与名师对话 课时作业11 数学

课时作业(十一)[基础演练]1．下列加点字的注音全都正确的一项是()A．数载．(zǎi) 干禄．(lù)提携．(xié) 肄．(yì)业孜．(zī)孜B．弭．(ěr)谤造诣．(zhǐ)店肆．(sì) 沦丧．(sànɡ)訾．(zǐ)詈．(lì)C．冶．(yě)游塞．责(sè)会晤．(wù) 相勖．(xù)敷．(fú)衍．(yán)D．庶．(shù)民切磋．(cuō)正轨．(ɡuǐ) 砥．(dǐ)砺．(lì)鲜．(xiān)为人知[解析]B项弭ěr—mǐ，诣zhǐ—yì；C项敷衍fúyán—fūyǎn；D 项鲜为人知xiān—xiǎn。

[答案] A2．下列各组词语中字形全部正确的一项是()A．怡误自趋正轨根基深固以诚相待B．详悉道德沦丧无动于衷旁稽博采C．提携细微末节光阴虚渡力矫颓俗D．卓绝大相背弛精旨奥义潦草塞责[解析]A．怡—贻；C.渡—度；D.弛—驰。

[答案] B3．下列关联词运用正确的是()①________________能爱惜光阴，孜孜求学，________________其造诣，容有底止。

②诸君为大学学生，地位甚高，肩此重任，责无旁贷，________________诸君不惟思所以感己，________________必有以励人。

A．如果那么虽更B．苟则因为所以C．苟则故更D．如果那么因为所以[解析]句①文言意味浓，应使空缺处风格一致，故应用“苟……则”；句②空一处前后分句构成因果关系(前因后果)，所以关联词语就为“故”。

故选C。

[答案] C4．将下列选项中的词语依次填入各句横线处，最为恰当的一组是()①苟能爱惜光阴，孜孜求学，则其________________，容有底止。

②不惟________________，更宜________________，盖同处此校，毁誉共之，同学中苟道德有亏，行有不正，为社会所訾詈，己虽规行矩步，亦莫能辩，此所以必互相劝勉也。

阶段测评(一)时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若A 3m ＝6C 4m ，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由m (m －1)(m －2)＝6·m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，解得m ＝7.答案：C2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.58C.38D.78解析：由题知所求概率P ＝24－224＝78，选D. 答案：D3．从4双不同鞋中任取4只，结果都不成双的取法有________种．( ) A ．24 B ．16 C ．44D ．24×16解析：取4只不成双的鞋分4步完成：(1)从第一双鞋任取一只，有2种取法；(2)从第二双鞋任取一只，有2种取法；(3)从第三双鞋任取一只，有2种取法；(4)从第四双鞋任取一只，有2种取法．由分步乘法计数原理，共有24＝16种取法．答案：B4．从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )A ．C 48－12B ．C 48－8C ．C 48－6D ．C 48－4解析：在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体． 答案：A5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5中令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.原式＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，故常数项为 x ·C 35(2x )2⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＋1x·C 25(2x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－40＋80＝40.答案：D6．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n2n 的值为( )A ．22n －1－1B ．22n －1C ．2n －1D ．2n解析：因为C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ＝22n －1，所以C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n ＝22n －1－1. 答案：A7．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72D ．24解析：3人中每两人之间恰有一个空座位，有A 33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A 33×A 22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．答案：D8．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A ．40B ．74C ．84D ．200解析：分三类：第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个， 第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.答案：B9．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种解析：当甲一人住一个寝室时有：C 12×C 24＝12种，当甲和另一人住一起时有：C 12×C 14×C 23×A 22＝48种，所以共有12＋48＝60种，故选D.答案：D10．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法的种数是____．解析：由分类加法计数原理得共有5＋4＝9种方法． 答案：912．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为______．解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：213．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A 、B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A 、B 相邻，A 、C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3614．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1 260种．答案：1 260三、解答题(本大题共4小题，第15～17小题各12分，第18小题14分，共50分)15．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解：设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 12·C 13＝6(种)；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 14·C 13＝12(种)；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为C 14·C 12＝8(种)；第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为A 24＝12(种)； 由分类加法计数原理，选派方法数共有：6＋12＋8＋12＝38(种)． 16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N *.(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值； (2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项．解：(1)由已知，得C n －2n (2i)2＝－180，即4C 2n ＝180，所以n 2－n －90＝0，又n∈N *，解得n ＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(2x i)10－k x －2k ＝C k 10(2i)10－k x . 因为系数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}， 所以k ＝2,6,10.所以所求的项为T 3＝11 520，T 7＝3 360x －10，T 11＝x －20. 17．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？ (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)＝2 943 360种排法．方法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎨⎧甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400种排法．18．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项． 解：T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r ·x . (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎨⎧C r 8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .∴⎩⎨⎧r ≥5，r ≤6.∴r ＝5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项． ∴T 5＝C 48·24·x ＝1 120x －6. (3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11.。

