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初三数学二次根式的加减【本讲主要内容】二次根式的加减 1. 同类二次根式 2. 二次根式的加减 3. 二次根式的混合运算【知识掌握】【知识点精析】 一. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 注意：（1）判断几个二次根式是否同类二次根式，必须首先将二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同．（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关．二. 二次根式的加减法（l ）二次根式的加减，就是合并同类二次根式．（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变． （3）二次根式的加减法的一般步骤： ①将每一个二次根式化成最简二次根式； ②找出其中的二次根式； ③合并同类二次根式．注意：①非同类二次根式不能合并；②二次根式的系数是带分数时，要写成假分数的形式．三. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算就是二次根式的加、减、乘（包括乘方）、除的混合运算．注意：1. 运算过程中注意运算顺序，利用运算法则．整式混合运算的运算律在二次根式的混合运算中仍然适用．2. 注意化简，包括条件的化简、所求算式的化简和最后结果的化简．【解题方法指导】★同类根式例1. （1）（2003年某某省黄冈市中考题）多项选择题：下列各式经过化简后与--273x 是同类二次根式的是（）A.3x 27B.27x 3- C.--1933x D.3x -（2）（2002年某某市中考题）多项选择题：在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A. 2和12B. 2和21 C. 3ab ab 4和D.1a 1a +-和（3）（2001年某某省某某市中考题）选择题：下列各式中，与8是同类二次根式的是（）A.2.0 B. 8.0 C. 12 D. 18（4）（1989年全国初中数学联赛试题）选择题：已知最简根式b a 7b a 2a -+与是同类根式，则满足条件的a 、b 值（） A. 不存在 B. 只有一组 C. 有二组 D. 多于二组 （5）（2002年某某省中考题）如果最简根式3b b a -和22b a -+是同类根式，那么a 、b 的值是（）A. 2b ,0a ==B. 0b ,2a ==C. 1b ,1a =-=D. 2b ,1a -==（6）（2001年中考题）填空题：当=x ________时，最简二次根式3x 57-与7x 45+是同类根式．分析：紧扣同类二次根式的条件：化成最简二次根式后被开方数相同．解：（1）由已知得x 3x 3x 27,0x 3-=--∴<33x 27,0x 27∴< 无意义，排除A ．x 39x 27x 3--=-∴，x 3313x ,x 39x x 3913-=--=--∴选B 、C 、D ． （2）3212= ，2∴和12不是同类二次根式．显然1a 1a +-和不是同类二次根式．2221=， 212和∴是同类二次根式． ab |b |b ab ab ,ab 2ab 423=⋅== ， 3ab ab 4和∴是同类二次根式．故选B 、C （注：本题是多项选择题） （3）5528.0,55511022.0,228===== ， 2318,3212==，18∴与8是同类二次根式，故选D ．（4）由同类二次根式的定义，得⎩⎨⎧=-=+2b a 7b a 2 解之，得⎩⎨⎧==1b ,3a 这是唯一的一组解．故选B ． （5）由同类二次根式定义，得⎩⎨⎧+-==-2a b 2b 3,2a b 解得a b ==⎧⎨⎩02,.故选A ．（6）由同类二次根式定义，得 7x 43x 5+=- 解之，得10x =点评：判断两个二次根式是不是同类二次根式，必须先将它们都化为最简二次根式，然后再看这些最简二次根式的被开方数是不是相同，如果被开方数完全相同，那么它们就是同类二次根式，否则就不是同类二次根式．注意：判断两个二次根式是否为同类二次根式，一定要把它们化成最简根式．【考点突破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点，它们常与整式、分式综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右．解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则．【典型例题分析】例1. 选择题： （1）（2006年某某省中考题）下列计算正确的是A.228=- B.14931227=-=- C. 1)52)(52(=+-D.23226=- （2）（2006年某某市中考题）已知实数a 、b 、c 满足2b c ,1b a 2222=+=+，2c a 22=+，则ac bc ab ++的最小值为（）A.25 B. 321+ C. 21- D. 321-解：（1）A. 左式2222=-=，正确．B. 左式13333233≠=-=，不正确．C. 左式1154≠-=-=，不正确．D. 左式231232)123(222226≠-=-=⋅-=，不正确． 答案：∴选A ．