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二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。
二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解胡园园;谢江;张武【摘要】针对不可压缩Navier-Stokes (N-S)方程求解过程中的有限元法存在计算网格量大、收敛速度慢的缺点,提出了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法(TSFEM)并进一步给出了利用OpenMP对其并行化的方法.该算法结合谱方法和有限元法思想,选取具有无限光滑特性的指数函数取代传统有限元法中的多项式函数作为基函数,能够有效减少计算网格数量,提高算法的精度和收敛速度;利用面积坐标便于三角形单元计算的特点,选取三角单元作为计算单元,增强了适用性;在顶盖方腔驱动流问题上对该算法进行验证.实验结果表明,TSFEM较传统有限元法(FEM)无论是收敛速度还是计算效率都有了显著提高.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】6页(P42-47)【关键词】不可压缩N-S方程;OpenMP;方腔驱动流;高精度;无穷收敛性【作者】胡园园;谢江;张武【作者单位】上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学高性能计算中心,上海200444【正文语种】中文【中图分类】TP301.6Navier-Stokes (N-S)方程是流体力学中最重要的方程之一。
数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过求解N-S方程来进行解释和预言，因此研究N-S方程具有广泛的应用价值。
对N-S方程的研究距今已有200多年的历史，其弱解又称为Leray-Hopf弱解。
关于N-S方程强解的局部适定性、存在性与光滑性被列为21世纪7个价值100万美元的数学难题之一。
数学家断言，如果没有新的分析工具和数学思想，这个难题将很难得到解决。
但是,到目前为止,证明弱解的唯一性和正则性,即强解的整体存在性,仍是一个极具挑战性的问题。
只有极少数非常简单的流动问题才能求得其精确解，大多数还是要用离散的方法求得数值解。
二维定常不可压缩N-S 方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S（Navier-Strokes）方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S 方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S 方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量量，共有18个应力分量X 轴的运动微分方程：(2.1)最后导出沿x 轴的(2.2) (2.3)(2.4)纲量，对于封闭环境内的流动， 当雷诺数小于 2300时的流动为层流， 能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用 N-S 方程表示。
不可压N-S方程的高效并行直接求解包芸;叶丰;张义招【摘要】对不可压N-S方程的数值计算,当计算规模增大时,不论是采用湍流模型计算还是直接数值模拟(Direct Numerical Simulation,DNS),大规模的并行计算都难以实现.该问题的关键是求解全场联立的压力泊松方程的并行计算技术.利用并行近似解求解方案,创建高效大规模并行计算的不可压N-S方程的直接求解方法.三维窄方腔热对流的DNS计算结果表明,该直接求解并行计算方法具有很好的并行效率,并且计算的三维湍流热对流的特性是合理的.【期刊名称】《计算机辅助工程》【年(卷),期】2016(025)003【总页数】5页(P19-23)【关键词】泊松方程;并行计算;不可压流动;湍流热对流;直接数值模拟【作者】包芸;叶丰;张义招【作者单位】中山大学力学系,广州 510275;中山大学力学系,广州 510275;中山大学力学系,广州 510275【正文语种】中文【中图分类】O357.5在航空航天等高科技工程的推动下，计算流体力学在可压缩流动的数值模拟计算技术领域进步非凡.不可压流动的数值模拟技术也在不断进步.超级计算机硬件技术的快速发展为计算流体力学数值模拟的进一步发展提供技术支持，高效并行计算技术的发展为进一步扩大不可压N-S方程的数值计算规模提供新的平台，并使计算结果数据能更好地反映流体的流动特性.