高二数学导数的应用

导数是高二上册吗知识点高等数学中的导数是高中数学的内容，通常在高二上学期开始学习。

导数是微积分的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的局部性质。

在本文中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及一些应用。

一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限来定义：f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

这个定义可以直观地理解为，当x在无限接近于给定点时，函数f(x)在该点的斜率逐渐趋近于某个特定值。

二、求导法则求导法则是计算函数导数的一套规则和方法，便于我们在实际应用中进行计算。

以下是常见的求导法则：1. 基本导数法则：a. 常数导数法则：如果c是一个常数，那么dc/dx = 0。

b. 幂函数导数法则：对于函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，则f'(x) = nx^(n-1)。

c. 指数函数导数法则：对于函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数导数法则：对于函数f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。

2. 导数的四则运算法则：a. 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

b. 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

c. 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。

3. 复合函数导数法则：如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，则（）A．0B．1C．2D．【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数，则＝____________。

【答案】0；【解析】，所以；【考点】三角函数求导公式；3.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.【考点】极值点定义.4.已知．.（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(3) 证明对一切，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.试题解析：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增． 1分（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）①，t无解； 2分②，即时， 3分③，即时，在上单调递增，；所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立，故,设，则.单调递增，单调递减.所以，即.问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数，，且函数的图象过点．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）;（2）函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值，进而求得的解析式．（2）由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值．试题解析：⑴，，函数的图象过点，，解得：函数的表达式为：（2）函数的定义域为，当时，；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【考点】1．函数的导数;2．函数的单调区间;3．函数的极值．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．-1C．4D．2【答案】A【解析】对求导，知，令可得，解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，单调递增区间有,，可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。

高二数学导数在实际生活中的应用试题1.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末【答案】D【解析】求导函数s′=t3-5t2+4t=t（t-1）（t-4）令s′=0，可得t（t-1）（t-4）=0∴t=0或t=1或t=4，故选D。

【考点】本题主要考查函数模型、导数的应用。

点评：本题以函数为载体，考查函数模型的构建及导数的应用，属于中档题。

2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06－0.15 和L2=2，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51【答案】B.【解析】依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，∴总利润S=5.06x－0.15x2+2（15-x）=－0.15x2+3.06x+30（x≥0）．∴当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．故选B．【考点】本题主要考查函数模型。

点评：解题的关键是依题意构建二次函数，利用二次函数性质求得最值。

3.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30 km/h,B车向东行驶，速率为40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率．A.50km/hB.60 km/hC.80 km/hD.65 km/h【答案】50 km/h．【解析】建立平面坐标系0-xy，令A车速度v1=30km/h，方向沿y轴正方向；令B车速度v2=40km/h，方向沿x轴正方向；且令他们在原点0（十字路口）相遇，时间t=0时刻．则在t时刻，A车前进位移Sy=30t，方向沿y轴正方向；B车前进位移Sx=40t，方向沿x轴正方向．那么A、B车在t时刻距离为S==50t，故两车间距离的变化速率为v=dS/dt=50km/h．故答案为 50km/h．【考点】本题主要考查变化率的概念、导数的应用。

教学设计【教学目标】1.知识与技能了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数求函数的单调区间；已知函数单调性会求参数的取值范围。

2.过程与方法通过利用导数研究单调性问题的探索过程，体会从特殊到一般、数形结合、分类讨论、化归转化的数学思想方法。

3.情感态度与价值观通过利用导数方法研究单调性问题，体会不同知识间的联系，同时通过学生的交流讨论，引导学生养成自主学习的好习惯，激发学生的学习兴趣，培养学生分享成功的喜悦。

【教学重点和难点】教学重点：函数单调性的判定方法及应用。

教学难点：已知单调性求参数范围。

【教学方法】本节课拟运用“问题——解决”课堂教学模式，采用启发式，讲练结合的教学方法。

通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与教学，同时采用多媒体辅助教学，节省时间，加大课堂容量。

