2019-2020学年高二数学双测AB卷3.4 导数及其应用 单元测试(B卷提升篇)(原卷版)

2019—2020学年第二学期高二数学周测试卷 2020.3.1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒/f ′(x )>0.答案A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150° 解析y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)解析设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x20＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝sin2x B．y＝x3－xC．y＝x e x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析对于C，有y′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)>0.答案C6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( ) A．极大值5，极小值为－27 B．极大值5，极小值为－11 C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0.∴x＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．答案C7．函数y＝2x3＋x2的单调递增区间是( )A ．(－∞，－13)∪(0，＋∞)B ．(－16，＋∞) C ．(－∞，－13)和(0，＋∞) D ．(－∞，－16) 解析y ′＝6x 2＋2x ＝2x (3x ＋1)， 令y ′>0，得x <－13，或x >0. ∴函数y ＝2x 3＋x 2的单调增区间为 (－∞，－13)和(0，＋∞)． 答案C8．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断：①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③④解析由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知：(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；(2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．答案 B9．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 解析f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.答案B10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，＋∞)内C ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，(1，＋∞)内D ．三个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0,1)，(1，＋∞)内解析 利用导数法易得函数f (x )在(－∞，－13)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数f (x )的图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13内 答案A11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 解析当1≤x ≤2时，f ′(x )≥0，则f (2)≥f (1)；而当0≤x ≤1时，f ′(x )≤0，则f (1)≤f (0)， 从而f (0)＋f (2)≥2f (1)． 答案C12．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f ′(x )>f (x )，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( )A ．f (a )<e a f (0)B ．f (a )>e a f (0)C ．f (a )<f (0)e aD ．f (a )>f (0)e a 解析 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，故函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递增，所以g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0，即f (a )>e af (0)． 答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________.解析 ∵f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2. ∴f ′(1)＝1. ∴f ′(x )＝x 2－2x ＋2. ∴f ′(2)＝22－2×2＋2＝2.答案214．过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线的方程为________．解析：设所求切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x 2，∴y ′ |x ＝x 0＝－1x 20，所求切线的方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．∵点(2,0)在切线上，∴0－y 0＝－1x 20(2－x 0)，∴x 20y 0＝2－x 0.①又∵x 0y 0＝1，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1， ∴所求直线方程为x ＋y －2＝0.答案x ＋y －2＝0.15．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n∈N ＋)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝1.则f (x )＝x 2＋x ，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，其和为⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案nn ＋116．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．解析：根据题意，知f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x >0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.答案 [1，＋∞)三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值． 解 f ′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2.故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞),减区间为(－2,2)． (1)当x ＝－2，f(x)取得极大值， 故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283， ∴m ＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4， 又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x . (1)求函数)(x f y =的解析式； (2)求函数)(x f y =的单调区间.