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习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4–1 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4–2 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。
II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元） 【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。
第2章人寿保险的精算现值选择题1．30岁的人购买保额为1000元的特殊的35年期两全保险，已知条件如下：（1）在其购买保险时，其两个孩子的年龄分别是3岁和6岁；（2）特殊约定为：如果被保险人死亡时两个孩子的年龄都小于11岁，那么给付额为3000元；如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于11岁，那么给付额为2000元；（3）在被保险人死亡时立即给付保险金；（4）μ30＋t=0.04，t≥0；（5）δ=0.06；（6）35E30=0.0302。
则此保单的趸缴纯保费为（）元。
[2008年真题]A．638B．766C．777D．796E．800【答案】D【解析】由题意可知，该保险相当于保额1000元的35年期两全保险＋1000元保额的8年期定期保险（5-8年内被保险人只有一个孩子小于11岁）＋1000元保额的5年期定期保险（5年内两个孩子都小于11岁），故此保单的趸缴保险费为：=796（元）2．30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度t 的保额为bt ，已知条件为：q30=0.1，b2=10－b1，q31=0.6，i=0 ，Z表示给付现值随机变量，则使得Var（Z）最小的b1的值为（）。
[2008年真题]A．0.0B．5.0C．6.8D．8.6E．8.9【答案】C【解析】v=1，由题意得：Pr [K（30）=0]=q30=0.1，Pr [K（30）=1]=p30q31=（1－0.1）×0.6=0.54，所以E（Z）=b1×0.1＋（10－b1）×0.54，E（Z）2= ×0.1＋（10－b12）×0.54，故Var（Z）=E（Z2）－（E（Z））2= －6.048b1＋24.84。
故当b1=6.048/（2×0.4464）=6.8时，Var（Z）最小。
3．50岁的人购买保险金在死亡时给付的特殊的递增型终身寿险，Z表示给付现值随机变量，已知：b t=1＋0.1t，v t=（1＋0.1t）－2，t p50·μ（50＋t）=0.02 ，0≤t<50则Var（Z）的值为（）。
第12章特殊年金与保险
计算题：
1．假设每年内死亡服从均匀分布，证明式可表示为：
解：由于死亡服从均匀分布，
2．证明中定义的Z和每年支付1的n年延期连续生命年金有相同的方差。
解：每年支付1的n年延期连续生命年金的随机变量可表示为：
3．对部分现金立即偿还年金.设现值随机变量为：
证明对部分现金立即偿还年金，式可写成：
解：直接求期望可得：
4．证明：有：
解：因为
5．假设
证明：
解：
因为Z2是常量，Z1为n年定期死亡保险的现值随机变量，故
6．一份保单从（x）死亡日期开始提供每年为1的连续确定年金。
如死亡发生在保单签发后的15年内，则年金支付到保单签发后的20年年底；如死亡发生在保单签发后15至20年内，则年金支付5年。
保单签发20年后终止。
给出趸缴净保费的表达式。
解：设保单给付现值的随机变量为Z，可得：
7．某份保单规定：如被保险人在20年末还活着时可得1000元；如在保单签发后的20年内死亡，则每月可得10元的收入直至20年末，该收入的第一笔支付在死亡的月末，保单签发20年后则无支付。
给出x岁时的年缴净保费公式。
解：
8．证明：
解：
9．证明：对一个退休收入保单，记a=h＋r，其中h=[a]，0＜r＜1，则在第h＋1保单年度内死亡均匀分布的假设下下式成立：
解：
10．证明：
解：。
第11章人寿保险的主要类型1．简述普通型人寿保险的主要类型。
答：按照保险责任可将普通型人寿保险分为定期寿险、终身寿险、两全保险、年金保险等四种：（1）定期寿险是以死亡为给付保险金条件，保险期限为一定年限的人寿保险。
固定年限可以为当前到未来某个固定的年龄，如至七十岁；从当前开始固定一段时间，如十年或二十年。
（2）终身寿险指以死亡为给付保险金条件，保险期限持续到死亡时刻的人寿保险。
（3）两全保险，被保险人在保险合同规定的年限内死亡或仍生存两种情况下，保险人按照合同都被付保险金。
两全保险的净保费由风险保险费和储蓄保险费组成，风险保险费用于当年死亡给付，储蓄保险费逐年积累，既可用于中途退保时支付退保金，也可用于生存给付。
两全保险不仅能使受益人得到保障，也能使被保险人享受一定的保险合同利益。
（4）年金保险指以生存为给付保险金条件，按约定分期给付生存保险金。
分期给付保险金间隔不可超过一年。
2．简述分红保险的特点。
