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初中求轨迹方程的例题教案教学目标：1. 理解轨迹方程的概念和意义；2. 学会使用几何方法和代数方法求解轨迹方程；3. 能够解决一些简单的轨迹方程问题。
教学重点：1. 轨迹方程的概念和意义；2. 使用几何方法和代数方法求解轨迹方程。
教学难点：1. 理解并应用轨迹方程的求解方法；2. 解决复杂的轨迹方程问题。
教学准备：1. 轨迹方程的定义和性质；2. 几何方法和代数方法求解轨迹方程的步骤；3. 相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入轨迹方程的概念，解释其在几何学中的应用；2. 举例说明轨迹方程的意义和作用。
二、讲解轨迹方程的求解方法（15分钟）1. 介绍几何方法求解轨迹方程的步骤：确定轨迹形状、找出关键点和线段、利用几何性质求解；2. 介绍代数方法求解轨迹方程的步骤：设定变量、列出方程、化简方程、求解变量、写出轨迹方程。
三、例题讲解（20分钟）1. 例1：已知Q点是双曲线上异于二顶点的一动点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2点向F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P点，求P点的轨迹方程；2. 例2：设动圆C的对称轴平行于坐标轴，长轴长为4，且以y轴为左准线，左顶点A在抛物线y2x-1上移动，求这些椭圆的中心C的轨迹方程；3. 例3：P是抛物线C上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q。
若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。
四、练习与讨论（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 引导学生讨论解题过程中遇到的问题和解决方法。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结轨迹方程的求解方法和注意事项；2. 布置作业：求解一些简单的轨迹方程问题。
教学反思：本节课通过讲解例题和练习题，让学生掌握了轨迹方程的求解方法和应用。
在教学过程中，注意引导学生运用几何方法和代数方法求解轨迹方程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过讨论和练习，让学生巩固所学知识，提高解题技巧。
高二数学导学学案：求曲线的轨迹方程（一）一、知识要点 1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线. (2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y); (2)根据动点M(x,y)应满足的条件列出方程; (3)化简方程;(4)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点，以保证曲线的纯粹性与完备性. 3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.待定系数法。
二、例题分析 （一）、直接法求动点的轨迹方程，如果动点坐标x 、y 之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．1. ABC A=120BC=2A ︒例已知三角形的顶角，边，求动点的轨迹方程。
解：以直线BC 为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，动点A 的坐标记为（x,y ）A=120AB AC 120∠︒∴︒，向量与向量的夹角为2cos120||||(AB ACAB AC ⋅∴︒===222222(1)(1)0 10x y y x y y x y ++-+--=+-<经化简得：且. A B -50,50,AM BM M M 例2设，两点的坐标分别为（，）（，）直线、的相交于点，且它们斜率的积为2，求点的轨迹方程。
M ,x y 解：设点的坐标为（），依题意有：2 (555y yx x x ⋅=≠±+-）22 1 (0)510x y y -=≠化简得：1212.1,4P PM P O O O O 例3 已知半径都为的两个圆的连心线的长为，过两圆外一点向两圆分别作切线PM,PN,若总有，求动点的轨迹方程。
高二数学求曲线的轨迹方程刘明华一. 教学内容：求曲线的轨迹方程二. 学习目标求曲线的方程是解析几何中的重点，也是难点，是解答题取材的源泉。
求曲线的轨迹方程的常用方法很重要。
三. 考点分析1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。
（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y）＝0，此法是求轨迹的最基本的方法。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。
注：①用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。
②步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。
③利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。
（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x,y）却随着另一动点Q（x1,y1）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x1,y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
PMN轨 迹 方 程 问 题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程；1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状； 解：因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-，所以a ·b ＝2210mx y +-=， 即 221mx y +=．当m ＝0时，方程表示两条直线：1±=y ； 当1m =时，方程表示的是圆：221x y +=； 当m ＞0且1≠m 时，方程表示的是椭圆； 当m ＜0时,方程表示的是双曲线．2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程例2．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得2PM PN =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,P x y ，则，同理222(2)1PN x y =-+-．2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-∵2PM PN =，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=． 这就是动点P 的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程：例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程；（3）在（2）中求ODE ∆的重心G 的轨迹方程。