课时作业(五)一、选择题1．若C x6＝C26，则x的值为()A．2 B．4C．4或2 D．3解析：由组合数性质知x＝2或6－x＝2，∴x＝2或x＝4.答案：C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为() A．4 B．8C．28 D．64解析：由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C28＝28条公路．答案：C3．已知C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A．14 B．12C．13 D．15＝C8n＋1，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.解析：∵C7n＋1答案：A4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()A．60种B．48种C．30种D．10种解析：从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C25·C23＝30种．故选C.答案：C5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O(0,0)，A(1,2)，B(2,4)，C(－1,2)，D(－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为()A．12 B．10C．8 D．6解析：五点中共有三点共线的两组O，A，B和O，C，D.故共有C35－2＝10－2＝8个三角形．答案：C6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C24·C25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．答案：D二、填空题7．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C36＝20种．答案：208．不等式C2n－n<5的解集为________．解析：由C2n－n<5，得n(n－1)2－n<5，∴n2－3n－10<0.解得－2<n<5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}9．若对任意的x∈A，则1x∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．解析：具有伙伴关系的元素组有－1；1；12，2；13；3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.答案：1510．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；(3)C n n ＋1·C n －1n .解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. (2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)原式＝C n n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)！n ！·n ＝(n ＋1)·n ！n ！·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610＝C410＝210(种)走法．12．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有2件次品．解：(1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C597种．(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有C397C23种．(3)至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C397C23种．第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C297C33种．按分类计数原理有C397C23＋C297C33种．。

课时作业(十)一、选择题1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋3π4，k ∈Z[解析] 函数有意义时x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ≠k π＋3π4，k ∈Z .∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z [答案] D2．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数[解析] 由y ＝tan x 是周期函数，知A 、B 不正确．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，没有减区间，∴C 正确，D 错误．[答案] C3．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π3所得线段长为2，则a 的值为( )A.π2B.12 C ．πD ．1[解析] 由已知得f (x )的周期为2，∴πa ＝2.∴a ＝π2. [答案] A4．函数f (x )＝tan x2－cos x 的奇偶性是( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[解析] f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴f (－x )＝tan (－x )2－cos (－x )＝－tan x2－cos x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． [答案] A5．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( )A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8 D ．y ＝π8[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝0得x ＝π8. [答案] C6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)[解析] ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0， ∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.∴由y ＝tan x 的图象知y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[答案] B 二、填空题7．已知函数y ＝2tan(2x ＋φ)是奇函数，则φ＝________. [解析] 设f (x )＝2tan(2x ＋φ)， ∴f (－x )＝2tan(－2x ＋φ)． ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＋f (－x )＝0，∴2tan(2x ＋φ)＋2tan(－2x ＋φ)＝0， ∴2tan(2x ＋φ)－2tan(2x －φ)＝0，即tan(2x ＋φ)＝tan(2x －φ)． ∴2x ＋φ＝k π＋2x －φ， ∴φ＝k π2(k ∈Z )． [答案] k π2(k ∈Z )8．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是________．[解析] 由正切曲线可知，两个相邻交点间相差一个周期即πω. [答案] πω9．满足tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．[解析] 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z .故满足tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z 三、解答题10．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．[解] ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π3<k <π. ∵k ∈N *，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3，k ∈Z .∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 11．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．[解] 由4x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π4＋3π16，∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π4＋3π16，k ∈Z .值域为R ，周期T ＝π4. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16没有意义，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16－π4＝0，∴f (x )是非奇非偶函数．令－π2＋k π<4x －π4<π2＋k π，k ∈Z ， 解得k π4－π16<x <k π4＋3π16，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π16，k π4＋3π16(k ∈Z )，不存在单调递减区间．12．已知函数f (x )＝tan(3x ＋φ)0<φ<π2的对称中心为π4，0，求f (x )的解析式及单调增区间．[解] 由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0， 其中k ∈Z .故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4. 由于0<φ<π2， 所以当k ＝2时，φ＝π4.故函数解析式为f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数． 则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2， 解得k π3－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z ，故函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .。

