金版教程高考数学文二轮复习讲义：第二编专题整合突破专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质

专题三 三角函数与解三角形

第一讲 三角函数的图象与性质

必记公式]

1．三角函数的图象与性质

函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx

图象

单

调

性 在[ －π2＋2kπ，π2＋2kπ ](k∈Z)上单调递增；在[ π2＋2kπ，3π2＋2kπ ](k∈Z)上单调递减 在－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在( －π2＋kπ，π2＋kπ )

(k∈Z)上单调递增

对

称

性 对称中心：

(kπ，0)(k∈Z)；

对称轴：

x＝π2＋kπ(k∈Z) 对称中心：

π2＋kπ，0(k∈Z)；

对称轴：

x＝kπ(k∈Z) 对称中心：

kπ2，0(k∈Z)

2.三角函数的两种常见图象变换

重要结论]

1．三角函数的奇偶性

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；

(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

2．三角函数的对称性

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；

(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解得；

(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)解得．

失分警示]

1．忽视定义域

求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域．

2．重要图象变换顺序

在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

3．忽视A，ω的符号

在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的．

4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误．

考点 三角函数的定义域、值域(最值)

典例示法

典例1 (1)2016·合肥一模]函数y＝lg (2sinx－1)＋1－2cosx的定义域是________．

解析] 由题意，得 2sinx－1＞0，1－2cosx≥0，即 sinx＞12，cosx≤12，

首先作出sinx＝12与cosx＝12表示的角的终边(如图所示)．

由图可知劣弧和优弧的公共部分对应角的范围是 2kπ＋π3，2kπ＋ 5π6(k∈Z)．

所以函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．

答案] 2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)

(2)已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.

①求f(x)的最小正周期；

②求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．

解] ①f(x)＝－sin2x－cos2x＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4.

所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.

②由①知f(x)＝22sin2x－π4.

因为x∈0，π2，

所以2x－π4∈－π4，3π4，

则sin2x－π4∈－22，1. 所以f(x)在0，π2上最大值为22，最小值为－2.

1．三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．三角函数值域(最值)的三种求法

(1)直接法：利用sinx，cosx的值域．

(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．

(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．

针对训练

2015·天津高考]已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．

解 (1)由已知，有

f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32

＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x

＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.

所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.

(2)解法一：因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34.所以，f(x)在区间－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12.

解法二：由x∈－π3，π4得2x－π6∈－5π6，π3，故当2x－π6＝－π2，x＝－π6时，f(x)取得最小值为－12，当2x－π6＝π3，x＝π4时，f(x)取最大值为34.

考点 三角函数的性质

典例示法

典例2 2015·山东枣庄质检]已知函数f(x)＝sinωx＋π6＋sinωx－π6－2cos2ωx2，x∈R(其中ω＞0)．

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f(x)的单调递增区间．

解] (1)f(x)＝32sinωx＋12cosωx＋32sinωx－12cosωx－(cosωx＋1)

＝232sinωx－12cosωx－1

＝2sinωx－π6－1

由－1≤sinωx－π6≤1，

得－3≤2sinωx－π6－1≤1，

所以函数f(x)的值域为－3,1]．

(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，

f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.

所以f(x)＝2sin2x－π6－1， 再由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，

解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3

(k∈Z)．

1．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识

(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．

(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．

①令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，可求得对称轴方程．

②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．

③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．

(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.

2．求解三角函数的性质的三种方法

(1)求单调区间的两种方法

①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．

②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．

(2)判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．

(3)三角函数周期的求法

①利用周期定义．

②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.

③利用图象．

针对训练

1．2015·湖南高考]已知ω＞0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.

答案 π2

解析 由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝2－(－2)＝22，|x2－x1|为函数y＝2sinωx－2cosωx＝22sinωx－π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝2π2ω2＋(22)2，ω＝π2.

2．2014·北京高考]设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．

答案 π

解析 由f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝－fπ6知，f(x)有对称中心π3，0，由fπ2＝f23π知f(x)有对称轴x＝12(π2＋23π)＝712π.记f(x)的最小正周期为T，则12T≥π2－π6，即T≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T＝π.

考点 三角函数的图象及应用

典例示法

题型1 利用图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式