【教学过程】一、课堂引入师：导数是高考的热点之一，常与函数、不等式、解析几何结合出题，今天我们一起复习一下如何利用导数研究函数的单调性。

首先看一下考试要求。

多媒体展示考试要求，板书课题生：看考试说明，读考试要求设计意图：使学生明确利用导数研究函数单调性在高考中的要求。

师：函数单调性与导数的关系是什么呢？显示多媒体生：齐答问题1.函数的单调性与导数的关系设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在此区间内是_______如果在),(b a 内0)(<'x f ,则)(x f 在此区间内是_______师：由此可以得出求函数单调区间步骤生：思考，回答求解步骤2.利用导数判断函数单调性的一般步骤（1）求函数定义域；（2）求)(x f '；（3）在定义域内解不等式0)(>'x f ，得增区间，解不等式0)(<'x f ，得减区间；设计意图：通过对知识的回顾，使学生明确函数增减性与导数正负的关系。

二、概念辨析师：下面我们通过几个小题，加深对导数与函数单调性关系式的理解多媒体展示1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，那么在(a,b)上一定有f ′(x)>0（ ）2.若函数在某个区间内恒有f ′(x) =0，则函数f(x)在此区间内没有单调性（ ）3．)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象可能的是（ ）生：回答每个题目，（1）举出反例，得出f ′(x)>0是函数单调递增的什么条件，（2）说明函数类型（3）说明解题过程，并说出已知原函数图像如何得导函数图像，如D 选项设计意图：通过三个小题的辨析，加深学生对导数与函数单调性关系的理解。