课时作业(六)一、选择题1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：若选1男3女有C14C33＝4种；若选2男2女有C24C23＝18种；若选3男1女有C34C13＝12种；所以共有4＋18＋12＝34种不同的选法．选D.答案：D2．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种B．48种C．36种D．18种解析：最后必须播放奥运广告有C12种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C13种，故共有C12C13A33＝36种不同的播放方式．答案：C3．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有()A．120种B．5种C．240种D．180种解析：先从5本中选出2本，有C25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A44种分法，故共有C25·A44＝240种不同的分法．答案：C4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号分别为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法共有() A．10种B．20种C．36种D．52种解析：1号盒中放入1个球，2号盒中放入3个球，有C14·C33种放法；1号盒中放入2个球，2号盒中放入2个球，有C24·C22种放法．所以不同的放球方法共有C14·C33＋C24·C22＝10种．答案：A5．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人．答案：A6．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有()A．70个B．80个C．82个D．84个解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C14·C25种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C24·C15种方法．∴满足条件的三角形共有C14·C25＋C24·C15＝70个．故选A.答案：A二、填空题7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________．解析：依题意，就所剩余的1本进行分类：第1类，剩余的是1本画册，此时满足题意的赠送方法有4种；第2类，剩余的是1本集邮册，此时满足题意的赠送方法有C24＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．答案：108．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{7,8,9}，A为定义域，B为值域，由A到B的不同函数有__________个．解析：由函数定义知，定义域中的每一个元素在值域B中都有唯一的象，值域B中的每一个元素，都有原象(不一定唯一)，由此可知，A中恰好有两个元素和B中的某一元素对应，共有C24·A33＝36(个)．答案：369．4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有________种(用数字作答)．解析：由题意知，必有1个盒子内放入2个小球，从4个小球中取出2个小球，有C24种取法，此时把它看作1个小球，与另2个小球共3个小球放入4个盒子中，有A34种放法，所以满足题意的放法有C24·A34＝144种．答案：144三、解答题10．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解：方法一：我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C24·C18＝48(个)不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C14·C28＝112(个)不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C38＝56(个)不同的三角形．由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．方法二：间接法：C312－C34＝220－4＝216(个)．11．现有10名学生，其中男生6名．(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？(4)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？解：(1)方法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有C16C14＝24种；第二类有2名女生，共有C24＝6种，根据分类计数原理，必须有女生的不同选法有C16C14＋C24＝30种．方法二(间接法)：C210－C26＝45－15＝30.(2)C26C24＝90.(3)C28＝28.(4)方法一(直接法)：可分两类解决：第一类甲、乙只有1人被选．共有C12C38＝112种不同选法；第二类甲、乙两人均被选，有C28＝28种不同选法，根据分类计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有C12C28＋C28＝112＋28＝140种．方法二(间接法)：先不考虑要求，从10名学生中任选4名学生，共有C410＝210种，而甲、乙均不被选的方法有C48＝70种，所以甲、乙至少有1人被选上的选法种数是C410－C48＝210－70＝140种．12．六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本；(4)平均分成三堆；(5)平均分给甲、乙、丙三人．解：(1)先在六本书中任取一本，作为一堆，有C16种取法；再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有C25种取法；再从余下三本中取三本作为一堆，有C33种取法，故共有分法C16·C25·C33＝60种．(2)由(1)知，分成三堆的方法有C16·C25·C33种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的分法亦为C16·C25·C33＝60种．(3)由(1)知，分成三堆的方法有C16·C25·C33种，但每一种分组方法又有A33种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有C16·C25·C33·A33＝360种．(4)把六本不同的书分成三堆，每堆两本，与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本的区别在于，后者相当于把六本不同的书平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此，设把六本不同的书平均分成三堆的方法有x种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法就有x·A33种．而六本书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法可以理解为：三个人一个一个地来取书，甲从六本不同的书中任取出两本的方法有C26种，甲不论用哪一种方法取得两本书后，乙再从余下的四本书中取书有C24种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取两本书后，丙从余下的两本中取两本书，有C22种方法，所以一共有C26·C24·C22＝90种方法，所以x A33＝C26·C24·C22＝90，x＝15，即平均分成三堆有15种分法．(5)由(4)知平均分给甲、乙、丙三人有90种分法．。