答：分红保险有以下几项主要特点：（1）保单持有人享受经营成果。
保险公司每年将分红险种产生的部分盈余以红利的形式分配给保单持有人，投保人可与保险公司共享经营成果，增加获利机会。
（2）保单持有人承担一定的风险。
由于每年保险公司的经营状况不一样，在经营状况不好的情况下，保单持有人分到的红利就会比较少，甚至没有。
因此分红保险使保险公司和保单持有人在一定程度上共同承担了风险。
（3）定价的精算假设比较保守。
寿险产品在定价时主要以预定死亡率、预定利率和预定费用率三个因素为依据。
三个预定因素和实际情况的差距将直接影响寿险公司的经营成果。
由于寿险公司希望将部分盈余以红利形式分配给客户，所以在定价时对精算假设估计较为保守，导致保单价格较高，以期在实际经营过程中产生更多的可分配红利。
（4）保险给付、退保金中含有红利。
被保险人身故后，受益人在获得保险金额的同时还可获得未领取的累积红利及利息；满期给付时，被保险人在获得保险金额的同时也可得到未领取的累积红利及利息；退保时，分红保险的保单持有人得到的退保金也包括未领取累积红利及利息。
第13章寿险定价概述简答题：1．简述寿险定价的基本原则。
答：寿险定价的基本原则包括：（l）充足性原则该原则指保险费率应高至足以弥补预计发生的各项赔付以及有关的费用。
如果费率不充足，就会导致保险人难以仅依赖收取的保险费来履行未来保险赔付的义务，进而影响保险人的盈利能力和偿付能力，最终可能使被保险人的利益受到损害。
因此寿险产品的费率不能太低。
（2）合理性原则该原则是指寿险产品的平均费率水平应该和预计发生的各项赔付及费用水平相匹配，保险人获得一个恰当的利润水平。
（3）公平性原则该原则是指保险人对被保险人所承担的保险保障和赔付责任应该和投保人所缴纳的保费对等。
公平性原则是针对每个被保险人而言，合理性原则只针对某个险种的平均费率水平而言。
（4）可行性原则每一个寿险产品在开发和定价时都有其预定的目标客户群，费率的厘定不仅仅要考虑赔付的需要，以及合理性、公平性的原则，还要考虑目标客户群的特征以及其缴纳保费的能力，这样才能提高行销的可行性。
（5）稳定性原则该原则是指保险费率在短期内应该是相对稳定的，这样既有利于保险经营，又有利于投保人续保。
（6）弹性原则该原则是指保险费率要随着实际情况的变化而有所变化。
2．了解寿险公司产品开发的过程。
答：险种开发流程可分为以下几个环节：（1）产品形态构思。
新产品形态的思路来源包括由销售渠道提供的根据客户或销售人员对现有产品的反馈、经验分析的结果、同业产品的启发、政策法规的导向等。
（2）产品可行性分析。
它是新产品开发项目前期的重要工作，其分析结果将被写入产品可行性分析报告以供公司管理层决策参考。
产品可行性分析报告主要分析该产品能否符合公司策略、适应客户需求、合法合规、符合内部运营和系统支持能力、符合公司产品盈利性标准、投入产出合理性，并对产品的主要风险点进行提示。
（3）管理层审批。
由于寿险产品的长期性，每一个新产品的上市，保险公司都必须在系统中记录相关信息，提供相应的服务，长达数年甚至上百年，因而保险公司对于新产品开发的决策通常比较谨慎。
中国精算师资格考试指南第I部分中国精算师资格考试一准精算师部分A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式（第一章）2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算（第二章）3. 随机变量的数字特征（§3.1、§3.2、§3.4）4. 条件期望和条件方差（§3.3）5. 大数定律及其应用（第四章）B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布（第五章）2. 参数估计（第六章）3. 假设检验（第七章）4. 方差分析（§8.1）C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析（§8.2）2. 时间序列分析（平稳时间序列及ARIMA模型）（第九章）D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征（第十章）2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）（第十一章）E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分（§11.5、第十二章）2. 伊藤公式（§12.2）考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社2010版，所有章节。
A2金融数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目，考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
※<第一章>1．寿险精算与精算的关系答：保险精算包括寿险精算和非寿险精算两大类，而保险精算是精算学中的一个重要分支。
2．什么是精算学？答：精算学是以现代数学和概率数理统计学为基础，从数量方面研究保险业经营管理的各个环节的规律和发展，更好地反映保险机制实质的随机模型。