解（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f（2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得.21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.19.(12分) 已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值； （2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数解（1）2a >时 '22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a=-++=--由0)(>'x f 得 ax x 21<>或 由0)(<'x f 得12<<x a∴()f x 极小值为(1)2af =-（2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a f =->，()f x Q 的极小值为2()0f a<， ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133()4()044f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。

阶段质量检测（三） 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( ) A ．－135° B ．45° C ．－45°D ．135°解析：选D ∵y ′＝x －2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.2．下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝sin x B ．(ln 2x )′＝1xC ．(3x)′＝3xlog 3eD ．(x 2e x )′＝2x e x解析：选B (cos x )′＝－sin x ，(3x)′＝3xln 3，(x 2e x)′＝2x e x ＋x 2e x. 3．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减少的B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减少的D ．在x ＝2处取极大值解析：选C 在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f (x )＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为( ) A ．0 B ．1e C.4e4 D.2e2 解析：选A f ′(x )＝1－xex ，当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,4]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为f (0)＝0，f (4)＝4e 4>0，所以当x ＝0时，f (x )有最小值，且最小值为0.6．函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D ．a ≤0解析：选C f ′(x )＝3ax 2＋1，由题意得f ′(x )＝0有实数根，即a ＝－13x 2(x ≠0)，所以a <0.7．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1) B ．(0,1)C ．(－1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选B f ′(x )＝3x 2－3a ，由于f (x )在(0,1)内有最小值，故a >0，且f ′(x )＝0的解为x 1＝a ，x 2＝－a ，则a ∈(0,1)，∴0<a <1.8．曲线f (x )＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．3解析：选C 直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，f ′(x )＝22x －1，令22x －1＝2，解得x ＝1，由于f (1)＝ln(2－1)＝0，故曲线f (x )过(1,0)的切线斜率为2，则点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，即曲线f (x )＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是5，故选C. 9．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．15件B ．20件C ．25件D ．30件解析：选C 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，253C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫253，＋∞D ．[9，＋∞)解析：选C ∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上恒成立，∵f ′(x )＝2x ＋a －1x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞上递增， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23－9＋a ≥0，∴a ≥253.故选C.11．已知a ∈R ，函数f (x )＝13x 3－ax 2＋ax ＋2的导函数f ′(x )在(－∞，1)上有最小值，若函数g (x )＝f ′(x )x，则( ) A ．g (x )在(1，＋∞)上有最大值 B ．g (x )在(1，＋∞)上有最小值 C ．g (x )在(1，＋∞)上为减函数 D ．g (x )在(1，＋∞)上为增函数解析：选D 函数f (x )＝13x 3－ax 2＋ax ＋2的导函数f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ，f ′(x )图像的对称轴为x ＝a ，又导函数f ′(x )在(－∞，1)上有最小值，所以a <1.函数g (x )＝f ′(x )x＝x ＋a x －2a ，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数．故选D.12．设函数f ′(x )是函数f (x )(x ∈R)的导函数，若f (x )－f (－x )＝2x 3，且当x >0时，f ′(x )>3x 2，则不等式f (x )－f (x －1)>3x 2－3x ＋1的解集为( )A ．(－∞，2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．(2，＋∞)解析：选B 令F (x )＝f (x )－x 3，则F ′(x )＝f ′(x )－3x 2， 由f (x )－f (－x )＝2x 3，可得F (－x )＝F (x )， 故F (x )为偶函数，又当x >0时，f ′(x )>3x 2，即F ′(x )>0， ∴F (x )在(0，＋∞)上为增函数．不等式f (x )－f (x －1)>3x 2－3x ＋1可化为f (x )－x 3>f (x －1)－(x －1)3，∴F (x )>F (x －1)， ∴F (|x |)>F (|x －1|)，∴由函数的单调性可知|x |>|x －1|，解得x >12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．函数y ＝2x 3－6x 2＋11的单调递减区间为________． 解析：y ′＝6x 2－12x ，令6x 2－12x <0，得0<x <2. 答案：(0,2)14．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x＋a e －x(a 为常数)的定义域为R ，∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. ∵f (x )＝e x ＋a e －x ，∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即e x≥ae x 在R 上恒成立，∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]15．