课时作业(三)一、选择题1．下面问题中，是排列问题的是( )A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B ．从40人中选5人组成篮球队C ．从100人中选2人抽样调查D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B ，C ，D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．答案：A2．乘积m (m ＋1)(m ＋2)(m ＋3)…(m ＋20)可表示为( )A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20 解析：因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m ＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)·(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20. 答案：D3．已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于( )A ．5B ．7C ．10D ．14 解析：由8！(9－n )！×3＝9！(11－n )！×4，得(11－n )(10－n )＝12，解得n ＝7. 答案：B4．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：(n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确． 答案：C5.A 67－A 56A 45＝( ) A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 答案：D6．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )A ．24个B ．30个C ．40个D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类，一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A二、填空题7．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是___________________________________.解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed8．满足不等式A 7n A 5n>12的n 的最小值为________． 解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2.又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：109．如果A m n ＝17×16×…×5×4，则n ＝__________，m ＝__________. 解析：易知n ＝17.又4＝n －m ＋1＝17－m ＋1＝18－m ，∴m ＝14.答案：17 14三、解答题10．解下列各式中的n 值．(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2.解：(1)∵90A 2n ＝A 4n ，∴90n (n －1)＝n ·(n －1)(n －2)(n －3)，∴n 2－5n ＋6＝90，n 2－5n －84＝0，(n －12)(n ＋7)＝0，n ＝12或n ＝－7.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *，∴n ＝12.(2)n ！(n －4)！·(n －4)！＝42(n －2)！， ∴n (n －1)＝42，n 2－n －42＝0，n ＝7或n ＝－6.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *.∴n ＝7.11．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A 44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A 25＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.12．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33， 所以函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞； 令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33.。