课题:求轨迹方程学习目标: 了解解析几何的基本思想,了解坐标法研究几何问题的方法.理解轨迹的概念,能根据条件建立适当的坐标系,求曲线的轨迹方程.学习重点: 掌握求轨迹方程的常用方法.学习过程:一、基础知识回顾1.一般地在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1) (2) .那么,这个方程叫做 ,这个曲线叫做 .2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5)3.求轨迹方程的几种常用的方法.(1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求x,y 之间的关系式.(2)定义法:如果所给几何条件正好符合某些已知曲线(圆,椭圆,双曲线,抛物线等)的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.(3)代入法:利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系,用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,代入已知动点所满足的曲线方程,由此可求得动点坐标(x,y)的关系式.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.二、基础过关1.已知A(-1,0),B(2,4),∆ABC 的面积为10,则动点C 的轨迹方程为( )A. 4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B. 4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C. 4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D. 4x-3y+16=0或4x-3y-24=02.动点P 到直线x+4=0的距离减去它到M(2,0)的距离之差为2,则点P 的轨迹为( )A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线3.P 是椭圆5x 2+9y 2=45上的动点,过P 作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM 中点的轨迹方程为( )A. 20x 2+9y 2=45B. 5x 2+36y 2=45C. 20x 2+9y 2=180D. 5x 2+36y 2=1804.方程0)4)(4(22=-+--y x x y 表示的图形是( )A. 双曲线的一部分B. 圆的一部分C. 两个圆D. 椭圆的一部分5.若曲线C 与抛物线342-=x y 关于直线0=+y x 对称,则曲线C 的方程为 .6.经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦的中点的轨迹方程为 .三典型例题(一)直接法例1.动点P 与两定点为F 1,F 2的连线的斜率之积为定值k,试求动点P 的轨迹方程,并判断轨迹的形状.练习:已知),(),1,(),0,(),1,1(),,0(22211R y R x y n x m n x m ∈∈==== ,又212n m m +=n m n m n //,212-=,求点P(x,y)的轨迹方程.(二)定义法例2.已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1和C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.练习:已知圆C:(x+3)2+y 2=16内部一点A(3,0)与圆周上的动点Q 的连线AQ 的中垂线交CQ 于P,求点P 的轨迹方程.(三)代入法例3.设动点P 是抛物线y=2x 2+1上任意一点,定点A(0,-1),点M 满足MA PM 2=,求点M 的轨迹方程.练习:已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1)，B 为抛物线上任意一点，点P 为线段AB 中点，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．(四)参数法例4、过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程变式. 已知椭圆1222=+y x ，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；四、强化练习1.过圆外一定点并且与该圆外切的动圆圆心的轨迹方程为( )A. 直线B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 圆2.平面α的斜线AB 交α于点B,过定点A 的动直线与AB 垂直,且交α于点C,则动点C 的轨迹为( )A. 一条直线B. 一个椭圆C. 双曲线的一支D. 一个圆3.点P 在以F 1,F 2为焦点的双曲线9x 2-16y 2=144上运动,则∆F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程为 .4.已知)3()3(),,1(),0,(b a b a y b x a -⊥+==,则点P(x,y)的轨迹方程为 .5. 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R是PQ 的中点，所以x 1=20,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.。
曲线轨迹和轨迹方程的求法导学案学习目标：1.阅读导学案，掌握求轨迹和轨迹方程的基本方法2.自主学习，合作交流，探究每种方法处理适用条件及使用时基本步骤及思想方法学习重难点：求轨迹和轨迹方程的基本方法教学手段：多媒体学习过程：一、知识回顾1.椭圆的定义：2.双曲线的定义：二、典型例题（１）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义确定轨迹并写出方程例１：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点P是圆上任意一点。
线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？变式：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点P是圆上任意一点。
线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（２）直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程例２：点M ),(y x 与定点F(4，0)的距离和它到直线l ：425=x 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹。
变式：点M ),(y x 与定点F(5，0)的距离和它到直线l ：516=x 的距离的比是常数45，求点M 的轨迹。
点评：注意求哪个点的坐标就设哪个点的坐标，找出含有点的相关等式。
（３）相关点法（代入法）：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系,用所求动点的坐标),(y x 来表示已知动点),(00y x 的坐标,代入已知动点所满足的曲线方程,由此可求得动点坐标),(y x 的关系式例３：如图，在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M的轨迹方程。
变式：如图，在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且23=DP DM。
当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？三、小结谈谈你本节课的收获 x y xy。
《曲线的轨迹方程》教学设计
江西省宜春市万载中学（336100）郭炜甘淑清
教学目标：
（一）知识与技能
１、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。
２、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的操作能力。
（二）过程与方法
１、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。
２、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。
３、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。
（三）情感态度价值观
１、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美
２、树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气
教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹
教学难点：教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡
教学方法发现式为主、讲授式为辅，讲练结合.