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，＋∞)上是增加的，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1.答案：(－∞，e －1)16．已知函数f (x )＝2ln x ＋a x2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )． 由g ′(x )＝0得x ＝e 12，0(舍去)，且0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时g ′(x )<0，∴x ＝e 12时g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e.答案：[e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ln x －e x ＋m在x ＝1处有极值，求m 的值及f (x )的单调区间．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－e x ＋m，由题意f ′(1)＝0，解得m ＝－1， ∴f ′(x )＝1x－e x －1，利用基本函数单调性可知，在(0，＋∞)上f ′(x )是减少的，且f ′(1)＝0，所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的， 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴f (x )的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且当x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，则方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， 由Δ>0得1－12b >0即b <112.所以b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0， ∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2.则f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，又f (－1)＝12＋c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3827＋c ，f (1)＝－32＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )ma x ＝2＋c <c 2，解得c >2或c <－1. ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)， 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本C ＝25 000＋200x ＋140x 2(单位：元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x＝25 000x＋200＋x40，y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时y ′<0，当在x ＝1 000附近右侧时y ′>0，故当x ＝1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数L ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240.L ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫300x －25 000－x 240′＝300－x 20，令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时L ′>0，当在x ＝6 000附近右侧时L ′<0，故当x ＝6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．21．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图像大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图像有3个交点，∴－43<k <283.∴实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283.22．(本小题满分12分)(2019·江苏高考)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3,1,3}中，求f (x )的极小值； (3)若a ＝0,0<b ≤1，c ＝1，且f (x )的极大值为M ，求证：M ≤427.解：(1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2. (2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2，从而f ′(x )＝3(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＋b 3.令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3.因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3,1,3}中，且a ≠b ，所以2a ＋b 3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：所以f (x )的极小值为f (1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32. (3)证明：因为a ＝0，c ＝1，所以f (x )＝x (x －b )(x －1)＝x 3－(b ＋1)x 2＋bx ，f ′(x )＝3x 2－2(b ＋1)x ＋b .因为0<b ≤1，所以Δ＝4(b ＋1)2－12b ＝(2b －1)2＋3>0， 则f ′(x )有2个不同的零点，设为x 1，x 2(x 1<x 2)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝b ＋1－b 2－b ＋13，x 2＝b ＋1＋b 2－b ＋13.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：所以f (x )的极大值M ＝f (x 1)． 法一：M ＝f (x 1)＝x 31－(b ＋1)x 21＋bx 1＝[3x 21－2(b ＋1)x 1＋b ]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－b ＋19－2(b 2－b ＋1)9x 1＋b (b ＋1)9＝－2(b 2－b ＋1)(b ＋1)27＋b (b ＋1)9＋227(b 2－b ＋1)3＝b (b ＋1)27－2(b －1)2(b ＋1)27＋227(b (b －1)＋1)3≤b (b ＋1)27＋227≤427.因此M ≤427. 法二：因为0<b ≤1，所以x 1∈(0,1)．当x ∈(0,1)时，f (x )＝x (x －b )(x －1)≤x (x －1)2. 令g (x )＝x (x －1)2，x ∈(0,1)，则g ′(x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13(x －1)． 令g ′(x )＝0，得x ＝13.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如表所示：所以当x ＝13时，g (x )取得极大值，且是最大值，故g (x )ma x ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.所以当x ∈(0,1)时，f (x )≤g (x )≤427.因此M ≤427.。

