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第十章非线性系统§10.1 与线性系统的差异线性系统与非线性系统的不同之处在于：1. 非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。
2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。
3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。
4.非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。
5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。
6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。
7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。
8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。
§10.1 定性分析状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的关系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示。
§10.3 达芬方程达芬方程rt F sin 23=+++εχχχμχ（10.1） 是一个无量纲方程。
它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。
如果ε为正，则表示一个硬弹簧的响应；如果ε为负，则表示一个软弹簧系统的响应。
一个系统自由振动的振幅关系由达芬方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：)(83122εεωO A ++= （10.2）其中ω是固有频率的无量纲化（对于线性系统ω=1），A 是振幅，分析共振附近达芬方程的受迫响应可以设εσ+=1r （10.3）则稳态振幅的定义方程就可近似表示为22222]83[4F A A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+σμ （10.4）方程（10.4）在图10.2中的关系曲线表示为0>ε时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的σ值，方程（10.4）有三个正实解，因为2A 引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。
·43·第8章 非线性控制系统的分析例题解析例8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性(见图8-1(a))对系统稳定性的影响。
图8-1 稳定性分析解：由等效增益定义x y K /=知，等效增益曲线如图8-1(b)所示，其中∆=/M K m 。
设系统不存在非线性时，临界稳定增益为K c ，于是① 若K c >K m ，如图8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益K c ，所以系统稳定 ② 若K c <K m ，如图8-1(c )所示，其中x 0=M./K c ，则当x<x 0时，因m K K >，系统不稳定，x 发散；当x 增加至使x >x 0时，此时m K K <，系统稳定，x 收敛；当x 减小至使x <x 0时，重复上述过程。
可见，在这种情况下，系统将出现以x 0为振幅的自激振荡。
③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。
不论原系统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以x 0为振幅的自激振荡。
例8-2 试求图8-2所示非线性环节的描述函数。
（a ） （b ）·44·图 8-2 非线性环节解：（1）对于图8-2（a ），因为t X x x y ωsin ,3==且单值奇对称，故A1＝03204320432043sin 4sin 1sin 11X t td X t d t X t td y B ====⎰⎰⎰πππωωπωωπωωπ21143)(X X A j X B X N =+=图 8-3（2）对于图8-2（b ），因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联，所以 K XMX N X N X N +=+=π4)()()(21 例8-3 试将图8-4（a ），（b ）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。