教学基本流程
提出问题，引入课题．
模仿例题，学生自己学会使用正确方法求轨迹方程
总结加深，升华概念，作业巩固
教学过程
1）求轨迹方程的步骤
建系设点:建立适当的平面直角坐标
系,并设曲线上的任意一点
为M(x,y);。
轨迹方程的常用求法一.设计理念著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.〞《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面开展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为根本点. 本节课的设计正是尽力以此为理念，在整个授课过程中努力表达学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和开展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.二.学情分析为了完成高三第二轮专题复习中的曲线轨迹方程教学目标使学生，在一轮复习学生已有的认知结构是初步掌握了求轨迹的根本步骤，但求轨迹的根本方法比拟模糊，没有形成规律性和系统性，对图形的变化缺乏动态的认识，对数学知识的综合运用心理准备缺乏的根底上，通过这节课尽量让学生理清楚用定义法求轨迹方程的方法和步骤,进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
培养思维的灵活性和严密性进一步渗透“数形结合〞的思想以完本钱课的教学任务，我设计了充分应用信息技术教育资源去突破轨迹的抽象理解,通过一题多问,一题多解突破求轨迹几种常用方法的选择问题,形象的展示了知识的精华。
三.教学目标、重难点的预设结合新课程理念和高三学生的实际情况，将本节课的教学目标定为：知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的根本方法。
能力目标：通过动画引导,渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的思维能力。
通过引导探究问题，培养学生的创新意识和探究能力。
情感目标：主动参与教学过程，提出问题，解决问题，激发潜能，体验成功。
[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义法求轨迹方程。
[难点]：求动点的轨迹方程的方法的恰中选择及如何根据条件分析动点轨迹的几何特征。
四．例题()()()()()()()().132101,0,2,0,212122为动圆圆心相切外切且与直线与圆圆；为动圆圆心点外切，且过与圆圆；的周长为轨迹方程：下列条件的动点分别求出满足与点：】如图，已知圆【例P x A P P B A P PAB P B A y x A =∆-=++设计意图:通过一题多问,掌握椭圆,双曲线,抛物线定义,培训学生用定义法解法问题的思维.高考真题回忆1〔20xx ，19〕设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切.（1） 求圆C 的圆心轨迹L 的方程.,,1)1-x (:222的轨迹方程的中点弦求作任一弦过原点的方程为】已知圆【例M OA OA O y C =+设计意图:通过一题多解,首先引导学生承上启下,用定义法如何解?接着通过几何画板,动画观察相关法,化抽象为形象,再引入高考真题回忆2,接着引导学生认识其它几种常用求轨迹方法,去突破求轨迹几种常用方法的选择问题.高考真题回忆2:〔20xx ，19〕曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L与线段AB 所围成的平面区域〔含边界〕为D ；设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合；〔1〕假设点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；高考真题回忆3〔20xx ，20〕双曲线212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。
2020高三数学专题复习教案：曲线轨迹方程的求法以下是为大家整理的《2020高三数学专题复习教案：曲线轨迹方程的求法》，希望能为大家的学习带来帮助，不断进步，取得优异的成绩。
内容简介:高考要求#FormatImgID_0#求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一#FormatImgID_1# 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求#FormatImgID_2#变量间的关系#FormatImgID_3# 这类问题除了#FormatImgID_4#考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点#FormatImgID_5#重难点归纳#FormatImgID_6#求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法#FormatImgID_7#(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程#FormatImgID_8#(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线#FormatImgID_9#、抛物线、圆等)，可用定义直接探求#FormatImgID_10#(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程#FormatImgID_11#(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程#FormatImgID_12#求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性#FormatImgID_13# 