2019-2020年高二（上）数学单元测试卷班级座号姓名成绩一、选择题：本大题共15题，每小题5分，共75分。

1、已知命题，，则（）A、，B、，C、，D、，2、椭圆的长轴长是（）A、5B、6C、10D、503、命题甲：动点到两定点的距离和（常数）；命题乙：点的轨迹是椭圆。

则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、命题“若，则”的逆否命题为（）A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则5、双曲线的离心率为（）A、2B、C、D、6、已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A、B、C、D、7、以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（）A、B、C、或D、以上都不对8、有下列四个命题：①“若，则互为相反数”的逆命题；②“全等到三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。

其中真命题为（）A、①②B、②③C、③④D、①③9、我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为千米，远地点B距地面为千米，地球半径为千米，则飞船运行轨道的短轴长为（）A、B、C、D、10、过双曲线的右焦点有一条弦，，是左焦点，那么的周长为（）A、28B、C、D、11、已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（）A、B、C、D、12、以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程是（）A、B、C、D、13、双曲线的两焦点为，在双曲线上，且满足，则的面积为（）A、B、1 C、2 D、414、设是曲线上的点，已知，，则（）A、B、C、D、15、我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”。

设(a＞b＞0)为“优美椭圆”，分别是它的左焦点和右顶点，是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（）A、B、C、D、二、填空题：本大题共5题，每小题4分，共20分。

2019-2020 年高二数学测试题导数、排列组合含答案一、选择题（本大题共 12 小题。

每小题 5 分，共 60 分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知i是虚数单位，则12i等于 () 2iA. iB.4iC.4 3 iD.i5552．已知函数 f ( x)x32x2x 3 ，求 f (2)（）A．1B．5Ｃ． 4Ｄ． 33．二项式(x2)12展开式中的常数项是( )xA．第 7项B．第 8项 C ．第9项 D ．第 10项4．在复平面内，复数 (2 －i)2对应的点位于 () ．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．用 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字 12340 应是第（）个数 .A.6B.9C.10D.86．设(5x1)n的展开式的各项系数和为 M ，二项式系数和为N，若M N 240，x则展开式中 x的系数为（）A. 150B.150C.300D.3007．已知a2(a 0) , 则 a 的值为（）xdxA． 1B．2C． 3D． 48．已知复数z a bi(a、 b R) ， z 是z的共轭复数，且z( 2 i )(3i ) 则 a、 b 的值分别为 ()A．7，1B．6， 1C．7， 1D． 6，19．已知函数 f x的导函数为 f x ，且满足关系式 f x =x23xf 2ln x，则f 2 的值等于（）A.2B.2C.9D.9 4410．某中学从 4 名男生和3名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．140种B．120种C．35种D．34种11．函数f ( x)x cos x sin x 的导函数的部分图象为（）12．由直线 x 1，x=2，曲线y1及 x 轴所围图形的面积为（）2C．1xA．15B．17ln 2D． 2ln2442第 II卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13．已知复数 z 满足z=2i，那么 | z | ______．1ix21514．在二项式的展开式中，含 x4的项的系数是．x15． 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种. （用数字作答）16．已知边长分别为a、b、c 的三角形 ABC面积为 S，内切圆 O半径为 r ，连接 OA、OB、OC，则三角形OAB、 OBC、 OAC的面积分别为1cr、1ar、1br ，由222S=1cr+1ar+1br得 r=2S，类比得若四面体的体积为V, 四个面的面积分别222 a b c为 A、B、C、D，则内切球的半径 R=_____________.三、解答题（本大题共６小题，共７ 4 分。

专题3.3 生活中的优化问题举例单元测试(B 卷提升篇)（浙江专用）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：150分 考试时间：120分钟题号 一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得 分一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2018·湖南雅礼中学高一期中）把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A 2B ．24cmC ．2D ．22．（2018·湖北高二期末（理））某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式为31118(0120)8100010y x x x =-+<≤.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（ ） A ．60千米/时B ．80千米/时C ．90千米/时D ．100千米/时3．（2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习）某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且Q 与P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元4．（2018·江西省宜丰中学高三月考（理））表面积为16π的球内接一个正三棱柱，则此三棱柱体积的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D 5．（2019·山东高考模拟（文））在四面体ABCD 中，若AD DB AC CB 1====，则四面体ABCD 体积的最大值是( )A．2327B．13C．239D．336．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的长和宽分别为()A．3d,33d B．33d,63dC．63d,33d D．3d,63d7．（2019·甘肃高考模拟（文））如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（）A．20009πB．400027πC．81πD．128π8．（2018·河北衡水中学高三月考（理））利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：(1)以O为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为A ．