（a ） （b ）图 8-4解：（1）G 1与G 2是小回路的负反馈，则2111G G G G +=从而得典型结构，见图8-5。
第三章 非线性微分方程动力系统的简化在非线性微分方程动力系统研究中，很自然地期望有一些有效的方法使原系统降阶或简化，井能保持原系统的动态特性。
目前，现有的知识主要有中心流形、范式、奇异摄动与精确线性化等。
本章将简要地叙述相关方面的基本内容3.1中心流形3.1.1中心流形的基本定理本节考虑以下形式非线性微分方程系统(,)(,)x Ax f x y y By g x y '=+⎧⎨'=+⎩Equation Section 3(3.1) 其中,m n x R y R ∈∈，假定A 和B 是具有相应维数的常数矩阵，并且A 的所有特征值具有零实部，B 的所有特征值具有负实部。
函数f 和g 关于其变元皆二阶连续可微，且(0,0)0,(0,0)0f g ==；(0,0)0,(0,0)0f g ''==(注： f '和g '是它们各自的雅可比矩阵)。
定义3.1 一个集合（流形）m n S R R ⊂⨯被称为系统(3.1)的局部不变流形(Local invariant manifold)是指，对任何的00(,)x y S ∈系统(3.1)的初值为00((0),(0))(,)x y x y =的解()x t 始终在集合S 内，其中||t T <，T 为某正数。
进而，如果，T =∞，那么S 就称为不变流形(invariant manifold)。
定义3.2 如果()y h x =是系统(3.1)的一个不变流形，并且()h x 为光滑函数，(0)0h =，(0)0h '=，那么它被称为中心流形（centre manifold ）。
对于系统(3.1)，我们有，定理3.1 对系统(3.1)而言，若A ，B ，和g 满足假设条件，那么存在一个中心流形()y h x =，其中||x δ< (δ为某一个正数)，且2h C ∈。
证今:[0,1]n R ψ→为C ∞函数，取值为1,||1,0,|| 2.x x ψ≤⎧=⎨≥⎩又设(,)((),),(,)((),)x xF x y f x yG x y g x y εεψψ==其中0ε>。
第四章非线性微分代数系统的局部结构理论本章主要目的在于从定性的角度研究平衡点的局部性态。
第1节介绍微分代数系统指数的概念及其数学基本结构。
第2节首先考察线性微分代数系统中的一个带根本性的问题，即其广义特征根与其向量场的特征根的等价性问题。
然后，在此基础上我们依据广义特征根对对余二维线性违反微分代数系统的平衡点(奇点)作出了全面分类。
第3节考虑非线性微分代数系的线性近似问题，主要研究非线性微分代数系统与线性微分代数系统的局部拓扑等价性。
第4节研究非线性微分代数系统的局部参数化问题，给出受限系统的最小状态空间形式，其内容主要是为第5节讨论线性近似为中心的情形以及微分代数系统的分支问题做准备的。
第5节通过取定系统状态空间形式，利用后继函数判别法和形式级数判别法给出中心..焦点的判别法则和算法步骤。
第6节考察一个具体微分代数系统局部性态，作为第4和第5节中的方法和结果的应用4.1 微分代数系统的指数和数学结构由于微分代数系统由微分方程和代数方程混合而成，我们总希望通过微分运算把微分代数系统化显示常微分方程的形式。
在这种变换过程中所用到的微分次数称之为微分代数系统的指数，这样，微分方程有指数0。
在给出微分代数系统的指数的精确定义之前，我们考察余下几个简单的例子。
例题4.1 设()q t 是一个给定的光滑函数，如下关于变量y 的纯量方程()y q t = (1.1) 是一个指数1的微分代数方程,这是由于对(1.1)式两边微分一次就可把纯量方程(1.1)化为关于纯量y 显示微分方程。
系统121()y q t y y ='= (1.2)是指数2系统。
事实上，先对第一个方程微分得21()y y q t ''== 再对上式微分得21()y y q t '''''== 通过两次微分运算得到微分方程12()()y q t y q t ''='''= 类似地，通过三次微分运算可以把系统3()u q t y u =''= (1.3) 化为3y 的微分方程，因此，系统(1.3)有指数3.非线性微分代数系统一般形式由如下隐式形式给出(,,)0F t y y '= (1.4) 其中Jacobian 矩阵函数/F y '∂∂可以是奇异的。
第十章非线性系统§ 10.1 与线性系统的差异线性系统与非线性系统的不同之处在于：1. 非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。
2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。
3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。
4. 非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。
