高考数学复习第二编专题整合突破专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质文市赛课公开课一等奖

三角函数与解三角形

专题一：三角函数的图象与性质

高考在三角函数图象与性质的考查力度上近几年有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质．其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主．主要考查数学抽象、数学运算和逻辑推理素养．在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．

一、必备秘籍【背记重点】

1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sin

x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R π{|π,}2xxkkZ

值域 [1,1] R R

周期性 2 2 

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

对称中心 (0),k ,2)0(k (0),2k

对称轴方程 2xk xk 无 2．三角函数的周期性

（1）函数sin()yAx的最小正周期2||T．应特别注意函数|sin()|yAx的周期为||T，函数|sin()|yAxb(0b)的最小正周期2||T．

（2）函数cos()yAx的最小正周期2||T．应特别注意函数|cos()|yAx的周期为||T．函数|cos()|yAxb(0b)的最小正周期均为2||T．

（3）函数tan()yAx的最小正周期||T．应特别注意函数|tan()|yAx|的周期为||T，函数|tan()|yAxb(0b) 的最小正周期均为||T．

3．三角函数的奇偶性

（1）函数sin()yAx是奇函数⇔k (kZ)，是偶函数⇔2k(kZ)；

专题02 三角函数的图象与性质（五点法作图）

(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

必备方法：sin()yAx五点法步骤

③ x  2  32 2

① x 0

2  32 2

② sin()yAx 0 A 0 A 0

对于复合函数sin()yAx，

第一步：将x看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令x等于0，2，，32，2，对应的y则取0，A，0，A，0。，（如上表中，先列出序号①②两行）

第二步：逆向解出x（如上表中，序号③行。）

第三步：得到五个关键点为：(,0)，2(,)A,(,0),32(,)A,2(,0)

二、典型例题

角度1：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围

例题1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知π2sin23fxx.

(1)用五点法画出函数fx的大致图象，并写出fx的最小正周期；

【答案】(1)图象见解析，T=π

令ππ3π2=0π2π322x，，，，，得到对应的,()xfx 值如下表所示：

π23x 0 π2 π 3π2 2π

x π6 π12 π3 7π12 5π6

()fx 0 2 0 2 0

所以()fx过πππ7π5π(,0),(,2),(,0),(,2),(,0)6123126,图象如图所示 思路点拨：由题意知，目标要求用五点法画出其一个周期的图象.采用列表法

解答过程：

先将看做一个整体，赋值如表中标记行（1）；再求出的值，如表中标记行（2）；再根据标记行（1）逆向求对于的，得到五个关键点的横坐标；

（3）

（1）

（2）

这样得到五个关键点为：，在坐标系中描点，画出图象

周期为T=π

例题2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数sin26fxx.

4.3三角函数的图像与性质

一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k∈Z).

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性

最值 无

对称中心

对称轴 无

1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．

2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．

考点一 三角函数的定义域与值域

例1、（1）函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为________．

（2）函数y＝lg(sin x)＋ cos x－12的定义域为________．

（3）①函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为________．

②当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． 考点二 三角函数的单调性

例2、函数y＝2sinx－π4的单调递减区间为 _____________．

变式训练1 （1）函数y＝2sinx－π4的单调递减区间为_____________；

（2）函数y＝sin－2x＋π3的单调递减区间为_______________.

考点三 三角函数的对称性与奇偶性

例3、(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝－2sin2x＋23sin x· cos x＋1.

(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；

(2)当x∈－π6，π3时，求f(x)的最大值和最小值．

例4 （1）若函数y＝3sin(2x＋φ)(0

（2） 已知ω>0，函数f(x)＝cosωx＋π3的一条对称轴为x＝π3，一个对称中心为点π12，0，则ω的最小值为______．

1 《三角函数的图像与性质》教案

教学目标：

1、知识目标:进一步理解、掌握三角函数的图像及性质，能熟练应用三角函数的图像与性质解决相

关数学问题。

2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。

3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。

教学重点：三角函数的性质及应用

教学难点：三角函数的周期性、单调性、值域的应用．

教学过程：

一、真题感悟,预习检测：

1.(2013·江苏卷)函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为________.

2.(2011·江苏卷)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.

3.(2014·江苏卷)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ

2 4.(2015·浙江卷)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.

二、知识点回顾，考点整合

1、性质列表，网络建构

xysin xycos tanyx

定义域

值域

周期性

奇偶性

增区间

减区间

对称轴

对称中心

3 2、三角函数的两种常见变换

3.正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)与正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心、对称轴。

三、热点聚焦，题型突破

热点一 三角函数的图象

[微题型1] 图象变换

【例1－1】 (2015·南通调研)为了得到函数y＝cos2x＋π3的图象，可将函数y＝sin 2x的图象向________平移________单位长度.

[微题型2] 由三角函数图象求其解析式

【例1－2】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为________.