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

导数的应用【知识梳理】1.函数的单调性：在某个区间（a ，b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a ，b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a ，b ）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数()y f x =在点0x 处连续时，判断0()f x 是极大（小）值的方法是： （1）如果在0x 附近的左侧'()0f x > ，右侧'()0f x <，那么0()f x 是极大值. （2）如果在x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值.注：导数为0的点不一定是极值点【考点一：导数与函数的单调性】在某个区间（a ，b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a ，b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a ，b ）内单调递增的充分不必要条件.【例1】已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.【解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =， 所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++.由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′.所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-.故所求的解析式是32()332f x x x x =--+（Ⅱ）因为2()363f x x x '=--， 令23630x x --=，即2210x x --=，解得 11x =21x =.当1x ≤1x ≥'()0f x ≥，当11x ≤≤'()0f x ≤，故32()332f x x x x =--+在(,1-∞内是增函数，在[1-+内是减函数，在[1)+∞内是增函数.【例2】若3()f x ax x =+在区间[－1，1]上单调递增，求a 的取值范围. 【解析】2()31f x ax '=+Q 又()f x 在区间[－1，1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1，1]上恒成立 即213a x≥-在x ∈ [－1，1]时恒成立. 13a ∴≥-，a 的取值范围为1[,]3-+∞【例3】已知函数()ln f x x =，()(0)ag x a x=>，设()()()F x f x g x =+.（Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；【解析】（Ⅰ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=>∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增. 由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减. ∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. （Ⅱ）()()2'03x aF x x x-=<≤，()()0020'03x a k F x x x -==<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12.∴12a ≥，∴a m i n =12.【课堂练习】1.已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ∴4a b +=∵2()32f x ax bx '=+，∴(1)32f a b '=+ 由已知条件知1(1)()19f '⋅-=- 即329a b +=∴解4329a b a b +=⎧⎨+=⎩得：13a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()3f x x x =+，2()36f x x x '=+令2()360f x x x '=+≥则2x ≤-或0x ≥∵函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增 ∴[,1](,2][0,)m m +⊆-∞-+∞U ∴0m ≥或12m +≤- 即0m ≥或3m ≤-2.设函数),(2131)(22R b a bx ax x x g ∈-+=，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线的斜率记为).(x f （1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式； （2）若22,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值. 【解析】（1）根据导数的几何意义知b ax x x g x f -+='=2)()(，由已知-2、4是方程02=-+b ax x 的两个实根由韦达定理，82)(,8242422--=⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧-=⨯--=+-x x x f b a b a（2）)(x g 在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有,931931,0)3(0)1(]3,1[0)(,0)()(2222方内的点到原点距离的平可视为平面区域而也即即可这只需满足恒成立在即⎩⎨⎧≥-≥++⎩⎨⎧≥-≥+⎩⎨⎧≤≤--≤-+=≤-+='=a b b a b a a b b a f f b ax x x f b ax x x g x f其中点（—2，3）距离原点最近，所以当22,32b a b a +⎩⎨⎧=-=时有最小值133.已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R .当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性. 【解析】∵2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m f x x m x x x+---+'=-+-==，（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数.（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；(),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数.【考点二: 导数与函数的极值最值】1.求函数的极值的步骤:（1）确定函数的定义域，求导数'()f x . （2）求方程'()0f x =的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值. 2.求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 【例4】若函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m = .【解析】因为()f x 可导，且'()sin cos 2f x m x x =-+，所以'()sincos0442f m πππ=-+=，解得0m =.经验证当0m =时， 函数1()sin 22=f x x 在4x π=处取得极大值.【例5】已知函数()()x f x x k e =-，（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.【解析】（Ⅰ）/()(1)xf x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-，所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（Ⅱ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min ()(1)(1)f x f k e ==-.【例6】设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值； （2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）()'21,afx bx x=++ 由已知得：()()''210101204102a b f f a b ++=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎪⎩ 2316a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩（2）x 变化时.(),()f x f x '的变化情况如表：故在1x =处，函数()f x 取极小值56；在2x =处，函数()f x 取得极大值42ln 233-.【课堂练习】4.设ax x x x f 22131)(23++-=.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. 【解析】)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间),32(),(+∞⊆n m 使得0)('>x f . 由a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=，)('x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可.由0292)32('>+=a f 解得91->a ，所以，当91->a 时，)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间. 5.设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+.（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； 【解析】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间. 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故()1,+∞是()g x 的单调递增区间， 因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()g x 的最小值为(1) 1.g =（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()ln h x g x g x x x x=-=-+，则22(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x< 6.已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ （Ⅰ）证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ） 2()36(36)f x x ax a '=++-，(0)36f a '=-，又(0)124f a =-曲线()0y f x x ==在的切线方程是：(124)(36)y a a x --=-， 在上式中令2x =，得2y =.所以曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）由()0f x '=得22120x ax a +--=，（i ）当11a ≤≤时，()f x 没有极小值；（ii ）当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-02x x =.由题设知13a <-，当1a >时，不等式13a <-无解；当1a <时，解不等式13a <-<得512a -<<综合（i ）（ii ）得a 的取值范围是5(,1)2-.【例7】 当0x >时，求证1xe x >+【解析】设函数()(1)xf x e x =-+()1xf x e '=-Q当0x >时， 01x e e >=，()10xf x e '∴=->故()f x 在[0,)+∞递增，∴当0x >时，()(0)f x f >，又0(0)(10)0f e =-+=，()0f x ∴>，即(1)0xe x -+>， 故1xe x >+.