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念#FormatImgID_14#典型题例示范讲解#FormatImgID_15#例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程#FormatImgID_16#命题意图#FormatImgID_17# 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程#FormatImgID_18#知识依托#FormatImgID_19# 利#FormatImgID_2020平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程#FormatImgID_21#错解分析#FormatImgID_22# 欲求Q的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题#FormatImgID_23#技巧与方法#FormatImgID_24# 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程#FormatImgID_25#解#FormatImgID_26# 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|#FormatImgID_27#又因为R是弦AB的中点，依垂径定理#FormatImgID_28# 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR#FormatImgID_29#|2=36-(x2+y2)--------------------文章说明---------------------本文是经过精选整理后的精品文档，具有很强的实用性，下载后可对文档进行重新编辑，可按您的想法稍作修改直接套用，标题或正文中所有带（）处可自行修改为需要字词，以便更好的为您所用！精挑精选精加工的精品文档，感谢您下载使用，希望使您的学习办公更便捷高效！。
专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，ABC ∆中，已知(2,0)B -，(2,0)C ，点A 在x 轴上方运动，且tan tan 2B C +=，则顶点A的轨迹方程是 ．2．如图2，若圆C ：22(1)36x y ++=上的动点M 与点(1,0)B 连线BM 的垂直平分线交CM 于点G ，则G 的轨迹方程是 ． 3．如图3，已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=上运动，AOP ∠的平分线交AP 于Q ，则Q 的轨迹方 程是 ． 4．与双曲线2222x y -=有共同的渐近线，且经过点(2,2)-的双曲线方程为 ． 5．如图4，垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线22(1)y x =-分别交于点A 、P ，点B 在y 轴上，且点A 满足||AB 2||OA =，则线段PB 的中点Q 的轨迹方程是 ．几种常见求轨迹方程的方法：1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤： 建系——设点——列式——代换——化简——检验；【例1】（1）求和定圆222x y R +=的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程；（2）过点(,0)A a 作圆O ：222x y R +=(0)a R >>的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹．解：（1）设动点(,)P x y ，则有||OP 2R =或||OP 0=．即2224x y R +=或220x y +=．故所求动点P 的轨迹方程为2224x y R +=或220x y +=．（2）设弦的中点为(,)M x y ，连结OM ，则OM AM ⊥．∵1OM AM k k ⋅=-，∴1y y x x a ⋅=--，化简得：222()()22a ax y -+=． 其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧（不含端点）．【例2】已知直角坐标平面上一点(2,0)Q 和圆C ：221x y +=，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与||MQ 的和．求动点M解：如图，设MN 切圆C 于N ，又圆的半径||ON 1=，∴2||OM =22||||NM ON +=2||1NM +，∴||MN =||MN =||1MQ +． 设(,)M x y 1=，∴23x -=223850x y x --+=3()2x ≥．可化为2249()313x y --= 3()2x ≥ ．故所求的轨迹是以点4(,0)3为中心，实轴在x 轴上的双曲线的右支，顶点为5(,0)3，如图．2．定义法：如果动点的轨迹是确定的某种曲线或间接（通过转化）确定的某种曲线，则可根据曲线的定义建立轨迹方程，一般是利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定 义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．在运用椭圆的定义、双曲线的定 义、抛物线的定义要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用图1 图2 图3 图4平面几何知识分析得出这些条件．用定义法求轨迹方程的基本思路是：①用曲线的定义判 断轨迹的形状（定型）；②判断轨迹的位置（定位）；③求曲线的基本量（定量）；④写出轨 迹方程．