（2）由已知中三个式子相加，得25c b a 222=++（4），用（4）式分别减已知式得，21b ,21a ,23c 222===，则26c ±=，22a ±=，22b ±=，再代入ac bc ab ++，讨论可得ac bc ab ++的最小值为321-．答案：D ．例2. 计算：（1）（2006年市中考题）10)21()2006(|3|12-+---+（2）（2006年某某市中考题）3|3|)15(201--+-+-（3）（2006年某某省中考题）2818)212(2--+⨯（4）（2006年某某市中考题）02)36(|221|8)3(----+-- （5）（2003年市中考题）计算：0)13(8121-+-+（6）（2002年某某省中考题）计算：21122-++（7）（2000年某某市中考题）计算：)3223)(3223(1313+---+（8）（2000年某某省中考题）计算：211)223(23822+--+⨯-（9）计算：11322572767311145+-----++- （10）（2001年某某市中考题）计算：32a a 9a 3a--+ 分析：在进行计算时，应先将式子中的二次根式化简，如进行加减法时应先将各根式化为最简根式，进行除法运算时先分母有理化或约分化简．解：（1）原式13321332+=+-+= （2）原式2333121=-++=（3）原式=+--=--=-=213222232322312()（4）原式9111222291=-+-+=（5）0)13(8121-+-+212212-=+--=（6）21122-++1122212122=--+=--+=（7）)3223)(3223(1313+---+])32()23[(2)13(222--+=)1218(32--+= 43-=（8）211)223(23822+--+⨯-2112928)12(1229224--+-=---+⨯-=11-=（9）11322572767311145+-----++-)311(2527)27(2273114--+-+--++= 737-=（10）由所给算式知0a >a 3a 2a 3a 3aaa )32(a 3a a3a 32aa 9a 3a 2⋅--+=+-+=--+∴a 3a a 3-+= a =点评：这类二次根式的混合运算计算题一直是中考的重点，要求在计算时，注意题目的特点，确定运算顺序，根据二次根式的性质化简二次根式，特别是正确地进行分母有理化，使运算合理、正确、简便．例3. 求代数式的值：（1）（2006年某某市中考题）先化简，再求值：已知251x -=，求x1x -的值． （2）（2006年某某市中考题）先化简，再求值：x1x )x 11(2-÷+，其中，2x =．（3）（2006年某某省中考题）先化简，再求值： )b a (a b b 1b a 1++++，其中215b ,215a -=+= （4）（2006年某某省某某市中考题）已知21x +=，求1x x1x 1x 2x 22---++的值． （5）（2006年某某省某某市中考题）已知21x +=，求1x x1x x x 2+÷+-的值． （6）（2006年某某回族自治区中考题）2a =，求)1a 11a 1(+--a 1a 2-的值．（7）（2006年某某省某某市中考题）先化简，再求值：)b a 2()b a (a 2)b a 2(222+----．其中13b ,13a -=+=．（8）（2006年某某省课改实验区中考题）先化简，再求值： 1x 1)1x x 1x x 2(2-÷+--，其中12x -= 解：（1）已知251x -=25)25)(25(25+=+-+=，4)25(25x1x =--+=-（2）原式1x 1)1x )(1x (x x 1x -=-+⋅+= 当时2x =，原式121-==12+（3）原式abba )b a (ab )b a ()b a (ab b b)a(a ab 22+=++=++++=5215215b a =-++=+ 1215215ab =-⨯+=∴原式5abba =+=（4）原式1x x)1x )(1x ()1x (2---++==+---x x xx 111 1x 11x x 1x -=--+=当21x +=时，原式2212111x 1=-+=-= （5）原式1x x1x 1x )1x (x -=+⋅+-=当21x +=时，原式21211x =-+=-=（6）原式=+-+-+⋅+-=[()()]()()a a a a a a a a1111112当2x =时，原式222a 2=== （7）原式ab 2b a 2ab 2a 2b ab 4a 422222-=--+-+-= 当13b ,13a -=+=时原式422)13)(13(2-=⨯-=-+-= （8）原式1)1x )(1x ()1x )(1x ()1x (x )1x (x 2-+⋅-+--+=x3x xx x 2x 2222+=+-+=当12x -=时，原式)12(3)12(x 3x 22-+-=+=23231222=-++-=【综合测试】一. 选择题：1. （市海淀区）在下列二次根式中与2是同类二次根式的是（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 272. 化简372-的结果是（） A.72-B. 72+C. 372()-D. 372()+3. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是（） A. 32ab 和32ab cB. 27498b a ab和 C.3234a b 和2343a bD.b a 2和2ab4. 