5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3 时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。
6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。
7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。
8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。
§10.1 定性分析状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的关系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示是一个无量纲方程。
它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。
如果 ；为正, 则表示一个硬弹簧的响应；如果；为负，则表示一个软弹簧系统的响应。
一个系 统自由振动的振幅关系由达分方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：3 —1A 2 0( 2)(10.2)8其中㊂是固有频率的无量纲化(对于线性系统 ® =1), A 是振幅，分析共振附近 达芬方程的受迫响应可以设(10.3)达芬方程不稳定焦点图 10.1§ 10.3达芬方程；'：：：；，2」 ；3 = F sin rt中点 2)(10.1)稳定节点(a)则稳态振幅的定义方程就可近似表示为4A2［」2一3A2〔 = F2（10.4）I 8丿」方程（10.4在图10.2中的关系曲线表示为；・0时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的二值，方程（10.4有三个正实解，因为A2引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。
§ 10.4自激振动自激振动是由系统运动而引起的振动，它是由非线性形式的阻尼引起的，这里的阻尼项在给定的运动范围内是负值，图10.3所示的动力系统表现的就是阻尼，而振幅却变化不大，范德波尔方程就是某些自激系统的一个模型，即：」（2-1）=0 （ 10.5图10.4所示的相平面就表示了范德波尔振子自由振动的一个极限环10.1单摆运动的非线性方程的无量纲化形式为J sin v - 0(i) 推导定义运动相平面的广义方程； (ii) 求在二=0^=1条件下的轨线； (iii) 单摆的最大摆角是多少？ 解：⑴令■ - /，贝U■- dv 旳 d 日 dv u = — = = ------------------ = v —dt dt dr dt从而微分方程就可以写成dsin 八 0 d^对二求积分，则得12「cos )- C 2其中C 是一个积分常数。
1(ii )要求当二=0时，⑺-1，则C 二-乙，从而解出、图 10.4(iii)当、=0时，最大摆角v - 6010.2令工二工°代表非线性系统的平衡位置，取工二瓷。
•厶来分析在平衡点邻域内系统的运动。
通过在平衡点处线性化微分方程，来确定平衡点的类型及其稳定性。
解：设控制微分方程的形式为：f ( , ) =0若二0代表一个平衡点，则f( 0,0) =0。
将二0 *代入微分方程，得:二 f ( 0•二，二•)二0用泰勒级数展开，得：■r f rf ■:-■■■ f ( 0,0) .-( 0,0) -( 0,0)：…• =0£上6上加上平衡条件并略去高阶项线性化得：-?.'■： - -.■■■：- 0:f ( 0,0)，:二—(0,0)方程的解可记为：丄=C,e -l t- C2e 臥其中和2是方程2— 0的解，平衡点的类型及其稳定性讨论如下：(1) 若'1或'2其一有正实部，则从平衡点出发的扰动无限大，故解不稳定。
(2) 若1和-2都是正实数且同号，则平衡点为节点(稳定或不稳定。
(3) 若错是实数且同号，则平衡点为鞍点(不稳定)。
(4) 若'1和' 2为共轭复数，则平衡点为焦点(稳定或不稳定)。
(5) 若'1和■ 2都是纯虚数，则平衡点是中点10.3确定摆动方程所有平衡点的类型及其稳定性。
解：单摆运动的非线性微分方程为：v sin J- 0采用题10.2中的符号，得：f (二“ =sin 二且：f (厲,0) = 0》sin J- 0》厲二n二，n = 0,_1,_2,现在，令，:二，并将其代入微分方程，得：:v sin(n二•: ^) = 0用泰勒级数展开，且保留线性项得：■: v cos(n二).：J- 0•宀( —1)n•宀-0禾U用题10.2中的符号，则上述方程的广义解为：(n D (n _D(」) -2t ») y2ti _c£)■ C2e°)(nJ.) (n_1) •1 二(-0 2，，2 = -( -D 2因此，对于奇数n , 1和2都是实数且异号，这些平衡点就是鞍点；对于偶数n，'1和-2都是纯虚数，这些平衡点就是中点。
10.4摆动的相平面示意图。
