=5.999×9999＋1999=xxxxxxx6.125÷36-7/9+53/36=49/127.2008×2006+2007×2005-2007×2006-2008×2005=2005例3：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)=1.875例4：1.26×99=2574例5：1.2007×2008=xxxxxxx2.2008－2007=13.1234×4321=xxxxxxx小知识，大智慧】几十一乘以几十一的速算方法：21×61=1281=41×3181×91=7371=71×11×961×91=5551=51×11×941×51=2091=21×11×981×81=6561=61×11×941×81=3321=31×11×931×71=2201=21×11×971×81=5741=51×11×951×41=2091=21×11×9随堂小测：姓名成绩XXX 234.375XXX。