42B ．62C ．82D ．229．（2018·四川树德中学高三月考（理））已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值为（ ） A ．33B ．3 C ．3 D ．3310．（2018·全国高考模拟（理））如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B-ECDAF 的体积最大时，EF 的长为 （ ）A ．1B ．263C 3D 2第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得 分二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2019·江西高三月考（理））已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，垂直于棱AA '的截面分别与面对角线,,,A D A B C B C D ''''相交于点,,,E F G H ，则四棱锥A EFGH '-体积的最大值为________. 12．（2018·全国高考模拟（理））有一个容器，下部是高为5.5cm 的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为6cm 的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为__________．13．（2017·北京高三期中（理））某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S . 若罐头盒的底面半径为r ，则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为________；当r =________时，罐头盒的体积最大.14．（2018·山东高考模拟（文））如图，圆形纸片的圆心为O 5ABCD 的中心为O ，,,,E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ∆∆∆ADH ∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ∆∆∆ADH ∆，使,,,E F G H 重合得到一个四棱锥，则该四棱锥的体积的最大值为_______.15．（2018·江苏高考模拟）已知边长为2的等边三角形ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且//EF BC ，将AEF 沿EF 折成'A EF ，使平面'A EF ⊥平面EFCB ，则几何体'A EFCB -的体积的最大值为__________．（6分）16．（2018·江西高考模拟（文））如图，有一块半径为20米，圆心角23AOB π∠=的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD ，弓形CMD ，扇形AOC 和扇形BOD （其中AOC BOD ∠=∠）.某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/米2，30元/米2,40元/米2.为使预计日总效益最大，COD ∠的余弦值应等于__________．（6分）17．（2019·河北唐山一中高三月考（文））如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、直角边AC ，ABC ∆的三边所围成的区域.若10BC =，过点A 作AD BC ⊥于D ，当ABD ∆面积最大时，黑色区域的面积为_________.（6分）评卷人 得 分三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2019·江苏高三期中）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm 2（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm ）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm ）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.19.（2019·江苏高三月考）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足*525,t t N ≤≤∈，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t 相关：当2025t ≤≤时高铁为满载状态，载客量为1000人；当520t 时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与()220t -成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t 分钟时，高铁载客量为()P t .()1求()P t 的表达式；()2若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益()()24065020004t Q t P t t t =-+-（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益()Q t t最大？20．（2020·江苏淮阴中学高三期中）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，AB 1=米，如图所示．小球从A 点出发以5 V 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6 V 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．21．（2019·江苏高三月考）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本C （x ）万元，当年产量小于7万件时，C （x ）=x 2+2x （万元）；当年产量不小于7万件时，C （x ）=6x+1nx+﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M 当年全部售完．（1）写出年利润P （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e 3≈20）22．（2019·江苏省黄桥中学高三月考（文））如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得3tan BCN ∠=.拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.。

2019 —2020 学年第二学期高二数学周测试卷一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的) 1．设函数 y＝f(x)在(a，b)上可导，则 f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0 的()A ．必需不充分条件B．充分不用要条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件分析y＝f(x)在(a，b)上 f′(x)>0? y＝f(x)在 (a，b)上是增函数，反之， y＝f(x)在(a，b)上是增函数 ? f′(x)≥0?/ f′(x)>0.答案 A2．若曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的切线方程是2x＋y－1＝0，则( )A ．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝ 0 B．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在分析曲线 y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝－ 2<0. 答案 B3．曲线 y＝31x3－2 在点 (－1，－53)处切线的倾斜角为 ()A ．30° B．45° C．135° D．150°分析 y′＝x2，k＝tanα＝y′|x＝－1＝(－1)2＝1，∴α＝45 °.答案 B4．曲线f(x)＝x3＋x－2 的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点 P0的坐标为( )A ．(0，－ 1)或(1,0)B ．(1,0)或(－1，－ 4)C ．(－1，－ 4)或(0，－ 2)D ．(1,0)或(2,8)分析 设P 0 0， 0 ，则 ′ 0 ＝ 2 ＝ ，0＋(x y ) f (x ) 3x 1 4∴x 02＝1，∴x 0＝1，或 x 0＝－ 1.∴P 0 的坐标为 (1,0)或(－1，－ 4)．答案 B5．以下函数中，在 (0，＋∞ )上为增函数的是 ( )A ． ＝ 2B ． ＝ 3－x y sin x y x C ．y ＝xe xD ．y ＝－ x ＋ln(1＋x)分析 关于 C ，有 y ′＝ (xe x)′＝e x＋xe x＝e x(x ＋1)>0. 答案 C 6 ．已知函数＝ 3 －3x 2－9x ，x ∈(－2,2)，则 f(x)有( ) f(x) x A ．极大值 5，极小值为－ 27 B ．极大值 5，极小值为－ 11 C ．极大值 5，无极小值 D ．极小值－ 27，无极大值分析 f ′(x)＝3x 2－ －9 6x＝ 3(x ＋1)(x －3)．当 x<－1 时， f ′(x)>0，当－ 1<x<3 时， f ′(x)<0.∴x ＝－ 1 是 f(x)的极大值点．且极大值为 f(－1)＝5，在 (－2,2)内无极小值．答案 C7．函数 y ＝2x 3＋x 2 的单一递加区间是 ()1 1A ．(－∞，－3)∪(0 ，＋∞ ) B．(－6，＋∞ )1 1 C．(－∞，－3)和(0，＋∞ ) D．(－∞，－6)分析 y′＝6x2＋2x＝ 2x(3x＋1)，1令 y′>0，得 x<－3，或 x>0.∴函数 y＝2x3＋ x2的单一增区间为1(－∞，－3)和(0，＋∞)．答案 C8．如图是函数 y＝f(x)的导函数的图象，给出下边四个判断：①f(x)在区间 [－2，－ 1] 上是增函数；② x＝－ 1 是 f(x)的极小值点；③ f(x)在区间 [－1,2]上是增函数，在区间 [2,4] 上是减函数；④ x＝2 是 f(x)的极小值点．此中，全部正确判断的序号是 ( )A ．①②B．②③C．③④D．①②③④分析由函数 y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间 [－2，－1]上是减函数，在[ －1,2]上是增函数，在[2,4] 上是减函数；(2)f(x)在 x＝－ 1 处获得极小值，在 x＝2 处获得极大值．故②③正确．答案 B9．已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)等于 ( )A ．0 B．－ 4 C．－ 2 D．2分析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即 f′(1)＝－ 2，∴f′(x)＝2x－4，∴ f′(0)＝－ 4.答案 B10．函数 f(x)＝－ x3＋x2＋x－2 的零点个数及散布状况为()1A ．一个零点，在－∞，－3内1B．二个零点，分别在－∞，－3，(0，＋∞ )内1 1C．三个零点，分别在－∞，－3，－3，0，(1，＋∞ )内1D．三个零点，分别在－∞，－3，(0,1)，(1，＋∞ )内1分析利用导数法易得函数f(x)在(－∞，－3)内单一递减，在1 1 59－3，1 内单一递加，在 (1，＋∞ )内单一递减，而 f －3 ＝－27<0，f(1)＝－ 1<0，故函数 f(x)的图象与 x 轴仅有一个交点，且交点横坐标1在－∞，－3内答案 A11．关于R 上可导的随意函数f(x)，若知足(x－1)f′(x)≥0，则必有 ( )A ．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)分析当 1≤x≤2 时，f′(x)≥0，则 f(2)≥f(1)；而当 0≤x≤1 时， f′(x)≤0，则 f(1)≤f(0)，进而 f(0)＋f(2)≥2f(1)．答案 C12．设 f(x)是定义在 R 上的可导函数，且知足f′(x)>f(x)，对随意的正数 a，下边不等式恒建立的是 ( )A．f(a)<e a f(0) B．f(a)>e a f(0)f 0 f 0 C．f(a)< e a D．f(a)> e a分析结构函数 g(x)＝f xx，则 g′(x)＝f′ x －f x>0，故函数 g(x)＝xe ef xx在 R 上单一递加，因此 g(a)>g(0)，即f aa >f 00，即 f(a)>e a f(0)．e e e答案 B二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 )1 3 2＝________. 13．若函数 f(x)＝3x －f′(1) ·x＋2x＋5，则 f′(2)分析∵f′(x)＝x2－′＋，2f (1)x 2∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2.∴f′(1)＝1.∴f′(x)＝ x2－2x＋2.∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2.答案 2114．过点 (2,0)且与曲线 y＝x相切的直线的方程为 ________．分析：设所求切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵ y′＝－12，∴ y′|x＝x0＝－12，所求切线的方程为x x01y－y0＝－(x－x0)．∵点 (2,0)在切线上，∴0－y0＝－12(2－x0)，∴ x20y0＝2－x0.① x0又∵ x0y0＝1，②x0＝1，由①②解得∴所求直线方程为x＋y－2＝0.y0＝1，答案 x＋y－2＝0.1 15．设函数 f(x)＝x m＋ax 的导数为 f′(x)＝2x＋1，则数列f n (n ∈N＋)的前 n 项和是 ________．m －1＋a＝2x＋1，得m＝2，分析： f′(x)＝mx a＝1.1 1 1 1则 f(x)＝x2＋x，f n ＝n n＋1＝n－n＋1，其和为1－1＋1－1＋1－1＋＋1－ 1 ＝1－ 1 ＝ n .1 2 2 3 3 4 n ＋n＋1 n＋1n 1答案nn＋116．已知函数 f(x)＝1mx2＋ lnx－2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的2取值范围为 ________．1分析：依据题意，知 f′(x)＝mx＋x－2≥0 对全部 x>0 恒建立，∴m≥－1x2＋2x，令 g(x)＝－1x2＋2x＝－1x－1 2＋1，则当1x＝1 时，函数 g(x)获得最大值 1，故 m≥1.答案 [1，＋∞ )三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分)已知函数 f(x) ＝13x3－4x＋m 在区间 (－∞，＋∞ )上有极大28值3 .(1)务实数 m 的值；(2)求函数 f(x) 在区间 (－∞，＋∞ )的极小值．解 f′(x) ＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 f ′(x)＝0，得 x＝－ 2，或 x＝2.故 f(x) 的增区间 (－∞，－ 2)和(2，＋∞),减区间为 (－2,2)．(1)当 x＝－ 2，f(x) 获得极大值，8 28故 f( －2)＝－3＋8＋m＝3，∴ m＝4.(2)由(1)得 f(x) ＝13x3－4x＋4，4又当 x＝2 时， f(x) 有极小值 f(2)＝－3.18．(12 分) 已知函数f (x)x3bx 2 ax d 的图象过点P（0,2 ）, 且在点 M ( 1, f ( 1)) 处的切线方程为 6x y 7 0.(1) 求函数 y f (x) 的分析式；(2) 求函数 y f (x) 的单一区间 .解（Ⅰ）由 f ( x) 的图象经过 P （ 0， 2），知 d=2，因此 f ( x) x 3 bx 2cx 2, f ( x) 3x 2 2bx c. 