课时作业(一)一、选择题1．(2012年东北四校一模)集合{x ∈N *|12x ∈Z }中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：令x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.代入验证，得x ＝1、2、3、4、6、12时，12x ∈Z .故集合中有6个元素． 答案：B2．(2013年温州八校联考)设集合A ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则A ∩B ＝( )A ．{x ＝1或y ＝2}B ．{(1,2)}C ．{1,2}D ．(1,2)解析：由⎩⎨⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴A ∩B ＝{(1,2)}，选B.答案：B3．若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：log 12x ≥12⇒0<x ≤22，所以∁R A ＝(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 答案：A4．(2012年湖州模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a ＝( )A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}， 当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D. 答案：D5．(2012年济宁一模)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}解析：由题意A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}． 又U ＝{1,2,3,4,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}． 答案：D6．(2012年湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案：D 二、填空题7．设集合M ＝{x |－2<x <5}，非空集合N ＝{x |2－t <x <2t ＋1，t ∈R }．若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为________．解析：由M ∩N ＝N ， 知N ⊆M .由图中数轴所示．可得⎩⎨⎧2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2.解得13<t ≤2.故所求实数t 的取值范围为13<t ≤2.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，28．(2012年北京海淀二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．解析：因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A 去掉A ∩B ，所以阴影部分所表示的集合为{1}．答案：{1}9．(2012年山东高考调研)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤a }且(A ∪B )⊆(A ∩B )，则实数a 的值为______．解析：由(A ∪B )⊆(A ∩B )易得A ∪B ＝A ∩B ，则A ＝B ，∴a ＝1. 答案：1 三、解答题10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.11．(2012年岳阳模拟)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解：由x －5x ＋1≤0， 所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， 所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.12．已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)<0}，函数y ＝lg 2a －xx －(a 2＋1)的定义域为集合B .求满足B ⊆A 的实数a 的取值范围．解：由于2a ≤a 2＋1，当2a ＝a 2＋1时，即a ＝1时，函数无意义，∴a ≠1，B ＝{x |2a <x <a 2＋1}．①当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，要使B ⊆A 成立，则⎩⎨⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，即a ＝－1.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，B ＝{x |23x <109}，此时不满足B ⊆A ；③当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，要使B ⊆A 成立，则⎩⎨⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，即1≤a ≤3，又a ≠1，故1<a ≤3.综上所述，满足B ⊆A 的实数a 的取值范围是{a |1<a ≤3}∪{a |a ＝－1}． [热点预测]13．设集合M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，N ＝{(x ，y )|x 2－y ＝0，x ∈R ，y ∈R }，则集合M ∩N 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(数形结合法)x 2＋y 2＝1表示单位圆，y ＝x 2表示开口方向向上的抛物线，画出二者的图形，可以看出有2个交点，故选B.答案：B14．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B ＝________.解析：由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[1,3]， ∴A *B ＝[0,1)∪(3，＋∞)． 答案：[0,1)∪(3，＋∞)15．已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是________．解析：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}这样的集合，故共有6个．答案：6{0,1,2,3}。

课时作业(四)一、选择题1．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}解析：A＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，故A∩B＝{－1,0,1,2}．答案：A2．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，则集合A∪B等于()A．{x|－1<x<1} B．{x|－2<x<1}C．{x|－2<x<2} D．{x|0<x<1}解析：在数轴上表示集合A和B，如图所示，则数轴上阴影部分就是A∪B＝{x|－2<x<2}．答案：C3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为()A．0 B．1 C．2 D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.故选D.答案：D4．已知集合A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－5<x<5}，则() A．A∩B＝ØB．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：画出数轴，可以看出A∪B＝R，选B.答案：B5．若方程x2－px＋6＝0的解集为M，方程x2＋6x－q＝0的解集为N，且M∩N＝{2}，那么p＋q等于()A．21 B．8 C．7 D．6解析：∵M∩N＝{2}，∴2∈M且2∈N.∴4－2p＋6＝0且4＋12－q＝0.∴p＝5，q＝16.故p＋q＝21.选A.答案：A6．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x>a}，A∩B≠Ø，则实数a 的取值范围是()A．a≥－2 B．a<－2C．a≤4 D．a<4解析：将集合表示在数轴上，如图所示，要使A∩B≠Ø，必须a<4.答案：D二、填空题7．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M ∩N ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝4，得x ＝3，y ＝－1，∴M ∩N ＝{(3，－1)}．答案：{(3，－1)}8．设集合A ＝{5，a ＋1}，集合B ＝{a ，b }．若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.解析：∵A ∩B ＝{2}，，2∈A ，故a ＋1＝2，a ＝1，即A ＝{5,2}；又2∈B ，∴b ＝2，即B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}9．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.解析：用数轴表示集合A 、B ，如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则m ＝6. 答案：6 三、解答题10．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}． (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值． 解：由已知得M ＝{2}， (1)当m ＝2时，N ＝{1,2}， 所以M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}． (2)若M ∩N ＝M ，则M ⊆N ，∴2∈N ， 所以4－6＋m ＝0，m ＝2.11．已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}． (2)∵C ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >－a 2， B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a >－4.12．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <0或x >4}，(1)若A ∩B ＝Ø，求a 的取值范围．(2)A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． 解：(1)画出数轴，如下图所示．①若A ＝Ø，则2a >a ＋3，即a >3，此时A ∩B ＝Ø. ②若A ≠Ø，由A ∩B ＝Ø，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，2a ≥0，a ＋3≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≥0a ≤1，⇔0≤a ≤1.由①、②知，所求a 的取值范围是{a |0≤a ≤1，或a >3}． (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B . 当A ＝Ø时，由(1)可知a >3.当A ≠Ø即a ≤3时，在数轴上表示出集合A 、B 由图可得a＋3<0或2a>4，∴a<－3或2<a≤3.综上可得a<－3或a>2.[拓展延伸]13．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．解析：由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素．而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案：4。