热对流问题广泛存在于自然界和工业界中，研究其对全球气候变化、海洋环流、反应堆设计、工业冷却设计等问题的影响具有重要意义.[1-2]在Boussinesq假设下，湍流热对流的描述方程为不可压N-S方程联立温度对流扩散方程，因此热对流问题也是典型的不可压流动问题.高瑞利数Ra的湍流Rayleigh-Bénard(RB)热对流的直接数值模拟(Direct Numerical Simulation，DNS)面临重大挑战.[3]随着Ra的提高，热对流进入湍流状态，DNS模拟的规模不断增大导致计算所需要的成本巨大，数值计算难以实现.目前，湍流热对流的DNS只达到Ra=1012水平.[4]大规模可并行的高Ra湍流热对流DNS及其海量数据结果分析已成为热对流研究工作者们特别关注的问题.在不可压流动N-S方程的数值模拟计算中，不论采用何种计算模型或是DNS，其压力泊松方程的求解都是大规模并行计算的难题：直接求解方法不易于并行.迭代求解压力泊松方程通常采用局部算法从而较容易实现并行，但迭代计算过程占用大量的计算时间，所以很难实现高效率的大规模计算.这使得不可压流动的大规模数值模拟难以在有效时间内满足需求，因此妨碍大规模不可压流动N-S方程的湍流模型计算或DNS的进一步发展.一种新的泊松方程块三对角近似求解方案[5-6]可解决在超级计算机上的高效并行直接求解问题.这使得建立不可压流动N-S方程模拟的大规模高效并行计算方法成为可能，并可在超级计算机上实现三维高Ra湍流热对流特性研究的DNS.无量纲化后的三维不可压N-S方程为式中：V为速度矢量；p为压力；Re为雷诺数.计算边界条件为无滑移边界.投影法是数值求解不可压N-S方程组的有效方法之一.[7]实际上，不论采用何种湍流模型或DNS，以及采用何种思路求解不可压N-S方程的速度压力法，一般的动量方程都可以采用显式格式连续方程推导出压力泊松方程并进行迭代求解.大规模并行计算的主要困难为压力泊松方程必须全场联立求解.本文主要针对矩形计算域的特定情况，结合有效的泊松方程高效并行的直接求解方案，创建不可压流动DNS的可高效并行求解计算方法.2.1 网格布置和离散格式计算区域取矩形，见图1.网格数为nx×ny×nz.在设计大规模并行计算时，消息传递接口(Message Passing Interface，MPI)的计算区域沿xOy平面对z方向分割，即图中x方向较粗的线.在该面上并行计算需要数据通信；区域内部用OpenMP并行，无须数据通信.由于直接求解压力泊松方程要用到二维快速傅里叶离散余弦变换[8]，因此在x和y方向必须采用等距网格且最好网格数是2k,在z方向上可根据计算的需要采用非等距网格.本文采用不可压流动计算时常用的交错网格，时间方向采用一阶精度离散，空间采用二阶精度离散格式.2.2 不可压N-S方程的并行求解方案在不可压N-S方程的数值求解过程中，采用投影法将计算分步骤进行.动量方程中的速度计算采用显式格式，在求解中很容易实现并行.由连续方程推导出的压力泊松方程在求解时需要全场联立，是求解过程中计算工作量最大的部分.同时，联立求解也给并行造成困难，是大规模高效并行计算的难点.高效合理并可大规模并行计算的压力泊松方程求解方案，是解决不可压N-S方程大规模并行计算的关键技术.建立三维泊松方程的直接求解方法.计算方法只用于矩形计算区域，x方向采用等距网格.具体做法为在xOy平面上使用二维快速傅里叶变换将空间3个方向上都要求联立求解的压力泊松方程解耦，使泊松方程变换为只在z方向上的三对角方程.将三对角方程变换为块三角方程，设计高效且可并行计算求解方法，求解后再使用对应的反变换得到原来压力泊松方程的全场解.压力泊松方程为x和y方向使用等距网格，z方向使用变距网格.二阶精度中心差分的压力泊松方程的离散形式为使用二维离散余弦傅里叶变换将全场联立的泊松方程在x和y方向上解耦.余弦傅里叶变换能使压力泊松方程自动满足压力梯度为0的边界条件.变换通过FFTW软件包[8]实现.二维离散余弦傅里叶变换公式为将式(4)代入压力泊松方程，并令展开式两边对应系数相等，可以得到一组只沿z方向联立的三对角方程，使压力泊松方程在x和y方向上解耦，求解过程变简单. 在以往的二维热对流DNS中，利用追赶法求解三对角方程的泊松方程直接解法[9]，与采用迭代求解方法在计算机上单线程计算相比有效得多，但三对角方程的追赶法很难进行大规模并行计算.数学和计算机的研究者们尝试建立块三对角方程的大规模高效并行求解方案[5-6]，将变换得来的三对角方程写成块三对角的形式为式中为块三对角矩阵,和为M×N阶矩阵；和为M×N维列向量，T.为已知方程的右端项，通过式(4)求在计算得到块三对角方程的解后，通过对应的二维离散余弦傅里叶的反变换公式利用以上高效并行三维压力泊松方程直接求解方法，联合其他方便并行的动量方程等计算，创建三维不可压N-S方程高效并行直接求解计算方法，使得在一些特定情况下，大规模高效并行的不可压流动N-S方程湍流模型计算或者DNS成为可能.3.1 三维湍流热对流方程RB热对流是研究流体对流传热的典型物理模型.