由 在 M ( 1, f ( 1)) 处 的 切 线 方 程 是 6x y7 0 知6f ( 1) 7 0,即 f ( 1) 1, f ( 1)6.3 2b c 6,即2b c 3, 解得 b c3.故所求的分析式是1 b c2 b c 0,1.f ( x) x 3 3x 23x 2.（ 2） f ( x) 3x 26x 3. 令 3x 2 6x 3 0,即 x 2 2x 10. 解得x 1 1 2, x 2 1 2. 当 x12,或 x 1 2时 , f ( x)0; 当12x 12时 , f ( x) 0. 故 f ( x) x 3 3x 23x 2在 (,12) 内是增函数，在 (12 ,12) 内是减函数，在 (12, ) 内是增函数 .19.(12 分) 已知函数 f (x)ax33(a 2) x 2 6x 32（1）当 a 2 时，求函数 f (x) 极小值；（2）试议论曲线 y f ( x) 与 x 轴公共点的个数 解（1） a 2 时f '(x) 3ax23(a 2) x6 3a(x2)( x 1),2a由 f ( x) 0 得x 1或xa2 由 f ( x) 0 得x 1aaf ( x) 极小值为 f (1)2（ ）①若 a 0 ，则 f ( x)3(x2， f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点；2 1)②若 a 0 ，f ( x) 极大值为 f (1)a 0 ， Q f (x) 的极小值为 f ( 2)0，2af (x) 的图像与 x 轴有三个交点；③若 0 a 2 ，f (x)的图像与x 轴只有一个交点；④若 a 2 ，则 f ' ( x) 6( x 1)2 0 ， f ( x) 的图像与x轴只有一个交点；⑤若 a 2 ，由（ 1）知f ( x)的极大值为 f ( 2 ) 4( 1 3 ) 2 3 0 ， f ( x) 的图像a a 4 4与 x 轴只有一个交点；综上知，若 a 0, f ( x) 的图像与x轴只有一个交点；若 a 0 ，f ( x)的图像与 x 轴有三个交点。

第二章 导数及其应用 数列 A 卷 基础夯实-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修二单元测试AB 卷【满分：100分】一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3()ln(2)f x x x =-+，则0(1)(1)lim 2x f x f x∆→+∆-=∆( )A.1B.2C.4D.82.已知函数()f x =在点0x x =处的切线的倾斜角是π4，则0x 的值为( )A.14B.12D.13.一个物体的位移s (米)与时间t (秒)的关系为2210s t t =+-，则该物体在4秒末的瞬时速度是( ) A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D.5米/秒4.曲线tan y x =在π4x =处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.2(π2)16-B.2(π1)8-C.π14- D.π25.关于函数的极值，下列说法正确的是（ ） A.导数为零的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值C.一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值D.若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数6.已知函数2()ln e 2f x x x x x m =-++(e 为自然对数的底数)，若()0f x =在区间1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为( ) A.(0,)+∞B.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.2ln 210,4e -⎛⎤⎥⎝⎦D.2ln 21,4e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.已知函数()3e 1x f x =+，在ln2x =处的切线方程为( ) A.66ln 270x y --+= B.66ln 270x y ---= C.77(1ln 2)0x y +--=D.77(1ln 2)0x y --+=8.经过点(2,0)作曲线2e x y x =的切线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条9.若函数2()3ln f x x x a x =--有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.9,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.9,08⎛⎫- ⎪⎝⎭10.下列导数运算正确的是( )A.π(sin )6'=B.2(23)43x x '+=+C.11(ln)2x x'=- D.(3)3lg3x x '=二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()e ln x f x a x =-的极小值为a ，则a 的值为_________.12.已知曲线()()e x f x x a =-在1x =处的切线方程为2e y x b =+，则a b -=_______. 13.函数22291683y x x x --=+的极小值是 .14.已知函数()()12ln f x x x m R x=++∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是______. 15.若函数()32y x ax a =+∈R 的图象在点()1,b 处切线的斜率为1-，则a b +=___________. 三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （10分）设函数32()21f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()f x '的图象关于直线12x =-对称，且(1)0f '=.（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数()f x 的极值. 17. （15分）求下列函数的极值： （1）3()126f x x x =-++； （2）22()21xf x x =-+.答案以及解析1.答案：A解析：由题意21()32f x x x '=+-，所以1(1)3212f '=+=-，所以()00(1)(1)1(1)(1)1limlim 11222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：A.2.答案：A解析：由题意知()00π1tan144f x x '===⇒=. 3.答案：A解析：因为2210s t t =+-，所以210s t '=-+，因为当4t =时，24102s '=-⨯+=.所以该物体在4秒末的瞬时速度是2米/秒. 4.答案：A解析：由题意得，2222sin cos sin 1cos cos cos x x x y x x x '+⎛⎫'=== ⎪⎝⎭，则π42x y ='=，所以曲线tan y x =在π4x =处的切线的斜率2k =，且切点坐标为π,14⎛⎫⎪⎝⎭，所以曲线tan y x =在π4x =处的切线方程为π124y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =，则π12y =-；令0y =，则π142x =-，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为21ππ1(π2)1224216-⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5.