为保险公司进行科学的决策及提高管理水平提供依据和工具的专门学科。
※<第二章>1．试确定二年期内的常数实际利率，使之等价于第一年5%，第二年6%的实际贴现率。
（5.82%）2．如果20.04(1)t t δ-=+，那么1000元在第20年末的终值是多少？ （1038.8301元）3．试比较δ ，()m i ，i 的大小。
（m>1时，()m i i δ>> ；m=1时，()m i i δ=> ；m<1时，()m i i δ>> ）※<第三章>1．如果实际贴现率为10%，那么8a 为多少？ （5.695327）2．一台新电视机的现金价格为10000元。
某顾客想以月计息一次18%的年利率分期付款购买该台电视，若他在4年内每月月末付款250元，问现付款需要多少？ （1489.3615元）3．王强从银行贷款100000元，计划从第七个月开始每月末等额还款，若银行规定在借款后三年还清本息，设年利率为16%，求每月需还款额。
（4323.9456元）※<第四章>1．已知()1100xS x =-，0100x ≤≤ ，求 201010q 。
（0.125）2．证明：在Balducci 假设下，1(1)x x txq t q μ+=-- ，01t ≤≤3．若 407746l =，417681l = ，计算下列假设下的1404μ的值。
(1)UDD 假设 （2）Balducci 假设 （0.0084091，0.0084446）※<第五章>1．证明：11(1)x x x p a i a --⋅=+2．已知死力 0.04μ=，息力 0.06δ=，求 x a 。
第四章 人寿保险的精算现值1、（1） 0.092 （2） 0.0552、（1）趸缴纯保费为：12345353637383935:5353535353510001000d d d d d A vv v v v l l l l l ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭（2）自35岁~39岁各年龄的自然保费的总额为：()11111353637383935:136:137:138:139:1353637383910001000d d d d d A A A A A v v v v v l l l l l ⎛⎫++++=⋅++++ ⎪⎝⎭（3）有两个不同之处：第一，各年龄的自然保费的精算现值的时刻点不同，但可以通过()112131412345353637383935:136:137:138:139:1353637383910001000d d d d d A vA v A v A v A v v v v v l l l l l ⎛⎫++++=⋅++++ ⎪⎝⎭解决。
第二，分母不同，即平摊的对象不同，趸交纯保费是期初平摊，分母恒定，自然保费是每年平摊，分母随年龄的增长而减小。
注：因为题目没有给出使用的生命表，所以仅给出公式即可。
下同。
3、（1） 0.05 （2） 0.5注：利用递归公式1112020:20:20:2020x x x x x x x A A E A A A A ++=+=+⋅ 4、略 5、()()()21121100k k kx x kk x x k k k Var Z v p q v p q ++++==⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭∑∑ ()()2112110.50.50.50.50.1771x x x x x x x x q p q q p q q q ++++=+⋅-+⋅=+-+=10.54x q +⇒=6、0.817、设该保单的保险金额为P ，由130:205000P A ⋅=⇒19113030:203050005000k k k P d A v l ++===⋅∑。
《寿险精算》试题及答案（解答仅供参考）第一套一、名词解释1. 寿险精算：寿险精算是运用数学、统计学、经济学等理论和方法，对人寿保险业务中的风险进行量化分析和评估，以确定保险费率、准备金、利润分配等关键参数的学科。
2. 生命表：生命表是一种记录某一地区或群体在不同年龄阶段死亡率的统计表格，是寿险精算中计算保费和评估风险的重要工具。
3. 保险费率：保险费率是指保险公司为提供保险保障而向被保险人收取的费用比例，它是根据预期损失和运营成本等因素计算得出的。
4. 预定利率：预定利率是指保险公司为未来支付保险金而预先设定的利息率，它是计算保险产品现金价值和准备金的重要参数。
5. 保险准备金：保险准备金是指保险公司为了应对未来的保险责任和赔付风险，按照规定提取并储备的资金。
二、填空题1. 寿险精算的主要任务包括确定______、评估风险、管理资产和负债等。
答案：保险费率2. 在寿险精算中，______是预测未来死亡率的重要工具。
答案：生命表3. 保险产品的现金价值是根据______和已缴保费计算得出的。
答案：预定利率4. 保险公司提取的保险准备金主要包括未到期责任准备金和______。
答案：未决赔款准备金5. 在人寿保险中，______是一种可以在保险期间内改变保险金额和保险费的保险产品。