【例8】已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.【解析】（Ⅰ） f （x ）的定义域为（0，+∞），2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f （x ）在（0，+∞）单调增加； 当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f （x ）在（0，+∞）单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x当x ∈（0，()f x '＞0；x +∞）时，()f x '＜0，故f （x ）在（0，+∞）单调减少. （Ⅱ）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f （x ）在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于1212()()44f x f x x x -≥-， 即2211()4()4f x x f x x +≥+令()()4g x f x x =+，则1()2a g x ax x+'=++4＝2241ax x a x +++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而()g x 在（0，+∞）单调减少，故12()()g x g x ≤，故对任意x 1，x 2∈（0，+∞） ，1212()()4f x f x x x -≥-.【例9】设函数2()(),f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若1x =为函数()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(,2]-∞，恒有()f x ≤4成立. 【解析】（Ⅰ）)3)(()(a x a x x f --='，0)3)(1()1(=--='a a f解得1=a 或3=a ，检验知符合题意 （Ⅱ）2()4x a x -≤在x ∈(,2]-∞时恒成立当0≤x 时，显然恒成立当02x <≤时 由2()4x a x -≤得xx a 2≤-在x ∈(0,2]时恒成立x a x≤≤在x ∈(0,2]时恒成立 令()()(0,2]g x x h x x x=-=+∈，xx x g 2)(-=在单调递增 ∴max ()(2)2g x g ==xx x x xx x h 111)(-=-='10<<x 时，)(x h 单调递减 ，12x <<时)(x h 单调递增∴3)1()(min ==h x h ∴23a ≤≤【课堂练习】 7.已知函数x a x x f ln 1)(-+=（R a ∈）（1）求f （x ）的单调区间； （2）证明：ln x <1+x【解析】（1）函数f （x ）的定义域为(0,)+∞，()a f x x '==①当0a ≤时，()f x '>0，f （x ）在(0,)+∞上递增②当0a >时，令2x =222440x a x a --=解得：22122222x a x a =-=+10x <（舍去），故在2(0,22a +上()f x '<0，f （x ）递减；在2(22)a ++∞上，()f x '>0，f （x ）递增.（2）由（1）知()ln g x x =在(0,2+内递减，在(2)++∞内递增.min [()](21ln(2g x g =+=+ln 1ln(2x ≥++，又因225e +<<故21ln(21ln 10e ++>+=>，ln x >8.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 【解析】（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x x+'=+-=+， ()ln 1xf x x x '=+， 题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤， 故1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤， 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.（Ⅱ）有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥所以(1)()0x f x -≥9.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a >1 （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性; （Ⅱ）若当x ≥0时，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数； 当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数.综上，当1>a 时)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值.a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=aa a 2443423++-= af 24)0(=由假设知⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得1<a <6故a 的取值范围是（1，6）【例11】（ 两县城A 和B 相距20k m ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x k m ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由. 【解析】（1）如图，由题意知A C ⊥B C ，22400BC x =-，224(020)400k y x x x=+<<- AB C x其中当102x=时，y=0.065，所以k=9所以y表示成x的函数为2249(020)400y xx x=+<<-（2）2249400yx x=+-，42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x xyx x x x⨯---=--=--，令'0y=得422188(400)x x=-，所以2160x=，即410x=，当0410x<<时，422188(400)x x<-，即'0y<，故函数为减函数，当4620x<<时，422188(400)x x>-，即'0y>，故函数为增函数.所以当410x=时，即当C点到城A的距离为410时，函数2249(020)400y xx x=+<<-有最小值.【课堂练习】10.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c＞千元，设该容器的建造费用为y千元.（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.【解析】（Ⅰ）设容器的容积为V，由题意知23480,,33V r l r Vπππ=+=又故322248044203()333V rl r rr r rππ-==-=-由于2l r≥，因此0 2.r<≤所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r crππππ=⨯+=⨯-⨯+因此21604(2),0 2.y c r rrππ=-+<≤（Ⅱ）由（Ⅰ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2cy c r r rr r cπππ-=--=-<<-由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时,m =则0m >，所以2228(2)'()().c y r m r rm m r π-=-++ ①当9022m c <<>即时， ''∈'∈当r=m 时,y =0;当r (0,m)时,y <0;当r (m,2)时,y >0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点. ②当2m ≥即932c <≤时，当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r =2是函数y 的最小值点， 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2;r = 当92c >时，建造费用最小时r = 【巩固练习】基础训练（A 类）1.曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为 （ ） ()2A y x =- ()32B y x =-+ ()23C y x =- ()21D y x =-+ 2.曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （ ） （A ）y =2x +1 （B ）y =2x -1 （C ） y =-2x -3 （D ）y =-2x -2 3.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 （ ） （A ）1,1a b == （B ） 1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ） 1,1a b =-=- 4.函数f （x ）=x l nx （x >0）的单调递增区间是 .5.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =6.设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.7.设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值.8.设函数2()ln()f x x a x =++，（Ⅰ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2.9.设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠.证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值.10.设函数f （x ）=x 2+b l n （x +1），其中b ≠0. （Ⅰ）当b >21时，判断函数f （x ）在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f （x ）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式l n （3211)11(n n n ->+）都成立.【参考答案】1.【答案】 D 【解析】 2222(2)(2)x x y x x ---'==--，222(12)k -==--， ∴切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+.2.【答案】A 【解析】22(2)y x '=+，所以12x k y =-'==，故切线方程为21y x =+.3.【答案】A 【解析】∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =4.【答案】1(,)e+∞【解析】由()ln 10f x x '=+>可得1x e> 5.【答案】3【解析】'()f x ＝222(1)()(1)x x x a x +-++，f ′（1）＝34a -＝0 ⇒ a ＝3 6.【解析】2()186(2)2f x x a x a '=+++ （1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，所以9a =；（2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>， 所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.7.【解析】由()sin cos 1,02,()12sin()4f x x x x x f x x ππ'=-++<<=++知()0f x '=令，从而23sin(),,422x x x πππ+=-==得或 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：3223332222πππππππππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=8.【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a'=++，依题意有(1)0f '-=，故32a =.从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>.