阶段测评(三)时间：90分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列说法正确的是()A．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义．答案：C2.如图所示的5个数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：由散点图知去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．答案：B3．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是()A.C．指数函数模型D．对数函数模型解析：画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．答案：A4．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大()A.aa＋b与cc＋dB.ac＋d与ca＋bC.aa＋d与cb＋cD.ab＋d与ca＋c解析：当ad与bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时aa＋b与cc＋d相差越大．答案：A5．独立检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)＝0.010表示的意义是()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%解析：由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.答案：D6．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀 作文成绩一般 总计课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般8 20 28 总计3030602的是( )A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D7．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，相关指数R 2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么10i ＝1 (y i －y －)2的值为( )A ．241.06B ．2 410.6C ．253.08D ．2 530.8解析：由R 2＝1－∑i ＝110(y i －y ^i )2∑i ＝110(y i －y －)2，得0.95＝1－120.53∑i ＝110(y i －y －)2，得∑i ＝110(y i －y －)2＝120.531－0.95＝2 410.6.答案：B8．若回归直线方程为y ^＝2－3.5x ，则变量x 增加一个单位，变量y 平均( ) A ．减少3.5个单位 B ．增加2个单位 C ．增加3.5个单位D ．减少2个单位解析：由回归直线方程可知b ^＝－3.5，则变量x 增加一个单位，y ^减少3.5个单位，即变量y 平均减少3.5个单位．答案：A9．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线l 1和l 2，已知在两人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ，那么下列说法正确的是( )A ．直线l 1和直线l 2有交点(s ，t )B ．直线l 1和直线l 2相交，但交点未必是点(s ，t )C ．直线l 1和直线l 2由于斜率相等，所以必定平行D ．直线l 1和直线l 2必定重合 解析：l 1与l 2都过样本中心点(s ，t )． 答案：A10．甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：( )A ．0.3～0.4B ．0.4～0.5C ．0.5～0.6D ．0.6～0.7解析：∵K 2＝90×(10×38－7×35)245×45×17×73＝90×13522 513 025≈0.652 7>0.455 P (K 2>0.455)＝0.5， 故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是___________________________________________________．解析：设回归直线的方程为y^＝b^x＋a^.回归直线的斜率的估计值是1.23，即b^＝1.23，又回归直线过样本点的中心(4,5)，所以5＝1.23×4＋a^，解得a^＝0.08，故回归直线的方程为y^＝1.23x＋0.08.答案：y^＝1.23x＋0.0812．某学校对校选课程“人与自然”的选修情况进行了统计，得到如下数据：别有关．解析：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，k≈163.8>10.828，即在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为选修“人与自然”与性别有关．答案：0.00113．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm.解析：设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则x－＝173，y－＝176，b^＝02＋9＋9＝1，a^＝y－－b^x－＝176－1×173＝3，∴y^＝x＋3，当x＝182时，y^＝185.答案：18514．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：影响有没有差别____________________________________________．