在封闭的盒子内，下底板加热而上底板冷却后形成对流传热的研究系统.在Boussinesq假设下，无量纲化后的三维热对流的描述方程为式中：Ra为瑞利数；Pr为普朗特数；θ为相对温度，下底板为加热，θ=0.5，上底板为冷却，θ=-0.5.通过热对流方程组可以看出，整个计算过程实际上就是数值求解不可压N-S方程组联立温度的对流扩散方程.本文对三维湍流热对流进行DNS.3.2 并行计算效率采用本文建立的三维不可压流动的直接求解并行计算方法，在超级计算机“天河二号”上进行加速比测试.每个计算节点包含24个计算物理核心.测试算例的计算网格数和物理计算核心数见表1.不同计算核数时直接求解并行计算方法的加速比见图2，其中加速比以计算节点24核心数为基数.计算中z方向上网格数1 536是24核心数的64倍.可知当使用32节点即32×24=768核心数时，具有约81.7%的计算效率，当使用64节点即64×24=1 536核心数时，具有约67%的计算效率.加速比随计算机核数的进一步增加仍有较好的可增长性.由于采用快速傅里叶变换解耦压力泊松方程的需要, 并行区域只在z方向上划分，由此本文创建的直接求解方法在大规模并行计算时z方向网格数与计算核心数之间有一定关联.总体上讲，本文的不可压流动直接求解方法在大规模并行计算上已得到较好的计算效率，可以进行较大规模的三维湍流热对流的DNS.新的直接求解计算方法与本课题组原有的迭代计算方法相比，节省1/2以上的总计算时间，计算技术的进步为系列三维热对流的DNS及物理特性的研究提供有力工具.3.3 三维湍流热对流计算结果选取窄方腔，宽高比Γ=1/4，Pr=4.3，对不同Ra的三维热对流进行计算.低Ra计算采用512×64×768网格，高Ra计算采用1 024×128×1 200网格.首先计算流动的初场，根据传热特性计算时平均场统计的需要，当热对流中出现较稳定的大尺度环流流动后，继续迭代计算至少100万时间步.根据不同的Ra及流动特性，计算时间的迭代至少达到300万时间步.RB热对流主要探讨由浮力产生的对流运动对流体传热特性的影响.Ra=1010的平均场温度等值面分布见图3，下底板加热为高温，上底板冷却为低温.温度作为热对流中的重要物理量，其平均场的分布反映传热过程中对流流动带动温度运动的情况.图3中方腔的中间部分没有温度的分布，表明中间没有流动也没有传热作用.图3显示由大尺度环流带动的温度分布形态，RB热对流中对流传热的热量主要沿着侧壁和棱边向上传输.RB热对流研究的核心问题之一是对流传热效率，表征传热的物理参数是努塞尔数Nu，表示流体对流传热与热传导传热的比值.Nu与Ra之间存在一定的标度关系[3]，因此需要一系列Ra数的不同数值模拟结果进行研究.一组三维方腔热对流的Nu/Ra0.3随Ra的变化见图4.图4中同时也给出计算得到的二维热对流Nu数的变化结果[10]，以及KACZOROWSKI等[11]的三维计算结果对比.由此可见，本文的三维湍流热对流的DNS模拟结果是合理的.图4中可以看到，二维和三维热对流的计算Nu随Ra的变化都存在很好的标度率.计算结果与理论预测和大量试验结果得到的结论一致.[3]Γ=1/4三维方腔的Nu总体偏大(向上平移).在试验和计算中也发现同样的Nu平移现象，并且不同的Γ变化会引起不同的Nu向上平移量.[12]在传热Nu对Ra的标度率中，三维和二维流动计算结果产生差异的物理原因，还有待更深入的研究.在三维不可压流动特性的研究过程中，尤其是到湍流阶段，超大规模的数值模拟计算十分必要.依靠超级计算机技术，探索高效并行的计算方法和计算技术，进行大规模的高自由度三维不可压N-S方程的数值计算，对更深入研究不可压流动的物理和流动特性具有很重要的意义.大规模并行数值模拟计算三维不可压N-S方程，最难的计算方法和计算技术问题是压力泊松方程的高效并行求解.利用块三对角方程的大规模高效并行近似解求解方案，创建大规模高效并行计算三维不可压N-S 方程的直接求解方法.DNS是研究高Ra湍流热对流的重要手段之一.热对流问题是典型的不可压流动问题.利用本文创建的高效并行不可压流动的直接求解方法，对高Ra三维湍流热对流进行DNS.通过并行效率的验证计算,证明本文建立的直接求解方法具有较好的并行效率.一系列不同Ra的三维窄方腔热对流计算得到的传热Nu具有合理的标度率. 本文创建的大规模高效并行计算的直接求解方法，为高Ra的湍流热对流大规模高效并行计算和数值模拟研究提供有价值的计算参考.ZHANG W, ZHANG H. Scalable parallel algorithm of block tridiagonal systems for initial boundary value problem[J]. Journal of Shanghai University(Natural Science), 2007, 13(5): 497-503.XU W, BAO Y. An efficient solution for 2D Rayleigh-Bénard convection using FFT[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 45(4): 1-6. DOI: 10.6052/0459-1879-12-334.。