已知x =-32，那么x x+1的值等于（） A. 23 B. -23 C. 22 D. -225. 若y y x y 24410++++-=，则xy 的值等于（）A. -6B. -2C. 2D. 66. （2001年某某市中考题）如果表示a b ,两个实数的点在数轴上的位置如下图所示，那么化简||a b a ab b -+++222的结果等于（）． A. 2aB. 2bC. -2aD. -2bb a 0二. 填空题1. （2002年某某省某某市中考题）能使等式aa a a +=+33成立的a 的取值X 围是_______．2. 若||a b a b -+++124与互为相反数，则()a b +=2004__________．3. 最简二次根式831221x x 与+是同类二次根式，则x 的值为______． 4. 化简M x x x x =++--+12144922的结果是________．三. 化简：1. （2001年某某市中考题）132132-++；2. （2002年某某市中考题）已知||a a =-，化简||()1222-+-+a a a3. 设18≤≤x ，化简：x x 21025-+四. 求代数式的值：1. （某某市）化简并求值：()()()m n m n m n +++-23；其中m n ==21，．2. （某某市课改实验区）先化简，再求值：()x x x x +--÷--115141，其中x =-524． 3. （某某省课改实验区）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当2253x -，分别等于，73+时，求代数式x x x x x 22211221-+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．4. （某某回族自治区课改实验区）已知a =2，求代数式()111112a a a a--+⋅-的值． 5. （某某市课改实验区）先化简，再求值：()211112x x x x x --+÷-，其中x =-21．五. 比较大小1. 比较175186--与的大小；2. 比较15141413--与的大小；3. 比较6776与的大小；4. 比较310522++与的大小．【综合测试答案】一. 选择题：1. A2. B3. D4. A5. A6. D分析：根据数轴上的点与原点的位置关系，判断该数的正、负；根据两数的对应点的相互位置关系，判断这两个数的大小关系． 解：由图可知b a <<0， ∴->+<a b a b 00，∴原式=-++=-++||()||||a b a b a b a b 2b 2)b a (b a -=+--=故选D ． 二.1. 解：等式a a aa +=+33成立的条件是 a a ≥+>⎧⎨⎩030，，即a a ≥>-⎧⎨⎩03，即a ≥0 故答案为a ≥0．2. 解析： ||a b a b -+++124与互为相反数．∴-++++=||a b a b 1240而||a b a b -+≥++≥10240，，∴-+=++=⎧⎨⎩a b a b 10240，∴=-=-⎧⎨⎩a b 21∴+=--=-=()()()a b 200420042004200421333. 答案为1.4. 分析：容易看出M x x =+--||||17，而且x R ∈，所以应按上题“点评”中（2）的方法，用两个零点-1和7，把数轴分成三类进行讨论． 解：M x x =+--()()1722=+--||||x x 17-17（1）当x <-1时，x x +<-<1070，， M x x =-+--=-()()178；（2）-≤<17x 时，x x +≥-<1070，，M x x x =+--=-()()1726；（3）当x ≥7时，x x +>-≥1070，， M x x =+--=()()178∴=-<---≤<≥⎧⎨⎪⎩⎪M x x x x 81261787,(),,(),()三.1. 解：原式=+-++--+323232323232()()()()=+-+--=++-=323232323232232222()()()()2. （2002年某某市中考题）已知||a a =-，化简：a 2)2a (|a -1|2+-+ 分析：先由||a a =-确定a 的符号． 解： -=≥a a ||0，∴≤a 0∴原式a 2|2a ||a 1|+-+-= =-+-+()()122a a a=33. 设18≤≤x ，化简：x x 21025-+ 解： x x x 2210255-+=-()，且18≤≤x∴由下图可知1 5 8当58≤≤x 时，有x -≥50； 当15≤<x 时，有x -<50因此，x x x 2210255-+=-()⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=)5x 1(x 5)8x 5(5x四. 1. 原式=++++--=-m mn n m mn mn n m n 22222223322 当m n ==21，时，原式=-=-=2224222()2. 原式=---⋅--=+x x x x x 21151144当x =-524时，原式=-+=5244523. 原式=-+-⋅+-=()()()()x x x x x 111121122 当37,225,3x +-分别为时，原式=124. 原式=+--+-⋅+-=a a a a a a a a1111112()()()()()当a =2时，原式==2225. 