从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加， 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少. （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+. 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-. （ⅰ）若0∆<，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则a =a =若a =()x ∈+，2()f x '=.当2x =-时，()0f x '=，当22x ⎛⎫⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值.若a =)x ∈+，2()0f x '=>，()f x 也无极值. （ⅲ）若0∆>，即a >a <则22210x ax ++=有两个不同的实根12a x -=，2x =当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '在的定义域内没有零点， 故()f x 无极值.当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值. 综上，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+.()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.9.【解析】因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，.()f x '222b ax bax x x+=+=.当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增； 如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减. 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点.当0ab <时，2()a x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'= 令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0,),x =+∞， 当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 10.【解析】（Ⅰ）函数2()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211b x x bf x x x x ++=+=++，令2()22g x x x b =++，则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减，故min 11()()22g x g b =-=-+. 当12b >时，min 1()02g x b =-+>，2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立. '()0,f x ∴>即当12b >时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增. （Ⅱ）分以下几种情形讨论：（1）由（I ）知当12b >时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，212()2'()1x f x x +=+， 11,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭时，'()0,f x >1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，'()0,f x >12b ∴=时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （3）当12b <时，解'()0f x =得两个不同解1x =，2x =.当0b <时，11x =<-，21x =>-，()()121,,1,,x x ∴∉-+∞∈-+∞此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =.当102b <<时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，此时()f x有个极大值点1x =2x =.综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =；102b <<时，()f x有一个极大值点1x =和一个极小值点212x -+=；12b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （Ⅲ）当1b =-时，2()ln(1).f x x x =-+令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.即当()0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-，对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n +>-提高训练（B 类）1．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ） Ａ.29e 2Ｂ.24eＣ.22eＤ.2e2.设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = （ ） A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点.D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.3. 若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 . 4.已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >.设两曲线(),()y f x y g x ==有公共点，且在公共点处的切线相同.（1）若1a =，求b 的值； （2）用a 表示b ，并求b 的最大值.5.已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)-. （1）试求m 、n 的值；（2）求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；（3）过点A （1，t ）是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.6.已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+.（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式 （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围7.设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.（Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小.8.已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++ （Ⅰ）如果3a b ==-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.9.设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =. （Ⅰ）求()y f x =的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【参考答案】1.【答案】D【解析】已知11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ， 因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e - 所以221||2.2AOB S e e ∆=-⨯= 2.【答案】D【解析】由题得'113()33x f x x x-=-=， 令'()0f x >得3>x ；令'()0f x <得30<<x ；'()0f x =得3=x ， 故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数， 在点3=x 处有极小值03ln 1<-； 又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D.3.【答案】(),0-∞【解析】由题意该函数的定义域0x>，由()12f x axx'=+.因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x>范围内导函数()12f x axx'=+存在零点.解法1（图像法）再将之转化为()2g x ax=-与()1h xx=存在交点.当0a=不符合题意，当0a>时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a<如图2，此时正好有一个交点，故有0a<应填(),0-∞或是{}|0a a<.解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程120axx+=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02ax=-∈-∞4.【解析】（1）设()y f x=与()(0)y g x x=>在公共点00(,)x y处的切线相同，3'()2,'()f x xg xx=+=由题意知0000()(),'()'()f xg x f x g x==，∴2000123ln232x x x bxx⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由32xx+=得，1x=，或3x=-（舍去）则有52b=（2）设()y f x=与()(0)y g x x=>在公共点00(,)x y处的切线相同23'()2,'()af x x ag xx=+=由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x ==，∴22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由20032a x a x +=得，0x a =，或03x a =-（舍去）即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=- 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则'()2(13ln )h t t t =-，于是当2(13ln )0t t ->，即130t e <<时，'()0h t >； 当2(13ln )0t t -<，即13t e >时，'()0h t <故()h t 在(0,)+∞的最大值为12333()2h e e =，故b 的最大值为2332e5.【解析】⑴ 由题意知：2()34120f x mx nx '=+-<的解集为(2,2)-，所以-2和2为方程234120mx nx +-=的根， 由韦达定理知 4120433n ,m m-=--=，即m =1，n =0. ⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-，∵3(1)112111f =-⋅=- 当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-， ∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=；当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--因为过点A （1，-11），2300113(4)2x x -=--，∴3202310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=， ∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-，切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-=所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=.⑶ 存在满足条件的三条切线. 