答案：可变寿险三、单项选择题1. 下列哪一项不属于寿险精算的主要任务？A. 确定保险费率B. 评估风险C. 管理资产和负债D. 制定营销策略答案：D. 制定营销策略2. 生命表中的死亡率通常表示为：A. 每千人的死亡人数B. 每百人的死亡人数C. 每年的死亡人数D. 每年的死亡概率答案：D. 每年的死亡概率3. 下列哪种保险产品的现金价值通常会随着投资收益的变化而变化？A. 定期寿险B. 终身寿险D. 年金保险答案：C. 变额寿险4. 在计算保险准备金时，未决赔款准备金通常是按照以下哪种方法提取的？A. 逐笔认定法B. 平均估算法C. 总和估算法D. 预期损失法答案：A. 逐笔认定法5. 下列哪种保险产品的保险金额和保险费可以在保险期间内进行调整？A. 定期寿险B. 终身寿险C. 变额寿险D. 全残保险答案：C. 变额寿险四、多项选择题1. 下列哪些因素会影响保险费率的确定？A. 预期损失B. 运营成本C. 投资收益D. 市场竞争答案：A、B、C、D2. 下列哪些保险产品具有现金价值？A. 定期寿险C. 变额寿险D. 年金保险答案：B、C、D3. 下列哪些因素可能影响生命表的编制？A. 地理位置B. 种族背景C. 性别D. 社会经济状况答案：A、B、C、D4. 下列哪些保险准备金属于长期准备金？A. 未到期责任准备金B. 未决赔款准备金C. 长期健康保险准备金D. 养老保险准备金答案：C、D5. 下列哪些保险产品具有投资功能？A. 定期寿险B. 终身寿险C. 变额寿险D. 年金保险答案：B、C、D五、判断题1. 寿险精算师只需要具备数学和统计学知识即可。
※<第一章>1．寿险精算与精算的关系答：保险精算包括寿险精算和非寿险精算两大类，而保险精算是精算学中的一个重要分支。
2．什么是精算学？答：精算学是以现代数学和概率数理统计学为基础，从数量方面研究保险业经营管理的各个环节的规律和发展，更好地反映保险机制实质的随机模型。
为保险公司进行科学的决策及提高管理水平提供依据和工具的专门学科。
※<第二章>1．试确定二年期内的常数实际利率，使之等价于第一年5%，第二年6%的实际贴现率。
（5.82%）2．如果20.04(1)t t δ-=+，那么1000元在第20年末的终值是多少？ （1038.8301元）3．试比较δ ，()m i ，i 的大小。
（m>1时，()m i i δ>> ；m=1时，()m i i δ=> ；m<1时，()m i i δ>> ）※<第三章>1．如果实际贴现率为10%，那么8a 为多少？ （5.695327）2．一台新电视机的现金价格为10000元。
某顾客想以月计息一次18%的年利率分期付款购买该台电视，若他在4年内每月月末付款250元，问现付款需要多少？ （1489.3615元）3．王强从银行贷款100000元，计划从第七个月开始每月末等额还款，若银行规定在借款后三年还清本息，设年利率为16%，求每月需还款额。
（4323.9456元）※<第四章>1．已知()1100xS x =-，0100x ≤≤ ，求 201010q 。
（0.125）2．证明：在Balducci 假设下，1(1)x x txq t q μ+=-- ，01t ≤≤3．若 407746l =，417681l = ，计算下列假设下的1404μ的值。
(1)UDD 假设 （2）Balducci 假设 （0.0084091，0.0084446）※<第五章>1．证明：11(1)x x x p a i a --⋅=+2．已知死力 0.04μ=，息力 0.06δ=，求 x a 。
第一章生命表1．给出生存函数()2 2500xs x e-=，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)P X s ss sqsP X ssps<<=--=>==2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T(t)(4)f T(f)(5)E(x)3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q65。
()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)s s sq ps ss sqs-====-∴==4.已知Pr［T(30)＞40］=0.70740，Pr［T(30)≤30］=0.13214，求10p60Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740×S(30)Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30)∴10p60= S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.815115.给出45岁人的取整余命分布如下表：k0 1 2 3 4 5 6 7 8 945kq .0050 .0060 .0075 .0095 .0120 .0130 .0165 .0205 .0250 .0300求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.046.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