原式=21111111x x x x x x x x ()()()()()()+--+-⋅+- =+x x 23当x =-21时，原式=-+-=()()2132122五. 1. 比较175186--与的大小．分析：分子相同，正常思路，可比较分母的大小，但分母大小不易看出． 方法：分母有理化法．解：175752-=+186862-=+，分母均为2，将分子比大小即可．7528620+-+< ∴-<-1751862. 比较15141413--与的大小． 分析：可将分母看成1，进行分子有理化． 方法：分子有理化法．解：151411514-=+141311413-=+，显然分子相同，比较分母大小即可．15141413+>+，分子相同时分母大的值反而小．word11 / 11 ∴-<-151414133. 比较67与76的大小．方法：比较被开方数法． 解： 67736252=⨯=∴=⨯=76649294∴<252294 即6776<4. 比较310+与522+的大小． 方法：比较两数的平方法．注：这两数须都大于0． 解： ()310310230132302+=++=+ ()52258410132402+=++=+ 显然230240<∴+<+1323013240 即310522+<+。
二次根式加减法的步骤一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，二次根式加减法计算要先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
1二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a 的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
2二次根式加减法的步骤1.同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
化简：根号12等于4的根号32.合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
3二次根式化简一般步骤1.把带分数或小数化成假分数。
2.把开方数分解成质因数或分解因式。
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外。
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号。
5.约分。
4最简二次根式条件1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式。
2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
知识点1：同类二次根式(Ⅰ)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。
(Ⅱ)判断同类二次根式的方法：(1)首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
知识点2：合并同类二次根式的方法合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。
初三数学《二次根式加减》说课稿本次课程是初三数学中的二次根式加减，本节课程主要针对二次根式进行深入讲解和练习，加强学生对此重点内容的掌握。
一、引入我们先来回顾一下二次根式的基本概念：如果x≥0，那么√x就叫做正的二次根式；如果 x<0，那么√x就是虚的二次根式。
不同的二次根式在运算中可能会发生加减运算，本节课程中我们就来深入探讨二次根式的加减。
二、授课重点本节课程的重点就是二次根式的加减，我们将从以下3个方面进行教学。
1.同类项相加减的细节问题。
2.二次根式的有理化。
3.铺垫解析-构造一个二次根式加减的例题。
三、授课内容1.同类项相加减的细节问题同类项的加减其实并不难，就和我们小学时学到的一样，只需要将同类项的系数相加即可。
但是在运算中有时我们会遇到一些细节问题：①二次根式之间无法直接相加、相减，需要先化简为同类项。
如何化简二次根式呢？我们可以通过有理化的方法将二次根式中的分母部分去掉。
②二次根式中含有不同的根式符号。
这时我们就需要将其转化为同类项，规定一个符号作为相减运算的符号，并将不同符号的根式化为同一符号。
这时我们需要将相同的数字进行合并，再进行系数相加的操作。
同类项相加减既然清楚了，我们接下来就来探讨如何实现二次根式的有理化。
2.二次根式的有理化二次根式的有理化，即通过去除根号中分母中的根号，化为分母不含根号的分式。
*基本法则：$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{c}=\frac{\sqrt a\times\sqrt c+\sqrtb\times\sqrt c}{c\times\sqrt c}$方法一：有理化分母①如果根号后面的数字是一个整数，只需要将分母乘以这个数字即可。
②如果根号后面的数字不是一个整数，我们就需要将分母化为一个完全平方数，然后再将分母提出这个完全平方数的根号，并乘以有理化后的分母。
①一个二次根式加上一个整数，分子分母同时乘以（分子分母）共轭。
3.铺垫解析-构造一个二次根式加减的例题让我们通过一个二次根式的加减例题来更好地理解前面学过的基础知识。