解：根据题10.3结论得到的相平面示意图如图10.5所示10.5质点在图10.6所示的旋转抛物线上运动的微分方程为:(1 - 4 p 2 2)- (2gp 八2)- 4p 22= 0若.-10rad/s ，求 p 为何值是，平衡点二0是鞍点？解：采用题10.2中的符号，得： 2 2诗 y )=2gpw L * —加(，)1 4p2 2 1 4p 2 2注意到 二0的确是一个平衡点，检验在 其邻域内平面轨线的运动，令=， 采用题10.2中的符号，得： "学(0,0) = 0，兰(0,0) =2gp -，从而相平面轨线在 二0附近的微分方程为：■:(2gp曲二0当2gp ：：：「2时，平衡点是一个鞍点，因此，当小=10rad/s 时，则:图 IV. 5P ::（10皂）2 s2（9.81 马）二 5.10m 」 从题10.6~题1.8,题10.11和10.12都是指图10.7中的系统而言的。
弹簧的立与位移的关系为： Fr&y-k s y 3，k^1 106—，k 3 =1 1012— m m其中y 是从弹簧原长时量取的。
10.6设 =y ，其中y 是从未伸缩时的位移，且厶二mg/&，用方程（10.1）的形式写出图10.7中所示系统运动的微分 方程，并求出；，」，F 和r. 解：对质量块应用牛顿定律，其微分方程 I -----]x io\ -1 x IO ^Y P-c- …N-s为: » 100sjn50fNk 16 N 1 106 — m d d dd设•二''nt ，则有： n —dt di dt di用无量纲化变量，改写方程（10.6）为:丄2*dX 丄,A .*3 3m n 2 c nk r x - k^ x d 2dco=F 0 sin ——n色亠鱼X-&以3二 d 2 m n d k 1kJ：F。
o sin ——■'n方程（10.1）形式中的各量如下:首先考虑平衡点x = 0，则::=2丄，：=1 — £x 2」：x：x = 0耐2 =—卩土 沖2 —1 = —0.0112±0.999i因为'的值是实部共轭复数，所以平衡点x = 0是一个稳定的焦点。
由于；是负值，系统还有两个平衡点x h\=1/；,在任一情况下:=2」：=1 3^（-丄）--2z-x ■ 2 L x - 2 = x 二 0人,2 =—卩 士$2 +42 =1.413, -1.415k i1 1012 N1 10』m3m(1.96 1O’m)2 二-0.0384 c_ 2m n-0.0112 rad 、 2(20kg)(223.6)sF 。
F 。
100NF =kimg(20kg)(9.8V N2)s= 0.510rad 150 —s0.671 n223.6空s10.7确定图10.7中系统的平衡点的性质及其稳定性。
解：用题10.2中的符号，贝U:f (x,x) = 2七 x ；x 3从而: 注意到：f=2",x.:f .x=1 3 x 2f (x, 0) = 0 = xx 3 >因此这两个静平衡点是鞍点，且不稳定 10.8令」• - 0 ,试求固有周期的积分表达式。
解：设初始条件为t=0时，x=x 0,x=0。
当」=0时自由振动的达芬方程为:x xx 3 = 0dx 亠次=° dx 1 2 1 2X2 2代入初始条件求得 为：dx 由于、二 dx/dt ，贝U: dt = f 2 丄 E 4 2 ® 4 二.x 0 亠一x 0 x x2 21/4周期就是物块从初始条件返回（平衡位置）x=0所用的时间。
在这期间速度 是负值，因此，从X 。
到0积分，得: 0T =4 x 0dx x °2异 2 4 2 - 4 0 -x -2x 10.9用线性扰动法求在F=0时达芬方程的二次近似解。
解：设： X = x °（t ） • ；X 1（t ） • OC 2） （10.7） 将方程（10.7）代入不受力的达芬方程，得： X ° M ："7'X 0 -X 「：；「（X 0 ；X 1 川…川=0 X 0 X 0 ；（x 「X 1 X 03） 0（ ；3） =0 设系数是；的方幕都趋于零，则得： X 0 X 0 = 0》X 0 二 Asin （t ）X 1 X 1 二—X 0‘ 一； X 1 疋 二- A 3 sin 3（t）根据三角恒等式，得:定义' 二x ，贝 对x 积分，得:..A 3 , , x-i x 1 [3sin(t 「；)一sin 3(t 亠：；)]43 3 A 3 x-i A t cos(t 亠:;) sin 3(t J8 323 A 3 x(t) =Asin(t ) ；[—A 3tcos(t ) SIN3(t )] O( ；3) 8 3210.10由题10.9求得的解不是周期性的，应如何修正？为什么?解：由题10.8可以知道非线性系统的固有周期是取决于初始条件的。
在题 10.9 中的扰动解中没有给出这种依赖关系，真正的响应可以在相同周期的现行系统中 得到，要修正该解，需要引入依赖于振幅的时间量2t 二（1 佝• 1匕亠 亠） 上述表达式可以在现行展开前引入，在这种情况下称之为Linstedt-Poincare 方法;也可以在将非周期的现行展开变成周期性之后引入，后者称之为重整化方法。