设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x x x '-=-即23003(4)2y x x x =--因为其过点A （1，t ），所以，23320003(4)22312t x x x x =--=-+-， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可. 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点， 当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩即120110t t +>⎧⎨+<⎩，解得1211t -<<-.6.【解析】()'232fx x ax b =-++，因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3， 所以()'1323f a b =-++=-，即20a b +=，又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-（1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，解得2,4,3a b c =-==-， 所以()32243f x x x x =--+-.（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'23fx x bx b =--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()'21220,'00,f b b f b -=-++≥⎧⎪⎨=≥⎪⎩得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞7.【解析】（Ⅰ）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-.（Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =.因为当(2)x ∈-∞-，(01)U ，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞U ，，时，()0f x '>. 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是递减的. （Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--，故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-， 令1()ex h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-.令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减.故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增. 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥.所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥. 8.【解析】（Ⅰ）当3a b ==-时，32()(333)xf x x x x e -=+--，故322'()(333)(363)xx f x x x x ex x e --=-+--++-3(9)x e x x --=--(3)(3)x x x x e -=--+当3x <-或03'()0;x f x <<>时，当303'()0.x x f x -<<><或时，从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少.（Ⅱ）3223'()(3)(36)[(6)].xx x f x x x ax b ex x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].xf x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故βα-==又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα->9.【解析】（Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2123,210.(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩ 或9,48.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为,a b Z ∈，所以1()1f x x x =+-. （Ⅱ）已知函数121,y x y x ==都是奇函数， 所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而函数1()111f x x x =-++-. 可知，函数()g x 的图像按向量a =(1,1)平移，即得到函数()f x 的图象， 故函数()y f x =的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.（Ⅲ）在曲线上任一点0001(,)1x x x +-. 由'0201()1(1)f x x =--知，过此点的切线方程为 200020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----.令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为001(1,)1x x +-. 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(21,21)x x --. 直线1x =与直线y x =的交点为（1，1）.从而所围三角形的面积为0000011121211|22|22121x x x x x +---=-=--.所以， 所围三角形的面积为定值2.综合迁移（C 类）1.已知函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（其中*,n N ∈a 为常数. （Ⅰ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有() 1.f x x ≤-2.已知函数xax x f -=ln )(，x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；3.设.ln 2)(x xkkx x f --= （1）若0)2(='f ，求过点（2，)2(f ）的直线方程； （2）若)(x f 在其定义域内为单调增函数，求k 的取值范围.4. 已知函数x m x m x x f )6()3(2131)(23+++-=，x ∈R .（其中m 为常数） （ⅠI ）当m =4时，求函数的极值点和极值；（Ⅱ）若函数)(x f y =在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m 的取值范围.5. 已知函数32()2f x x ax x =+++.（Ⅰ）若1a =-，令函数()2()g x x f x =-，求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值； （Ⅱ）若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，求实数a 的取值范围.6.已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.7.已知函数32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（1）求实数,a b 的值.（2）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.8.已知函数2()(1)xf x e x ax =++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.9.已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t - （2t >-），设(2),()f m f t n -==.（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数； （2）试判断,m n 的大小并说明理由.10.已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫ ⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）.（1）求⎪⎭⎫⎝⎛32'f 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）设函数xe x xf xg ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调，求实数C 的取值范围.【参考答案】1.【解析】（Ⅰ）由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以232(1)()(1)a x f x x --'=-.①当0a >时，由()0f x '=得111x =+>，211x =<， 此时123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-. 当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增. ②当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值. 综上所述，2n =时，当0a ≤时，()f x 无极值当0a >时，()f x 在1x =极小值为211ln 2a f a ⎛⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎝. （Ⅱ）当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--.当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤， 故只需证明1ln(1)1x x +--≤.令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，， 则12()111x h x x x -'=-=--， 当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增， 因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立.故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤.即()1f x x -≤.2.【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，且2)('x ax x f +=， ①当0≥a 时，0)('>x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增；②当0<a 时，由0)('>x f ，得a x ->；由0)('<x f ，得a x -<； 故)(x f 在),0(a -上单调递减，在),(+∞-a 上单调递增. （Ⅱ）x xaax x g ln 5)(--=，)(x g 的定义域为),0(+∞ 22255)('x ax ax x x a a x g +-=-+=因为)(x g 在其定义域内为增函数所以),0(+∞∈∀x ，0)('≥x gmax222215155)1(05⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⇔+≥⇔≥+⇔≥+-⇔x x a x x a x x a a x ax 而2515152≤+=+xx x x ，当且仅当1=x 时取等号，所以25≥a 3.【解析】（1）由x x kkx x f ln 2)(--=得22222)(xk x kx x x k k x f +-=-+=' 故,540444)2(=∴=+-='k k k f ∵2ln 2254254)2(--⨯=f 2ln 256-=故过点（2，)2(f ）的直线方程为)1(02ln 256-=+-x y ，即2ln 256-=y（2）由22222()k kx x kf x k x x x -+'=+-=令)(,2)(2x f k x kx x h 要使+-=在其定义域（0，+∞）上单调递增. 只需0)(:),0()(≥+∞x h x h 内满足在恒成立由),0(1212020)(22+∞∈+=+≥≥+-≥x xx x xk k x kx x h 在即得上恒成立。