不可压缩流体n-s方程不可压缩流体N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
在流体力学中，不可压缩流体是指其密度在空间和时间上保持恒定的流体。
N-S方程是由物理学家Navier和Stokes在19世纪提出的，它是描述流体的运动和变形的方程组。
不可压缩流体的N-S方程可以分为连续性方程和动量方程两部分。
连续性方程描述了流体的质量守恒，它表达了流体的质量在空间和时间上的连续性。
在不可压缩流体中，质量守恒方程可以简化为速度场的散度为零，即流体的速度场是无散的。
这意味着流体在任何一个点的流入和流出速度是相等的，从而保证了质量的守恒。
动量方程描述了流体中的力学运动，它是通过牛顿第二定律和黏性力的作用来推导的。
动量方程可以分为三部分：惯性项、压力梯度项和黏性力项。
惯性项描述了流体质点在单位时间内由于速度变化引起的动量变化，压力梯度项描述了流体由于压力差产生的力，而黏性力项描述了流体由于黏性作用而产生的力。
在不可压缩流体中，由于密度恒定，惯性项可以简化为流体质点的加速度乘以密度。
压力梯度项可以表示为压力场的梯度。
而黏性力项则是由流体的黏性特性决定的。
黏性力的大小与流体的黏度成正比，黏度越大，黏性力越大。
不可压缩流体的N-S方程可以进一步简化，当黏度较小、流动速度较小以及流体的粘滞性较低时，黏性力可以忽略不计。
这时，N-S 方程可以简化为欧拉方程，它是描述理想流体运动的方程。
欧拉方程只考虑了流体的惯性和压力梯度，忽略了黏性力的作用。
不可压缩流体的N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
在天文学中，N-S方程可以用来研究行星和恒星的运动；在气象学中，N-S方程可以用来研究大气运动和气候变化；在航空航天工程中，N-S方程可以用来研究飞机和火箭的飞行性能。
不可压缩流体的N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
它通过连续性方程和动量方程来描述流体的质量守恒和力学运动。
N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用，对于理解和预测流体运动具有重要意义。
一种改进的求解N-S方程的高精度紧致算法王婉歆;白乙拉;孙琦;杨瑞【摘要】给出了一种改进的求解二维定常不可压N-S方程的差分算法,该算法时间精度为三阶,空间精度为六阶,并对其稳定性进行了分析,通过数值算例验证该算法的有效性。
%An improved differential algorithm is provided to solve the two-dimensional steady incompressible N-S equation.This algorithm is three orders in time precision and six orders in space accuracy.Its stability is analyzed,and its effectiveness is verified by means of numerical examples.【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(033)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】N-S方程;六阶紧致差分;Runge-Kutta法【作者】王婉歆;白乙拉;孙琦;杨瑞【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O2420 引言N－S方程是计算流体力学的基本方程，近年来人们对其数值解法的研究已取得了许多成果。
为了得到更高精度的近似解，紧致差分格式引起了人们的关注，Ciment和Leventhal〔1〕最早提出了紧致差分格式。
Lele〔2〕对紧致格式进行了总结，提出不限于三点的对称型紧致格式。
傅德薰、马延文〔3〕提出了高精度紧致格式与迎风紧致格式的一般形式，时间方向采用ADI(二阶)。
马晖扬〔4〕运用人工压缩方法与迎风紧致格式相结合进行不可压粘性流动的数值计算。