【例3】如图，设Q 是224x y +=上的动点，另有点A ，线段AQ 的垂直平分线l 交半径OQ 于点P ，当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程． 解：连接PA ，∵l AQ ⊥，∴||PQ =||PA ．又P 在半径OQ 上．∴||||PO PQ +2=．||||PA PO +2=，且2>=|OA ．由椭圆定义可知：P 点轨迹是以O 、A 为焦点的椭圆．22a =，2c =得：1a =，c =214b =．故所求椭圆方程为22(41x y +=．【例4】已知定圆A 的半径为r ，定点B 与圆A 的圆心A 的距离为 (2)m m r >．又一动圆P 过定点B ，且与定圆A 相切．求动圆圆心P 的轨迹方程．解：以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点为原点建立坐标系，如图．当动圆P 与定圆A 外切时，||||PA PB -r =；当动圆P 与定圆A 外切时，||||PB PA -r =． 由双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹应是以A 、B 为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支）．显然，2mc =，又2r a =，故222224m r b c a -=-=．所以所求的点P 轨迹方程是：22222144x y r m r -=-． 3．动点转移法：若动点(,)P x y 随已知曲线上的点00(,)Q x y 的变动而变动，且0、0可用、表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）．【例5】已知定点(3,1)A 、B 为抛物线21y x =+，上任意一点，点P 在线段AB 的中点，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．解：设点(,)P x y ，且设点00(,)B x y ，则有2001y x =+．∵点P 是线段AB 的中点．由中点坐标公式得：003212x x y y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩，∴002321x x y y =-⎧⎨=-⎩．将此式代入2001y x =+中，并整理得：2(21)22y x -=-，即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．【例6】求以y 轴为准线，离心率为12，且过定点(1,2)M 的椭圆左顶点的轨迹方程． 解：左顶点为(,)(0)P x y x > ，左焦点为00(,)F x y ，则0y y =，012x x x -=，即032x x =；又||112MF =，∴22001(1)(2)4x y -+-=．把0y y =，032x x =代入得：2231(1)(2)24x y -+-=，即2229()4(2) 1 (0)3x y x -+-=> ． 说明：注意确定圆锥曲线的条件“两点一参数”（焦点与长轴长）确定椭圆与“一点一线一数”（焦点、准 线、离心率）确定椭圆．4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．【例7】若抛物线24y x =和以坐标轴为对称轴、实轴在y 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线2y x =被双曲线截得的线段长等于解：设所求双曲线方程为22221y x a b-=，将24y x =代入整理得：2222240a x b x a b -+=．∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等， 因此方程2222240a x b x a b -+=应有等根．∴4321640b a b ∆=-=，即22a b =．由2y x =和22221y x a b-=得：22222(4)0b a x a b --=．由弦长公式得：==即22224a b b a =-．由2222224a b a b b a⎧=⎨=-⎩得：22a =，21b =．∴双曲线的方程是2212y x -=． 5．参数法：当动点P 的坐标x 、y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标x 、y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出x 、y 的范围．【例8】抛物线24x y =的焦点为F ，过点(0,1)-作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程．解：设(,)R x y ，AB ：1y kx +=，AB 中点为00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，与24x y =联立得：2440x kx -+=．216(1)0k ∆=->，124x x k +=，124x x ⋅=．212122()4y y k x x k ++=+=，21242y y k +=-． 2(2,21)M k k -，∵(0,1)F ，M 为AB 中点， ∴4x k =，243y k =-．消k 得：24(3) (1)x y y =+> ． 巩固练习：1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（（A ）椭圆的一部分 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）双曲线 2．已知动点M 与定点)0,2(F 的距离比动点M 到y 轴的距离大2，则动点M 的轨迹（ ）（A ）抛物线 （B ）抛物线的一部分 （C ）抛物线和一射线 （D ）抛物线和一直线 3．已知定直线l 和l 外一点A ，过A 与l 相切的圆的圆心轨迹是（ ）（A ）抛物线 （B ）双曲线 （C ）椭圆 （D ）直线 4．