高二数学(shùxué)知识点(15篇)高二数学(shùxué)知识点(15篇)高二数学(shùxué)知识点1一、导数(dǎo shù)的应用1.用导数研究(yánjiū)函数的最值确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间)，求出导函数在定义域内的零点，研究在零点左、右的函数的单调性，假设左增，右减，那么在该零点处，函数去极大值;假设左边减少，右边增加，那么该零点处函数取极小值。

学习了如何用导数研究函数的最值之后，可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。

2.生活中常见的函数优化问题1)费用、本钱最省问题2)利润、收益最大问题3)面积、体积最(大)问题二、推理与证明1.归纳推理：归纳推理是高二数学的一个重点内容，其难点就是有局部结论得到一般结论，破解的方法是充分考虑局部结论提供的信息，从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象的相似特征得出所需要的相似特征。

2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

三、不等式对于含有参数的一元二次不等式解的讨论1)二次项系数：如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。

2)不等式对应方程的根：如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来，那么根据这两个根的大小进行分类讨论，这时，两个根的大小关系就是分类标准，如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来，那么根据方程的判别式进行分类讨论。

通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点，例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。

导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。

高二数学选修二公式总结一、导数及其应用1. 导数的定义- 函数y = f(x)在x = x_{0}处的导数f^′(x_{0})=limlimits_{Δ x→0}(Δ y)/(Δx)=limlimits_{Δ x→0}frac{f(x_{0}+Δ x)-f(x_{0})}{Δ x}2. 基本初等函数的导数公式- C^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_{a}x)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)3. 导数的运算法则- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v+uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)4. 复合函数求导法则- 设y = f(u)，u = g(x)，则y^′_{x}=y^′_{u}· u^′_{x}5. 函数的单调性与导数- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。

6. 函数的极值与导数- 设函数f(x)在点x_{0}处可导，且在x_{0}处取得极值，那么f^′(x_{0}) = 0。

- 求函数y = f(x)极值的步骤：- 求导数f^′(x)；- 求方程f^′(x)=0的根；- 列表判断在方程f^′(x)=0的根左右两侧f^′(x)的符号，确定是极大值还是极小值。

7. 函数的最值与导数- 求函数y = f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：- 求函数y = f(x)在(a,b)内的极值；- 将函数y = f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。