解析：提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K 2的观测值k ＝392×(39×167－29×157)268×324×196×196≈1.78.当H 0成立时，K 2≈1.78，而K 2<2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．答案：1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 三、解答题(本大题共4小题，第15～17小题各12分，第18小题14分，共50分)15．某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K 2的观测值精确到0.001)?解：(1)填写列联表如下：(2)k ＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．16．一机器可以按各种不同的速度运转，其生产物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化，用x 表示转速(单位：转/秒)，用y 表示每小时生产的有缺点物件个数，现观测得到(x ，y )的4组观测值为(8,5)，(12,8)，(14,9)，(16,11)．(1)假定y 与x 之间有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程．(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10，则机器的速度不得超过多少转/秒？(精确到1转/秒)解：(1)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝12.5， y －＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438.于是b^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52＝5170，a ^＝y －－b ^x －＝8.25－5170×12.5＝－67. 所以所求的回归直线方程为y ^＝5170x －67. (2)由y ^＝5170x －67≤10，得x ≤76051， 即机器的速度不得超过14转/秒．17．在一段时间内，某种商品的价格x (万元)和需求量y (t)之间的一组数据如下表所示．价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y 121075 3(1)(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．解：(1)散点图如图所示．(2)采用列表的方法计算a^与b^.序号x i y i x2i x i y i1 1.412 1.9616.82 1.610 2.56163 1.87 3.2412.64254105 2.23 4.84 6.6∑93716.662x－＝15×9＝1.8，y－＝15×37＝7.4，b^＝∑i＝15x i y i－5x－y－∑i＝15x2i－5x－2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a^＝y－－b^x－＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，所以y对x的线性回归方程为y^＝28.1－11.5x.(3)当x＝1.9时，y^＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)，所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.18．某城市一个交通路口原来只设有红绿灯，平均每年发生交通事件80起，案件的破获率为70%，为了加强该路口的管理，第二年在该路口设置了电子摄像头，该年发生交通事故70起，共破获了56起，第三年白天安排了交警执勤，该年发生交通事故60起，共破获了54起．(1)根据以上材料分析，加强管理后的两年该路口的交通状况发生了怎样的变化？(2)试采用独立性检验进行分析，设置电子摄像头对该路口交通肇事案件的破获产生了什么样的影响？设置电子摄像头和交警白天执勤的共同作用对该路口交通肇事案件的破获产生了什么样的影响？解：(1)由统计数据可知，没有采取措施之前，案件的发生较多，并且破获率只有70%，安装电子摄像头之后，案件的发生次数有所减少，并且破获率提高到了80%，白天安排交警执勤后，案件的发生次数进一步减少，并且破获率提高到了90%.由此可知，电子摄像头对遏制交通案件的发生起到了一定作用，并且给破案带来了一定的帮助，而安排交警执勤对这些的影响更大．(2)根据所提供的数据可以绘制对应的2×2列联表如下：交警执勤后案件的破获率有了明显的提高，这说明两种措施对案件的破获都起到了一定的积极作用．先分析电子摄像头对破案的影响的可信度，令a＝56，b＝24，c＝56，d＝14，构造随机变量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝150×(56×14－24×56)280×70×112×38≈1.974.其中n＝a＋b＋c＋d.而查表可知，P(K2≥1.323)＝0.25，且1－0.25＝0.75＝75%，因此约有75%的把握认为安装电子摄像头对案件的破获起到了积极作用．再分析安装电子摄像头及交警执勤的情况，同样令a＝56，b＝24，c＝54，d ＝6，则K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝140×(56×6－24×54)280×60×110×30≈8.145，其中n＝a＋b＋c＋d.而查表可知，P(K2≥6.635)＝0.01，且1－0.01＝0.99＝99%，因此约有99%的把握认为安装电子摄像头及交警执勤对案件的破获起到了积极作用．。