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线5．已知椭圆的焦点是1F 、2F 、P 是椭圆上的一个动点．如果延长1F P 到Q ，使得||PQ =2||PF ，那么动点Q 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅= ，则点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 7．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）（A ）28y x = （B ）28 (0)y x x =>和0y = （C ）28y x =(0)x > （D ）28 (0)y x x =>和0 (0)y x =<8．过抛物线22y x =的焦点作直线与此抛物线相交于两点P 、Q ，则线段PQ 中点的轨迹方程为（ ）（A ）221y x =- （B ）221y x =-+ （C ）222y x =- （D ）222y x =-+9．过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅= ，则点P 的轨迹方程是（ ）（A ）2233 1 (0, 0)2x y x y +=>> （B ）2233 1 (0, 0)2x y x y -=>>（C ）2233 1 (0, 0)2x y x y -=>> （D ）2233 1 (0, 0)2x y x y +=>>10．已知两点(2,0)M -、(2,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为（ ）（A ）28y x = （B ）28y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =-11．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(-的双曲线方程是（ ）（A ）224149x y -= （B ）224149y x -= （C ）224149x y -=- （D ）224149y x -=- 12．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．13．已知1(,0)2A -，B 是圆F ：221()42x y -+=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ．14．倾斜角为45︒的直线交椭圆1422=+y x 于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 ．15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过2)A -和(B -两点的椭圆方程 ．16．已知双曲线与椭圆22464x y +=共焦点，它的一条渐近线方程为0x =，则双曲线的方程是．17．已知Q 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>> 上的任意一点，从右焦点2F 作12FQF ∠的外角平分线的垂线，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．18．如图，直线1l ： (0)y kx k =>与直线2l ：y kx =-之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为1W ，右半部分记为2W ． （1）分别用不等式组表示1W 和2W ；（2）若区域W 中的动点(,)P x y 到1l ，2l 的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程；19．设椭圆方程为1422=+y x ，过点(0,1)M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足 2OP OA OB =+ ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．20．过双曲线C ：2213y x -=的左焦点F 作直线l 与双曲线C 交于P 、Q以线段OP 、OQ 为邻边作平行四边形OPMQ ，求顶点M 的轨迹方程． 21．设点A 和B 为抛物线24 (0)y px p =>上原点以外的两个动点，已知OAOB ⊥，OM AB ⊥，求点M答案13线段AB的垂直平分线交BF于点P可以知道PB=PA PB+FP=R=2=PA+FPP到两定点A（-1/2,0）F（1/2,0）距离和为2 所以，轨迹方程是x^2+4y^2/3=1 椭圆20设P（x1，y1）Q（x2，y2）平行四边形OPMQ对角线的中点为N M (x,y)x^2-y^2/3=1 则c=2 左焦点F（-2，0）直线l的解析式y=k(x+2)代入x^2-y^2/3=1 x1+x2=4k^2/(3-k^2) y1+y2=12k/(3-k^2)所以x=4k^2/(3-k^2) y=12k/(3-k^2) x/y=k/3 x^2/y^2=k^2/9 k^2=9x^2/y^2 代入x=4k^2/(3-k^2) 整理得(x+2)^2/4-y^2/12=121设A(a²/4, a), B(b²/4, b) 向量OA*向量OB=0, a²b²/16 + ab = 0, ab≠0, ab = -16AB的方程: (y - b)/(a - b) = (x - b²/4)/(a²/4 - b²/4) (a + b)y = 4x + ab = 4x - 16 (1)斜率4/(a + b) OM斜率: -(a + b)/4 OM的方程y = -(a + b)x/4, a + b = -4y /x (2)带入(1): x²- 4x + y²= 0 (x - 2)² + y² = 4它表示以(2, 0)为圆心, 半径为2的圆.。