答案：D解析：对于A 选项，取()3f x x =，则()23f x x '=，()00f '=，当0x ≠时，()0f x '>， 故0x =不是函数()f x 的极值点，故A 不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B 不正确； 一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C 不正确；若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D 正确. 故选：D. 6.答案：C解析：因为()ln 2e 3f x x x '=-+，记()ln 2e 3g x x x =-+，则112e ()2e xg x x x-'=-=. 当12e x ≥时，()0g x '≤，所以函数()g x 在1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. 又10e f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以当112e e x ≤<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1ex >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当1ex =时，()f x 有极大值也是最大值，1e f m ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 若()0f x =在1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，应有10e f m ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，112ln 202e 4e f m -⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，所以2ln 2104e m -<≤，此时(1)2e 0f m =-+<，所以()0f x =在1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解成立，故选C. 7.答案：A解析：由题可知()3e x f x '=，ln 2(ln 2)3e 17f =+=，所以函数()f x '在ln2x =处的切线斜率ln 2(ln 2)3e 6k f '===，所以切线方程为76(ln 2)y x -=-，即66ln 270x y --+=，故选A.8.答案：C解析：因为()22e x y x x '=+，所以曲线8e x y x =在点()0200,ex x x 处的切线方程为()00830000e 2e ()x x y x x x x x -=+⋅-.将(2,0)代入，得()02000e 40x x x x ⋅--=.因为0∆>，所以方程240x x --=有两个不同的根，且根不为0，所以方程()208000e 40x x x ⋅--=共有3个不问的根，即经过点(2,0)作曲线2e x y x =的切线有3条. 9.答案：D解析：223()23(0)a x x a f x x x x x--'=--=>，因为()f x 有两个极值点，所以函数2()23g x x x a =--在(0,)+∞上有两个不相等的零点，由2(0)0,(3)42()0,g a a =->⎧⎨∆=--⨯⨯->⎩解得908a -<<. 10.答案：C解析：π1(sin )()062''==，故A 错误；2223(2)3)4(x x x '''+=+=，故B 错误；令12u x =，ln y u =，因为212xu x '=-，1u y u '=，所以21112x u xy y u x u x'''=⋅=-⋅=-，故C 正确；(3)3ln 3x x'=，故D 错误. 11.答案：e解析：由题，()e x af x x'=-，若0a ≤，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 不存在极值，不符合题意，所以0a >，易知()f x '在(0,)+∞上单调递增，且当0x +→时，()f x '→-∞，当x →+∞时，()f x '→+∞，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=.当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 的极小值()000e ln x f x a x a =-=，因为00e x a x =，所以00ln aa x a x -=，即001ln 1x x -=，设1()ln g x x x =-，因为211()0g x x x'=--<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)g =1，所以01x =，从而00e e x a x ==. 12.答案：e 解析：()()e x f x x a =-，()e ()e (1)e x x x f x x a x a '∴=+-=+-，由(1)(11)e 2e f a '=+-=，得0a =.则()e x f x x =，(1)e f ∴=，把(1,e)代入切线方程e 2e b =+，得e b =-，e a b ∴-=，故答案为：e. 13.答案：-856 解析：32129683y x x x =--+，2496y x x '∴=--，令0y '>，解得：12x >或8x <-， 令0y '<，解得：812x -<<，故函数在(,8)-∞-递增，在(8,12)-递减，在(12,)+∞递增，故函数32129683y x x x =--+的极小值是12856x y ==-，故答案为：-856.14.答案：20x y -= 解析：由()12ln f x x x x =++，得()221'1f x x x=-+，()'12112f ∴=-+=，又()12ln1112f =++=，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()221y x -=-，即20.x y -=故答案为：20x y -=15.答案：3- 解析：()32y x ax a =+∈R ，∴232y x ax '=+,函数()32y x ax a =+∈R 的图象在点()1,b 处切线的斜率为-1，1321a b a +=⎧∴⎨+=-⎩,解得：21a b =-⎧⎨=-⎩， 3a b ∴+=-.故答案为：3-16.答案：（1）因为32()21f x x ax bx =+++， 所以2()62f x x ax b '=++， 从而22()666a a f x x b ⎛⎫'=++- ⎪⎝⎭，即()f x '的图象关于直线6ax =-对称，则162a -=-，即3a =.又(1)0f '=，即620a b ++=，所以12b =-. （2）由（1），知32()23121f x x x x =+-+，2()66126(1)(2)f x x x x x '=+-=-+. 令()0f x '=，解得2x =-或1x =.当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-上单调递增； 当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，即()f x 在(2,1)-上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞上单调递增.从而函数()f x 在2x =-处取得极大值，为(2)21f -=，在1x =处取得极小值，为(1)6f =-. 解析：17.答案：（1）2()3123(2)(2)f x x x x '=-+=-+-. 令()0f x '=，解得12x =-，22x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表看出，当2x =-时，()f x 取得极小值，为(2)10f -=-； 当2x =时，()f x 取得极大值，为(2)22f =. （2）()()()2222222142(1)(1)()11x x x x f x xx+-+-'==++.令()0f x '=，解得11x =-，21x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表看出，当1x =-时，()f x '取得极小值，为(1)3f -=-； 当1x =时，()f x '取得极大值，为(1)1f =-.。