直角三角形的射影定理 课件

2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.

直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段．
(3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项． (2)图形语言 如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD. AC2＝ AD·AB . BC2＝ BD·AB .
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝BACC22， ∴ABDD＝(ABCC)2＝(34)2＝196， 即 AD∶BD＝9∶16.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)． BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
图 1－4－3 已知如图 1－4－3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥ AB 于 D，DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F. 求证：CD3＝AE·BF·AB.
【 思 路 探 究 】 ∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB→CD2 ＝ AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.

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∵BE 平分∠ABC， EA⊥AB，EF⊥BC， ∴AE＝EF. 又 EF∥AD， AE AC ∴DF＝DC， EF AC BC ∴DF＝DC＝AC， EF BC 即DF＝AC.
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反思感悟
将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，
体现了化归思想方法，通过恒等变形，找到中间变量来联系前后 两个比值，从而达到解题目的．
3
3
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【变式 3】 在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥AB 于 D，AD∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为 A．2∶3 解析 B．4∶9 C. 6∶3 D．不确定 ( )．
如图，在 Rt△ACB 中，CD⊥AB，由射影定理得，CD2
CD BD ＝AD· BD，即 ＝ . AD CD 又∵∠ADC＝∠BDC＝90° ， ∴△ACD∽△CBD.
第4课时
直角三角形的射影定理
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【课标要求】 1．理解直角三角形的射影定理．
2．理解直角三角形射影定理的逆定理．
【核心扫描】 用射影定理解决直角三角形的有关问题．(重、难点)
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自学导引
1．射影的有关概念 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的 正射影 ． (2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是
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∴由①②两式得 AD4＝BE· CF· AB· AC， 1 即 AD ＝BE· CF· AB· AC· ， AD
3
由(1)知 AB· AC＝BC· AD 代入上式得 AD3＝BE· CF· BC. 反思感悟 利用直角三角形的射影定理证明恒等式 (1)结合图形，仔细分析题目的结论； (2)由于射影定理中可供选择的等式较多，需要合理选择．

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解 在△ABC 中，设 AC 为 x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1， 根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC.
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题型一 射影的概念 【例1】 如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些 点或线段的端点，作BC边的垂线．
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解 由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上 的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E； AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射 影是DE，FG在BC上的射影是点E. 反思感悟 求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂 足间的线段就是所求射影．
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名师点睛 1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的
高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量， 还可研究相似问题、比例式等问题．
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2．直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项， 那么这个三角形是直角三角形． 符 号 表 示 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， CD⊥AB 于 D ， 若 CD2 ＝ AD·BD，则△ABC为直角三角形． 证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝ AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD ＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋ ∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．

四
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， 则有CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB.
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形， 且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2， BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF·AC＝BG·BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求 解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中 分离出基本图形进行求解或证明．
所以BC＝12m.
又因为CD⊥AB，
所以BC2＝BD·AB，
即12m2＝BD·m.所以BD＝14m.
AD＝AB－BD＝m－14m＝34m.
由CD2＝AD·BD＝34m·14m＝136 m2，
得CD＝
3 4
m.
因此，BD的长是14m，CD的长是 43m.
2．已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC， BC的长度比为AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的长． 解：(1)∵AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝ABCC22. ∴ABDD＝ABCC2＝342＝196. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，

直角三角形射影定理
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。

思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
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2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
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教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.

C ）
D .60 °
3．若关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根是一直角 三角形的两锐角的正弦值，且 a+5b=1，则 a、b 的值分别为 ( B ) 3 8 7 12 A．- ， B．- ， 25 25 5 5 4 9 C．- ， D．1,0 25 5 4．在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，AD⊥BC 于点 D，若 AC 3 BD = ，则 =( C ) AB 4 CD 3 4 A. B. 4 3 16 9 C. D. 9 16
7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三
角形能相似的是__________．
①③
8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝ ______，BC＝______，CD＝______. 9 10
3 10 9
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M 是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝ 2 ab
如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE· BF· AB＝CD3.
分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进
行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
4a 2 b 2
证明：在 Rt△AMB 和 Rt△ADE 中， ∠AMB=∠DAE， ∠ABM=∠AED=90， ∴△ABM∽△DEA. AB AM ∴ = .∵AB=a，BC=b， DE AD AB AD a b 2ab ∴DE= = = . 2 2 2 AM b 4a b a2 4

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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
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∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，

射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系